\chapter{Une histoire de grandeurs}

Imaginons-nous dans une grande surface, au rayon \og Fruits \& Légumes \fg. Avez-vous déjà remarqué qu'au-dessus de chaque catégorie de fruits et de légumes, il y a un panneau où est inscrit le prix ? Ce prix est marqué, certes, mais pas de n'importe quelle façon.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{01Prix.jpg}
\end{center}
Avez-vous remarqué que le prix indiqué est celui d'un kilogramme ?

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Ici, par exemple, nous pouvons voir qu'un kilogramme de tomates \emph{bio} coûte 3,40 \euro.

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Ici, les \bold{grandeurs} qui interviennent sont le \emph{prix} (exprimé en euro) et la \emph{masse} (exprimée en kilogramme).

Dès que l'on parle de grandeurs, il faut toujours préciser leur unité.

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\begin{exo}[2]{Reconnaître les grandeurs}
Pour chacune des situations suivantes, nommer les grandeurs qui interviennent. 

\begin{enumerate}
\item Un peintre en b\^atiment utilise une certaine quantité de peinture (exprimée en kilogramme) pour recouvrir un mur (dont la surface est exprimée en $m^2$).

\item Ludovic a un forfait de téléphonie mobile à la carte. Il paie ses communications par rapport au temps qu'il passe à téléphoner. 

\item Une puce se trouve sur une ficelle qui joint un mur à un autre. Elle fait un bond dont la longueur est égale à la moitié de la longueur qu'il y a entre elle et le mur qui est en face d'elle.

\item Un robinet ouvert à fond débite 15 $\ell$ d'eau par minute.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Les deux grandeurs sont : la quantité de peinture (en kg) et la surface du mur (en $m^2$).

\item Les deux grandeurs sont : le temps de communication (exprimé par exemple en minute) et le prix (exprimé en euro).

\item Les deux grandeurs sont : la longueur de ficelle qu'il reste entre la puce et le mur (exprimée par exemple en cm) et la fraction de longueur correspondant au bond (sans unité car une fraction n'a pas d'unité).

\item Les deux grandeurs sont : le volume d'eau versée par le robinet (en $\ell$) et le temps (en minute).
\end{enumerate}
\end{correction}

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Revenons à l'exemple que nous avons pris au début de ce chapitre : nous souhaitons acheter 3 kg de ces magnifiques tomates \emph{bio} dont le prix est fixé à 3,40~\euro{} le kilogramme.

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Comment peut-on calculer le prix que l'on devra payer ?

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Avec un peu de bon sens, on devine que dans la mesure où on prend trois fois plus que 1 kg de tomates, alors on devra multiplier par 3 le prix du kilogramme :

\[ 3 \times 3,40 = 10,20 \]

Ainsi, 3 kg de tomates \emph{bio} valent 10,20 \euro.

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Nous voyons ici que si l'on multiplie la masse de tomates par un nombre, il faut multiplier le prix d'1 kg de ces tomates pour obtenir le prix total. On dit alors qu'il y a \bold{proportionnalité} entre les deux grandeurs.

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\begin{defin}
Deux grandeurs sont proportionnelles si, quand on multiplie la première par un nombre, alors on multiplie la seconde par le même nombre.
\end{defin}

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Nous le voyons à travers cet exemple, notre bon sens est mis à contribution pour voir si deux grandeurs sont proportionnelles (dans la vie de tous les jours).

\begin{exo}[2]{\small Reconnaître une situation de proportionnalité}
Dans chacune des situations suivantes, dire s'il y a proportionnalité ou pas en expliquant.

\begin{enumerate}
\item Un soir de pluie, Paul met un saut vide dehors pendant 1 heure. Il obtient 3 $\ell$ d'eau.\\
Le lendemain soir, il pleut encore et Paul met à nouveau le même seau vide pendant 2 heures.\\
Peut-il prévoir la quantité d'eau qu'il va avoir dans le seau ?

\item Julie a besoin de 15 cm pour ranger 10 boitiers de DVD.\\
Peut-on savoir quelle longueur il lui faudra pour ranger 100 de ces boitiers ?

\item Un salarié est payé 10 euro{} pour 1 heure de travail.\\
Peut-on connaître son salaire mensuel si l'on sait qu'il travaille 35 heures par semaine ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Il n'y a pas proportionnalité ici car le débit de la pluie le lendemain soir n'est peut-être pas le même que le premier soir.

\item Il y a proportionnalité entre le nombre de boitiers et la longueur nécessaire pour les ranger. En effet, si 1 boitier a une certaine largeur, il faudra le double pour en ranger 2, le triple pour en ranger 3, etc.

\item Il y a proportionnalité entre le nombre d'heures travaillées et le salaire. En effet, si le salarié travaille 1 heure, il gagne 10 \euro{} donc s'il travaille 2 heures, il gagnera le double, s'il travaille 3 heures, il gagnera le triple, etc.
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

Maintenant que nous voyons comment reconnaître une situation de proportionnalité, voyons comment nous pouvons calculer.

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\begin{act}
Youssouf dessine un triangle dont les côtés mesurent respectivement 3~cm, 4cm et 5 cm.

\begin{enumerate}
\item Construire ce triangle. Quelle semble être sa nature ?
\item Youssouf agrandit ce triangle à la photocopieuse. Le côté qui mesurait 5 cm mesure maintenant 7 cm.\\
Quelles sont les mesures des deux autres côtés du triangle arrondi ?
\item Tracer le nouveau triangle. Sa nature semble-t-elle la même que le premier triangle ?
\end{enumerate}
\end{act}

\medskip

Cette activité va vous permettre de voir si votre ressenti est bon ou pas. En effet, si vous n'obtenez pas à la question 3 un triangle de même nature que celui obtenu à la question 1, c'est que votre intuition n'est pas correcte.

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Voyons ce que cela donne :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le triangle est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (4,0) node[midway,below] {4 cm} -- (0,3) node[midway,above,rotate=-40] {5 cm} -- (0,0) node[midway,above,rotate=90] {3 cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ce triangle semble rectangle.

\item {\color{purple}L'élève aurait tendance à dire que, puisque le côté de longueur 5 cm mesure 7 cm après agrandissement, on ajoute 2 cm aux longueurs des deux autres côtés, ce qui donnerait un triangle de longueurs 7 cm, 6 cm et 5 cm. Nous allons voir dans la question suivante qu'il ne faut pas raisonner comme cela.}

\medskip

En fait, tout ce passe comme si l'on \emph{étirait} les côtés, ce qui, de manière intuitive, revient à \emph{multiplier} les longueurs de ces côtés. \\
Ainsi, on a multiplié 5 pour obtenir 7 :
\[
5 \times \square = 7
\]
On trouve alors que le nombre par lequel on a multiplié est :
\[
\square = \frac{7}{5} = 1,4
\]
Il faut donc multiplié la longueur des autres côtés par 1,4, ce qui donne un triangle de longueurs 7 cm, 5,6 cm et 4,2 cm.
\pagebreak
\item {\color{purple} L'élève qui aura ajouté (et non multiplié) trouvera ce triangle :}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[draw=purple,text=purple]
\draw (0,0) -- (6,0) node[midway,below] {6 cm} -- ({5*cos(78.463)},{5*sin(78.463)}) node[midway,above,rotate=-45] {7 cm} -- (0,0) node[midway,above,rotate=80] {5 cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\color{purple}Il verra donc que la nature de ce dernier triangle n'est pas la même que celle du premier et donc que son raisonnement est erroné.}

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Le vrai triangle est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
\draw (0,0) -- (4,0) node[midway,below] {5,6 cm} -- (0,3) node[midway,above,rotate=-40] {7 cm} -- (0,0) node[midway,above,rotate=90] {4,2 cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On peut alors constater que sa nature est identique à celle du premier.
\end{enumerate}

\newpage

\AfficheCorrections