\chapter{Grandeurs composées}

\begin{defin}
Une \bold{grandeur composée} est une grandeur dont l'unité est le produit ou le quotient de deux unités différentes.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}[label=\fcolorbox{bleunuit}{bleunuit}{\color{white}\bfseries\arabic*}]
\item Le débit d'un robinet est une grandeur quotient : elle peut s'exprimer en $\ell$/min (par exemple), ou en m$^3$/h.
\item La vitesse est une grandeur quotient : elle peut être exprimée en km/h ou en m/s.
\item L'énergie d'un appareil électroménager est une grandeur produit (elle est obtenue avec la formule : $E=P\times t$ où $P$ est la puissance (exprimée en kilowatt) et $t$ la durée de fonctionnement (exprimée en heure). Dans ce cas, l'unité est le kWh (kilowatt heure).
\end{enumerate}
\end{exemple}

\bigskip

\begin{methode}
Pour convertir une grandeur composée d'une unité à une autre, on peut trouver le coefficient de proportionnalité.
\end{methode}

\medskip

En effet, il y a proportionnalité lorsque l'on parle de grandeurs composées.\\
Voyons cela sur un exemple classique.

\begin{exemple}
\textbf{\emph{Convertir 50 m/s en km/h.}}

\medskip

1 km = \np{1000} m\\
1 h = \np{3600} s

\medskip

Donc 1 km/h = \np{1000} m/ \np{3600} s = $\dfrac{10}{36}$ m/s.

\medskip

Le coefficient de proportionnalité est donc égal à 3,6 pour convertir des m/s en km/h.

\[ 50 \times 3,6 = 180 \]
\textbf{Donc 50 m/s = 180 km/h.}
\end{exemple}

\bigskip

\begin{exo}[1]{Conversion d'unités}
Convertir :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\item 78 m/s en km/h
\item 234 km/h en m/s
\item 18 m$^3$/h en $\ell$/s
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\item 9 Wh en kWmin
\item 0,3 kg/m$^3$ en g/cm$^3$
\item 450 Wj en kWh (Wj = Wattjour)
\end{minipage}
\end{enumerate}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item 78 m/s = $78\times 3,6$ km/h = 280,8 km/h.
\item 234 km/h = $234\div 3,6$ m/s = 65 m/s.
\item 18 m$^3$/h = $18\times \np{1000} \ell$/\np{3600} s = 5 $\ell$/s.
\item 9 Wh = 9 W $\times$ 60 min = 0,009 kW $\times$ 60 min = 0,54 kWmin.
\item 0,3 kg/m$^3$ = $0,3\times 1000$ g/\np{1000000} cm$^3$ = \np{0,0003} g/cm$^3$.
\item 450 Wj = 450 W $\times$ 24 h = $450\times 0,001$ kW $\times$ 24 h = 10,8 kWh.
\end{enumerate}
\end{correction}
\end{exo}

\bigskip

\begin{exo}[2]{Vitesse d'une roue}
Le diamètre d'une roue de voiture est de 14 pouces. Un pouce est égal à 2,54 cm.

\begin{enumerate}
\item Calculer la circonférence d'une roue exprimée en mètre (arrondir au centième).

\medskip

On suppose que la voiture roule à la vitesse moyenne de 90 km/h.

\medskip

\item Exprimer cette vitesse en m/min.
\item Déterminer la vitesse de rotation d'une roue en tour par minute (tr/min) (arrondir au dixième).
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item La circonférence d'un cercle est donnée par la formule : $\pi\times D$, où $D$ est le diamètre.
\[
\pi\times 14\times 2,54 = 111,71
\]
\textbf{Une roue aura donc pour circonférence 112 cm, soit 1,12 m.}

\item 90 km/h = $90\times\np{1000}$ m/ 60 min = \textbf{\np{1500} m/min}.
\item 1 tour = 1,12 m donc \np{1500} m/min = $\np{1500}\div 1,12$ tr/min, soit \textbf{\np{1339,3}~tr/min}.
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[2]{Connexion Internet}
En informatique, l'unité de taille utilisée est l'octet et celle des débits est le bits par seconde.\\
1 octet = 8 bits.

\begin{enumerate}
\item Un F.A.I. propose une connexion ADSL à 28 méga, c'est-à-dire un débit maximal de 28 mégabits par seconde (28 Mb/s).
\begin{enumerate}
\item Sachant que 1 Mb = \np{1024} Kb, convertir ce débit en kilobits par seconde (Kb/s).
\item Sachant que 1 Ko = 1024 octets et que 1 Mo = 1024 Ko, convertir ce débit en mégaoctets par seconde (Mo/s).
\item Quel temps faut-il pour télécharger un fichier de 250 Mo avec le débit maximal ?
\end{enumerate}
\item En réalité, le temps de téléchargement de ce fichier est de 2 minutes.\\
Déterminer le débit effectif de téléchargement en Ko/s, en Kb/s puis en Mb/s.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item 28 Mb/s = $28\times\np{1024}$ Kb/s = \np{28672} Kb/s.
\item 28 Mb/s = $28\times\np{1024}^2$ b/s = $28\times\np{1024}^3\div 8$ o/s = $28\div 8$ Mo/s = 3,5~Mo/s.
\item $250\div 3,5\approx 71,4$.\\ \textbf{Il faut donc à peu près 71 secondes, soit 1 min 11 s pour télécharger le fichier.}
\end{enumerate}
\item Il faut 120 secondes pour télécharger 250 Mo, donc le débit est $250\div 120$ Mo/s, soit 2,083 Mo/s ou encore $2,083\times\np{1024}$ Ko/s, soit \textbf{\np{2133} Ko/s} ou $\np{2133}\times 8$ Kb/s, soit \textbf{\np{17064}} Kb/s, ou encore $\np{17064}\div\np{1024}$ Mb/s, soit à peu près \textbf{17 Mb/s}.
\end{enumerate}
\pagebreak
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[2]{Vitesse d'un b\^ateau}
La vitesse d'un b\^ateau est fréquemment exprimée en n\oe uds.\\
Un n\oe ud correspond à un mille marin par heure et un mille marin est la longueur de l'arc terrestre dont l'angle au centre de la Terre mesure $\frac{1}{60}$\ieme{} de degré.

\begin{enumerate}
\item Sachant que la circonférence de la Terre mesure environ \np{40000} km, déterminer la longueur d'un mille marin (au mètre près) et la correspondance d'un n\oe ud en km/h.
\item Certains navires à grande vitesse (NGV) assurent la liaison Nice-Ajaccio, soit une traversée de 247 km. Leur vitesse est de 37 n\oe uds.\\
Quelle est la durée, en heures et minutes, de cette traversée ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item La longueur d'un arc de cercle dont l'angle au centre est $\frac{1}{60}$\ieme{} de degré est :

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Longueur (en m) & \np{40000} & \color{bleu}$x$\\
\hline
\bfseries Angle au centre (en degré) & 360 & $\frac{1}{60}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
\[
x=\frac{\np{40000}\times\frac{1}{60}}{360}=1,852
\]
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Un mille marin est donc égal à \np{1852} mètres.}

\medskip

On en déduit alors : \textbf{1 n\oe ud = 1,852 km/h}

\item 37 n\oe uds = $37 \times 1,852$ km/h = 68,524 km/h.

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Distance (en km) & 68,524 & 247\\
\hline
\bfseries Durée (en h) & 1 & \color{bleu}$x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
\[
x=\frac{247}{68,524}\approx 3,604576499
\]
Donc $x = 3$h + $0,604576499\times 60$ min, soit $x$ = 3 h 36 min.
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Il faut donc 3 h 36 min à un NGV pour effectuer le trajet Nice-Ajaccio.}
\end{enumerate}
\end{correction}

\newpage
\AfficheCorrections
