%-------------------------------------------------------------------------------%	CHAPITRE 05 : SUITES GEOMETRIQUES
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\chapter{Suites géométriques}


Nous avons vu dans le chapitre 3 que certaines suites pouvaient \^etre définies par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$.

Nous allons traiter dans ce chapitre le cas où $f\;:\;x\longmapsto qx$, où $q\in\R*$.

\section{Définition}

\begin{definition}
On dit qu'une suite \suite{u}{n}{}, de premier terme $u_0$, est \textbf{géométrique de raison} $\pmb{q}$ si :
$$ \forall n\in\N,\qquad u_{n+1}=qu_n.$$
\end{definition}

\begin{remarque}
On constate que pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$, donc que le rapport entre deux termes consécutifs est constant. C'est ce rapport que l'on nomme la \og raison \fg{} de la suite.
\end{remarque}

\begin{exemple}
Si $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n$, alors \suite{u}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=2$. C'est la suite des puissances de 2.
\end{exemple}

\begin{exemple}
Si $u_0=-9$ et $u_{n+1}=-3u_n$, alors \suite{u}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=-3$.
\end{exemple}

\section{Variations}

\begin{propriete}
Soit \suite{u}{n}{} une suite géométrique de raison $q\neq0$ et de premier terme $u_0$ strictement positif.
\begin{itemize}
\item Si $q>1$, alors \suite{u}{n}{} est strictement croissante.
\item Si $0<q<1$, alors \suite{u}{n}{} est strictement décroissante ;
\item Si $q=1$, alors \suite{u}{n}{} est constante.
\end{itemize}
\end{propriete}

\begin{demonstration}
Pour conna\^itre les variations d'une suite, on doit trouver le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour tout entier naturel $n$.

Or, dans le cas d'une suite géométrique, 
$$\forall n\in\N,\qquad u_{n+1}-u_n=(q-1)u_n.$$

On peut démontrer par récurrence que $u_n>0$ (car nous avons pris $u_0>0$). Ainsi,
\begin{itemize}
\item Si $q>1$, $(q-1)>0$ et donc la suite est croissante ;
\item Si $0<q<1$, $(q-1)<0$ et donc la suite est décroissante ;
\item Si $q=1$, $q-1=0$ et donc $u_{n+1}=u_n$ pour tout entier naturel $n$ ; la suite est alors constante ;
\item Si $q<0$, alors $u_1=qu_0<0$, $u_2=qu_1>0$, etc. On peut montrer par récurrence que si $p$ est pair, $u_p>0$ et si $p$ est impair, $u_p<0$ donc la suite n'a pas de sens de variation.
\end{itemize}
\end{demonstration}

\begin{remarque}
Si on prend $u_0<0$, alors la conclusion change :
\begin{itemize}
\item Si $u_0<0$ et $q>1$, alors la suite est décroissante ;
\item Si $u_0<0$ et $0<q<1$, alors la suite est croissante.
\end{itemize}
\end{remarque}


\section{Formule explicite}

\begin{propriete}\label{ch5prop2}
Soit \suite{u}{n}{} une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$. Alors,
$$\forall n\in\N,\qquad u_n=u_0\times q^n.$$
\end{propriete}

\begin{demonstration}
On démontre cette propriété par récurrence.

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0\times q^0=u_0\times1=u_0$ donc la formule est vraie pour $n=0$. L'initialisation est alors faite.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier naturel $k$ fixé, $u_k=u_0\times q^k$.

Alors, 
$$
\begin{aligned}
u_{k+1} & =q\times u_k\qquad\text{(par définition)}\\
& =  q\times(u_0\times q^k)\qquad\text{(par hypothèse de récurrence)}\\
& =u_0\times q^{k+1}.
\end{aligned}
$$
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0\times q^n$.
\end{demonstration}

\begin{exemple}
Si \suite{u}{n}{} est une suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $q=1,08$, alors pour tout entier naturel $n$, $u_n=3\times(1,08)^n$.
\end{exemple}

\begin{exercice}
Exprimer en fonction de $n$ le terme général de chacune des suites géométriques suivantes de raison $q$ donnée.\vspace*{-1em}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_0=5$, $q=2$.
\item $u_0=10$, $q=\dfrac{1}{2}$.
\item $u_0=-1$, $q=-1$.
\item $u_0=-5$, $q=-\dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}

Quelques fois, les suites ne commencent pas à $u_0$. Par conséquent, nous aurons besoin de la propriété suivante :

\begin{propriete}\label{ch5prop3}
Soit \suite{u}{n}{} une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_p$. Alors,
$$\forall n\in\N,\qquad u_n=u_p\times q^{n-p}.$$
\end{propriete}

\begin{demonstration}
La démonstration de cette propriété est similaire à la démonstration de la propriété \ref{ch5prop2}. 
\end{demonstration}

\begin{exercice}
Pour chacune des suites géométriques de raison $q$ suivantes, exprimer leur terme général en fonction de $n$.\vspace*{-1em}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_2=-1$, $q=-2$.
\item $u_5=3$, $q=2$.
\item $u_7=7$, $q=-1$.
\item $u_1=4$, $q=4$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}

\`A l'aide de la propriété \ref{ch5prop3}, connaissant deux termes d'une suite arithmétique, on peut en trouver la raison si $n-p=2$.

\begin{exemple}
Si \suite{u}{n}{} est une suite géométrique de raison $q$ et si $u_5=6$ et $u_7=10$, alors, la propriété \ref{ch5prop3} nous dit (en prenant $n=7$ et $p=5$) :
$$ u_7=u_5\times q^{7-5}\;,$$
soit :
$$ 10=6\times q^2.$$
On en déduit alors que $q^2=\dfrac{5}{3}$, soit $q=\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ ou $q=-\sqrt{\dfrac{7}{3}}$.
\end{exemple}

\begin{exercice}
Pour chacune des questions suivantes, \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique de raison $q$. Trouver $q$.
\begin{enumerate}
\item $u_0=-1$ et $u_2=-10$.
\item $u_4=8$ et $u_6=4$.
\item $u_5=10$ et $u_{7}=30$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\section{Somme des premiers termes}

\begin{propriete}\label{ch5prop4a}
Soit un réel $q$ différent de 1. Alors,
$$1+q+q^2+\cdots+q^n = \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}.$$
\end{propriete}

\begin{demonstration}
Posons :
$$ S = 1+q+q^2+\cdots+q^{n}.$$
Alors,
$$ qS = q+q^2+q^3+\cdots+q^{n+1}.$$
Ainsi, 
$$ qS=S-1+q^{n+1}\;,$$
d'où :
$$ (q-1)S=q^{n+1}-1.$$
Par conséquent, puisque $q-1\neq0$, on a :
$$ S = \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}.$$
\end{demonstration}

\begin{propriete}\label{ch5prop4}
Soit \suite{u}{n}{} une suite géométrique de raison $q$. Alors,
$$\forall n\in\N,\qquad u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=\begin{cases}
(n+1)u_0\qquad\text{si }q=1\\
u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\qquad\text{si }q\neq1
\end{cases}
$$
\end{propriete}

\begin{demonstration}
Nous avons :
$$
\begin{aligned}
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n & = u_0+(u_0\times q)+(u_0\times q^2)+\cdots+(u_0\times q^n)\text{ (d'après la propriété \ref{ch5prop2})}\\
& = u_0(1+q+q^2+\cdots+q^n)
\end{aligned}
$$
Si $q=1$, alors $1+q+q^2+\cdots+q^n=1+1+1+\cdots+1=n+1$.

Si $q\neq1$, on se sert de la propriété \ref{ch5prop4a} et on obtient :
$$ u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$$
que l'on peut aussi écrire :
$$ u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.$$
\end{demonstration}

\begin{remarque}
Il est préférable de retenir cette propriété sous la forme :
$$
u_0+u_1+\cdots+u_n=\text{(1\ier{} terme)}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}.
$$
\end{remarque}

\begin{exemple}
La suite \suite{u}{n}{} est géométrique de raison 10 et de premier terme $u_0=5$. La somme des 100 premiers termes est :
$$
\begin{aligned}
u_0+\cdots+u_{99} & =100\times\dfrac{1-10^{100}}{1-100}\\
& = \dfrac{100}{99}\times\left(10^{100}-1\right).
\end{aligned}
$$
\end{exemple}

\begin{exercice} [Extrait du livre \og Ainsi de suite \fg{} (Stéphane PASQUET)]
~\par 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=4]
\foreach \i in {0,1,...,10}
{
	\fill[ocre] ({1-2^(-\i)},{1-2^(-\i)}) -- (1,{1-2^(-\i)}) -- ({1-2^(-\i)},1) -- cycle;
\draw[ocre] (0,0) rectangle+(1,1);
}
\draw[<->,>=stealth',ocre] (0,-0.1) -- (1,-0.1) node[midway,fill=ocre!10] {1};
\draw[<->,>=stealth',ocre] (-0.1,0) -- (-0.1,1) node[midway,fill=ocre!10] {1};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Sachant qu'il y a une infinité de triangles coloriés, calculer l'aire de la surface totale qu'ils occupent.
\end{exercice}

\section{Limite d'une suite géométrique}

\begin{propriete}\label{ch5prop6}
Soit \suite{u}{n}{} une suite géométrique de raison $q\neq1$ et de premier terme $u_0$ strictement positif.
\begin{itemize}
\item Si $q>1$, alors $\limite{n}{+\infty}{u_n}=+\infty$ ;
\item Si $-1<q<1$, alors $\limite{n}{+\infty}{u_n}=0$ ;
\item Si $q<-1$, alors \suite{u}{n}{} est divergente.
\end{itemize}
\end{propriete}

\begin{exemple}
Si \suite{u}{n}{} est telle que $\begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n\qquad\forall n\in\N\end{cases}$, alors $\limite{n}{+\infty}{u_n}=0$.
\end{exemple}

\begin{exemple}
Si \suite{u}{n}{} est telle que $\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=2u_n\qquad\forall n\in\N\end{cases}$, alors $\limite{n}{+\infty}{u_n}=+\infty$.
\end{exemple}

\section{Corrigés des exercices}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item $u_0=5$, $q=2$. Alors, $u_n=5\times2^n$.
\item $u_0=10$, $q=\dfrac{1}{2}$. Alors, $u_n=10\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=\dfrac{10}{2^n}$.
\item $u_0=-1$, $q=-1$. Alors, $u_n=-1\times(-1)^n=(-1)^{n+1}$.
\item $u_0=-5$, $q=-\dfrac{1}{3}$. Alors, $u_n=-5\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=\dfrac{5\times(-1)^{n+1}}{3^n}$.
\end{enumerate}
\end{correction}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item $u_2=-1$, $q=-2$. Alors, $u_n=-1\times(-2)^{n-2}=-(-2)^{n-2}$.
\item $u_5=3$, $q=2$. Alors, $u_n=3\times2^{n-5}$.
\item $u_7=7$, $q=-1$. Alors, $u_n=7\times(-1)^{n-7}$.
\item $u_1=4$, $q=4$. Alors, $u_n=4\times4^{n-1}=4^n$.
\end{enumerate}
\end{correction}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item $u_0=-1$ et $u_2=-10$. On a alors :
$$ u_2=u_0\times q^{2-0}$$
soit :
$$ -10=-1\times q^2.$$
D'où :
$$ q^2=10.$$
Ainsi, $q=\sqrt{10}$ ou $q=-\sqrt{10}$.

\item $u_4=8$ et $u_6=4$. On a alors :
$$ u_6=u_4\times q^{6-4})$$
soit :
$$ 4=8\times q^2.$$
D'où
$$ q^2=\dfrac{1}{2}.$$
Ainsi, $q=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ou $q=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (car $\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$).

\item $u_5=10$ et $u_7=30$. On a alors :
$$ u_7=u_5\times q^{7-5}$$
soit :
$$ 30=10\times q^2.$$
On a donc :
$$ q^2=3.$$
Ainsi, $q=\sqrt{3}$ ou $q=-\sqrt{3}$.
\end{enumerate}
\end{correction}

\begin{correction}
Le premier triangle (le plus grand) a pour côté 1 ; son aire est donc égale à $\dfrac{1}{2}$.\\
Le second triangle a pour côté $\dfrac{1}{2}$ ; son aire est donc égale à $\dfrac{1}{8}$.\\
Le troisième triangle a pour côté $\dfrac{1}{4}$ ; son aire est donc égale à $\dfrac{1}{32}$.

\medskip

La surface totale $\mathcal{S}$ est donc la limite de la somme des premiers termes d'une suite géométrique (celle de premier terme $\dfrac{1}{2}$ et de raison $\dfrac{1}{4}$). D'où :
\begin{align*}
\mathcal{S} & = \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{2}\times\frac{1-\left(\tfrac{1}{4}\right)^n}{1-\tfrac{1}{4}} \right)\\
& = \frac{1}{2}\times\frac{1}{\tfrac{3}{4}}\\
& = \frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\\
& = \frac{2}{3}
\end{align*}

La surface totale est donc égale à $\pmb{\dfrac{2}{3}}$.
\end{correction}



















\endinput