\chapter{Représentations graphiques}

Nous l'avons vu précédemment, un moyen assez naturel de représenter nos observations est d'utiliser un tableau. Il peut être \emph{simple} :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{bleu!20}}Sl|*5{Sc|}}
\hline
\bfseries Moyens de transport & \bfseries Voiture &\bfseries Bus &\bfseries Métro &\bfseries \`A pieds &\bfseries Vélo\\
\hline
\bfseries Effectifs & 36 & 54 & 130 & 47 & 23\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

ou \emph{à double entrée} :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{bleu!20}}Sc|*3{Sc|}}
\hline\rowcolor{bleu!20}
\color{bleu}\backslashbox{\bfseries\color{black}\^Ages}{\bfseries\color{black} Langues} & \bfseries Espagnol &\bfseries Anglais &\bfseries Allemand\\
\hline
\bfseries 13 ans & 1 & 7 & 3\\
\hline
\bfseries 14 ans & 18 &\cellcolor{red!20}\color{red}105 & 25\\
\hline
\bfseries 15 ans & 1 & 8 & 2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Dans ce dernier tableau, nous observons la répartition des adolescents d'une colonie de vacances selon leur première langue vivante et leur âge.\\
\og 105 \fg{} représente donc le nombre d'adolescents de 14 ans ayant l'anglais comme première langue vivante.

\medskip

Mais afin de nous rendre compte visuellement des différentes répartitions, on peut utiliser différents diagrammes.

\section{Le diagramme en tuyaux d'orgue}

Il est utilisé pour représenter des caractères quantitatifs discrets, comme dans notre premier exemple. La hauteur des tuyaux est proportionnelle à l'effectif correspondant.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',yscale=0.7]
\foreach \y/\texte in {1/20,2/40,3/60,4/80,5/100,6/120,7/140}
{
	\draw[dotted] (0,\y) node[left] {\texte} -- (6,\y);
}
\draw[thick,->] (0,0) -- (6,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,7) node[above right] {Effectifs};
\foreach \x/\caract/\y/\coul in {1/Voiture/1.8/red,2/Bus/2.7/orange,3/Métro/6.5/bleunuit,4/\`A pieds/2.35/purple,5/Vélo/1.15/green!50!black}
{
	\fill[\coul] (\x,0) node[below left,rotate=40] {\caract} rectangle +(0.2,\y);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\section{Le diagramme en b\^atons}

Il est utilisé pour représenter des caractères quantitatifs discrets.\\
Prenons l'exemple suivant qui représente le nombre d'enfants par foyer sur une population de \np{1000} individus. La hauteur des bâtons est proportionnelle à l'effectif correspondant.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{bleu!20}}Sl|*5{Sc|}}
\hline
\bfseries Nombres d'enfants par foyer & \bfseries 0 &\bfseries 1 &\bfseries 2 &\bfseries 3 &\bfseries 4\\
\hline
\bfseries Effectifs & 120 & 245 & 350 & 210 & 75\\
\hline
\end{tabular}

\bigskip

\begin{tikzpicture}[>=stealth',yscale=0.7]
\foreach \y/\texte in {1/50,2/100,3/150,4/200,5/250,6/300,7/350}
{
	\draw[dotted] (0,\y) node[left] {\texte} -- (6,\y);
}
\draw[thick,->] (0,0) -- (6,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,7) node[above right] {Effectifs};
\foreach \x/\caract/\y/\coul in {1/0/2.4/red,2/1/4.9/orange,3/2/7/bleunuit,4/3/4.2/purple,5/4/1.5/green!50!black}
{
	\draw[\coul,thick] (\x,0) node[below] {\caract} -- (\x,\y);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\section{L'histogramme}

Il est utilisé pour des caractères quantitatifs continus.\\

\bigskip

\begin{att}
Ce n'est pas la hauteur des rectangles qui est proportionnelle à l'effectif considéré, mais la surface du rectangle.
\end{att}

Prenons l'exemple suivant qui représente la répartition de certains individus d'une population suivant leur taille.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{bleu!20}}Sl|*5{Sc|}}
\hline
\bfseries Tailles (en cm) &\bfseries [150;160[ &\bfseries [160;170[ &\bfseries [170;180| &\bfseries [180;190[ & \bfseries [190;200[\\
\hline
\bfseries Effectifs & 12 & 22 & 18 & 14 & 3\\
\hline
\end{tabular}

\bigskip

\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\foreach \y/\texte in {1/5,2/10,3/15,4/20}
{
	\draw[dotted] (0,\y) node[left] {\texte} -- (7,\y);
}
\foreach \x/\texte in {1/150,2/160,3/170,4/180,5/190,6/200}
{
	\draw[thick] (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] at (\x,0) {\texte};
}
\draw[thick,->] (0,0) -- (8,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,5) node[above right] {Effectifs};
\filldraw[fill=white,draw=black] (1,0) rectangle+(1,2.4);
\filldraw[fill=white,draw=black] (2,0) rectangle+(1,4.4);
\filldraw[fill=white,draw=black] (3,0) rectangle+(1,3.6);
\filldraw[fill=white,draw=black] (4,0) rectangle+(1,2.8);
\filldraw[fill=white,draw=black] (5,0) rectangle+(1,0.6);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ici, tous les intervalles ont la même \emph{amplitude}, ce qui a pour conséquence que la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à chaque effectif.

\medskip

Voyons un autre exemple où les classes n'ont pas la même amplitude.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{bleu!20}}Sl|*5{Sc|}}
\hline
\bfseries Tailles (en cm) &\bfseries [150;170[ &\bfseries [170;180[  & \bfseries [180;190[ &\bfseries [190;200| &\bfseries [200;230[\\
\hline
\bfseries Effectifs & 30 & 25 & 15 & 10 & 5\\
\hline
\end{tabular}

\bigskip

\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[gray,dotted] (0,0) grid +(10,7);
\foreach \x/\texte in {1/150,2/160,3/170,4/180,5/190,6/200,7/210,8/220,9/230}
{
	\draw[thick] (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] at (\x,0) {\texte};
}
\draw[thick,->] (0,0) -- (10,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,8) node[above right] {Effectifs};
\draw (1,0) rectangle +(2,3);
\draw (3,0) rectangle +(1,5);
\draw (4,0) rectangle +(1,3);
\draw (5,0) rectangle +(1,2);
\draw (6,0) rectangle +(2,0.5);
\filldraw[fill=gray!20,draw=black] (5,6) rectangle+(1,1);
\node[right] at (6,6.5) {$=$ 5};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ici, j'ai décidé de représenter un effectif de 5 par un carré. Ainsi, les 30 personnes de la première classe sont représentés par 6 carrés et les 3 personnes de la dernière classe sont représentés par 1 rectangle dont la surface est égale à celle d'un carré.

\section{Le diagramme circulaire}

Il est en général adopté pour représenter des caractères qualitatifs. Reprenons donc notre exemple du début (les moyens de transports des collégiens). La population est représentée par un disque qui est partitionné en plusieurs secteurs représentant chacun des caractères. Ainsi, l'angle au centre de chaque secteur angulaire doit être proportionnel à l'effectif correspondant. Il faut donc ajouter une ligne au tableau :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{bleu!20}}Sl|*5{Sc|}>{\columncolor{green!10}}Sc|}
\hline
\bfseries Moyens de transport & \bfseries Voiture &\bfseries Bus &\bfseries Métro &\bfseries \`A pieds &\bfseries Vélo & \bfseries Totaux\\
\hline
\bfseries Effectifs & 36 & 54 & 130 & 47 & 23 & 290\\
\hline
\bfseries Angles (en degrés) & 45 & 67 & 161 & 58 & 29 & 360\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Pour calculer l'angle correspondant à l'effectif \og 36 \fg, on trouve la quatrième proportionnelle du tableau suivant :

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{bleu!20}}Sl|*3{Sc|}}
\hline
\bfseries Effectifs & \bfseries 290 &\bfseries 36\\
\hline
\bfseries Angles (en degrés) & 360 & $x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{align*}
x & = \frac{36\times 360}{290}\\
x & \approx 45
\end{align*}
\end{minipage}

\begin{att}
Il faudra toujours veiller à arrondir correctement de sorte que le total fasse bien $360^{\circ}$.
\end{att}

Le diagramme est donc le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\fill[fill=red] (0,0) -- (3,0) arc(0:45:3cm) -- cycle;
\fill[fill=orange] (0,0) -- (45:3) arc(45:112:3cm) -- cycle;
\fill[fill=bleunuit] (0,0) -- (112:3) arc(112:273:3cm) -- cycle;
\fill[fill=purple] (0,0) -- (273:3) arc(273:331:3cm) -- cycle;
\fill[fill=green!50!black] (0,0) -- (331:3) arc(331:360:3cm) -- cycle;
\draw[red,<-,>=stealth'] (22:3)--($(22:3)+(1,1)$)--($(22:3)+(1,1)+(1,0)$) node[right] {Voiture};
\draw[orange,<-,>=stealth'] (78:3)--($(78:3)+(1,1)$)--($(78:3)+(1,1)+(1,0)$) node[right] {Bus};
\draw[green!50!black,<-,>=stealth'] (346:3)--($(346:3)+(1,-1)$)--($(346:3)+(1,-1)+(1,0)$) node[right] {Vélo};
\draw[purple,<-,>=stealth'] (302:3)--($(302:3)+(1,-1)$)--($(302:3)+(1,-1)+(1,0)$) node[right] {\`A pieds};
\draw[bleunuit,<-,>=stealth'] (192:3)--($(192:3)+(-1,-1)$)--($(192:3)+(-1,-1)+(-1,0)$) node[left] {Métro};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{rem}
On peut mettre les légendes comme sur l'exemple ci-dessus ou, si on a la place, directement dans les secteurs angulaires.
\end{rem}

\section{Le diagramme semi-circulaire}

Le principe est le m\^eme que pour le diagramme circulaire sauf qu'ici, la population est représentée par un demi-disque. Ce diagramme est utilisé pour représenter, entre autre, la répartition des députés à l'Assemblée Nationale.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{bleu!20}}Sl|*2{Sc|}}
\hline
\bfseries Partis politiques & \bfseries Effectifs & \bfseries Angles\\
\hline
\bfseries Front de Gauche & 10 & 3$^{\circ}$\\
\hline
\bfseries PS, Divers gauche, Radicaux de gauche & 314 & 98$^{\circ}$\\
\hline
\bfseries EELV & 17 & 5$^{\circ}$\\
\bfseries Indépendants martiniquais & 2 & 1$^{\circ}$\\
\hline
\bfseries MoDem & 2 & 1$^{\circ}$\\
\hline
\bfseries Nouveau centre et divers centre & 14 & 4$^{\circ}$\\
\hline
\bfseries UMP et alliés & 215 & 67$^{\circ}$\\
\hline
\bfseries Front National & 2 & 1$^{\circ}$\\
\hline
\bfseries Extrême Droite & 1 & 0$^{\circ}$\\
\hline
\end{tabular}

\bigskip

\begin{tikzpicture}[scale=1]
\fill[red] (0,0) -- (3,0) arc (0:3:3cm) -- cycle;
\fill[pink!50] (0,0) -- (3:3) arc (3:101:3cm) -- cycle;
\fill[green!70!black] (0,0) -- (101:3) arc (101:106:3cm) -- cycle;
\fill[yellow!50!black] (0,0) -- (106:3) arc (106:107:3cm) -- cycle;
\fill[orange] (0,0) -- (107:3) arc (107:108:3cm) -- cycle;
\fill[bleunuit] (0,0) -- (108:3) arc (108:112:3cm) -- cycle;
\fill[bleu] (0,0) -- (112:3) arc (112:179:3cm) -- cycle;
\fill[gray] (0,0) -- (179:3) arc (179:180:3cm) -- cycle;
\draw[thick,gray!50!black] (0,0) -- (-3,0);
\draw[red,<-,>=stealth'] (1.5:3) -- ($(1.5:3)+(0.5,0.5)$) -- ($(1.5:3)+(0.5,0.5)+(1,0)$) node[right] {\begin{tabular}{l}Front de\\ Gauche\end{tabular}};
\draw[pink,<-,>=stealth'] (52:3) -- ($(52:3)+(1,1)$) -- ($(52:3)+(1,1)+(1,0)$) node[right] {PS, DVG, RDG};
\draw[green!70!black,<-,>=stealth'] (103.5:3) -- ($(103.5:3)+(-1,1)$) -- ($(103.5:3)+(-1,1)+(-1,0)$) node[left] {EELV};
\draw[orange,<-,>=stealth'] (107.5:3) -- ($(107.5:3)+(-1,0.7)$) -- ($(107.5:3)+(-1,0.7)+(-1,0)$) node[left] {MoDem};
\draw[bleunuit,<-,>=stealth'] (110:3) -- ($(110:3)+(-1,0.5)$) -- ($(110:3)+(-1,0.5)+(-2.5,0)$) node[left] {NC, DVC};
\draw[bleu,<-,>=stealth'] (145.5:3) -- ($(145.5:3)+(-1,1)$) -- ($(145.5:3)+(-1,1)+(-1,0)$) node[left] {UMP, alliés};
\draw[gray,<-,>=stealth'] (179:3) -- ($(179:3)+(-1,1)$) -- ($(179:3)+(-1,1)+(-1,0)$) node[left] {Front National};
\draw[gray!50!black,<-,>=stealth'] (-3,0) -- (-4,0) node[left] {Extrême Droite};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{rem}
Ici, il a été difficile d'arrondir les angles car, comme vous pouvez le voir, on arrive à un total de $180^{\circ}$ avant le dernier caractère. Mais celui-ci étant négligeable devant les autres, on peut le représenter par un simple trait (donc avec un angle de $0^\circ$).
\end{rem}

\section{La courbe cartésienne}

Dans certains cas (notamment quand il y a une notion de chronologie), il sera utile de représenter la série statistique par une courbe cartésienne. Voyons sur un exemple ce que cela donne.

\medskip

Penchons-nous sur le tableau suivant qui donne les températures moyennes mensuelles (en $^\circ$ C) relevées dans la ville imaginaire \og Mathtown \fg{} au cours de l'année 2011 :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{12}{Sc|}}
\hline
\bfseries Mois & J & F & M & A & M & J & J & A & S & O & N & D\\
\hline
\bfseries Temp. ($^\circ$ C) & $-7$ & $-10$ & 1 & 5 & 12 & 22 & 29 & 32 & 24 & 20 & 13 & 6\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Plaçons maintenant dans un repère cartésien le point d'ordonnée $-7$ en premier (qui correspond à la température moyenne relevée au cours du mois de janvier), puis $-10$ (qui correspond à celle du mois de février), etc.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.2,>=stealth']
\draw[gray!20] (0,-11) grid (12,34);
\draw[->,thick] (0,0) -- (13,0) node[below] {Mois};
\draw[->,thick] (0,-11) -- (0,35) node[right] {Températures (en $^\circ$ C)};
\foreach \x/\y/\m in {1/-7/J,2/-10/F,3/1/M,4/5/A,5/12/M,6/22/J,7/29/J,%
8/32/A,%
9/24/S,%
10/20/O,%
11/3/N,12/6/D}
{
	\fill[red] (\x,\y) ellipse (1pt and 4pt);
	\draw[thick] (\x,.4) -- (\x,-0.4) node[below] {\bfseries\m};
}
\foreach \y in {0,5,10,15,20,25,30}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left]{\bfseries\y};
}
\draw[red] (1,-7)--(2,-10)--(3,1)--(4,5)--(5,12)--(6,22)--(7,29)--(8,32)--(9,24)--(10,20) --(11,13)--(12,6);
\end{tikzpicture}
\end{center}