\chapter{Représentation graphique}

\begin{act}
On considère un carré de côté $x$ cm, où $x$ est un nombre positif.\\
On note $\mathscr{A}$ son aire et $\mathscr{P}$ son périmètre.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\arrayrulecolor{yellow}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}
\hline
\bfseries Valeurs de $\pmb{x}$ (en cm) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
\bfseries Valeurs de $\pmb{\mathscr{A}}$ (en cm$^2$) & & & & & & \\
\hline
\bfseries Valeurs de $\pmb{\mathscr{P}}$ (en cm) & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item $\mathscr{A}$ est-elle proportionnelle à $x$ ? $\mathscr{P}$ est-il proportionnel à $x$ ?

\medskip

On note M$_1$ le point d'abscisse 1 et d'ordonnée égale à la valeur de $\mathscr{A}$ quand $x=1$, et N$_1$ celui d'abscisse 1 et d'ordonnée égale à la valeur de $\mathscr{P}$ quand $x=1$, puis on fait de même pour les autres valeurs de $x$ de sorte à définir les points M$_2$, M$_3$, ... , M$_6$ et N$_2$, ... , N$_6$.

\medskip

\item Construire un repère orthonormé (O;I,J) dans lequel seront placés les points M$_i$ (en bleu) et N$_i$ (en rouge), pour $i=1,2,3,4,5$ et 6.

\item Que remarque-t-on pour les deux grandeurs proportionnelles ? Et pour les deux autres ?

\item Quelle conjecture peut-on alors faire ?

\item Jean-Rachid s'abonne à un service de location de DVD. Il paie 10~\euro{} en début de mois puis 1,5 \euro{} par DVD loué.\\
Construire un tableau de valeurs représentant les montants qu'il devra payer pour 1, 2, 3, 4, 5 et 6 DVD dans le mois, puis construire le graphique correspondant, comme précédemment.\\
Peut-on dire qu'il s'agit d'une situation de proportionnalité ? Affiner alors, si besoin est, la conjecture émise à la question précédente.
\end{enumerate}
\end{act}

\begin{enumerate}
\item Le tableau donne :
\arrayrulecolor{bleu}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*6{Sc|}}
\hline
\bfseries Valeurs de $\pmb{x}$ (en cm) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
\bfseries Valeurs de $\pmb{\mathscr{A}}$ (en cm$^2$) & 1 & 4& 9& 16& 25& 36\\
\hline
\bfseries Valeurs de $\pmb{\mathscr{P}}$ (en cm) & 4& 8&12 &16 &20 &24 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On a : \[ \frac{4}{2} \neq \frac{9}{3}\]
Donc l'aire n'est pas proportionnelle à $x$.

\medskip

De plus, on a :
\[ 
\frac{4}{1}=\frac{8}{2}=\frac{12}{3}=\frac{16}{4}=\frac{20}{5}=\frac{24}{6}=4
\]
Donc le périmètre est proportionnel à $x$ et le coefficient de proportionnalité est égal à 4.

\item Le graphique est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.25,>=stealth']
\draw[bleu!20] (0,0) grid (6,36);
\draw[bleu,thick,->] (0,0) -- (7,0) node[below left,inner ysep=2em] {Valeurs de $x$ (en cm)};
\draw[bleu,thick,->] (0,0) -- (0,38);
\foreach \x in {0,1,...,6}
{
	\draw[bleu,thick] (\x,0.4) -- (\x,-.4) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {0,4,...,36}
{
	\draw[bleu,thick] (0.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\y};
}
\draw[bleunuit,dashed] plot[domain=0:6,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[red,dashed] (0,0) -- (6,24);
\foreach \x/\y/\z in {1/1/4,2/4/8,3/9/12,4/16/16,5/25/20,6/36/24}
{
	\fill[bleunuit] (\x,\y) circle[x radius=2pt,y radius=8pt] node[right] {M$_\x$};
	\fill[red] (\x,\z) circle[x radius=2pt,y radius=8pt] node[above] {N$_\x$};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On remarque que les points représentant les deux grandeurs proportionnelles (en rouge) sont alignés sur une droite alors que ceux représentant les deux autres grandeurs, celles qui ne sont pas proportionnelles, ne sont pas alignés.

\item On peut émettre la conjecture suivante :\\
\og Une situation de proportionnalité sera représentée dans un repère cartésien par une droite. \fg{} 

\item Le tableau de valeurs est le suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*6{Sc|}}
\hline
\bfseries Nombre de DVD loués & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
\bfseries Prix à payer (en \euro) & 11,5 & 13 & 14,5 & 16 & 17,5 & 19\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

D'où le graphique suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5,>=stealth']
\draw[bleu!20] (0,0) grid (6,19);
\draw[bleu,thick,->] (0,0) -- (7,0) node[below left,inner ysep=2em] {Nombre de DVD};
\draw[bleu,thick,->] (0,0) -- (0,20) node[right] {Prix à payer (en \euro)};
\foreach \x in {0,1,...,6}
{
	\draw[bleu,thick] (\x,0.2) -- (\x,-.2) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {0,2,...,18}
{
	\draw[bleu,thick] (0.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\y};
}
\draw[red,dashed] (0,10) -- (6,19);
\foreach \x/\y in {1/11.5,2/13,3/14.5,4/16,5/17.5,6/19}
{
	\fill[red] (\x,\y) circle[x radius=2pt,y radius=4pt];
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Si l'on regarde les quotients $\dfrac{13}{2}$ et $\dfrac{16}{4}$ (par exemple), on remarque qu'ils ne sont pas égaux. Donc les grandeurs ne sont pas proportionnelles. \\
Or, nous obtenons une droite dans le repère ; la différence réside dans le fait qu'ici, la droite ne passe pas par l'origine du repère alors qu'elle y passait pour le périmètre du carré. On peut alors préciser la conjecture émise précédemment et énoncer la propriété suivante :
\end{enumerate}

\medskip

\begin{prop}
Une situation de proportionnalité est représentée dans un repère cartésien \underline{uniquement} par une droite passant par l'origine de ce repère.
\end{prop}

\medskip

Cela suppose donc qu'une droite passant par l'origine d'un repère représentera toujours une situation de proportionnalité.

\medskip

\begin{defin}
Le \bold{coefficient directeur} d'une droite passant par l'origine du repère dans lequel elle est tracée est le coefficient de proportionnalité des deux grandeurs, c'est-à-dire le nombre par lequel on a multiplié l'abscisse d'un point quelconque de cette droite pour en obtenir son ordonnée.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{minipage}{.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[bleu!20] (0,0) grid (6,5);
\draw[bleu,thick,->] (0,0) -- (7,0);
\draw[bleu,thick,->] (0,0) -- (0,6);
\foreach \x in {0,1,...,6}
{
	\draw[bleu,thick] (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {0,1,...,5}
{
	\draw[bleu,thick] (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\y};
}
\draw[red,thick] (0,0) -- (6,4) node[above left] {$(\mathscr{D})$};
\draw[thick,red,dashed] (0,2) -- (3,2) -- (3,0);
\fill[red] (3,2) circle (2pt) node[above] {M};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.35\textwidth}
Le point M, qui appartient à la droite $(\mathscr{D})$, a pour coordonnées $(3;2)$.\\
Ainsi, le coefficient\linebreak directeur est égal à $\dfrac{3}{2}$.
\end{minipage}
\end{exemple}
