%-------------------------------------------------------------------------------%	CHAPITRE 06 : SUITES ARITHMETICO-GEOMETRIQUES
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\chapter{Suites arithmético-géométriques}

\begin{remarque}
Ces suites ne sont pas explicitement au programme du lycée, mais on les aborde assez souvent dans des exercices.
\end{remarque}

\section{Définition}

\begin{definition}
On dit qu'une suite \suite{u}{n}{} est arithmético-géométrique si :
$$ \forall n\in\N,\qquad u_{n+1}=au_n+b,\quad a\neq0,\ a\neq1,\ b\neq0.$$
\end{definition}

\begin{exemple}
La suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=3u_n-2\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
est une suite arithmético-géométrique.
\end{exemple}

\section{\'Etude d'une suite arithmético-géométrique}

\begin{methode}
Pour étudier une suite arithmético-géométrique, on considère toujours une suite (dite \emph{suite auxiliaire}) qui se trouve \^etre géométrique.
\end{methode}

\begin{exemple}
Soit \suite{u}{n}{} la suite définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+2\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
On pose alors :
$$ \forall n\in\N,\qquad v_n=u_n-4.$$
Alors, pour tout entier naturel $n$,
$$
\begin{aligned}
v_{n+1} & = \textcolor{red}{u_{n+1}}-4\\
& = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}u_n+2}-4\\
& = \dfrac{1}{2}u_n-2\\
& = \dfrac{1}{2}\textcolor{blue}{\left(u_n-4\right)}\\
v_{n+1} & = \dfrac{1}{2}\textcolor{blue}{v_n}.
\end{aligned}
$$
Cette dernière égalité montre que la suite \suite{v}{n}{} est géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.

De plus, d'après la propriété \ref{ch5prop6}, $\limite{n}{+\infty}{v_n}=0$ car $0<\dfrac{1}{2}<1$.

Or, $v_n=u_n-4$ donc $u_n=v_n+4$. Ainsi, nous pouvons dire :
\begin{itemize}
\item d'une part, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\limite{n}{+\infty}{v_n}+4=4$ ;
\item d'autre part, $v_0=u_0-4=1-4=-3$ donc :
$$\forall n\in\N,\qquad u_n=\underbrace{-3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}_{=v_n}+4.$$
\end{itemize}
\end{exemple}

\begin{remarque}
En général, on donnera toujours la suite \suite{v}{n}{}, mais il est assez facile de la trouver car elle est toujours définie par la relation :
$$ v_n=u_n-k\qquad,\qquad\text{avec }k=\dfrac{b}{1-a}.$$
\end{remarque}

\begin{exercice}[Inspiré d'un sujet de baccalauréat, série ES]
Dans une réserve, on a constaté une diminution annuelle constante de \pourcent{10} de l'effectif des cabris. Au 1\ier{} janvier 2014, il y avait \numprint{30000} cabris.

Pour sauvegarder l'espèce, on décide d'introduire chaque année \numprint{1000} cabris.

\medskip

On pose pour tout entier naturel $n$, 
\begin{itemize}
\item $u_n$ le nombre de cabris au 1\ier{} janvier de l'année $2014+n$ ;
\item $v_n=u_n-\numprint{10000}$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $u_{n+1}=0,9u_n+\numprint{1000}$.
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer la limite de $\suite{u}{n}{}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item D'une année à l'autre, il dispara\^it \pourcent{10} de cabris ; il en reste donc \pourcent{90}. Donc pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$, on multiplie par 0,9. Mais à cela, on ajoute ensuite \numprint{1000} cabris, donc $u_{n+1}=0,9u_n+\numprint{1000}$.
\item Pour tout entier naturel $n$,
$$
\begin{aligned}
v_{n+1} & = u_{n+1}-\numprint{10000}\\
& = 0,9u_n+\numprint{1000}-\numprint{10000}\\
& = 0,9u_n-\numprint{9000}\\
& = 0,9\left(u_n-\dfrac{\numprint{9000}}{0,9}\right)\\
& = 0,9(u_n-\numprint{10000})\\
& = 0,9v_n.
\end{aligned}
$$

Ainsi, \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=0,9$.

Son premier terme est : $v_0=u_0-\numprint{10000}=\numprint{30000}-\numprint{10000}=\numprint{20000}$.

\item De la question précédente, on déduit :
$$\forall n\in\N,\qquad v_n=v_0\times q^n=\numprint{20000}\times(0,9)^n.$$
Or, 
$$ v_n=u_n-\numprint{10000}$$
donc :
$$ u_n=v_n+\numprint{10000}.$$
Ainsi,
$$ u_n=\numprint{20000}\times(0,9)^n+\numprint{10000}.$$
\item On sait que $\limite{n}{+\infty}{v_n}=0$ car $0<0,9<1$, et $uu_n=v_n+\numprint{10000}$. Ainsi,
$$\limite{n}{+\infty}{u_n}=\limite{n}{+\infty}{v_n}+\numprint{10000}=\numprint{10000}.$$
\end{enumerate}
\end{correction}

\begin{remarque}
L'étude de telles suites suit toujours le m\^eme schéma. Il est donc important de refaire cet exercice au moins 5 fois pour s'imprégner de la méthode utilisée.
\end{remarque}

\endinput