\chapter{Les tableaux de proportionnalité}

\begin{defin}
Un \bold{tableau de proportionnalité} est un tableau dans lequel seront écrites les différentes valeurs des deux grandeurs proportionnelles.
\end{defin}

\medskip

\begin{exemple}
Reprenons l'exemple du chapitre 1 (avec les courgettes \emph{bio}).\\
Nous allons calculer les différents prix à payer selon la quantité de légumes prise.

\begin{enumerate}[label=\fcolorbox{bleunuit}{bleunuit}{\color{white}\bfseries\arabic*}]
\item 1 kg co\^ute 3,35 \euro
\item Prix pour 2 kg de courgettes : $3,35 \times 2 = 6,70$ \euro
\item Prix pour 3,5 kg de courgettes : $3,35 \times 3,5 = 11,725$ \euro
\item Prix pour 5,2 kg de courgettes : $3,35 \times 5,2 = 17,42$ \euro
\end{enumerate}

Nous pouvons alors mettre ces résultats dans un tableau :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*4{Sc|}}
\hline
\bfseries Masse de courgettes (en kg) & 1 & 2 & 3,5 & 5,2\\
\hline
\bfseries Prix (en \euro) & 3,35 & 6,70 & 11,725 & 17,42\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{exemple}

Dans cet exemple, nous avons vu une façon (assez intuitive) de calculer les différents montants correspondant aux différentes quantités de courgettes prises. Schématiquement, on a :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[draw=bleunuit]
\tkzTabInit[espcl=0.7,lgt=7,deltacl=0.7,color,colorC=bleunuit,colorV=bleunuit]{\bfseries\color{white}Masse de courgettes (en kg)/1,\bfseries\color{white}Prix (en \euro)/1}%
{1,,2,,{3,5},,{5,2}}
\tkzTabLine{{3,35},,,,{6,70},,,,{11,725},,,,{17,42}}
\makeatletter
\foreach \x in {1,...,3}{%
\setcounter{tkz@cnt@pred}{\x}\addtocounter{tkz@cnt@pred}{\x}
\draw (N\thetkz@cnt@pred 0.center) to (N\thetkz@cnt@pred 2.center);}
\makeatother
\draw[->,red,>=latex'] (N10) to [bend left] node[above]{$\times 2$} (N30);
\draw[->,red,>=latex'] (N12) to [bend right] node[below]{$\times 2$} (N32);
%
\draw[->,bleu,>=latex'] (N10) to [bend left=80] node[above]{$\times 3,5$} (N50);
\draw[->,bleu,>=latex'] (N12) to [bend right=80] node[below]{$\times 3,5$} (N52);
%
\draw[->,green!50!black,>=latex'] (N10) to [bend left=90] node[above]{$\times 5,2$} (N70);
\draw[->,green!50!black,>=latex'] (N12) to [bend right=90] node[below]{$\times 5,2$} (N72);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Mais nous pouvons aussi constater autre chose : si l'on prend n'importe quel nombre de la première ligne et qu'on le multiplie par 3,35, on obtient le nombre de la seconde ligne :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[draw=bleunuit]
\tkzTabInit[espcl=0.7,lgt=7,deltacl=0.7,color,colorC=bleunuit,colorV=bleunuit]{\bfseries\color{white}Masse de courgettes (en kg)/1,\bfseries\color{white}Prix (en \euro)/1}%
{1,,2,,{3,5},,{5,2}}
\tkzTabLine{{3,35},,,,{6,70},,,,{11,725},,,,{17,42}}
\makeatletter
\foreach \x in {1,...,3}{%
\setcounter{tkz@cnt@pred}{\x}\addtocounter{tkz@cnt@pred}{\x}
\draw (N\thetkz@cnt@pred 0.center) to (N\thetkz@cnt@pred 2.center);}
\makeatother
\draw[->,red,>=latex'] ($0.5*(T20)+0.5*(T21)$) to [bend left] node[right]{$\times 3,35$} ($0.5*(T21)+0.5*(T22)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ce nombre est appelé le \bold{coefficient de proportionnalité} du tableau.

\bigskip

\begin{defin}
Le \bold{coefficient de proportionnalité} d'un tableau de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie tous ceux de la première ligne pour obtenir ceux de la seconde.
\end{defin}

Ainsi, lorsque l'on a un tableau représentant différentes valeurs de deux grandeurs, on sait si ces deux grandeurs sont proportionnelles si le coefficient de proportionnalité existe.

\bigskip

\begin{methode}
Pour savoir si un tableau est un tableau de proportionnalité, on calcule les quotients \og $\dfrac{\text{nombre du bas}}{\text{nombre du haut}}$ \fg. Si on trouve toujours le même nombre, alors, nous avons un tableau de proportionnalité et le nombre obtenu est le coefficient de proportionnalité.
\end{methode}

\begin{exemple}
Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ?

\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 1,3 & 5 & 12,7 & 20,9\\
\hline
 2,639 & 10,15 & 25,781 & 42,427\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Les quotients sont :
\[ \frac{2,639}{1,3}=2,03 ; \frac{10,15}{5}=2,03 ; \frac{25,781}{12,7}=2,03 ; \frac{42,427}{20,9}=2,03\]
Donc ce tableau est un tableau de proportionnalité et son coefficient de proportionnalité est égal à 2,03.
\end{exemple}

\bigskip

\begin{exo}[1]{\small Reconnaître un tableau de proportionnalité}
Dans les cas suivants, dire si nous avons un tableau de proportionnalité ou pas. Dans l'affirmative, donner son coefficient de proportionnalité.

\begin{enumerate}
\item \begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 1 & 5 & 3 & 15\\
\hline
 7 & 35 & 21 & 105\\
\hline
\end{tabular}

\item \begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 2,5 & 3,7 & 4,8 & 5,9\\
\hline
 5 & 7,4 & 9,6 & 11,8\\
\hline
\end{tabular}

\item \begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 8 & 12,5 & 13 & 40\\
\hline
 24 & 37,5 & 39 & 130\\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Les quotients sont tous égaux à 7 donc c'est un tableau de proportionnalité de coefficient de proportionnalité égal à 7.

\item Les quotients sont tous égaux à 2 donc c'est un tableau de proportionnalité de coefficient de proportionnalité égal à 2.

\item Les quotients ne sont pas tous égaux (le dernier diffère des autres) donc ce n'est pas un tableau de proportionnalité.
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[1]{\small Compléter un tableau de proportionnalité}
Pour chaque question, compléter le tableau de proportionnalité qui est donné.

\begin{enumerate}
\item \begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 8 & 50 &  & \\
\hline
 24 &  & 21 & 120\\
\hline
\end{tabular}

\item \begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 1 & 12,5 &  & 50\\
\hline
 1,5 &  & 45 & \\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Le coefficient de proportionnalité est ici égal à 3. D'où :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 8 & 50 & \color{bleu}7 & \color{bleu}40\\
\hline
 24 & \color{bleu}150 & 21 & 120\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Le coefficient de proportionnalité est ici égal à 1,5. D'où :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 1 & 12,5 & \color{bleu}30 & 50\\
\hline
 1,5 &\color{bleu}18,75  & 45 & \color{bleu}75\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

\begin{prop}
Dans un tableau de proportionnalité, on peut ajouter deux ou plusieurs colonnes.
\end{prop}

\medskip

\begin{exemple}
Soit le tableau de proportionnalité suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 1 & 3 & 7 & 10 \\
\hline
 4 & 12 & 28 & \color{bleu}40\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Pour obtenir le nombre bleu, on peut constater que $10=3+7$ donc on ajoute 12 et 28, ce qui donne 40.
\end{exemple}

\bigskip

\begin{exo}[1]{\small Compléter un tableau de proportionnalité}
Pour chaque tableau de proportionnalité, compléter à l'aide de la propriété précédente.

\begin{enumerate}
\item \begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 1 & 6 & 7 & 13 \\
\hline
 2,5 & 15 &  & \\
\hline
\end{tabular}

\item \begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 2,8 & 1,2 & 4 & 5,2 \\
\hline
 4,48 & 1,92 &  & \\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item \begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 1 & 6 & 7 & 13 \\
\hline
 2,5 & 15 & \color{bleu}$2,5+15=17,5$ & \color{bleu}$15+17,5=32,5$\\
\hline
\end{tabular}

\item \begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
 2,8 & 1,2 & 4 & 5,2 \\
\hline
 4,48 & 1,92 & \color{bleu}$4,48+1,92=6,4$ & \color{bleu}$1,92+6,4=8,32$\\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

\begin{prop}
Dans une situation de proportionnalité, on peut calculer une valeur manquante en passant à l'unité. C'est la \bold{règle de trois}.
\end{prop}

\begin{exemple}
Louis-\'Emile parcourt 400 mètres en 5 minutes en marchant. On cherche la distance qu'il parcourt en 12 minutes.

\medskip

On peut avant tout calculer la distance parcourue en 1 minute ; pour cela, on calcule : \[ 400\div 5 = 80 \]
Ainsi, il parcourt 80 mètres en 1 minute.

Maintenant, on calcule : \[ 80 \times 12 \]
pour savoir la distance qu'il a fait en 12 minutes ; on trouve 960 mètres.

\medskip

Si on construit un tableau de proportionnalité représentant cette situation, on aura :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[draw=bleunuit]
\tkzTabInit[espcl=0.7,lgt=7,deltacl=0.7,color,colorC=bleunuit,colorV=bleunuit]{\bfseries\color{white}Durée du parcours (en min)/1,\bfseries\color{white}Distances parcourues (en m)/1}%
{5,,1,,12}
\tkzTabLine{400,,,,{\color{bleu}80},,,,{\color{bleu}960}}
\makeatletter
\foreach \x in {1,...,2}{%
\setcounter{tkz@cnt@pred}{\x}\addtocounter{tkz@cnt@pred}{\x}
\draw (N\thetkz@cnt@pred 0.center) to (N\thetkz@cnt@pred 2.center);}
\makeatother
\draw[->,red,>=latex'] (N10) to [bend left] node[above]{$\div 5$} (N30);
\draw[->,red,>=latex'] (N12) to [bend right] node[below]{$\div 5$} (N32);
%
\draw[->,bleunuit,>=latex'] (N30) to [bend left] node[above]{$\times 12$} (N50);
\draw[->,bleunuit,>=latex'] (N32) to [bend right] node[below]{$\times 12$} (N52);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Si on ne veut faire qu'une opération, on a :
\[
\frac{400}{5}\times 12=960
\]
\end{exemple}

\bigskip

\begin{rem}
La règle de trois et, ce que l'on va appeler plus tard, \og l'égalité des produits en croix \fg{} sont un seule et même principe.
\end{rem}

\newpage

\AfficheCorrections
