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\title{Méthode des Trapèzes}
\author{Votre Nom}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\section{Introduction}
La méthode des trapèzes est une technique numérique utilisée pour approximer l'intégrale définie d'une fonction. Elle est particulièrement utile lorsque la fonction est difficile à intégrer analytiquement.

\section{Formule de la Méthode des Trapèzes}
Soit \( f(x) \) une fonction continue sur l'intervalle \([a, b]\). Nous divisons cet intervalle en \( n \) sous-intervalles égaux de largeur \( h = \frac{b-a}{n} \). Les points de division sont \( x_0 = a, x_1 = a + h, x_2 = a + 2h, \ldots, x_n = b \).

La formule de la méthode des trapèzes est donnée par :
\[
\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right]
\]

\section{Exemple}
Considérons la fonction \( f(x) = x^2 \) sur l'intervalle \([0, 2]\). Nous allons utiliser \( n = 4 \) sous-intervalles.

\begin{itemize}
    \item \( h = \frac{2-0}{4} = 0.5 \)
    \item Les points de division sont \( x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1, x_3 = 1.5, x_4 = 2 \)
    \item Calculons les valeurs de \( f(x) \) aux points de division :
        \[
        f(x_0) = 0^2 = 0, \quad f(x_1) = 0.5^2 = 0.25, \quad f(x_2) = 1^2 = 1, \quad f(x_3) = 1.5^2 = 2.25, \quad f(x_4) = 2^2 = 4
        \]
    \item Appliquons la formule des trapèzes :
        \[
        \int_{0}^{2} x^2 \, dx \approx \frac{0.5}{2} \left[ 0 + 2(0.25 + 1 + 2.25) + 4 \right] = \frac{0.5}{2} \left[ 0 + 2(3.5) + 4 \right] = \frac{0.5}{2} \left[ 7 + 4 \right] = \frac{0.5}{2} \times 11 = 2.75
        \]
\end{itemize}

\section{Schéma avec TiKZ}
Voici un schéma illustrant la méthode des trapèzes pour la fonction \( f(x) = x^2 \) sur l'intervalle \([0, 2]\) avec \( n = 4 \) sous-intervalles.

\begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
        axis lines = left,
        xlabel = \( x \),
        ylabel = \( f(x) \),
        ymin=0, ymax=5,
        xmin=0, xmax=2,
        xtick={0,0.5,1,1.5,2},
        ytick={0,1,2,3,4},
        legend pos=north west,
        ymajorgrids=true,
        grid style=dashed,
    ]
    \addplot[
        domain=0:2,
        samples=100,
        color=blue,
    ]
    {x^2};
    \addlegendentry{\( f(x) = x^2 \)}

    \addplot[
        ycomb,
        color=red,
        mark=*,
    ]
    coordinates {(0,0) (0.5,0.25) (1,1) (1.5,2.25) (2,4)};
    \addlegendentry{Points de division}

    \addplot[
        color=green,
        fill=green,
        fill opacity=0.2,
    ]
    coordinates {(0,0) (0.5,0.25) (0.5,0) (0,0)};

    \addplot[
        color=blue,
        fill=blue,
        fill opacity=0.2,
    ]
    coordinates {(0.5,0.25) (1,1) (1,0) (0.5,0) (0.5,0.25)};

    \addplot[
        color=purple,
        fill=purple,
        fill opacity=0.2,
    ]
    coordinates {(1,1) (1.5,2.25) (1.5,0) (1,0) (1,1)};

    \addplot[
        color=pink,
        fill=pink,
        fill opacity=0.2,
    ]
    coordinates {(1.5,2.25) (2,4) (2,0) (1.5,0) (1.5,2.25)};
    \end{axis}
\end{tikzpicture}

\end{document}
