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%	CHAPITRE 04 : SUITES ARITHMETIQUES
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\chapter{Suites arithmétiques}


Nous avons vu dans le chapitre précédent que certaines suites pouvaient \^etre définies par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$.

Nous allons traiter dans ce chapitre le cas où $f\;:\;x\longmapsto x+r$, où $r\in\R*$.

\section{Définition}

\begin{definition}
On dit qu'une suite \suite{u}{n}{}, de premier terme $u_0$, est \textbf{arithmétique de raison} $\pmb{r}$ si :
$$ \forall n\in\N,\qquad u_{n+1}=u_n+r.$$
\end{definition}

\begin{remarque}
On constate que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=r$, donc que la différence entre deux termes consécutifs est constante. C'est cette différence que l'on nomme la \og raison \fg{} de la suite.
\end{remarque}

\begin{exemple}
Si $u_0=0$ et $u_{n+1}=u_n+1$, alors \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique de raison $r=1$. C'est la suite des entiers naturels.
\end{exemple}

\begin{exemple}
Si $u_0=-9$ et $u_{n+1}=u_n-2$, alors \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique de raison $r=-2$.
\end{exemple}

\section{Variations}

\begin{propriete}
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de raison $r$.
\begin{itemize}
\item Si $r>0$, alors \suite{u}{n}{} est strictement croissante.
\item Si $r<0$, alors \suite{u}{n}{} est strictement décroissante.
\item Si $r=0$, alors \suite{u}{n}{} est constante.
\end{itemize}
\end{propriete}

\begin{demonstration}
Pour conna\^itre les variations d'une suite, on doit trouver le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour tout entier naturel $n$.

Or, dans le cas d'une suite arithmétique, 
$$\forall n\in\N,\qquad u_{n+1}-u_n=r.$$
\newpage
Ainsi,
\begin{itemize}
\item Si $r>0$, la suite est croissante ;
\item Si $r<0$, la suite est décroissante ;
\item Si $r=0$, la suite est constante.
\end{itemize}
\end{demonstration}

\section{Formule explicite}

\begin{propriete}\label{ch4prop2}
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$. Alors,
$$\forall n\in\N,\qquad u_n=u_0+nr.$$
\end{propriete}

\begin{demonstration}
On démontre cette propriété par récurrence.

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0+0\times r=u_0$ donc la formule est vraie pour $n=0$. L'initialisation est alors faite.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier naturel $k$ fixé, $u_k=u_0+kr$.

Alors, 
$$
\begin{aligned}
u_{k+1} & =u_k+r\qquad\text{(par définition)}\\
& =  (u_0+kr)+r\qquad\text{(par hypothèse de récurrence)}\\
& =u_0+(k+1)r.
\end{aligned}
$$
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0+nr$.
\end{demonstration}

\begin{exemple}
Si \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique de premier terme $u_0=3$ et de raison $r=-2$, alors pour tout entier naturel $n$, $u_n=3-2r$.
\end{exemple}

\begin{exercice}
Exprimer en fonction de $n$ le terme général de chacune des suites arithmétiques suivantes de raison $r$ donnée.\vspace*{-1em}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_0=5$, $r=2$.
\item $u_0=10$, $r=\dfrac{1}{2}$.
\item $u_0=-1$, $r=-1$.
\item $u_0=-5$, $r=-\dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}

Quelques fois, les suites ne commencent pas à $u_0$. Par conséquent, nous aurons besoin de la propriété suivante :

\begin{propriete}\label{ch4prop3}
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_p$. Alors,
$$\forall n\in\N,\qquad u_n=u_p+(n-p)r.$$
\end{propriete}

\begin{demonstration}
La démonstration de cette propriété est similaire à la démonstration de la propriété \ref{ch4prop2}. 
\end{demonstration}

\begin{exercice}
Pour chacune des suites arithmétiques de raison $r$ suivantes, exprimer leur terme général en fonction de $n$.\vspace*{-1em}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_2=-1$, $r=-2$.
\item $u_5=3$, $r=2$.
\item $u_7=7$, $r=-1$.
\item $u_1=0$, $r=4$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}

\`A l'aide de la propriété \ref{ch4prop3}, connaissant deux termes d'une suite arithmétique, on peut en trouver la raison.

\begin{exemple}
Si \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique de raison $r$ et si $u_5=6$ et $u_8=10$, alors, la propriété \ref{ch4prop3} nous dit (en prenant $n=8$ et $p=5$ :
$$ u_8=u_5+(8-5)r\;,$$
soit :
$$ 10=6+3r.$$
On en déduit alors que $r=\dfrac{4}{3}$.
\end{exemple}

\begin{exercice}
Pour chacune des questions suivantes, \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique de raison $r$. Trouver $r$.
\begin{enumerate}
\item $u_0=-1$ et $u_8=-10$.
\item $u_4=8$ et $u_8=4$.
\item $u_5=10$ et $u_{15}=30$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\section{Somme des premiers termes}

\begin{propriete}\label{ch4prop4}
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de raison $r$. Alors,
$$\forall n\in\N,\qquad u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=(n+1)\left(u_0+\dfrac{n}{2}r\right).
$$
\end{propriete}

\begin{demonstration}
Nous avons :
$$
\begin{aligned}
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n & = u_0+(u_0+r)+(u_0+2r)+\cdots+(u_0+nr)\text{ (d'après la propriété \ref{ch4prop2})}\\
& = (n+1)u_0+(1+2+3+\cdots+n)r\\
& = (n+1)u_0+\dfrac{n(n+1)}{2}r\text{ (d'après l'exemple \ref{ch2somme})}\\
& = (n+1)\left(u_0+\dfrac{n}{2}r\right) \text{ (en factorisant par $n+1$)}.
\end{aligned}
$$
\end{demonstration}

\begin{remarque}
Il est préférable de retenir cette propriété sous la forme :
$$
u_0+u_1+\cdots+u_n=\text{(nombre de termes)}\times\left(\text{1er terme}-\dfrac{\text{dernier indice}}{2}\times\text{raison}\right).
$$
\end{remarque}

\begin{propriete}
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de raison $r$. Alors,
$$\forall n\in\N,\qquad u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}.
$$
\end{propriete}

\begin{demonstration}
Nous reprenons le résultat de la propriété \ref{ch4prop4} :
$$
\begin{aligned}
u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\left(u_0+\dfrac{n}{2}r\right)\\
& = (n+1)\left(\dfrac{2u_0+nr}{2}\right)\\
& = (n+1)\times\dfrac{u_0+(u_0+nr)}{2}\\
& = (n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}.
\end{aligned}
$$
\end{demonstration}

\begin{exemple}
La suite \suite{u}{n}{} est arithmétique de raison 10 et de premier terme $u_0=5$. La somme des 100 premiers termes est :
$$
\begin{aligned}
u_0+\cdots+u_{99} & =100\times\dfrac{5+(5+99\times10)}{2}\\
& = 100\times\dfrac{10+990}{2}\\
& = 100\times500\\
& = \numprint{50000}.
\end{aligned}
$$
\end{exemple}

\begin{exercice}
Avec des allumettes, on décide de construire une pyramide comme le montre le schéma suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[draw=ocre]
\draw[thick] (0,1) -- (5,1);
\draw[thick] (1,2) -- (4,2);
\draw[thick] (2,3) -- (3,3);
\draw[thick] (0,1) -- (0,0);
\draw[thick] (1,2) -- (1,0);
\draw[thick] (2,3) -- (2,0);
\draw[thick] (3,3) -- (3,0);
\draw[thick] (4,2) -- (4,0);
\draw[thick] (5,1) -- (5,0);
\node[right] at (6,2.5) {$u_1=3$};
\node[right] at (6,1.5) {$u_2=7$};
\node[right] at (6,0.5) {$u_3=11$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
On note $u_n$ le nombre d'allumettes nécessaires pour construire l'étage $n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique dont on précisera la raison.
\item Combien d'allumettes faut-il pour construire une telle pyramide à 100 étages ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

\section{Corrigés des exercices}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item $u_0=5$, $r=2$. Alors, $u_n=5+2r$.
\item $u_0=10$, $r=\dfrac{1}{2}$. Alors, $u_n=10+\dfrac{1}{2}r$.
\item $u_0=-1$, $r=-1$. Alors, $u_n=-1-r$.
\item $u_0=-5$, $r=-\dfrac{1}{3}$. Alors, $u_n=-5-\dfrac{1}{3}r$.
\end{enumerate}
\end{correction}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item $u_2=-1$, $r=-2$. Alors, $u_n=-1-2(n-2)=3-2n$.
\item $u_5=3$, $r=2$. Alors, $u_n=3+2(n-5)=-7+2n$.
\item $u_7=7$, $r=-1$. Alors, $u_n=7-(n-7)=14-n$.
\item $u_1=0$, $r=4$. Alors, $u_n=0+4(n-1)=4n-4$.
\end{enumerate}
\end{correction}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item $u_0=-1$ et $u_8=-10$. On a alors :
$$ u_8=u_0+8r$$
soit :
$$ -10=-1+8r.$$
D'où :
$$ r=-\dfrac{9}{8}.$$

\item $u_4=8$ et $u_8=4$. On a alors :
$$ u_8=u_4+(8-4)r$$
soit :
$$ 4=8+4r.$$
On trouve alors :
$$ r=-1.$$

\item $u_5=10$ et $u_{15}=30$. On a alors :
$$ u_{15}=u_5+(15-5)r$$
soit :
$$ 30=10+10r.$$
On a donc :
$$ r=2.$$
\end{enumerate}
\end{correction}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Pour construire un étage, on voit que l'on doit prendre le nombre d'allumettes de l'étage précédent et ajouter 4 allumettes. Ainsi, $u_{n+1}=u_n+4$. La suite \suite{u}{n}{} est donc arithmétique de premier terme $u_1=3$ et de raison $r=4$.

\item Pour construire 100 étages, le nombre d'allumettes doit \^etre :
$$
\begin{aligned}
u_1+u_2+\cdots+u_{100} & = 100\times\dfrac{3+(3+99\times4)}{2}\\
& = 100\times\dfrac{402}{2}\\
& = \numprint{20100}.
\end{aligned}
$$
Il faut donc \numprint{20100} allumettes pour construire une telle pyramide à 100 étages.
\end{enumerate}
\end{correction}



















\endinput