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\begin{tikzpicture}
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\begin{center}
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\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Un résultat sur les racines d'un polynôme à\\coefficients entiers}

\section*{Introduction}

On considère un polynôme à coefficients entiers :
\[
P(X)=\sum_{k=0}^n c_kX^k\qquad,\qquad \forall\; k\in\llbracket0;n\rrbracket,\ c_k\in\Z.
\]

L'objectif ici est de démontrer que s'il admet une racine rationnelle irréductible $\dfrac{a}{b}$ alors $a$ divise $c_0$ et $b$ divise $c_ n$.

\section*{Démonstration}

On part de l'hypothèse selon laquelle $P\left(\dfrac{a}{b}\right)=0$ puisque $\dfrac{a}{b}$ est une racine du polynôme $P$ :
\begin{align*}
P\left(\dfrac{a}{b}\right)=0 & \Rightarrow \sum_{k=0}^n c_k\left(\dfrac{a}{b}\right)^k\\
& \Rightarrow c_0+\dfrac{c_1a}{b}+\dfrac{c_2a^2}{b^2}+\cdots+\dfrac{c_na^n}{b^n}=0\\
& \Rightarrow c_0b^n+c_1ab^{n-1}+c_2a^2b^{n-2}+\cdots+c_{n-1}a^{n-1}b+c_na^n=0\qquad\qquad(1)
\end{align*}
De l'égalité (1), on peut en déduire deux résultats :
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
c_0b^n & =-c_1ab^{n-1}-c_2a^2b^{n-2}-\cdots-c_{n-1}a^{n-1}b-c_na^n\\
& = -a\big(c_1b^{n-1}+c_2ab^{n-2}+\cdots+c_{n-1}a^{n-2}b+c_na^{n-1}\big)
\end{aligned}$

Or, $\pgcd{a}{b}=1$ donc $\pgcd{a}{b^n}=1$ et, d'après le théorème (arithmétique) de Gauss, $a$ divise $c_0$ ;

\item $\begin{aligned}[t]
c_n a^n & =-c_0b^n-c_1ab^{n-1}-c_2a^2b^{n-2}-\cdots-c_{n-1}a^{n-1}b\\
& = -b\big(c_0b^{n-1}+c_1ab^{n-2}+c_2a^2b^{n-3}+\cdots+c_{n-1}a^{n-2}\big)
\end{aligned}$

Or, $\pgcd{a}{b}=1$ donc $\pgcd{a^n}{b}=1$ et, d'après le théorème (arithmétique) de Gauss, $b$ divise $c_n$.
\end{itemize}

\section*{Application}

Ce résultat peut nous servir par exemple à démontrer que $\sin\dfrac{\pi}{18}$ est irrationnel.

\medskip

En effet, on sait que :
\[
sin\left(3\times\dfrac{\pi}{18}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\;;
\]
de plus, 
\[
\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3 x
\]
donc, de ces deux égalités, on déduit :
\[
3\sin\frac{\pi}{18}-4\sin^3 \frac{\pi}{18}=\dfrac{1}{2}
\]
soit, en posant :
\[
S = \sin\dfrac{\pi}{18},
\]
\[
3S-4S^3=\frac{1}{2}
\]
ou encore :
\[
8S^3-6S+1=0.
\]
En posant :
\[
X = 2S,
\]
l'égalité devient :
\[
X^3-3X+1=0.
\]
Si $\sin\dfrac{\pi}{18}$ est rationnel alors il en est de même pour son double $X$.

Or, d'après le résultat démontré précédemment, si l'équation $x^3-3x+1=0$ admet une solution rationnelle $\dfrac{a}{b}$ alors $a$ divise 1 et $b$ divise $1$, ce qui ne laisse comme choix pour solution que $x=1$ ou $x=-1$.

Mais ni 1 ni $-1$ n'est solution de l'équation, ce qui signifie que l'équation $x^3-3x+1=0$\linebreak n'admet aucune solution rationnelle et donc que la solution connue, à savoir $X$, est\linebreak irrationnelle et donc que $S$ est irrationnelle.
\end{document}