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%	CHAPITRE 03 : SUITES DE LA FORME U(n+1)=f[U(n)]
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\chapterimage{chapter_head_4.pdf} 

\chapter{Suites de la forme $\pmb{u_{n+1}=f(u_n)}$}

\begin{remarque}
Ce chapitre ne concerne que les élèves de la filière S.
\end{remarque}

\section{Limite d'une suite}

\begin{notation}
Lorsqu'une suite \suite{u}{n}{} est convergente vers un nombre réel $\ell$, on notera :
$$ \limite{n}{+\infty}{u_n}=\ell.$$
Si la suite est divergente et si ses termes prennent des valeurs de plus en plus grandes, on notera :
$$ \limite{n}{+\infty}{u_n}=+\infty.$$
Si, au contraire, ses termes prennent des valeurs se rapprochant de $-\infty$, on notera :
$$ \limite{n}{+\infty}{u_n}=-\infty.$$
\end{notation}

\begin{theoreme}\label{thmptfixe}
Soit $f$ une fonction continue sur une partie $I$ de $\R$ ($I$ peut être \R) et soit \suite{u}{n}{} une suite définie par :
$$
\begin{cases}
u_0\in I\\
u_{n+1}=f\left(u_n\right)\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
Si $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\ell$ et si $\ell\in I$, alors $\ell$ est solution de l'équation $\ell=f(\ell)$.
\end{theoreme}

C'est ce théorème que nous avons utilisé dans la remarque de la correction \ref{ch2ex4}.

\begin{exemple}
Soit \suite{u}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\sqrt{2u_n+1}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
Si \suite{u}{n}{} converge vers un nombre $\ell$, alors $\ell=\sqrt{2\ell+1}$, soit :
$$ \ell^2-2\ell-1=0.$$
Cette équation admet pour solutions :
$$
\ell^\prime=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}
\qquad\text{et}\qquad
\ell^{\prime\prime}=1+\sqrt{2}.
$$
Seule $\ell^{\prime\prime}$ est positive donc si \suite{u}{n}{} converge, alors sa limite vaut $1+\sqrt{2}$.

Ceci nous permet de poser la propriété de majoration sur $u_n$. En effet, $u_0<1+\sqrt{2}$ donc on peut démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant1+\sqrt{2}$.

En montrant ensuite que \suite{u}{n}{} est strictement croissante, on démontrera qu'elle converge et donc, que sa limite vaut $1+\sqrt{2}$.
\end{exemple}

\begin{exercice}\label{ch3ex1}
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=4\\
u_{n+1}=\sqrt{5u_n+10}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Si \suite{u}{n}{} converge, quelle est sa limite ? On la notera $\ell$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant\ell$. 
\item Démontrer que \suite{u}{n}{} est croissante.
\item Conclure quant à la convergence de \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\section{\'Etude problématique (hors programme de Terminale)}

Nous l'avons vu à travers la résolution de l'exercice  \ref{ch3ex1}, si une suite \suite{u}{n}{} est définie par la relation $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, pour étudier sa convergence, il est nécessaire de montrer sa stricte monotonie (sa croissance stricte ou sa décroissance stricte). Ceci est possible lorsque nous avons la chance d'avoir une fonction $f$ croissante sur l'intervalle choisi. En effet, dans le raisonnement par récurrence, nous partons de l'hypothèse (par exemple) :
$$ u_k \leqslant \lambda$$
puis nous prenons l'image de chaque membre de l'inégalité par la fonction $f$. Ainsi, la récurrence fonctionne dans le cas où $f$ est strictement croissante car, dans un tel cas :
$$ u_k\leqslant\lambda \Longrightarrow f\left(u_k\right)\leqslant f(\lambda).$$
Le fait que $f$ soit strictement croissante implique le l'ordre est conservé. Mais quelques fois, nous n'aurons pas cette chance ...

\medskip

\begin{exemple}
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\sqrt{8-u_n}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$

\newpage

\`A l'aide d'un tableur, on peut calculer les premiers termes de cette suite :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur*[6]{A/2cm,B/3cm}
\celtxt[c]{A}{1}{n}
\celtxt[c]{B}{1}{u(n)}
\celtxt[c]{A}{2}{0}
\celtxt[c]{B}{2}{1}
\celtxt{A}{3}{=A2+1}
\celtxt{B}{3}{=RACINE(8-B2)}
\multiSelec{A-3}{B-5}
\draw[<-,>=latex,ocre,inner ysep=0,text=black] ($(cellB-3.center)+(0,0.2)$) to[bend left=30] ($(cellB-3.20)+(2,1)$) node[right] (legende) {\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Cette formule correspond à la relation $\sqrt{8-u_n}$.\\
En la recopiant vers le bas, on calcule les premiers termes de la suite.
\end{minipage}};
\draw[very thick,ocre] (legende.north west) -- ($(legende.south west)+(0,-0.2)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}

On obtient :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
\rowcolor{ocre}$n$ & $u_n$\\\hline
0	&1\\\hline
1	&2,6457513111\\\hline
2	&2,3139249532\\\hline
3	&2,3845492335\\\hline
4	&2,3696942348\\\hline
5	&2,372826535\\\hline
6	&2,3721664075\\\hline
7	&2,3723055437\\\hline
8	&2,3722762184\\\hline
9	&2,3722823992\\\hline
10	&2,3722810965\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

On constate alors que la suite n'est pas monotone. En effet, $u_1>u_0$, $u_2<u_1$, $u_3>u_2$, etc.

Ceci est d\^u au fait que la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{8-x}$ est décroissante. Ainsi, on ne peut pas étudier les variations de \suite{u}{n}{}. Mais pour y remédier, nous allons utiliser un résultat sur les fonctions :

\begin{propriete}\label{ch3prop}
Si $f$ est une fonction décroissante, alors la fonction $g$ définie par :  $$ g(x)=f\big[f(x)\big]$$
est croissante.
\end{propriete}

J'ai délibérément simplifié l'énoncé de cette propriété en supposant que la fonction $g$ existe (il aurait fallu discuter de l'intervalle de définition).

\medskip

Cette propriété nous pousse à considérer la suite \suite{v}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
v_0=u_0=1\\
v_{n+1}=f\big[f(v_n)\big]\qquad \forall n\in\N
\end{cases}
$$

\newpage

Toujours à l'aide d'un tableur, on calcule les premiers termes de \suite{v}{n}{} :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur*[3]{A/2cm,B/5cm}
\celtxt[c]{A}{1}{n}
\celtxt[c]{B}{1}{u(n)}
\celtxt[c]{A}{2}{0}
\celtxt[c]{B}{2}{1}
\celtxt{A}{3}{=A2+1}
\celtxt{B}{3}{=RACINE(8-RACINE(8-B2))}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On obtient :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|Sc}
\cline{1-2}
\rowcolor{ocre}$n$ & $v_n$ & \cellcolor{white}\\\cline{1-2}
0	&1 & $=u_0$\\\cline{1-2}
1	&2,3139249532 & $=u_2$\\\cline{1-2}
2	&2,3696942348& $=u_4$\\\cline{1-2}
3	&2,3721664075& $=u_6$\\\cline{1-2}
4	&2,3722762184& $=u_8$\\\cline{1-2}
5	&2,3722810965& $=u_{10}$\\\cline{1-2}
\end{tabular}
\end{center}

Cette suite est en fait une suite extraite de la suite \suite{u}{n}{} : dans \suite{u}{n}{}, on prend un terme sur deux), ce qui fait qu'elle converge deux fois plus rapidement, mais surtout, qu'elle est strictement croissante (résultat que l'on conjecture à l'aide des valeurs calculées dans le tableur et qu'il faut bien entendu démontrer par récurrence maintenant que l'on sait que la fonction $g$ telle que $v_{n+1}=g(v_n)$ est strictement croissante).
\end{exemple}

\begin{exercice}
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{1+u_n}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f\;:\; x\longmapsto \dfrac{1}{1+x}$ est décroissante sur \intervOO{-1}{+\infty}.
\item Montrer que $f(x)>0$ sur \intervOO{-1}{+\infty}.
\item On pose $g(x)=f\big[f(x)\big]$. Montrer que $g(x)$ existe et que $g$ est croissante sur \intervOO{-1}{+\infty}.
\item On considère la suite \suite{v}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
v_0=1\\
v_{n+1}=g(v_n)\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est strictement décroissante.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
\item Conclure quant à la convergence de \suite{v}{n}{}, puis de \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage

\section{Corrigés des exercices}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item\label{ch3ex1q1} Si $\ell$ existe, alors :
$$\ell=\sqrt{5\ell+10}$$
soit :
$$ \ell^2-5\ell-10=0.$$
Le discriminant de $\ell^2-5\ell-10$ est :
$$ \Delta=25+40=65$$
donc l'équation admet deux solutions :
$$
\ell^\prime=\dfrac{5-\sqrt{65}}{2}<0\qquad\text{et}\qquad\ell^{\prime\prime}=\dfrac{5+\sqrt{65}}{2}>0.
$$ 
$u_n$ est positif (car c'est une racine carrée) donc $\ell\geqslant0$. 

Par conséquent, $\ell=\dfrac{5+\sqrt{65}}{2}\approx6,53$.

\item \label{ch3ex1q2}
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0=4\leqslant\dfrac{5+\sqrt{65}}{2}$. Par conséquent, l'initialisation est faite.

\item \textbf{Hérédité.}

On suppose que pour un entier naturel $k$ fixé, $u_k\leqslant\ell$. Alors,
$$
\begin{aligned}
u_k\leqslant\ell & \Longrightarrow 5u_k\leqslant5\ell\\
& \Longrightarrow 5u_k+10\leqslant5\ell+10\\
& \Longrightarrow \sqrt{5u_k+10}\leqslant\sqrt{5\ell+10}\\
& \Longrightarrow u_{k+1}\leqslant\ell\quad\text{(car $\ell=\sqrt{5\ell+10}$)}
\end{aligned}
$$
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant\ell$.

\item Pour tout entier naturel $n$,
$$
\begin{aligned}
u_{n+1}-u_n & = \sqrt{5u_n+10}-u_n\\
& = \dfrac{\left(\sqrt{5u_n+10}-u_n\right)\left(\sqrt{5u_n+10}+u_n\right)}{\sqrt{5u_n+10}+u_n}\\
& = \dfrac{5u_n+10-u_n^2}{\sqrt{5u_n+10}+u_n}\\
& = -\dfrac{u_n^2-5u_n-10}{\sqrt{5u_n+10}+u_n}
\end{aligned}
$$
D'après la question \ref{ch3ex1q1}, $u_n^2-5u_n-10$ se factorise sous la forme :
$$
u_n^2-5u_n-10=\left(u_n-\ell^\prime\right)\left(u_n-\ell\right).
$$
Or, nous venons de démontrer à la question \ref{ch3ex1q2} que $u_n\leqslant\ell$ donc $u_n-\ell\leqslant0$.

De plus, $\ell^\prime<0$ et $u_n\geqslant0$ donc $u_n-\ell^\prime\geqslant0$.

Ainsi, $$\left(u_n-\ell^\prime\right)\left(u_n-\ell\right)\leqslant0\;,$$ donc : $$-\left(u_n-\ell^\prime\right)\left(u_n-\ell\right)\geqslant0.$$
Or, $\sqrt{5u_n+10}+u_n\geqslant0$ car $u_n\geqslant0$, d'où :
$$ u_{n+1}-u_n\geqslant0.$$
Ainsi, \suite{u}{n}{} est strictement croissante.

\item \suite{u}{n}{} est strictement croissante et majorée par $\ell$ ; par conséquent, elle converge.

D'après le théorème \ref{thmptfixe}, elle converge donc vers $\ell=\dfrac{5+\sqrt{65}}{2}$.
\end{enumerate}
\end{correction}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item \label{ch3ex2q1}La fonction $x\longmapsto1+x$ est croissante et la fonction $X\longmapsto\dfrac{1}{X}$ est décroissante, donc $x\longmapsto\dfrac{1}{1+x}$ est décroissante sur chaque intervalle de son domaine de définition, donc en particulier sur \intervOO{-1}{+\infty}.

\item \label{ch3ex2q2}$\limite[x>-1]{x}{-1}{f(x)}=+\infty$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=0$. La fonction $f$ étant strictement décroissante sur \intervOO{-1}{+\infty}, on en conclut que pour tout réel $x>-1$, $f(x)>0$.

\item $f(X)$ existe si $X\neq-1$ donc $f\big[f(x)\big]$ existe si $f(x)\neq-1$, ce qui est le cas car d'après la question \ref{ch3ex2q2}, $f(x)>0$ sur \intervOO{-1}{+\infty}.

Ainsi, $g(x)$ existe sur \intervOO{-1}{+\infty}.

\medskip

D'après la propriété \ref{ch3prop}, $g$ est croissante car $f$ est décroissante.

\item
\begin{enumerate}
\item $g$ est strictement décroissante donc, pour tout entier naturel $n$, $$g(v_n)<v_n\;,$$ c'est-à-dire :
$$ v_{n+1}<v_n.$$
La suite \suite{v}{n}{} est donc décroissante.

\item Montrons que $v_n\geqslant\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ par récurrence.

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$v_0=1$ et $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0,618$ donc $v_0>\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.

L'initialisation est alors vérifiée.
\newpage
\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $v_k\geqslant\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.

La fonction $g$ étant strictement croissante, cela implique :
$$ g(v_k)\geqslant g\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right).$$
Or, 
$$
\begin{aligned}
g\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right) & = f\left[f\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\right]\\
& = f\left( \dfrac{1}{1+\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \right)\\& = f\left( \dfrac{2}{1+\sqrt{5}} \right)\\
& = \dfrac{1}{1+\frac{2}{1+\sqrt{5}}}\\
& = \dfrac{1+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\\
& = \dfrac{\big(1+\sqrt{5}\big)\big(3-\sqrt{5}\big)}{\big(3+\sqrt{5}\big)\big(3-\sqrt{5}\big)}\\
& = \dfrac{3+2\sqrt{5}-5}{9-5}\\
& = \dfrac{2\big(\sqrt{5}-1\big)}{4}\\
& = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.
\end{aligned}
$$
Par conséquent, $$ v_{k+1}\geqslant\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.$$
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $v_n\geqslant\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.

\item Nous avons montré que \suite{v}{n}{} était minorée par $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ et strictement décroissante. Par conséquent, elle converge. 

Or, \suite{v}{n}{} est une suite extraite de la suite \suite{u}{n}{} donc \suite{u}{n}{} converge aussi. Sa limite $\ell$ est telle que $\ell=f(\ell)$ d'après le théorème \ref{thmptfixe}.

Or, 
$$
\begin{aligned}
x=f(x) & \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{1+x}\\
& \Longleftrightarrow x+x^2=1\\
& \Longleftrightarrow x^2+x-1=0.
\end{aligned}
$$
Le discriminant de $x^2+x-1$ est : $\Delta=5$ donc il admet deux racines :
$$
x_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.
$$
Pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$ (en effet, $u_0>0$ et si $u_k>0$, alors $u_{k+1}=f(u_k)>0$ d'après la question \ref{ch3ex2q1}). Donc $\ell>0$, donc $\ell\neq x_1$ car $x_1<0$.

Par conséquent, 
$$
\limite{n}{+\infty}{u_n}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.
$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{correction}

\endinput