\chapter{Proportionnalité et géométrie}

\section{Le théorème de Thalès}

Observons la figure suivante :

\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,2);
\coordinate (C) at (7,-1);
\coordinate (M) at ($0.6*(A)+0.4*(B)$);
\coordinate (N) at ($0.6*(A)+0.4*(C)$);
\draw (A) node[left] {A} -- (B) node[above right] {B} -- (C) node[below right] {C} -- cycle;
\draw (M) node[above] {M} -- (N) node[below] {N};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.38\textwidth}
On sait que :

\begin{enumerate}
\item A, M et B sont alignés dans cet ordre
\item A, N et C sont alignés dans cet ordre
\item (MN) et (BC) sont parallèles
\end{enumerate}
\end{minipage}

\medskip

Le tableau suivant est alors un tableau de proportionnalité :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|Sc|}
\hline
AM & AN & MN\\
\hline
AB & AC & BC\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
ce qui nous permet d'écrire :
\[
\frac{\text{AM}}{\text{AB}}=\frac{\text{AN}}{\text{AC}}=\frac{\text{MN}}{\text{BC}}
\]
C'est le \bold{théorème de Thalès}.

\medskip

\begin{prop}
Si les points A, M et B d'une part, A, N et C d'autre part, sont alignés dans cet ordre, et si (MN) est parallèle à (BC), alors nous avons les égalités suivantes :
\[
\frac{\text{AM}}{\text{AB}}=\frac{\text{AN}}{\text{AC}}=\frac{\text{MN}}{\text{BC}}
\]
\end{prop}

\pagebreak

Il existe deux configurations du théorème de Thalès :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[scale=0.7]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,2);
\coordinate (C) at (7,-1);
\coordinate (M) at ($0.6*(A)+0.4*(B)$);
\coordinate (N) at ($0.6*(A)+0.4*(C)$);
\draw (A) node[left] {A} -- (B) node[above right] {B} -- (C) node[below right] {C} -- cycle;
\draw (M) node[above] {M} -- (N) node[below] {N};
\node at (3.5,-2) {\helv Configuration \og classique \fg};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=9cm,scale=0.7]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,2);
\coordinate (C) at (7,-1);
\coordinate (M) at ($0.4*(A)-.6*(B)$);
\coordinate (N) at ($0.4*(A)-.6*(C)$);
\draw (M) node[below] {M} -- (A) node[below] {A} -- (B) node[above right] {B} -- (C) node[below right] {C} -- (N) node[above] {N} -- cycle;
\node at (1.5,-2) {\helv Configuration \og croisée \fg};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{prop}
Si les points A, M et B d'une part, A, N et C d'autre part, sont alignés dans cet ordre, et si nous avons les égalités suivantes :
\[
\frac{\text{AM}}{\text{AB}}=\frac{\text{AN}}{\text{AC}}
\]
alors (MN) est parallèle à (BC).\\
C'est la \bold{réciproque du théorème de Thalès}.
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,2);
\coordinate (C) at (7,-1);
\coordinate (M) at ($0.6*(A)+0.4*(B)$);
\coordinate (N) at ($0.6*(A)+0.4*(C)$);
\draw (A) node[left] {A} -- (B) node[above right] {B} -- (C) node[below right] {C} -- cycle;
\draw (M) node[above] {M} -- (N) node[below] {N};
\node[above] at ($0.5*(A)+0.5*(M)$) {2};
\node[above] at ($0.5*(B)+0.5*(M)$) {6};
\node[below] at ($0.5*(A)+0.5*(N)$) {3};
\node[below] at ($0.5*(C)+0.5*(N)$) {9};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
$\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$.

\medskip

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (BC) sont parallèles.
\end{minipage}
\end{exemple}

\section{Agrandissement et réduction}

\begin{defin}
Une figure $\mathscr{F}_2$ est un \bold{agrandissement} ou une \bold{réduction} d'une autre figure $\mathscr{F}_1$ lorsque leurs longueurs sont proportionnelles.\\
Si le coefficient de proportionnalité de $\mathscr{F}_1$ à $\mathscr{F}_2$ est strictement supérieur à 1, on parle d'\bold{agrandissement}. S'il est strictement inférieur à 1, on parle de \bold{réduction}.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[scale=0.7]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,2);
\coordinate (C) at (7,-1);
\coordinate (D) at (1,-3);
\draw (A) node[left] {A} -- (B) node[above right] {B} -- (C) node[below right] {C} -- (D) node[below] {D} -- cycle;
\node at ($0.25*(A)+0.25*(B)+0.25*(C)+0.25*(D)$) {$\mathscr{F}_1$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=9cm,scale=0.4]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,2);
\coordinate (C) at (7,-1);
\coordinate (D) at (1,-3);
\draw (A) node[left] {A'} -- (B) node[above right] {B'} -- (C) node[below right] {C'} -- (D) node[below] {D'} -- cycle;
\node at ($0.25*(A)+0.25*(B)+0.25*(C)+0.25*(D)$) {$\mathscr{F}_2$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\bigskip

\begin{prop}
Soient ABC et AMN deux triangles tels que AMN est une réduction de ABC de coefficient $k$.\\
Alors, \[ \text{aire}(\text{AMN})=k^2\text{aire}(\text{ABC})\]
\end{prop}

\bigskip

\begin{exo}[2]{Une histoire de cercles}
\begin{minipage}{0.33\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.75]
\draw (0,0) circle (2cm);
\draw (0,0) circle (1cm);
\coordinate (A) at ({2*cos(170)},{2*sin(170)});
\coordinate (B) at ({2*cos(200)},{2*sin(200)});
\coordinate (C) at ({cos(20)},{sin(20)});
\coordinate (D) at ({cos(-10)},{sin-10)});
\draw[red,thick] (A) node[above left] {A} -- (B) node[below left] {B};
\draw[red,thick] (C) node[above right] {C} -- (D) node[below right] {D};
\draw (A) -- (D);
\draw (B) -- (C);
\node[above] at (0,0) {O};
\node[left] at (-1,2) {$\mathscr{C}$};
\node[below] at (0.5,-1) {$\mathscr{C}^\prime$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.66\textwidth}
$\mathscr{C}$ est un cercle de centre O et de rayon 5 cm.\\
$\mathscr{C}^\prime$ est un cercle de centre O.\\
A et B sont deux points de $\mathscr{C}$, C et D sont deux points de $\mathscr{C}^\prime$.\\
(AD) et (BC) se coupent en O. De plus, AB = 45 mm et CD = 20 mm.
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Montrer que (AB) et (CD) sont parallèles.
\item Déterminer le rayon de $\mathscr{C}^\prime$ en millimètre.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item C et D sont sur $\mathscr{C}^\prime$ donc OC = OD.\\
De même, OA = OB, donc nous pouvons écrire :
\[
\frac{\text{OC}}{\text{OB}}=\frac{\text{OD}}{\text{OA}}
\]
De plus, C, O et B d'une part, D, O et A d'autre part, sont alignés dans cet ordre.\\
Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Thalès, (AB) et (CD) sont parallèles.
\item D'après ce qui précède, et d'après le théorème de Thalès, on a :
\[
\frac{\text{OC}}{\text{OB}}=\frac{\text{CD}}{\text{AB}}
\]
D'où :
\[
\frac{\text{OC}}{50}=\frac{20}{45}
\]
On peut donc écrire :
\[
\text{OC}=\frac{50\times 20}{45}=\frac{200}{9}
\]
\textbf{Le rayon de $\pmb{\mathscr{C}^\prime}$ est donc égal à $\pmb{\frac{200}{9}}$ mm.}
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[2]{Au brevet Juin 2006, Groupe 3}
\begin{minipage}{0.33\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.6,every node/.style={scale=.6}]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (S) at (0,5);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (D) at (1,1);
\coordinate (C) at (5,1);
\coordinate (M) at ($0.6*(A)+0.4*(S)$);
\coordinate (N) at ($0.6*(B)+0.4*(S)$);
\coordinate (P) at ($0.6*(C)+0.4*(S)$);
\coordinate (Q) at ($0.6*(D)+0.4*(S)$);
\draw (S) node[above] {S} -- (A) node[below left] {A} -- (B) node[below] {B} -- (S) -- (C) node[right] {C} -- (B);
\draw[dashed] (S)--(D) node[below] {D} -- (A);
\draw[dashed] (D) -- (C);
\draw (M) node[left] {M} -- (N) node[below left] {N} -- (P) node[above right] {P};
\draw[dashed] (P) -- (Q) node[above right] {Q} -- (M);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.66\textwidth}
SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SA] telle que AB~=~9~cm et SA~=~12~cm.\\
Le triangle SAB est rectangle en A.
Soit M un point de [SA] tel que SM = $x$ cm, où $x$ est compris entre 0 et 12.\\
On appelle MNPQ la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base passant par M.
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que MN = $0,75x$.
\item Soit $A(x)$ l'aire du carré MNPQ en fonction de $x$. Montrer que $A(x)~=~0,5625x^2$.
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{*8{|Sc}|}
\hline
$\pmb{x}$ & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12\\
\hline
$\pmb{A(x)}$ & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Placer dans un repère orthogonal les points d'abscisse $x$ et d'ordonnée $A(x)$ donnés par le tableau.\\
On placera l'origine en bas à gauche et on prendra 1 cm pour une unité en abscisse et 1 cm pour 10 unités en ordonnée.
\item L'aire de MNPQ est-elle proportionnelle à la longueur SM ? Justifier à l'aide du graphique.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle SAB,

\begin{itemize}
\item[\color{bleu}$\bullet$] S, M et A sont alignés dans cet ordre
\item[\color{bleu}$\bullet$] S, N et B sont alignés dans cet ordre
\item[\color{bleu}$\bullet$] (MN) et (AB) sont parallèles
\end{itemize}

Ainsi, d'après le théorème de Thalès :
\[
\frac{\text{SM}}{\text{SA}}=\frac{\text{MN}}{\text{AB}}
\]
Donc :
\[
\frac{x}{12}=\frac{\text{MN}}{9}
\]
\textbf{Par conséquent, MN = $\pmb{\dfrac{9x}{12}=0,75x}$.}

\item MNPQ est une réduction de ABCD donc MNPQ est un carré. Ainsi :
\begin{align*}
A(x) & = MN^2\\
& = (0,75x)^2\\
& = 0,75^2 x^2\\
\pmb{A(x)}& \pmb{=0,5625x^2}
\end{align*}

\item On a :
\begin{center}
\begin{tabular}{*8{|Sc}|}
\hline
$\pmb{x}$ & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12\\
\hline
$\pmb{A(x)}$ &0 &2,25 &9 &20,25 & 36& 56,25&81 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Le graphique est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray!20] (0,0) grid[xstep=0.1,ystep=0.1] (13,9);
\draw[gray!50] (0,0) grid (13,9);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (13,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (0,9);
\foreach \x in {1,2,...,12}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {1,2,...,8}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\y 0};
}
\node[below left] at (0,0) {O};
\foreach \x/\y in {0/0,2/0.225,4/0.9,6/2.025,8/3.6,10/5.625,12/8.1}
{
	\fill[red] (\x,\y) circle (2pt);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Les points obtenus sur le graphique précédent ne sont pas alignés. Ainsi, $x$ et $A(x)$ ne sont pas des grandeurs proportionnelles.
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[2]{Triplets pythagoriciens}
On considère un triangle ABC rectangle en A, et on note AB = $c$, AC = $b$ et BC~=~$a$.\\
\begin{enumerate}
\item Montrer que si l'on multiplie $a$, $b$ et $c$ par un nombre $k$ non nul, alors on obtient les dimensions d'un triangle rectangle.
\item Sachant que le triangle de dimensions 3 cm, 4 cm et 5 cm est rectangle, celui de dimensions 4,8 cm, 6,4 cm et 8 cm est-il rectangle ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item ABC est rectangle en A donc d'après le théorème de Pythagore,
\[ a^2=b^2+c^2\]
Le nouveau triangle a pour dimensions $ka$, $kb$ et $kc$. Or,
\begin{align*}
(kb)^2+(kc)^2 & = k^2b^2+k^2c^2\\
& =k^2(b^2+c^2)\\
& = k^2a^2\quad\text{car} a^2=b^2+c^2\\
& = (ka)^2
\end{align*}

\textbf{Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le nouveau triangle (qui est une réduction ou un agrandissement de ABC) est aussi rectangle.}

\item On a :
\[
\frac{4,8}{3}=\frac{6,4}{4}=\frac{8}{5}=1,6
\]
Ainsi, on a multiplié les dimensions du premier triangle par 1,6 et donc, d'après la question précédente, le second triangle est aussi rectangle.
\end{enumerate}
\end{correction}

\bigskip

\begin{exo}[1]{Au brevet Juin 2005, Groupe Nord}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (-1.6,0) arc (180:360:16mm and 4mm);
\draw[dashed] (1.6,0) arc (0:180:16mm and 4mm);
\draw (-1.6,0) -- (0,4) node[above] {S} -- (1.6,0);
\fill (0,0) circle (2pt) node[right] {A};
\draw (-0.4,3) arc (180:360:4mm and 1mm);
\draw[dashed] (0.4,3) arc (0:180:4mm and 1mm);
\draw[dotted] (0,0) -- (0,4);
\fill (0,3) circle (2pt) node[below,fill=white,inner sep=2pt,outer ysep=4pt] {A$^\prime$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.69\textwidth}
Sur la figure ci-contre, on a un cône de révolution tel que SA~=~12~cm. Un plan parallèle à la base coupe ce cône tel que SA'~=~3~cm. (La figure n'est pas à l'échelle)\\
\begin{enumerate}
\item Le rayon du disque de base du grand c\^one est de 7~cm. Calculer la valeur exacte du volume du grand c\^one.
\item Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du grand c\^one au petit c\^one ?
\item Calculer la valeur exacte du volume de ce petit c\^one, puis en donner une valeur arrondie au centimètre cube.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item La formule qui donne le volume d'un cône est :
\[
\mathcal{V}=\frac{1}{3}\pi R^2 h
\]
où $R$ est le rayon de la base et $h$ la hauteur du cône. Ainsi, ici, nous avons :
\begin{align*}
\mathscr{V} & = \frac{1}{3}\pi\times 7^2\times 12\\
& = \frac{1}{3}\pi\times 49\times 12\\
\mathscr{V} & = 196\pi
\end{align*}

\textbf{Le volume du grand cône est donc égal à $\pmb{196\pi\text{ cm}^3}$.}

\item La hauteur du grand cône est 12 cm ; celle du petit est 3 cm. Par conséquent, on a multiplié par $\dfrac{1}{4}$ la hauteur du grand cône pour obtenir celle du petit.\\
\textbf{Ainsi, le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit cône est $\pmb{\dfrac{1}{4}}$.}

\item D'après le cours, si $\mathscr{V}^\prime$ représente le volume du petit cône, on a :
\begin{align*}
\mathscr{V}^\prime & = \left(\frac{1}{4}\right)^3\mathscr{V}\\
& = \frac{1}{4^3}\times 196\pi\\
& = \frac{49}{16}\pi
\end{align*}

\textbf{Le volume exact du petit cône est donc $\pmb{\dfrac{49}{16}\pi\text{ cm}^3}$, ce qui donne à peu près 10~cm$\pmb{^3}$.}
\end{enumerate}
\end{correction}

\newpage

\AfficheCorrections
