%-------------------------------------------------------------------------------%	CHAPITRE 09 : SUITES DIVERSES
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\chapterimage{chapter_head_10.pdf} 

\chapter{Suites diverses}

\begin{remarque}
Ces suites ne sont pas explicitement au programme du lycée. Cependant, on peut les rencontrer dans certains exercices.
\end{remarque}

\section{Suites de la forme $\pmb{u_{n+1}=u_n+an+b}$}

\emph{Par la suite, on notera $\lceil x \rceil$ la partie entière supérieure de $x$ (par exemple, $\lceil\pi\rceil)=4$.}

\medskip

D'un premier coup d'\oe il, on remarque que pour tout entier naturel $n$,
$$ u_{n+1}-u_n=an+b.$$
Ainsi, 
\begin{itemize}
\item si $a>0$ et $-\dfrac{b}{a}>0$, \suite{u}{n}{n\geqslant0} est croissante à partir de $n=\left\lceil-\dfrac{b}{a}\right\rceil$ (car $x\longmapsto ax+b$ est une fonction croissante et positive à partir de $x=-\dfrac{b}{a}$).

Si $-\dfrac{b}{a}<0$, \suite{u}{n}{n\geqslant0} est croissante à partir de $n=0$.

\medskip

\item si $a<0$ et $-\dfrac{b}{a}>0$, \suite{u}{n}{n\geqslant0} est décroissante à partir de $n=\left\lceil-\dfrac{b}{a}\right\rceil$ (car $x\longmapsto ax+b$ est une fonction décroissante et négative à partir de $x=-\dfrac{b}{a}$).

Si $-\dfrac{b}{a}<0$, \suite{u}{n}{n\geqslant0} est décroissante à partir de $n=0$.
\end{itemize}

En regardant la relation qui définit la suite, on peut très vite supposer que sa limite sera infinie.

Nous allons donc directement nous intéresser à l'expression de son terme général en fonction de $n$.
Pour cela, on part de l'égalité :
$$\forall n\in\N,\qquad u_{n+1}-u_n=an+b\;,$$
que l'on peut aussi voir comme ceci :
$$\forall k\in\N,\qquad u_{k+1}-u_k=ak+b.$$
Ainsi, 
$$
\sum_{k=0}^n\left(u_{k+1}-u_k\right)=\sum_{k=0}^n(ak+b).
$$
Je rappelle ici que :
$$
\sum_{\textcolor{red}{k=0}}^{\textcolor{red}{n}}\left(u_{\textcolor{red}{k}+1}-u_{\textcolor{red}{k}}\right)=\left(u_{\textcolor{red}{0}+1}-u_{\textcolor{red}{0}}\right)+\left(u_{\textcolor{red}{1}+1}-u_{\textcolor{red}{1}}\right)+\left(u_{\textcolor{red}{2}+1}-u_{\textcolor{red}{2}}\right)+\cdots+\left(u_{\textcolor{red}{(n-1)}+1}-u_{\textcolor{red}{n-1}}\right)+\left(u_{\textcolor{red}{n}+1}-u_{\textcolor{red}{n}}\right)
$$
et donc :
$$
\sum_{k=0}^n\left(u_{k+1}-u_k\right)=u_{n+1}-u_0.$$
De plus,
$$
\begin{aligned}
\sum_{\textcolor{red}{k=0}}^{\textcolor{red}{n}}(a\textcolor{red}{k}+b) & =(a\times\textcolor{red}{0}+b)+(a\times\textcolor{red}{1}+b)+(a\times\textcolor{red}{2}+b)+\cdots+(a\times\textcolor{red}{n}+b)\\
& = a(0+1+2+\cdots+n)+\underbrace{b+b+b+\cdots+b}_{(n+1)\text{ fois}}\\
& = \dfrac{an(n+1)}{2}+b(n+1)\\
& = (n+1)\left(\dfrac{an}{2}+b\right).
\end{aligned}
$$
Par conséquent, 
$$
u_{n+1}-u_0=(n+1)\left(\dfrac{an}{2}+b\right)\;,
$$
soit :
$$
u_{n+1}=(n+1)\left(\dfrac{an}{2}+b\right)+u_0\;,
$$
ou encore:
$$
u_n=n\left(\dfrac{a(n-1)}{2}+b\right)+u_0\;.
$$
En écrivant le terme sous la forme d'un polynôme du second degré, on obtient :
$$
\boxed{u_n=\dfrac{a}{2}n^2+\left(b-\dfrac{a}{2}\right)n+u_0\;.}
$$

\begin{remarque}
On pourrait généraliser cette méthode aux suites définies par la relation :
$$ u_{n+1}=u_n+P(n)\;,$$
où $P$ est un polynôme de degré $p$.

\`A l'aide de ce que l'on appelle les \emph{polynômes de Bernoulli}, on démontrerait que $u_n$ est un polynôme de degré $p+1$. Mais ceci dépasse allègrement le niveau du lycée ...
\end{remarque}

\begin{exercice}
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=u_n-2n+3\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\end{exercice}

\section{Suites imbriquées}

Nous avons parlé des suites imbriquées linéairement dans le chapitre précédent, mais il existe de multiples façons de construire des suites imbriquées. 

Un des exemples les plus répandus est celui des suites \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} définies par :
$$ \forall n\in\N\qquad 
\begin{cases}
u_0=5\\
u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}
\end{cases}
\qquad\text{et}\qquad
\begin{cases}
v_0=3\\
v_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}
\end{cases}
$$

\begin{exercice} 
On considère les suites \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} définies précédemment.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant0$ et $v_n\geqslant0$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}^2-v_{n+1}^2\geqslant0$, puis conclure que $u_n\geqslant v_n$.
\end{enumerate}

\item Montrer alors que \suite{u}{n}{} est décroissante.

\item Montrer ensuite que \suite{u}{n}{} est croissante.

\item Montrer que \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} convergent.

\item Montrer alors que les deux suites ont la m\^eme limite.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\section{Corrigés des exercices}

\begin{correction}
$$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=u_n-2n+3\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
Ainsi, 
$$
\forall k\in\N,\qquad u_{k+1}-u_k=-2k+3\;,
$$
d'où :
$$
\sum_{k=0}^{n}\left(u_{k+1}-u_k\right)=\sum_{k=0}^n(-2k+3)\;,
$$
ou :
$$
u_{n+1}-u_0=-2\times\dfrac{n(n+1)}{2}+3(n+1)\;.
$$
Ainsi,
$$u_{n+1}=-2\times\dfrac{n(n+1)}{2}+3(n+1)+u_0\;,$$
et donc :
$$ u_n=-n(n-1)+3n+2\;,$$
puis finalement :
$$\boxed{\forall n\in\N,\qquad u_n=-n^2+4n+2\;.}$$
\end{correction}

\newpage

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item\label{ch9ex2q1}
\begin{enumerate}
\item\label{ch9ex2q1a} \textbf{Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $\pmb{n}$, $\pmb{u_n\geqslant0}$ et $\pmb{v_n\geqslant0}$}.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0=5\geqslant0$ et $v_0=3\geqslant0$ donc l'initialisation est vérifiée.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier naturel $k$ fixé, $u_k\geqslant0$ et $v_k\geqslant0$.

Alors, $u_{k+1}=\dfrac{u_k+v_k}{2}\geqslant0$ comme moyenne de deux nombres positifs ou nuls, et $u_kv_k\geqslant0$ comme produit de deux nombres positifs ou nuls, donc $v_{k+1}=\sqrt{u_kv_k}$ existe et est positif ou nul.

Ainsi, l'hérédité est démontrée.
\end{itemize}

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant0$ et $v_n\geqslant0$.

\item\label{ch9ex2q1b} Pour tout entier naturel $n$, on a :
$$
\begin{aligned}
u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 & = \left(\dfrac{u_n+v_n}{2}\right)^2-\left(\sqrt{u_nv_n}\right)^2\\
& = \dfrac{u_n^2+2u_nv_n+v_n^2}{4}-u_nv_n\\
& = \dfrac{u_n^2-2u_nv_n+v_n^2}{4}\\
& = \dfrac{\left(u_n-v_n\right)^2}{4}\\
& \geqslant 0.
\end{aligned}
$$
Ainsi, $u_{n+1}^2\geqslant v_{n+1}^2$, donc $u_{n+1}\geqslant v_{n+1}$ car d'après la question précédente, $u_{n+1}\geqslant0$ et $v_{n+1}\geqslant0$.

Ce qui est vrai au rang $n+1$ est vrai au rang $n$ donc :
$$\boxed{ \forall n\in\N,\qquad u_n\geqslant v_n\;.} $$
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on a :
$$
\begin{aligned}
u_{n+1}-u_n & = \dfrac{u_n+v_n}{2}-u_n\\
& = \dfrac{u_n+v_n}{2}-\dfrac{2u_n}{2}\\
& = \dfrac{v_n-u_n}{2}.
\end{aligned}
$$
Or, $u_n\geqslant v_n$ donc $v_n-u_n\leqslant0$, ce qui prouve que \suite{u}{n}{} est décroissante.

\item Pour tout entier naturel $n$, on a :
$$
\begin{aligned}
v_{n+1}^2-v_n^2 & = u_nv_n-v_n^2\\
& = v_n(u_n-v_n).
\end{aligned}
$$
Or, $u_n-v_n\geqslant0$ d'après la question \ref{ch9ex2q1}~\ref{ch9ex2q1b} et $v_n\geqslant0$ d'après la question \ref{ch9ex2q1}~\ref{ch9ex2q1a}.

Ainsi, $v_{n+1}^2\geqslant v_n^2$, soit $v_{n+1}\geqslant v_n$ car $v_n\geqslant0$ pour tout entier naturel $n$.

La suite \suite{v}{n}{} est ainsi croissante.

\item Nous avons vu que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant v_n$, donc en particulier, $u_n\geqslant v_0$.

Ainsi, \suite{u}{n}{} est décroissante et minorée, donc elle converge.

\medskip

De m\^eme, \suite{v}{n}{} est croissante et majorée (par $u_0$ car $v_n\leqslant v_0$), donc elle converge aussi.

\item Posons $\ell=\limite{n}{+\infty}{u_n}$ et $\ell^\prime=\limite{n}{+\infty}{v_n}$.

De la relation $u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}$, on déduit :
$$ \limite{n}{+\infty}{u_{n+1}}=\dfrac{\limite{n}{+\infty}{u_n}+\limite{n}{+\infty}{v_n}}{2}\;,
$$
soit :
$$ \ell = \dfrac{\ell+\ell^\prime}{2}\;, $$
ou encore :
$$ 2\ell=\ell+\ell^\prime\;,$$
soit finalement :
$$\ell=\ell^\prime\;.$$
\end{enumerate}

\begin{remarque}
La limite commune aux deux suites est appelée la \emph{moyenne arithmético-géométrique} de $u_0$ et $v_0$. \`A l'aide d'un tableur, on peut donner une approximation de cette limite :
$$\ell\approx\numprint{3,9362355036}.$$
\end{remarque}
\end{correction}
\endinput