\chapter{Produits en croix \& vitesse moyenne}

\begin{defin}
Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases de la forme :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
a & b\\
\hline
c & d\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

les \bold{produits en croix} sont les produits :
\[ a\times d \qquad \text{et}\qquad c\times b\]
\end{defin}

\medskip

\begin{prop}
Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases, les produits en croix sont égaux.
\end{prop}

\medskip

\begin{exemple}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
5 & 12\\
\hline
6 & $x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.65\textwidth}
Les produits en croix sont égaux donc :
\[ 5\times x = 6\times 12\]
soit : \[ 5x=60 \]
D'où : \begin{align*}
x & = \dfrac{60}{5}\\
\pmb{x} & \pmb{=14,4}
\end{align*}
\end{minipage}
\end{exemple}

\bigskip

\begin{exo}[1]{\small Trouver une quatrième proportionnelle}
Pour chacune des questions suivantes, déterminer la quatrième proportionnelle :

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\item \begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
6 & 9\\
\hline
8 & \\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\item \begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
10 & \\
\hline
25 & 35\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\item \begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
 & 56\\
\hline
27 & 72\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\item \begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
50 & 80\\
\hline
 & 30\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\item \begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
6 & 9\\
\hline
8 & \color{bleu}$\dfrac{9\times 8}{6}=12$ \\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\item \begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
10 & \color{bleu}$\dfrac{10\times 35}{25}=14$\\
\hline
25 & 35\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\item \begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
\color{bleu}$\dfrac{56\times 27}{72}=21$ & 56\\
\hline
27 & 72\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\item \begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
50 & 80\\
\hline
\color{bleu}$\dfrac{30\times 50}{80}=18,75$ & 30\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[1]{Le café de René}
Avec 250 grammes de café, René prépare 32 expressos.\\
Quelle masse de café lui faut-il pour préparer 20 expressos ?
\end{exo}
\begin{correction}
On cherche la quatrième proportionnelle du tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Masse (en g) & 250 & \color{bleu}$x$\\
\hline
\bfseries Nombre d'expressos & 32 & 20\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

L'égalité des produits en croix nous donne :
\[
x=\frac{250\times 20}{32}=156,25
\]
\textbf{Il faut donc 156,25 g de café pour préparer 20 expressos.}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[1]{La fontaine de Brigitte}
Le débit de la fontaine de Brigitte est de 240 $\ell$/h.\\
Combien de temps faut-il pour remplir un seau de 12 $\ell$ à cette fontaine ?
\end{exo}
\begin{correction}
On cherche la quatrième proportionnelle du tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Volume (en $\ell$) & 240 & 12\\
\hline
\bfseries Durée (en min) & 60 & \color{bleu}$x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

L'égalité des produits en croix nous donne : $x=\frac{12\times 60}{240}=3$.

\medskip

\textbf{Il faut donc 3 minutes pour remplir le seau.}
\end{correction}

\bigskip

\begin{defin}
La \bold{vitesse moyenne} (notée $v$) est le rapport de la distance parcourue (notée $d$) par la durée totale du trajet (notée $t$).
\[ v=\frac{d}{t}\]
\end{defin}

\medskip

\begin{exemple}
Une voiture parcourt 40 km en 20 minutes (soit $\frac{1}{3}$ h).
\[
v=\frac{40}{\tfrac{1}{3}}=40\times 3 = 120
\]
Sa vitesse moyenne est donc de 120 km/h.
\end{exemple}

\vskip 2em

\begin{exo}[2]{Sur le vélo d'Alfredo}
Alfredo fait du vélo sur une route bien lisse. Il roule à vitesse uniforme et met un quart d'heure pour faire \np{4250} mètres.\\
Calculer sa vitesse moyenne en km$\cdot$h$^{-1}$, puis en m$\cdot$s$^{-1}$.
\end{exo}
\begin{correction}
Nous devons trouver la quatrième proportionnelle du tableau suivant :

\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Distance parcourue (en km) & 4,25 & \color{bleu}17\\
\hline
\bfseries Temps du parcours (en h) & 0,25 & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
\[
\frac{1\times 4,25}{0,25}=17
\]
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Donc Alfredo roule à 17 km$\cdot$h$^{-1}$.}

\medskip

Pour convertir en m$\cdot$s$^{-1}$, on complète le tableau de proportionnalité suivant :

\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Distance parcourue (en m) & \np{17000} & \color{bleu}4,72\\
\hline
\bfseries Temps du parcours (en s) & \np{3600} & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
\[
\frac{1\times\np{17000}}{\np{3600}}\approx 4,722
\]
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Donc Alfredo roule à 4,72 m$\cdot$s$^{-1}$.}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[1]{Sur l'autoroute}
\begin{minipage}{3cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\fill[red] (0,0) circle (1.3cm);
\fill[white] (0,0) circle (0.8cm);
\node at (0,0) {\helv\bfseries\large 130};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\textwidth-3.2cm}
Sur l'autoroute, sauf contre-indication, la vitesse est limitée à 130 km/h.\\
\`A quelle heure un automobiliste étant rentré sur une autoroute à 13h45 sortira-t-il 325 km plus loin s'il roule à vitesse maximale de façon constante ?
\end{minipage}
\end{exo}
\begin{correction}
Il nous faut remplir le tableau de proportionnalité suivant :

\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Distance parcourue (en km) & 130 & 325\\
\hline
\bfseries Temps du parcours (en min) & 60 & \color{bleu}150\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
\[
\frac{325\times\np{60}}{\np{130}}=150
\]
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Il faut donc 150 min, soit 2h30min, à cet automobiliste pour sortir. Il sortira donc à 16h115.}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[1]{Téléphérique}
La vitesse d'une cabine de téléphérique est de 12,5 m/s. Sachant que la distance entre les deux gares est de \np{2875} m, calculer la durée de trajet d'une cabine.
\end{exo}
\begin{correction}
Il faut trouve la quatrième proportionnelle du tableau suivant :

\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Distance (en m) & 12,5 & \np{2875}\\
\hline
\bfseries Durée (en s) & 1 & \color{bleu}230\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
\[
\frac{\np{2875}\times 1}{12,5}=230
\]
\end{minipage}

\medskip

\textbf{La durée du trajet est donc 230 s, soit 3 min 50 s.}
\end{correction}

\begin{exo}[3]{L'itinéraire de Pierre}
Pierre a un excellent ami à Nantes. Il souhaite lui rendre visite et prépare donc son itinéraire.

\begin{itemize}
\item[\color{bleu}$\bullet$] De chez lui à l'autoroute, il y a 4,2 km à faire en ville ; il pense qu'il roulera en moyenne à 30 km/h.
\item[\color{bleu}$\bullet$] Il y a 246 km d'autoroute qu'il pense faire avec une vitesse moyenne de 120~km/h.
\item[\color{bleu}$\bullet$] Ensuite, il a 7 km en ville, qu'il compte  faire à 25 km/h.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item \'Estimer le temps moyen que Pierre mettra pour aller de chez lui à chez son ami.
\item Calculer la vitesse moyenne (notée $v$) de son trajet, arrondie à l'unité et exprimée en km/h puis la moyenne des trois nombres \og 30 \fg, \og 120 \fg{} et \og 25 \fg. \\
Que constate-t-on ?
\item Calculer la moyenne pondérée des vitesses. Que constate-t-on ?
\item Calculer $\dfrac{4,2+246+7}{v}$ d'une part, puis $\dfrac{4,2}{50}+\dfrac{246}{120}+\dfrac{7}{25}$ d'autre part. \\
Que constate-t-on ?
\item S'inspirer de la question précédente pour calculer rapidement la vitesse moyenne d'\'Etienne, qui a fait 5 km à 40 km/h, 90 km à 100 km/h puis 20~km à 50 km/h.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Complétons le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*2{>{\columncolor{red!20}}Sc|}*2{>{\columncolor{green!20}}Sc|}*2{>{\columncolor{purple!20}}Sc|}}
\hline
\bfseries Distances parcourues (en km) & 50 & 4,2 & 120 & 246 & 25 & 7\\
\hline
\bfseries Temps (en h) & 1 & \bfseries 0,084 & 1 & \bfseries 2,05 & 1 & \bfseries 0,28 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le temps total est donc 2,414 h, soit 2h et $0,414\times 60$ min, c'est-à-dire à peu près 2 h 25 min.

\textbf{Pierre mettra donc à peu près 2 h 25 min pour aller chez son ami.}

\item Calculons la vitesse moyenne du trajet :
\[ v = \frac{d}{t}= \frac{4,2+246+7}{2,414}\approx 106,55\]
\textbf{La vitesse moyenne de Pierre est donc à peu près 106 km/h.}

\medskip

La moyenne des trois nombres est : $\overline{x}=\frac{30+120+25}{3}\approx 58,33$.\\
On peut donc constater que la moyenne classique (appelée \emph{moyenne arithmétique}) des vitesses ne donne pas la vitesse moyenne du trajet.

\item La moyenne pondérée des vitesses est :
\[
\frac{30\times 4,2+120\times 246+25\times 7}{4,2+246+7}\approx 115,94
\]
Cette dernière valeur n'est toujours pas égale à la vitesse moyenne du trajet.

\item Nous avons d'une part :
\[
\frac{4,2+246+7}{v}=\frac{4,2+246+7}{106,55}\approx 2,414
\]
D'autre part :
\[
\dfrac{4,2}{50}+\dfrac{246}{120}+\dfrac{7}{25}\approx 2,414
\]
On constate alors que les deux résultats sont égaux.

\item De la question précédente, on peux supposer que si l'on parcourt $x$ km à $v_1$ km/h, $y$ km à $v_2$ km/h et $z$ km à $v_3$ km/h, la vitesse moyenne $\overline{v}$ est telle que :
\[
\frac{x+y+z}{\overline{v}}=\frac{x}{v_1}+\frac{y}{v_2}+\frac{z}{v_3}
\]
Dans notre cas, on a :
\begin{align*}
\frac{5+90+20}{\overline{v}} & =\frac{5}{40}+\frac{90}{100}+\frac{20}{50}\\
\frac{115}{\overline{v}}& = 1,425
\end{align*}
D'où :
\begin{align*}
\overline{v} & = \frac{115}{1,425}\\
& \approx 80,7
\end{align*}

\textbf{La vitesse moyenne d'\'Etienne est donc à peu près 81 km/h}

\medskip

\color{bleu}\emph{On dit que la vitesse moyenne est obtenue par moyenne harmonique pondérée des vitesses.}
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[1]{Orage ! Oh désespoir !}
La vitesse de la lumière (célérité) est à peu près égale à $3\times 10^8$ m/s. Celle du son est à peu près égale à 340 m/s.\\
Lucile aperçoit un éclair dans le ciel et 3 secondes plus tard, elle entend le tonnerre.\\
\`A quelle distance de Lucile se trouve l'orage ?
\end{exo}
\begin{correction}
Il faut 1 seconde pour que le son fasse 340 mètres. Lucile a attendu 4 secondes donc le son a parcouru $4\times 340=\np{1320}$ mètres.

\medskip

\textbf{L'orage est donc à \np{1320} mètres de Lucile.}
\end{correction}

\newpage
\AfficheCorrections
