%-------------------------------------------------------------------------------%	CHAPITRE 08 : SUITES IMBRIQUEES LINEAIREMENT
%----------------------------------------------------------------------------------------

\chapterimage{chapter_head_9.pdf} 

\chapter{Suites imbriquées linéairement}

\begin{remarque}
Ces suites ne sont pas explicitement au programme du lycée. Cependant, on peut les rencontrer dans certains exercices en classe de Terminale.
\end{remarque}

\section{Définition}

\begin{definition}
On dit que deux suites \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} sont imbriquées si :
$$ \forall n\in\N,\qquad \begin{cases}
u_{n+1}=au_n+bv_n\\
v_{n+1}=cu_n+dv_n
\end{cases},\qquad (a,b,c,d)\in\R^4.$$
\end{definition}

\begin{exemple}\label{ch8ex}
On considère les suites \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} définies par $u_0=5$ et $v_0=1$ et par les relations :
$$\forall n\in\N,\qquad
\begin{cases}
u_{n+1}=\dfrac{u_n+3v_n}{4}\\
v_{n+1}=\dfrac{3u_n+v_n}{4}
\end{cases}
$$
Ici, $a=\dfrac{1}{4}$, $b=\dfrac{3}{4}$, $c=\dfrac{3}{4}$ et $d=\dfrac{1}{4}$.
\end{exemple}

\section{Résolution}

\begin{methode}
Pour trouver l'expression de deux suites imbriquées \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{}, on considère deux suites auxiliaires \suite{a}{n}{} et \suite{b}{n}{} définies pour tout entier naturel $n$ par :
$$
\begin{cases}
a_n=\alpha u_n+\beta v_n\\
b_n=\gamma u_n+\delta v_n
\end{cases}\qquad,\qquad(\alpha,\beta,\gamma,\delta)\in\R^4
$$
de sorte que l'une soit constante et l'autre géométrique.
\end{methode}

\begin{exemple}
Reprenons l'exemple \ref{ch8ex} et posons :
$$\forall n\in\N,\qquad
\begin{cases}
a_n=u_n+v_n\\
b_n=u_n-v_n
\end{cases}
$$

\begin{itemize}
\item \textbf{Montrons que $\pmb{\suite{a}{n}{}}$ est constante.}

Pour tout entier naturel $n$, on a :
$$
\begin{aligned}
a_{n+1} & = u_{n+1}+v_{n+1}\\
& = \dfrac{u_n+3v_n}{4}+\dfrac{3u_n+v_n}{4}\\
& = \dfrac{4u_n+4v_n}{4}\\
& = u_n+v_n\\
& = a_n.
\end{aligned}
$$
La suite \suite{a}{n}{} est donc bien constante.

\medskip

On peut alors écrire :
$$\forall n\in\N,\qquad a_n=a_0=u_0+v_0=6.$$

\medskip

\item \textbf{Montrons que $\pmb{\suite{b}{n}{}}$ est géométrique.}

Pour tout entier naturel $n$, on a :
$$
\begin{aligned}
b_{n+1} & = u_{n+1}-v_{n+1}\\
& = \dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{3u_n+v_n}{4}\\
& = \dfrac{-2u_n+2v_n}{4}\\
& = -\dfrac{1}{2}(u_n-v_n)\\
& = -\dfrac{1}{2}b_n.
\end{aligned}
$$
Ainsi, \suite{b}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{2}$ et de premier terme\linebreak $b_0=u_0-v_0$, soit $b_0=4$.

\medskip

On peut alors écrire :
$$\forall n\in\N,\qquad b_n=4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n.$$

\item \textbf{Conclusion.}

On a :
$$
\forall n\in\N,\qquad\begin{cases}
a_n=u_n+v_n=6\\
b_n=u_n-v_n=4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n
\end{cases}
$$
\begin{itemize}
\item En ajoutant les deux égalités, on obtient :
$$
\forall n\in\N,\qquad 2u_n=6+4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\;,
$$
soit :
$$
\boxed{\forall n\in\N,\qquad u_n=3+2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\;.}
$$

\item En soustrayant la 1\iere{} égalité à la deuxième, on obtient :
$$
\forall n\in\N,\qquad 2v_n=6-4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\;,
$$
soit :
$$
\boxed{\forall n\in\N,\qquad v_n=3-2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\;.}
$$
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{exemple}

\begin{remarque}
On donnera toujours dans un énoncé de devoir surveillé les suites auxiliaires.
\end{remarque}

\begin{exercice}
On considère les suites \suite{u}{n}{} et  \suite{v}{n}{} telles que pour tout entier naturel $n$ :
$$
\begin{cases}
u_0=5\\
u_{n+1}=-u_n+4v_n
\end{cases}
\qquad\text{et}\qquad
\begin{cases}
v_0=-2\\
v_{n+1}=2u_n-3v_n
\end{cases}.
$$
\begin{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n$, $a_n=u_n+v_n$.

Montrer que \suite{a}{n}{} est une suite constante, dont on donnera la valeur.

\item On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n=u_n-2v_n$.

Montrer que \suite{b}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

\item En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\section{Pour aller plus loin ... (hors programme)}

Si vous prenez au hasard $a$, $b$, $c$ et $d$, vous allez avoir quelques problèmes, et pour cause ! Cette méthode ne fonctionne pas pour toutes les suites imbriquées linéairement.

En effet, si on pose $a_n=\alpha u_n+\beta v_n$, alors :
$$
\begin{aligned}
a_{n+1} & = \alpha(au_n+bv_n)+\beta(cu_n+dv_n)\\
& = (a\alpha+c\beta)u_n+(b\alpha+d\beta)v_n\;.
\end{aligned}
$$
Si l'on veut que \suite{a}{n}{} soit constante ou géométrique, il faut alors que :
$$
\begin{cases}
a\alpha+c\beta=k\alpha\\
b\alpha+d\beta=k\beta
\end{cases}
$$
où $k=1$ si on veut qu'elle soit constante et $k\neq1$ sinon.

On a alors :
$$
\begin{cases}
(a-k)\alpha=-c\beta\\
(b-k)\alpha=-d\beta
\end{cases}
$$

Ainsi, il y a des conditions sur $a$, $b$, $c$ et $d$, et si ces conditions ne sont pas remplies, aucune chance pour que \suite{a}{n}{} soit constante ou géométrique.

\newpage

\section{Corrigé de l'exercice}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$,
$$
\begin{aligned}
a_{n+1} & = u_{n+1}+v_{n+1}\\
& = -u_n+4v_n+2u_n-3v_n\\
& = u_n+v_n\\
& = a_n.
\end{aligned}
$$
La suite \suite{a}{n}{} est donc constante et :
$$\forall n\in\N,\qquad a_n=a_0=u_0+v_0=5+(-2)=3.$$

\item Pour tout entier naturel $n$, on a :
$$
\begin{aligned}
b_{n+1} & = u_{n+1}-2v_{n+1}\\
& = -u_n+4v_n-2(2u_n-3v_n)\\
& = -u_n+4v_n-4u_n+6v_n\\
& = -5u_n+10v_n\\
& = -5(u_n-2v_n)\\
& = -5b_n.
\end{aligned}
$$

Ainsi, la suite \suite{b}{n}{} est géométrique de raison $q=-5$ et de premier terme $b_0=u_0-2v_0=5+4=9$.

\item On a :
$$
\forall n\in\N,\qquad\begin{cases}
(L_1)\;\;a_n=u_n+v_n=3\\
(L_2)\;\;b_n=u_n-2v_n=9\times(-5)^n
\end{cases}
$$
\begin{itemize}
\item En faisant $(L_2)+2(L_1)$, on obtient :
$$
\forall n\in\N,\qquad 3u_n=9\times(-5)^n+6\;,
$$
soit :
$$
\boxed{\forall n\in\N,\qquad u_n=2+3\times(-5)^n\;.}
$$

\item En faisant $(L_1)-(L_2)$, on obtient :
$$
\forall n\in\N,\qquad 3v_n=3-9\times(-5)^n\;,
$$
soit :
$$
\boxed{\forall n\in\N,\qquad v_n=1-3(-5)^n\;.}
$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{correction}

\endinput