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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
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% "Article"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Article}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
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% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont \color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
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\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
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\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
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\end{tikzpicture}
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% Paragraph

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% Itemize, enumerate

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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Une généralisation}

\section*{Introduction}

Il y a quelques jours, un ami a posté le message suivant sur un réseau social :
\[
\dfrac{9-\sqrt{17}}{2}+\sqrt{\dfrac{9+\sqrt{17}}{2}}=5.
\]

J'ai tout naturellement souhaité voir si cette égalité était vraie, et cela m'a donné une autre idée...

\section*{Véracité de l'égalité}

$
\begin{aligned}[t]
\left(\dfrac{9-\sqrt{17}}{2}+\sqrt{\dfrac{9+\sqrt{17}}{2}}\right)^2 & 
= \textcolor{blue}{\left(\dfrac{9-\sqrt{17}}{2}\right)^2}+\textcolor{red}{\left(\sqrt{\dfrac{9+\sqrt{17}}{2}}\right)^2}+2\times\dfrac{9-\sqrt{17}}{2}\times\sqrt{\dfrac{9+\sqrt{17}}{2}}\\
& = \textcolor{blue}{\dfrac{81-18\sqrt{17}+17}{4}}+\textcolor{red}{\dfrac{9+\sqrt{17}}{2}}+(9-\sqrt{17})\dfrac{\sqrt{9+\sqrt{17}}}{\sqrt2}\times\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}\\
& = \textcolor{blue}{\dfrac{98-18\sqrt{17}}{4}}+\textcolor{red}{\dfrac{9+\sqrt{17}}{2}}+(9-\sqrt{17})\dfrac{\sqrt{18+2\sqrt{17}}}{2}\\
& = \textcolor{blue}{\dfrac{49-9\sqrt{17}}{2}}+\textcolor{red}{\dfrac{9+\sqrt{17}}{2}}+(9-\sqrt{17})\dfrac{\sqrt{18+2\sqrt{17}}}{2}\\
& = \textcolor{blue!50!red}{\dfrac{58-8\sqrt{17}}{2}}+(9-\sqrt{17})\dfrac{\sqrt{18+2\sqrt{17}}}{2}\\
& = \textcolor{blue!50!red}{29-4\sqrt{17}}+(9-\sqrt{17})\dfrac{\sqrt{18+2\sqrt{17}}}{2}.
\end{aligned}
$

\medskip

Cherchons à mettre $\sqrt{18+2\sqrt{17}}$ sous la forme $a+b\sqrt{17}$, où $(a,b)\in\Z^2$.

\medskip

$
\begin{aligned}[t]
\sqrt{18+2\sqrt{17}}=a+b\sqrt{17} & \iff \left(\sqrt{18+2\sqrt{17}}\right)^2 = \left(a+b\sqrt{17}\right)^2\\
& \iff 18+2\sqrt{17}= a^2+17b^2 + 2ab\sqrt{17}\\
& \iff \begin{cases}
a^2+17b^2=18\\
ab=1
\end{cases}\\
& \iff b=\dfrac{1}{a}\text{ et }a^2+\dfrac{17}{a^2}=18,\ \text{soit } a^4-18a^2+17=0\\
\end{aligned}
$

\medskip

$\Delta=256=16^2$ donc $a^2=1$ ou $a^2=17$, soit $a=1$ ou $a=-1$ (car $a\in\Z$, donc $a\neq\sqrt{17}$ et $a\neq-\sqrt{17}$).

Je prends $a=1$, donc $b=1$. Ainsi,
\[
\sqrt{18+2\sqrt{17}}=1+\sqrt{17}.
\]

Donc :

\medskip

$
\begin{aligned}[t]
\left(\dfrac{9-\sqrt{17}}{2}+\sqrt{\dfrac{9+\sqrt{17}}{2}}\right)^2
& = \textcolor{blue!50!red}{29-4\sqrt{17}}+(9-\sqrt{17})\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\\
& = \textcolor{blue!50!red}{29-4\sqrt{17}}+\dfrac{9+9\sqrt{17}-\sqrt{17}-17}{2}\\
& = \textcolor{blue!50!red}{29-4\sqrt{17}} - 4+4\sqrt{17}\\
& = 25.
\end{aligned}
$

\medskip

En prenant la racine carrée des deux membres de cette dernière égalité, on obtient bien l'égalité souhaitée.

\section*{Généralisation}

Je me suis alors posé la question suivante : à quoi est égal le nombre 
$\dfrac{p-\sqrt{q}}{2}+\sqrt{\dfrac{p+\sqrt{q}}{2}}$, où $\coord{p}{q}\in\N^2$ ?


\subsection*{Commençons par calculer le carré de ce nombre}

$
\begin{aligned}[t]
\left(\dfrac{p-\sqrt{q}}{2}+\sqrt{\dfrac{p+\sqrt{q}}{2}}\right)^2
& = \dfrac{p^2+q-2q\sqrt{q}}{4}+\dfrac{p+\sqrt{q}}{2}+(p-\sqrt{q})\sqrt{\dfrac{p+\sqrt{q}}{2}}\textcolor{purple}{\times\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}\\
& = \dfrac{p^2+2p+q+2\sqrt{q}(1-p)}{4}+\dfrac{(p-\sqrt{q})\sqrt{2p+2\sqrt{q}}}{2}\\
& = \dfrac{p^2+2p+2\sqrt{q}(1-p)+2(p-\sqrt{q})\sqrt{2p+2\sqrt{q}}}{4}\qquad{(*)}
\end{aligned}
$

\subsection*{Simplification de \boldmath$\sqrt{2p+2\sqrt{q}}$}

J'aimerais écrire $\sqrt{2p+2\sqrt{q}}$ sous la forme :
\[
\sqrt{2p+2\sqrt{q}} = a+b\sqrt{q}
\]
où $\coord{a}{b}\in\N^2$. Je précise que $a$ et $b$ ne peuvent pas être négatifs (car $\sqrt{2p+2\sqrt{q}}>0$), d'où le fait qu'ils soient dans $\N$.

$
\begin{aligned}
\sqrt{2p+2\sqrt{q}} = a+b\sqrt{q} & \iff 2p+2\sqrt{q}=(a+b\sqrt{q})^2\\
& \iff 2p+2\sqrt{q}=a^2+b^2q+2ab\sqrt{q}\\
& \iff \begin{cases}
a^2+b^2q = 2p\\
ab=1\text{ soit }b = \dfrac{1}{a}
\end{cases}
\end{aligned}
$

Donc :
\[
a^2+\dfrac{q}{a^2}=2p\qquad\text{soit}\qquad a^4-2pa^2+q=0.
\]
Le discriminant de cette dernière équation bicarrée est :
\[
\Delta=4p^2-4q=4(p^2-q).
\]
Ainsi, pour qu'elle admette au moins une solution satisfaisante, il faut que $\Delta\geqslant0$ et que les solutions soient des carrés parfaits (car une solution de cette équation est $a^2$ et l'on souhaite que $a$ soit un entier naturel). Donc, il est nécessaire que :
\begin{equation}
p^2-q=\lambda^2\ (\lambda\in\N).
\end{equation}
Dans ce cas, les solutions de l'équation sont :
\[
a^2=\dfrac{2p-2\lambda}{2}=p-\lambda\qquad\text{ou}\qquad a^2=p+\lambda.
\]
Pour que notre problème ait une solution, il faut donc que :
\begin{equation}
p-\lambda=\mu^2\ \text{ ou } p+\lambda=\mu^2\ (\mu\in\N).
\end{equation}

Bilan : une condition nécessaire pour que $\sqrt{2p+2\sqrt{q}} = a+b\sqrt{q}$ est :
\[
\boxed{p^2-q=\lambda^2\ (\lambda\in\N)\qquad\text{et}\qquad\left(\begin{array}{l}
p-\lambda=\mu^2\\
\text{ou}\\
p+\lambda=\mu^2
\end{array}\right.}
\]

Mais ce n'est pas suffisant... il faut aussi que $b\in\N$... Or, $b=\dfrac{1}{a}$. Il faut donc que $a=1$.

Dans ce cas,
\[
p-\lambda=1\qquad\text{ou}\qquad p+\lambda=1
\]
donc :
\[
\lambda=p-1\qquad\text{ou}\qquad\lambda=1-p.
\]

\begin{itemize}
\item Si $\lambda=p-1$ alors $p^2-q=(p-1)^2$ soit $q=2p-1$.
\item Si $\lambda=1-p$ alors $p^2-q=(1-p)^2$ soit $q=2p-1$.
\end{itemize}

\subsection*{Bilan}

Pour que $\dfrac{p-\sqrt{q}}{2}+\sqrt{\dfrac{p+\sqrt{q}}{2}}=a+b\sqrt{q}$, il faut et il suffit que $q=2p-1$.

Dans ce cas, 
\[
\boxed{\dfrac{p-\sqrt{q}}{2}+\sqrt{\dfrac{p+\sqrt{q}}{2}}=\dfrac{p+1}{2}}
\]

\section*{Exemples}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[minimum width=1cm] (a0) at (0,0) {$p$};
\node[minimum width=1cm,right of=a0,right] (b0) {$q=2p-1$};
\node[minimum width=5cm,right of=b0,right] (c0) {$\dfrac{p-\sqrt{q}}{2}+\sqrt{\dfrac{p+\sqrt{q}}{2}}$};
\foreach \p/\i in {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}
{
\pgfmathparse{int(2*\p-1)}\let\q\pgfmathresult
\pgfmathparse{0.5*\p+0.5}\let\r\pgfmathresult
\node (a\p) at (0.125,{-1.5*(\p-1)}) {$\p$};
\node (b\p) at (1.75,{-1.5*(\p-1)}) {$\q$};
\node (c\p) at (5.75,{-1.5*(\p-1)}) {$\dfrac{\p-\sqrt{\q}}{2}+\sqrt{\dfrac{\p+\sqrt{\q}}{2}}=\r$};
}
\fill[violet!20] ($(a0.south west)+(0,-11.5pt)$) -- ($(c0.south east)+(13pt,0)$) [rounded corners] --  ($(c0.north east)+(5mm,1mm)$) -- ($(a0.north west)+(0,5mm)$) -- ($(a0.south west)+(0,-11.5pt)$);
\node[minimum width=1cm] (a0) at (0,0) {$p$};
\node[minimum width=1cm,right of=a0,right] (b0) {$q=2p-1$};
\node[minimum width=5cm,right of=b0,right] (c0) {$\dfrac{p-\sqrt{q}}{2}+\sqrt{\dfrac{p+\sqrt{q}}{2}}$};
\draw[rounded corners] ($(a0.north west)+(0,5mm)$) rectangle (c16.south east);
\draw ($(a0.south west)+(0,-11.5pt)$) -- ($(c0.south east)+(13pt,0)$);
\draw ($(a0.north east)+(2mm,5mm)$) -- ($(a16.south east)+(2mm,-4mm)$);
\draw ($(b0.north east)+(1mm,5mm)$) -- ($(b16.south east)+(9mm,-4mm)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}