\chapter{Proportionnalité et statistiques}

Lorsque l'on représente des données sous forme de graphiques (diagrammes en b\^atons, circulaires, semi-circulaires, cartésiens), nous sommes obligés de faire intervenir la notion de proportionnalité.

\section{Diagrammes circulaires et semi-circulaires}

Supposons que nous observions une population composée de \np{1200} personnes.\\
Le tableau suivant donne la répartition de cette population selon la couleur de leur cheveux :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*6{Sc|}}
\hline
\bfseries Couleur & Noir & Brun & Ch\^atain & Blond & Roux & Total\\
\hline
\bfseries Nombre de personnes & 100 & 500 & 300 & 250 & 50 & \np{1200}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Si l'on souhaite représenter cette répartition à l'aide d'un diagramme circulaire, cela signifie que la totalité des personnes est représentée par un secteur angulaire de $360^\circ$. Ainsi, l'angle au centre d'un secteur angulaire qui représente un certain nombre de personnes devra être proportionnel à l'effectif qu'il représente.\\
Il ajoute donc au tableau précédent une ligne de sorte à ce qu'il devienne un tableau de proportionnalité :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*6{Sc|}}
\hline
\bfseries Couleur & Noir & Brun & Ch\^atain & Blond & Roux & Total\\
\hline
\bfseries Nombre de personnes & 100 & 500 & 300 & 250 & 50 & \np{1200}\\
\hline
\bfseries Angle (en degré) & \textcolor{bleu}{30} & \textcolor{bleu}{150} &\textcolor{bleu}{90} &\textcolor{bleu}{75} &\textcolor{bleu}{15} & \textcolor{bleu}{360}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\paragraph*{Exemple de calculs :} pour obtenir le nombre de la première colonne, on regarde ce que fait \og 100 \fg{} par rapport au nombre total de personnes \og \np{1200} \fg{} (ce qui revient à faire $\dfrac{100}{\np{1200}}$, puis on multiplie par 360 :
\[
\frac{100}{\np{1200}}\times 360 = \frac{\np{120000}}{360}=30
\]

On obtient alors le diagramme suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (4cm);
\fill[inner color=bleu!10,outer color=bleu!50] (0,0) -- (4,0) arc (0:30:4cm) -- cycle;
\fill[inner color=green!10,outer color=green!50] (0,0) -- (30:4) arc (30:180:4cm) -- cycle;
\fill[inner color=purple!10,outer color=purple!50] (0,0) -- (-4,0) arc (180:270:4cm) -- cycle;
\fill[inner color=yellow!10,outer color=yellow!50] (0,0) -- (0,-4) arc (270:345:4cm) -- cycle;
\fill[inner color=red!10,outer color=red!50] (0,0) -- (345:4) arc (345:360:4cm) -- cycle;
\node at (3,0.75) {Noir};
\node at (0,2) {Brun};
\node at (-2,-2) {Châtain};
\node at (2,-2) {Blonds};
\node[scale=0.7] at (2.7,-.3) {Roux};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\begin{rem}
Pour un diagramme semi-circulaire, il suffit de prendre \og $180^\circ$ \fg{} à la place de \og $360^\circ$ \fg.
\end{rem}

\section{Diagrammes en b\^atons et compagnie}

Pour tout ce qui est représentation \og en hauteur \fg{} (donc les histogrammes, les diagrammes en tuyaux d'orgue, les diagrammes en b\^atons), la proportionnalité intervient lorsque l'on veut calculer la hauteur (des b\^atons, des tuyaux ou des rectangles).\\
Quand on veut construire un diagramme \og en hauteur \fg, il suffit de fixer une \bold{unité en ordonnées}. Et ce choix nous est presque dicté par la hauteur totale que l'on souhaite consacrer à notre diagramme.\\
Supposons que l'on ne dispose que de 6 cm en hauteur pour représenter la répartition de l'exemple précédent. On peut alors décréter que 1 cm en ordonnées représentera 100 personnes. Ainsi, on a le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*5{Sc|}}
\hline
\bfseries Couleur & Noir & Brun & Ch\^atain & Blond & Roux\\
\hline
\bfseries Nombre de personnes & 100 & 500 & 300 & 250 & 50\\
\hline
\bfseries Hauteur (en cm) & \textcolor{bleu}{1} & \textcolor{bleu}{5} & \textcolor{bleu}{3} &\textcolor{bleu}{2,5} &\textcolor{bleu}{0,5}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Ce qui donnera le diagramme en tuyaux d'orgue suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\foreach \y in {1,2,3,4,5}
{
	\draw[dashed] (0,\y) node[left] {\y 00} -- (10,\y);
	\draw[dotted] (0,{\y+0.5}) node[left] {\y 50} -- (10,{\y+0.5});
}
\draw[dotted] (0,0.5) node[left] {50} -- (10,0.5);
\fill[bottom color=bleu!10,top color=bleu!50] (0.5,0) rectangle +(1,1);
\fill[bottom color=green!10,top color=green!50] (2,0) rectangle +(1,5);
\fill[bottom color=purple!10,top color=purple!50] (3.5,0) rectangle +(1,3);
\fill[bottom color=yellow!10,top color=yellow!50] (5,0) rectangle +(1,2.5);
\fill[bottom color=red!10,top color=red!50] (6.5,0) rectangle +(1,0.5);
\draw[thick,->] (0,0) -- (10,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,5.5);
\foreach \x/\t in {1/Noir,2.5/Brun,4/Châtain,5.5/Blond,7/Roux}
{
	\node[below right,rotate=-30] at (\x,0) {\t};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\paragraph*{Rappels}
\begin{description}
\item[\color{bleu}$\bullet$] Un \bold{diagramme en tuyau d'orgue}, c'est quand les données sont des mots (comme notre exemple)
\item[\color{bleu}$\bullet$] Un \bold{diagramme en bâton}, c'est quand les données sont des nombres distincts (par exemple, quand on regarde le nombre d'enfants par famille)
\item[\color{bleu}$\bullet$] Un \bold{histogramme}, c'est quand les données sont des intervalles (par exemple, quand on regarde la taille d'une personne, on va mettre cette taille dans un intervalle $[160;170[$, ou $[170;180[$, etc.)
\end{description}
