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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
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\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
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% "Article"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Article}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
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\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
\node at (14cm,-5.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
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\end{tikzpicture}
}
% Sections
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% Paragraph

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% Enoncé

% Itemize

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% footpage

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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Un problème à résoudre}

\section*{Le problème}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline,scale=0.75]
\clip(-3.5,-3.5) rectangle (5.5,4.5);
\draw (0.,3.6782138420323807) -- (5.184952042382993,0.) -- (0.,0.) -- cycle;
\draw (0.42426406871192873,0.) -- (0.4242640687119288,0.4242640687119287) -- (0.,0.42426406871192873) -- (0.,0.) -- cycle; 
\draw (0.,0.) circle (3.cm);
\draw (0.,3.6782138420323807)-- (5.184952042382993,0.);
\draw (5.184952042382993,0.)-- (0.,0.);
\draw (0.,0.)-- (0.,3.6782138420323807);
\draw[color=black] (-0.32,-0.25) node {$A$};
\draw[color=black] (-0.1,4.11) node {$B$};
\draw[color=black] (5.36,-0.17) node {$C$};
\node at (-2.5,2.5) {$\cal C$};
\end{tikzpicture}
\qquad
\begin{minipage}{0.25\linewidth}
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ de même aire que le cercle $\cal C$ de centre $A$ tel que $BC=5$.

$(BC)$ est tangente à $\cal C$.

\bigskip

Calculer le périmètre de $\cal C$.
\end{minipage}
\end{center}

\section*{Méthode 1}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75,baseline]
\clip(-3.5,-3.5) rectangle (5.5,4.5);
\draw (0.,3.6782138420323807) -- (5.184952042382993,0.) -- (0.,0.) -- cycle;
\draw (0.42426406871192873,0.) -- (0.4242640687119288,0.4242640687119287) -- (0.,0.42426406871192873) -- (0.,0.) -- cycle; 
\draw (1.3897569304059507,2.6923178999495265) -- (1.144278824585166,2.3462824977684207) -- (1.4903142267662721,2.100804391947636) -- (1.7357923325870568,2.446839794128742) -- cycle; 
\draw (0.,0.) circle (3.cm);
\draw (0.,3.6782138420323807)-- (5.184952042382993,0.);
\draw (5.184952042382993,0.)-- (0.,0.);
\draw  (0.,0.)-- (0.,3.6782138420323807);
\draw [dash pattern=on 1pt off 1pt] (0.,0.)-- (1.7357923325870568,2.446839794128742);
\draw[color=black] (-0.32,-0.25) node {$A$};
\draw[color=black] (1.88,2.65) node {$H$};
\draw[color=black] (-0.1,4.11) node {$B$};
\draw[color=black] (5.36,-0.17) node {$C$};
\node at (-2.5,2.5) {$\cal C$};
\end{tikzpicture}
\qquad
\begin{minipage}{7cm}
Introduisons le point $H$, pied de la hauteur issue de $A$ dans $ABC$.

Notons $x=AB$ et $r=AH$ le rayon de $\cal C$.

\medskip

Dans le triangle $AHB$ rectangle en $H$ :
\begin{equation}
r^2=x^2-BH^2.\label{eq2}
\end{equation}
Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ :
\[
r^2 =AC^2-CH^2.
\]
\end{minipage}
\end{center}
Ainsi, 
\begin{equation}
x^2-BH^2=AC^2-CH^2.\label{eq1}
\end{equation}
Or, d'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle $ABC$ rectangle en $A$,
\[
AC^2=BC^2-AB^2=25-x^2
\]
et, de plus, 
\[
CH=BC-BH=5-BH.
\]
Ainsi, l'équation (\ref{eq1}) devient :
\[
x^2-BH^2=25-x^2-(5-BH)^2
\]
ou encore, en simplifiant :
\[
BH=\dfrac{1}{5}x^2.
\]
L'égalité (\ref{eq2}) devient alors :
\begin{equation}
r^2=x^2-\dfrac{1}{25}x^4=\dfrac{1}{25}x^2(25-x^2).\label{eq3}
\end{equation}
L'aire du triangle $ABC$ est :
\[
{\cal A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\times AB\times AC=\dfrac{1}{2}x\sqrt{25-x^2}.
\]
Celle de $\cal C$ est :
\[
{\cal A}_{\cal C}=\pi r^2 = \dfrac{1}{25}\pi x^2 (25-x^2).
\]
D'où :
\begin{align*}
{\cal A}_{ABC}={\cal A}_{\cal C} & \iff \dfrac{1}{2}x\sqrt{25-x^2} = \dfrac{1}{25}\pi x^2 (25-x^2)\\[6pt]
 & \iff \dfrac{1}{2}\sqrt{25-x^2} = \dfrac{1}{25}\pi x (25-x^2)\quad\text{(en simplifiant par }x\neq0)\\[6pt]
 & \iff 25\sqrt{25-x^2}=2\pi x(25-x^2)\\
 & \iff 25=2\pi x\sqrt{25-x^2}\quad\text{(en simplifiant par }\sqrt{25-x^2}\neq0\text{ pour }x\neq5)\\
 & \Longrightarrow 625=4\pi^2x^2(25-x^2)\quad\text{(en élevant au carré)}\\
 & \Longrightarrow 4\pi^2x^4-100\pi^2x^2+625=0\\
 & \Longrightarrow 4\pi^2X^2-100\pi^2X+625=0\quad\text{(en posant }X=x^2)
\end{align*}

$\Delta=\big(100\pi^2\big)^2-4\times4\pi^2\times625=\numprint{10000}\pi^2(\pi^2-1)>0$ donc il y a deux solutions à cette dernière équation :
\[
\begin{cases}
X_1=\dfrac{100\pi^2-100\pi\sqrt{\pi^2-1}}{8\pi^2}=\dfrac{25\pi^2-25\pi\sqrt{\pi^2-1}}{2\pi^2}(\approx0,65)\\[6pt]
X_2=\dfrac{100\pi^2+100\pi\sqrt{\pi^2-1}}{8\pi^2}=\dfrac{25\pi^2+25\pi\sqrt{\pi^2-1}}{2\pi^2}(\approx24,35)
\end{cases}
\]
Ces deux solutions sont \og symétriques \fg{} à savoir que si $AB=x=\sqrt{X_1}$ alors $AC=\sqrt{X_2}$, et si $AB=x=\sqrt{X_2}$ alors $AC=\sqrt{X_1}$. En effet, $X_1^2+X_2^2=25=5^2$.

\medskip

L'égalité (\ref{eq3}) donne alors, en prenant par exemple $x=\sqrt{X_1}$ :
\[
r^2=\dfrac{1}{25}\sqrt{X_1}^2\big(25-\sqrt{X_1}^2\big)=\dfrac{1}{25}X_1X_2=\dfrac{25}{4\pi^2}.
\]
Ainsi,
\[
r=\dfrac{5}{2\pi}
\]
et le périmètre de $\cal C$ est donc :
\[
{\cal P}_{\cal C}=2\pi r = 5.
\]

\section*{Méthode 2}

Avec les mêmes notations que précédemment,
\begin{align*}
{\cal A}_{ABC}={\cal A}_{\cal C} & \iff \dfrac{1}{2}\times BC \times AH = \pi r^2\\
& \iff \dfrac{5}{2}\times r=\pi r^2\\
& \iff \dfrac{5}{2}=\pi r\quad\text{(en simplifiant par }r\neq0)\\
& \iff r=\dfrac{5}{2\pi}.
\end{align*}
Le périmètre du cercle est donc :
\[
{\cal P}_{\cal C}=2\pi r = 2\pi\times\dfrac{5}{2\pi}=5.
\]

\section*{Méthode 3}

Avec les mêmes notations que précédemment, on peut dire que les triangles $ABC$ et $AHC$ sont semblables, donc :
\[
AB \times AC = AH \times BC \qquad \text{soit}\qquad ab = 5r.
\]
Or, $ABC$ et $\cal C$ ont la même aire, donc :
\[
\dfrac{1}{2}ab=\pi r^2 \qquad\text{soit}\qquad ab=2\pi r^2.
\]
Ainsi, 
\[
5r=2\pi r^2\qquad\text{soit}\qquad 5=2\pi r.
\]
La circonférence de $\cal C$ est donc égale à 5
\end{document}