%-------------------------------------------------------------------------------%	CHAPITRE 10 : UN PEU DE RECHERCHE
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\chapter{Un peu de recherche}

\begin{remarque}
Ce chapitre est destiné aux passionné(e)s des suites.
\end{remarque}

Nous avons vu jusqu'à présent quelques types de suites connues du monde mathématique. Mais qu'advient-il lorsque nous avons une suite qui ne rentre pas dans les types connus ?

\medskip

\`A travers un exemple, nous allons voir une démarche plutôt classique pour étudier une suite.

\section{Une suite non connue}

Nous allons considérer la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
u_0\in\R\\
u_{n+1}=\lambda u_n+P(n)\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
où $\lambda\in\R\setminus\{1\}$ et où $P$ est un polynôme de degré quelconque.

\medskip

A priori, cette suite n'est pas une suite dont on connait immédiatement les variations ni l'expression de son terme général en fonction de $n$.

Avant de s'intéresser aux variations, nous allons trouver une expression de $u_n$ en fonction de $n$. En effet, les variations de \suite{u}{n}{} sont difficilement concevables à l'aide de la seule relation de récurrence donnée.

\section{\`A la recherche du terme général}

Une méthode efficace est de calculer les 1\ier{} termes successifs de \suite{u}{n}{} en gardant tout en fonction de $u_0$ de sorte à mettre en relief une formule.

\medskip

$
\begin{aligned}[t]
u_1 & = \lambda u_0 + P(0)\\
u_2 & = \lambda u_1+P(1)=\lambda\big[\lambda u_0+P(0)\big]+P(1)=\lambda^2 u_0 + \lambda P(0) + P(1)\\
u_3 & = \lambda u_2+P(2) = \lambda\big[\lambda^2 u_0 + \lambda P(0) + P(1)\big]+P(2)=\lambda^3 u_0+\lambda^2 P(0)+\lambda P(1)+P(2)\\
u_4 &= \lambda u_3+P(3)=\lambda\big[\lambda^3 u_0+\lambda^2 P(0)+\lambda P(1)+P(2)\big]+P(3)=\lambda^4 u_0+\lambda^3 P(0)+\lambda^2 P(1)+\lambda P(2)+P(3)
\end{aligned}
$

\newpage

On voit alors se dessiner la formule. On peut conjecturer que pour tout entier naturel $n$,

$$
u_n=\lambda^n u_0+ \lambda^{n-1}P(0)+\lambda^{n-2}P(1)+\cdots+\lambda P(n-2)+P(n-1)\;,
$$

que l'on peut écrire :

$$
\boxed{\forall n\geqslant1,\qquad u_n=\lambda^n u_0+\sum_{k=0}^{n-1}\lambda^{n-k-1}P(k)\;.}
$$

Bien entendu, cette formule doit \^etre démontrée (par récurrence) :

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$\lambda^1 u_0+\displaystyle\sum_{k=0}^0\lambda^{1-0-1}P(0)=\lambda u_0+P(0)=u_1$ , donc l'initialisation est vérifiée.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier relatif $p$, la formule soit vraie, c'est-à-dire que :
$$
u_p=\lambda^p u_0+\sum_{k=0}^{p-1}\lambda^{p-k-1}P(k).
$$

Alors, 

$$
\begin{aligned}
u_{\textcolor{purple}{p+1}} & =\lambda u_p+P(p)\\
& = \lambda\left[ \lambda^p u_0+\sum_{k=0}^{p-1}\lambda^{p-k-1}P(k) \right] + P(p)\\
& = \lambda^{p+1}u_0+\lambda\sum_{k=0}^{p-1}\lambda^{p-k-1}P(k) + P(p)\\
& = \lambda^{p+1}u_0+\sum_{k=0}^{p-1}\lambda\times\lambda^{p-k-1}P(k) + P(p)\\
& = \lambda^{p+1}u_0+\textcolor{red}{\sum_{k=0}^{p-1}\lambda^{p-k}P(k)} + P(p)\\
& = \lambda^{p+1}u_0+\textcolor{red}{\left(\lambda^pP(0)+\lambda^{p-1}P(1)+\cdots+\lambda^{p-(p-1)}P(p-1)\right)}+P(p)\\
& = \lambda^{p+1}u_0+\textcolor{blue}{\left(\lambda^pP(0)+\lambda^{p-1}P(1)+\cdots+\lambda P(p-1)+P(p)\right)}\\
& = \lambda^{p+1}u_0+\textcolor{blue}{\sum_{k=0}^p\lambda^{p-k}P(k)}\\
& = \lambda^{\textcolor{purple}{p+1}}u_0+\sum_{k=0}^{\textcolor{purple}{p+1}-1}\lambda^{\textcolor{purple}{p+1}-k-1}P(k)\;.
\end{aligned}
$$
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize} 
La formule est ainsi vraie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1.

\section{Avec un exemple de polynôme}

Dans cette section, voyons ce que donne la formule précédente lorsque $P(n)=an+b$ :

$$
\begin{aligned}
\forall n\geqslant1,\qquad u_n &=  \lambda^n u_0+\sum_{k=0}^{n-1}\lambda^{n-k-1}P(k)\\
& = \lambda^n u_0+\sum_{k=0}^{n-1}\lambda^{n-k-1}(ak+b)\\
& = \lambda^n u_0+a\sum_{k=0}^{n-1}\lambda^{n-k-1}k+b\sum_{k=0}^{n-1}\lambda^{n-k-1}\;.
\end{aligned}
$$
Intéressons-nous à la somme :
$$
\begin{aligned}
S(\lambda) & =\sum_{k=0}^{n-1} k\lambda^{n-k-1}\\
& = \lambda^{n-2}+2\lambda^{n-3}+\cdots+(n-2)\lambda+(n-1)\\
& = \sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\lambda^{k-n+1}\;.
\end{aligned}
$$

Considérons alors la fonction $f$ définie par :
$$ f_k(x)=x^{n-k}.$$
Alors, 
$$ f_k'(x)=(n-k)x^{n-k-1}.$$
De plus, 
$$\begin{aligned}
\forall x\neq1,\qquad \sum_{k=1}^{n-1} f(x) &  = \sum_{k=1}^{n-1}x^{n-k}\\
& = x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x^2+x\\
& = x\left(1+x+\cdots+x^{n-2}\right)\\
& = x\times\dfrac{1-x^{n-1}}{1-x}\;.
\end{aligned}
$$
Ainsi,
$$
\begin{aligned}
\forall x\neq1,\qquad \left(\sum_{k=1}^{n-1} f_k(x)\right)^\prime & 
=\dfrac{1-x^{n-1}}{1-x}+x\times\dfrac{-(n-1)x^{n-2}(1-x)-(-1)\left(1-x^{n-1}\right)}{(1-x)^2}\\
\sum_{k=1}^{n-1}f_k'(x)& = \dfrac{\left(1-x^{n-1}\right)+(1-n)x^{n-1}(1-x)+x\left(1-x^{n-1}\right)}{(1-x)^3}\\
\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)x^{n-k-1}& = \dfrac{\left(1-x^{n-1}\right)(1+x)+(1-n)x^{n-1}(1-x)}{(1-x)^3}
\end{aligned}
$$
En prenant $x=\lambda^{-1}$, on obtient :
$$
\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\left(\lambda^{-1}\right)^{n-k-1}=\dfrac{\left(1-\left(\lambda^{-1}\right)^{n-1}\right)\left(1+\lambda^{-1}\right)+(1-n)\left(\lambda^{-1}\right)^{n-1}\left(1-\lambda^{-1}\right)}{\left(1-\lambda^{-1}\right)^3}
$$
soit :
$$
\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\lambda^{-n+k+1}=\dfrac{\left(1-\lambda^{-n+1}\right)\left(1+\lambda^{-1}\right)+(1-n)\lambda^{-n+1}\left(1-\lambda^{-1}\right)}{\left(1-\lambda^{-1}\right)^3}\;.
$$
Donc :
$$ S(\lambda)=\dfrac{\left(1-\lambda^{-n+1}\right)\left(1+\lambda^{-1}\right)+(1-n)\lambda^{-n+1}\left(1-\lambda^{-1}\right)}{\left(1-\lambda^{-1}\right)^3}\;.
$$

Posons maintenant :
$$
\begin{aligned}
s(\lambda) & =\sum_{k=0}^{n-1}\lambda^{n-k-1}\\
& = \lambda^{n-1}+\lambda^{n-2}+\cdots+\lambda^3+\lambda^2+\lambda+1\\
& = \dfrac{1-\lambda^n}{1-\lambda}\qquad(\lambda\neq1)
\end{aligned}
$$

Ainsi, on obtient :
$$
\boxed{\forall n\geqslant1,\qquad u_n=\lambda^n u_0+\dfrac{\left(1-\lambda^{1-n}\right)\left(1+\lambda^{-1}\right)+(1-n)\lambda^{1-n}\left(1-\lambda^{-1}\right)}{\left(1-\lambda^{-1}\right)^3}a+\dfrac{1-\lambda^n}{1-\lambda}b\;.}
$$

\section{Calcul de la limite}

Reprenons la formule trouvée précédemment et considérons deux cas :

\begin{itemize}
\item $0<\lambda<1$.

Alors, $\limite{n}{+\infty}{\lambda^n}=0$ et $\limite{n}{+\infty}{\lambda^{1-n}}=+\infty$.

Si on développe le numérateur du terme central, on obtient :
$$
\lambda^{1-n}\left[-1-\lambda^{-1}+(1-n)\left(1-\lambda^{-1}\right)\right]+1+\lambda^{-1}\;,
$$
où $1-\lambda^{-1}<0$.

On a	 :
$$
\left.
\begin{array}{r}
\limite{n}{+\infty}{(1-n)\left(1-\lambda^{-1}\right)}=+\infty\\
\limite{n}{+\infty}{\lambda^{1-n}}=+\infty
\end{array}
\right\rbrace\Leftrightarrow\limite{n}{+\infty}{\left(\lambda^{1-n}\left[-1-\lambda^{-1}+(1-n)\left(1-\lambda^{-1}\right)\right]+1+\lambda^{-1}\right)}=+\infty.
$$
De plus, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1-\lambda^n}{1-\lambda}}=\dfrac{1}{1-\lambda}$.

Ainsi, si on fait le bilan, 
$$\limite{n}{+\infty}{u_n}=\pm\infty.$$
(le signe dépend de celui de $a$)

\item $\lambda>1$.

Ici, $\limite{n}{+\infty}{\lambda^n}=+\infty$. Quant au terme central, il tend vers une constante : $\dfrac{1+\lambda^{-1}}{\left(1-\lambda^{-1}\right)^3}a$. Le troisième terme, lui, tend vers un infini (dont le signe dépend de $b$).

Ainsi, à l'infini, on peut considérer que :
$$u_n\underset{+\infty}{\sim}\lambda^n\left(u_0-\dfrac{b}{1-\lambda}\right).$$
Ainsi, $$\limite{n}{+\infty}{u_n}=\pm\infty.$$
\end{itemize}

Dans un cas comme dans l'autre, \suite{u}{n}{} diverge.
\endinput