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%	CHAPITRE 01 : PREMIERE APPROCHE
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\chapter{Première approche}

\section{Qu'est-ce qu'une suite numérique ?}

\begin{definition}
Une suite numérique est une fonction à variables réelles, que l'on peut noter :
$$
\fonction[u]{\N}{\R}{n}{u_n}
$$
\end{definition}

\begin{exemple}\label{ch01ex1}
Les nombres pairs constituent une suite numérique que l'on peut définir par :
$$ \fonction[u]{\N}{\N}{n}{2n}$$
On aura alors : $u_0=0$, $u_1=2$, $u_2=4$, $u_3=6$, $u_4=8$, ...
\end{exemple}

\begin{exemple}\label{ch01ex2}
Les carrés parfaits constituent une suite numérique que l'on peut définir par :
$$ \fonction[u]{\N}{\N}{n}{n^2}$$
On aura alors : $u_0=0$, $u_1=1^2=1$, $u_2=2^2=4$, $u_3=3^2=9$, $u_4=4^2=16$, ...
\end{exemple}

\begin{remarque}
S'il n'y a pas d'ambiguïté sur les nombres $n$, c'est-à-dire si l'on considère que les nombres $n$ sont dans \N, on notera les suites sous la forme : \suite{u}{n}{}.

Dans le cas contraire, on ajoutera la condition sur $n$ en indice : \suite{u}{n}{n\geqslant1} signifie que les nombres $u_n$ sont définis pour tout entier naturel $n$ plus grand ou égal à 1.
\end{remarque}


\section{Un peu de vocabulaire}

\begin{definition}
On considère une suite \suite{u}{n}{}. 
Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est appelé un \textbf{terme} de la suite. $n$ est alors l'\textbf{indice} de ce terme. Le \textbf{rang} du terme est sa position par rapport au début de la liste des termes.
\end{definition}

Dans l'exemple \ref{ch01ex1}, le terme de rang 4 est $u_3$ (c'est le 4\ieme{} terme dans la liste en partant du début, donc à partir de $u_0$). L'indice du terme de rang 4 est donc 3.

\section{Comment définir une suite numérique ?}

Il existe deux façons de définir une suite numérique.

\subsection{Définir une suite de manière explicite}

C'est ce que nous avons vu dans les exemples \ref{ch01ex1} et \ref{ch01ex2} : si on conna\^it la fonction qui donne le terme d'indice $n$, alors on définit la suite de manière explicite (on peut aussi dire que l'on définit la suite de manière fonctionnelle).

\begin{definition}
On dit qu'une suite \suite{u}{n}{} est définie de manière explicite si l'on conna\^it la fonction $f$ telle que :
$$ \forall n\in\N,\ u_n=f(n).$$
\end{definition}


\subsection{Définir une suite par récurrence}

La plupart du temps, les suites se construisent à partir de problèmes concrets et dans ces cas, nous ne connaissons pas nécessairement la fonction qui donne chaque terme. Voyons un exemple :

\begin{exemple}
Au 1\ier{} janvier 2014, j'avais \numprint{30000}~\euro{} sur un compte.

J'admets que d'une année à l'autre, je perds \pourcent{10} de ce qui est sur ce compte et, pour compenser un peu, j'ajoute sur ce même compte \numprint{5000}~\euro.
\end{exemple}


Notons $u_n$ le solde de ce compte à l'année $2014+n$. Ainsi, $u_0$ représente le solde en 2014, soit $u_0=\numprint{30000}$.

Comment calculer les termes suivants ?

En 2015, si je perds \pourcent{10} sur ce compte, il me restera \pourcent{90} de \numprint{30000} et si j'ajoute \numprint{5000}~\euro, au final, on aura :
$$
u_1=0,9\times\underbrace{\numprint{30000}}_{u_0}+\numprint{5000}.
$$

Le résultat numérique nous importe peu à ce stade car ce que nous voulons, c'est \og deviner \fg{} la méthode qui nous permettra de calculer $u_n$ pour tout $n$.

En 2016, j'aurai perdu \pourcent{90} du solde de 2015, soit de $u_1$, et j'ajouterai \numprint{5000}~\euro, d'où :
$$u_2=0,9\times u_1+\numprint{5000}.$$


On voit alors se dessiner une relation :
\begin{equation}
\forall n\in\N*,\ u_n=0,9\times u_{n-1}+\numprint{5000}.\label{ch1eq1}
\end{equation}

Cette dernière relation signifie que pour conna\^itre le solde du compte à l'année $2014+n$ (ce solde est $u_n$), on doit multiplier par 0,9 le solde de ce compte l'année précédente ($0,9\times u_{n-1}$) et on doit ajouter \numprint{5000}~\euro.

\medskip

Notons que la relation \ref{ch1eq1} peut aussi s'écrire :
$$
\forall n\in\N,\ u_{n+1}=0,9\times u_{n}+\numprint{5000}.
$$

Cette dernière relation (qui lie un terme à son précédent) est appelée \textbf{relation de récurrence}. On peut m\^eme \^etre plus précis en disant que c'est une relation de récurrence d'\textbf{ordre 1} car la différence entre le plus grand indice ($n+1$) et le plus petit ($n$) des deux termes de l'égalité est égale à 1.

\medskip

Pour le moment, nous allons nous concentrer sur les relations de récurrence d'ordre 1, mais il faut savoir qu'il existe des relations de récurrence d'ordre supérieur comme, par exemple :
$$ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$$
où l'ordre est égal à 2 car $n+2-n=2$ ($u_{n+2}$ est le terme dont l'indice est le plus grand et $u_n$ est celui dont l'indice est le plus petit).


\begin{definition}
Une suite \suite{u}{n}{} est définie par récurrence s'il existe une fonction $f$ telle que :
$$\exists~p\in\N*,\ \forall n\in\N, u_{n+p}=f\left(u_{n+p-1},u_{n+p-2},u_{n+p-3},\ldots,u_n\right).$$
$p$ est alors l'ordre de la relation de récurrence.
\end{definition}

Comme dit précédemment, on utilisera plus la définition suivante :


\begin{definition}
Une suite \suite{u}{n}{} est définie par récurrence s'il existe une fonction $f$ telle que :
$$\forall n\in\N, u_{n+1}=f\left(u_n\right).$$
\end{definition}

\begin{remarque}
Quand on définit une suite par récurrence, il est nécessaire de préciser la valeur d'un terme (en général, le premier).
\end{remarque}

\begin{exemple}
La suite définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=u_n^2+1\quad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
est définie par récurrence où $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $f(x)=x^2+1$.
\end{exemple}

\begin{exemple}\label{ch1ex5}
La suite définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+u_n\quad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
est définie par récurrence où $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $f(x)=\dfrac{1}{x}+x$.
\end{exemple}


\subsection{Génération des termes d'une suite définie par récurrence}

Il est intéressant de voir comment construire une suite à partir de sa relation de récurrence.

Reprenons alors l'exemple \ref{ch1ex5}. On peut utiliser un tableur pour calculer les termes successifs de \suite{u}{n}{}.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur*[6]{A/2cm,B/3cm}
\celtxt[c]{A}{1}{n}
\celtxt[c]{B}{1}{u(n)}
\celtxt[c]{A}{2}{0}
\celtxt[c]{B}{2}{1}
\celtxt{A}{3}{=A2+1}
\celtxt{B}{3}{=1/B2+B2}
\multiSelec{A-3}{B-5}
\draw[<-,>=latex,ocre,inner ysep=0,text=black] ($(cellB-3.center)+(0,0.2)$) to[bend left=30] ($(cellB-3.20)+(2,1)$) node[right] (legende) {\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Cette formule correspond à la relation $\dfrac{1}{u_n}+u_n$.\\
En la recopiant vers le bas, on calcule les premiers termes de la suite.
\end{minipage}};
\draw[very thick,ocre] (legende.north west) -- ($(legende.south west)+(0,-0.2)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

On obtient :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
\rowcolor{ocre}$n$ & $u_n$\\\hline
0	 & 1\\\hline
1	& 2\\\hline
2	& 2,5\\\hline
3	& 2,9\\\hline
4	& 3,2448275862\\\hline
5	& 3,5530103705\\\hline
6	& 3,8344618428\\\hline
7	& 4,0952546323\\\hline
8	& 4,3394396927\\\hline
9	& 4,5698841904\\\hline
10	& 4,7887081164\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\section{Variations d'une suite définie par récurrence}

L'une des premières choses qui va nous intéresser, c'est de conna\^itre le sens de variation d'une suite. 

Nous allons \^etre clairs dès le début : si une suite est définie de façon explicite, alors nous n'avons qu'à étudier le sens de variation de la fonction qui définie la suite. Cela relève donc plus de l'analyse fonctionnelle que de l'analyse numérique, thème de ce livre.

Par la suite, nous allons donc considérer que les suites que nous étudions sont définies par récurrence.

\begin{propriete}~\par 
\begin{itemize}
\item Une suite \suite{u}{n}{} est \textbf{croissante} à partir d'un certain rang s'il existe un entier naturel $n_0$ tel que :
$$ \forall n\geqslant n_0,\ u_{n+1}\geqslant u_n.$$

\item Une suite \suite{u}{n}{} est \textbf{décroissante} à partir d'un certain rang s'il existe un entier naturel $n_0$ tel que :
$$ \forall n\geqslant n_0,\ u_{n+1}\leqslant u_n.$$

\item Une suite \suite{u}{n}{} est \textbf{constante} à partir d'un certain rang s'il existe un entier naturel $n_0$ tel que :
$$ \forall n\geqslant n_0,\ u_{n+1}= u_n.$$
\end{itemize}
\end{propriete}

Concrètement, pour trouver les variations d'une suite, on calculera $u_{n+1}-u_n$ et on regardera le signe du résultat.

\begin{exemple}
On définit \suite{u}{n}{} par :
$$
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=u_n^2-u_n+1
\end{cases}
$$
Alors, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$\begin{aligned}
u_{n+1}-u_n & = u_n^2-u_n+1-u_n\\
& = u_n^2-2u_n+1\\
& = \left(u_n-1\right)^2\\
u_{n+1}-u_n& \geqslant 0
\end{aligned}$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\geqslant u_n$, ce qui signifie que \suite{u}{n}{} est croissante.
\end{exemple}

\begin{exercice}
Trouver le sens de variation de la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=3\\
u_{n+1}=\dfrac{4}{u_n}+2u_n-4\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
On admettra pour cela que les termes de cette suite sont tous strictement positifs.
\end{exercice}

\begin{exercice}
Trouver le sens de variation de la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=-1\\
u_{n+1}=u_n^2+11u_n+25\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
\end{exercice}

\begin{exercice}\label{ch1ex3}
Trouver le sens de variation de la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\sqrt{2u_n-1}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
On admettra pour cela que les termes de cette suite sont tous définis et non nuls.
\end{exercice}

\begin{exercice}\label{ch1ex4}
Trouver le sens de variation de la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
On admettra pour cela que tous les termes de cette suite sont supérieurs ou égaux à $\sqrt{2}$.
\end{exercice}

\section{Majoration et minoration d'une suite}

\begin{definition}
~\par 
\begin{itemize}
\item On dit qu'une suite est \textbf{majorée} par $M$ si, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est toujours inférieur ou égal à $M$ :
$$
\forall n\in\N,\ u_n\leqslant M.
$$
\item On dit qu'une suite est \textbf{minorée} par $m$ si, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est toujours supérieur ou égal à $m$ :
$$
\forall n\in\N,\ u_n\geqslant m.
$$

\item On dit qu'une suite \suite{u}{n}{} est \textbf{bornée} si, pour tout entier naturel $n$, il existe deux réels $m$ et $M$ tels que :
$$ m \leqslant u_n \leqslant M.$$
Cela signifie que \suite{u}{n}{} est à la fois minorée et majorée.
\end{itemize}
\end{definition}

\newpage

\begin{exemple}
La suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=\dfrac{1}{n}$ est minorée par 0 car $\dfrac{1}{n}\geqslant0$ pour $n>0$.
\end{exemple}

\begin{exemple}
La suite \suite{v}{n}{} définie pour tout entier naturel par $v_n=5-n^2$ est majorée par 5 car pour tout entier naturel $n$, $5-n^2\leqslant5$.
\end{exemple}

\begin{exemple}
La suite \suite{w}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $w_n=1-\dfrac{1}{n}$ est bornée car $0\leqslant\dfrac{1}{n}\leqslant1$, donc $0\leqslant1-\dfrac{1}{n}\leqslant1$.
\end{exemple}

\section{Convergence et divergence des suites}

\begin{definition}
~\par 
\begin{itemize}
\item On dit qu'une suite \suite{u}{n}{} est \textbf{convergente} si ses termes se rapprochent de plus en plus d'un nombre $\ell$ \underline{fini}. Cela se note de façon mathématique de la façon suivante :
$$
\exists~\ell\in\R,\ \forall\varepsilon>0,\ \exists~n_0\in\N,\ n\geqslant n_0 \Longrightarrow \vert u_n - \ell \vert<\varepsilon.
$$

\item Si une suite n'est pas convergente, on dit qu'elle est \textbf{divergente}.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{exemple}
La suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{1}{n+1}$ converge vers 0 car plus $n$ devient grand, plus $\dfrac{1}{n+1}$ se rapproche de 0.
\end{exemple}

\begin{exemple}
La suite \suite{v}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
v_0=2\\
v_{n+1}=\dfrac{1}{v_n}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
est divergente car si on calcule les premiers termes de cette suite, on obtient :
$$ v_0=2\qquad ; \qquad v_1=\dfrac{1}{2}\qquad ;\qquad v_2=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2 \qquad ; \qquad v_3=\dfrac{1}{2}\qquad \cdots$$
On voit donc que les termes de la suite prennent alternativement les valeurs \og 2 \fg{} et \og $\dfrac{1}{2}$ \fg{} donc ne se rapprochent pas d'une valeur précise.
\end{exemple}

\begin{theoreme}
~\par 
\begin{itemize}
\item Toute suite croissante et majorée converge.
\item Toute suite décroissante et minorée converge.
\end{itemize}
\end{theoreme}

\begin{remarque}
Ce théorème est admis en lycée car sa démonstration fait appel à des résultats que l'on voit dans l'enseignement supérieur.
\end{remarque}

\begin{exemple}
Nous avons vu dans l'exercice \ref{ch1ex3} que la suite définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\sqrt{2u_n-1}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
était décroissante.

De plus, $u_n\geqslant0$ car les termes sont définis comme étant des racines carrées.

Ainsi, la suite \suite{u}{n}{} est décroissante et minorée ; elle converge donc.
\end{exemple}


\section{Corrigés des exercices}

\begin{correction}
Nous avons :
$$
\begin{cases}
u_0=3\\
u_{n+1}=\dfrac{4}{u_n}+2u_n-4\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
Calculons alors :
$$
\begin{aligned}
u_{n+1}-u_n & = \dfrac{4}{u_n}+2u_n-4-u_n\\
& = \dfrac{4}{u_n}+u_n-4\\
& = \dfrac{4+u_n^2-4u_n}{u_n}\\
& = \dfrac{u_n^2-4u_n+4}{u_n}\\
& = \dfrac{\left(u_n-2\right)^2}{u_n}
\end{aligned}
$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n\geqslant0$, ce qui signifie que \suite{u}{n}{} est croissante.
\end{correction}

\begin{correction}
On a :
$$
\begin{cases}
u_0=-1\\
u_{n+1}=u_n^2+11u_n+25\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ :
$$
\begin{aligned}
u_{n+1}-u_n & = u_n^2+11u_n+25-u_n\\
& = u_n^2+10u_n+25\\
& = \left(u_n+5\right)^2
\end{aligned}
$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n\geqslant0$, ce qui signifie que \suite{u}{n}{} est croissante.
\end{correction}

\begin{correction}
On a : 
$$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\sqrt{2u_n-1}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ :
$$
\begin{aligned}
u_{n+1}-u_n & = \sqrt{2u_n-1}-u_n\\
& = \dfrac{\left(\sqrt{2u_n-1}-u_n\right)\left(\sqrt{2u_n-1}+u_n\right)}{\sqrt{2u_n-1}+u_n}\\
& = \dfrac{2u_n-1-u_n^2}{\sqrt{2u_n-1}+u_n}\\
& = -\dfrac{u_n^2-2u_n+1}{\sqrt{2u_n-1}+u_n}\\
& = -\dfrac{\left(u_n-1\right)^2}{\sqrt{2u_n-1}+u_n}
\end{aligned}
$$

Pour tout entier naturel $n$, $\left(u_n-1\right)^2\geqslant0$. De plus, l'énoncé nous dit que tous les termes sont définis et non nuls, ce qui signifie que $\sqrt{2u_n-1}>0$ existe et donc que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$. Finalement, on a $\sqrt{2u_n-1}+u_n>0$.

\medskip

Ainsi, $u_{n+1}-u_n\leqslant0$ (ne pas oublier le signe \og $-$ \fg{} devant la fraction), ce qui signifie que \suite{u}{n}{} est décroissante.

\begin{remarque}
Dans les calculs où intervient une racine carrée, il est assez recommandé de penser à faire appel à ce que nous avons fait à la deuxième ligne, à savoir multiplier par l'expression conjuguée, afin d'éliminer la racine carrée.
\end{remarque}
\end{correction}

\begin{correction}
$$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ :
$$
\begin{aligned}
u_{n+1}-u_n & = \dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{u_n}-u_n\\
& = \dfrac{1}{u_n}-\dfrac{1}{2}u_n\\
& = \dfrac{2-u_n^2}{2u_n}\\
&=  \dfrac{\left(\sqrt{2}-u_n\right)\left(\sqrt{2}+u_n\right)}{2u_n}
\end{aligned}
$$

D'après l'énoncé, $u_n\geqslant\sqrt{2}$ donc $\sqrt{2}-u_n\leqslant0$, $\sqrt{2}+u_n\geqslant0$ et $2u_n>0$. Ainsi, $u_{n+1}-u_n\leqslant0$, ce qui signifie que \suite{u}{n}{} est décroissante.
\end{correction}
\endinput