\chapter{\'Echelle}

Vous l'avez sans doute remarqué, mais lorsque l'on décide de représenter un monument par un dessin, on ne le fait pas en grandeur nature ... On le dessine en plus petit.\\
De même, quand on dessine ce que l'on observe au microscope, on agrandit ce que l'on voit.\\
On dit alors que l'on utilise une \emph{échelle} pour faire notre représentation.

\medskip

\begin{defin}
L'\bold{échelle} d'une représentation est la proportion du dessin par rapport au modèle. C'est donc un nombre sans unité défini par une fraction :
\[
e=\frac{\text{une longueur sur le dessin}}{\text{cette m\^eme longueur en vraie grandeur}}
\]
\end{defin}

\medskip

\begin{att}
Les deux longueurs doivent être dans la même unité.
\end{att}

\bigskip

\begin{exemple}
Paf le photographe a pris en photo un monument qui mesure 150~mètres de hauteur. Sur la photo, le monument mesure 5 cm.\\
L'échelle de la photo est donc :
\[
e=\frac{5}{\np{15000}}=\frac{1}{\np{3000}}
\]
Ici, nous avons d'abord exprimé toutes les longueurs en cm.
\end{exemple}

\begin{rem}
Si l'échelle d'une représentation est une fraction de la forme $\dfrac{a}{b}$, cela signifie que $a$ cm sur le dessin représentent $b$ cm en réalité.
\end{rem}

\bigskip

\begin{exo}[2]{L'armoire de Grégoire}
La largeur de l'armoire de Grégoire est 75 cm. Il l'a dessiné sur une feuille ; cette largeur mesure alors sur son dessin 5 cm.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'échelle du dessin de Grégoire.
\item La hauteur réelle de cette armoire est de 1,80 m. Quelle est sa longueur sur le dessin ?
\item Sur le dessin, la hauteur des pieds est de 6 mm. Quelle est la longueur réelle des pieds de l'armoire ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item L'échelle du dessin de Grégoire est :
\[
e=\frac{5}{75}=\frac{1}{15}
\]
\item La hauteur réelle est de 180 cm, et :
\[
180\times\frac{1}{15}=\frac{180}{15}=12
\]
\textbf{La hauteur de l'armoire est égale à 12 cm sur le dessin.}

\item Sur le dessin, la hauteur des pieds est de 0,6 cm et :
\[
0,6\times 15 = 9
\]
\textbf{Ainsi, les pieds de l'armoire ont une hauteur réelle de 9 cm.}
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[1]{La carte de Marthe}
Marthe possède une carte dont l'échelle est $\dfrac{1}{\np{5000}}$.
\begin{enumerate}
\item Que signifie cette échelle ?
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|*5{Sc|}}
\hline
\bfseries Distance sur le plan (en cm) & 1 & 3,7 & & & 12\\
\hline
\bfseries Distance réelle (en cm) & & & \np{7000} & \np{11500} & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Cette échelle signifie que 1 cm sur la carte de Marthe représente \np{5000} m dans la réalité.

\item Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est \np{5000} (nombre par lequel on multiplie les nombres de la première ligne pour obtenir ceux de la seconde). D'où :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*5{Sc|}}
\hline
\bfseries Distance sur le plan (en cm) & 1 & 3,7 &\color{bleu}1,4 &\color{bleu}2,3 & 12\\
\hline
\bfseries Distance réelle (en cm) &\color{bleu}\np{5000} & \color{bleu}\np{18500}& \np{7000} & \np{11500} & \color{bleu}\np{60000} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[2]{Baby-foot}
Un terrain de football a la forme d'un rectangle de largeur 90 m et de longueur 120 m.\\
Un baby-foot est une réduction d'un terrain de football.\\
Calculer la longueur d'un baby-foot dont la largeur est égale à 54 cm.
\end{exo}
\begin{correction}
Avant tout, calculons l'échelle de ce baby-foot :
\[
e=\frac{54}{\np{9000}}=\frac{3}{500}
\]
De plus, on a :
\[
\np{12000}\times\frac{3}{500}=\frac{360}{500}=72
\]
\textbf{La longueur du baby-foot est donc égale à 72 cm.}
\pagebreak
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[3]{La tour Eiffel}
\begin{enumerate}
\item Rechercher la hauteur de la tour Eiffel, ainsi que sa largeur aux pieds (sur un dictionnaire ou sur Internet). Arrondir à l'unité la plus proche si besoin.
\item Sarah souhaite représenter la tour Eiffel sur toute la hauteur d'une feuille A4 (dont les dimensions sont 21 cm par 29,7 cm).\\
Aura-t-elle la place pour dessiner les pieds ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Sur la page \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Donn\%C3\%A9es\_techniques\_de\_la\_tour\_Eiffel}, on trouve le dessin suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{tourEiffel.jpg}
\end{center}

On voit alors que la hauteur de la tour Eiffel est égale à 324 m et sa largeur aux pieds est de 125 m.

\item On cherche la quatrième proportionnelle du tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Longueur sur le papier (en cm) & 29,7 & \\
\hline
\bfseries Longueur réelle (en cm) & \np{32400} & \np{12500}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\[
\frac{29,7}{\np{32400}}\times\np{12500}\approx 11,48
\]

On trouve alors que 11,5 cm sont nécessaires pour dessiner la base de la tour Eiffel avec cette échelle. \\
\textbf{Sarah aura donc la place de dessiner la tour Eiffel sur une feuille A4.}
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[1]{\'Echelle d'un graphique}
On souhaite représenter dans un repère cartésien différents points dont les ordonnées varient entre $-50$ et 300.\\
On ne dispose qu'un espace vertical de 10 cm.

\begin{enumerate}
\item Combien représentera 1 cm en ordonnée sur ce graphique ?
\item Combien de centimètres seront nécessaire pour représenter une ordonnée égale à 50 ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Nous devons trouver la quatrième proportionnelle du tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Longueur sur le papier (en cm) & 10 & 1 \\
\hline
\bfseries Ordonnée & 350 & \color{bleu}35 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On divise par 10 pour passer de 10 à 1 donc on divise 350 par 10.\\
\textbf{Ainsi, 1 cm en ordonnée représente 35}.


\item Nous devons trouver la quatrième proportionnelle du tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Longueur sur le papier (en cm) & \color{bleu}1,4  & 1 \\
\hline
\bfseries Ordonnée & 50 & 35 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le coefficient de proportionnalité est égal à 35 donc on doit diviser 50 par 35, ce qui fait à peu près 1,4 cm.
\end{enumerate}
\end{correction}


\newpage
\AfficheCorrections
