\chapter{Position et dispersion}

Nous allons maintenant nous pencher sur un autre aspect de l'analyse d'une série statistique à une variable.

\section{Fréquences}

\begin{defin}
Soit  $(x_i;n_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$ une série statistique.\\
La \bold{fréquence} du caractère $x_i$, notée $f_i$, est :
\[
f_i=\dfrac{n_i}{n_1+n_2+n_3+\cdots+n_N}
\]

Une fréquence peut être exprimée :

\begin{itemize}
\item[\color{bleu}$\bullet$] sous forme de fraction
\item[\color{bleu}$\bullet$] en pourcentage
\item[\color{bleu}$\bullet$] sous forme de nombre décimal
\end{itemize}
\end{defin}

\bigskip

\begin{exemple}
Reprenons le premier exemple du chapitre 1 :
\begin{center}
\fontsize{11}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*6{Sc|}}
\hline
\bfseries Moyens de transport & \bfseries Voiture &\bfseries Bus &\bfseries Métro &\bfseries \`A pieds &\bfseries Vélo & \bfseries Total\\
\hline
\bfseries Effectifs & 36 & 54 & 130 & 47 & 23 & 290\\
\hline
\bfseries Fréquences & $\frac{36}{290}=\frac{18}{145}$ & $\frac{27}{145}$ & $\frac{13}{29}$ & $\frac{47}{290}$ & $\frac{23}{290}$ & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{exemple}

\begin{defin}[(Cumulation)]
Soit  $(x_i;n_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$ une série statistique.\\
On appelle \bold{effectif cumulé croissant (e.c.c.)} du caractère $x_i$ le nombre :
\[
ecc_i=n_1+n_2+\cdots+n_i
\]
On appelle \bold{fréquence cumulée croissante (e.c.c.)} du caractère $x_i$ le nombre :
\[
fcc_i=f_1+f_2+\cdots+f_i
\]
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{center}
\fontsize{8}{8}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*5{Sc|}}
\hline
\bfseries Moyens de transport & \bfseries Voiture &\bfseries Bus &\bfseries Métro &\bfseries \`A pieds &\bfseries Vélo\\
\hline
\bfseries Effectifs & 36 & 54 & 130 & 47 & 23\\
\hline
\bfseries e.c.c. & 36 & $36+54=90$ & $90+130=220$ & $220+47=267$ & $267+23=290$\\
\hline
\bfseries Fréquences & $\frac{36}{290}=\frac{18}{145}$ & $\frac{27}{145}$ & $\frac{13}{29}$ & $\frac{47}{290}$ & $\frac{23}{290}$\\
\hline
\bfseries f.c.c. & $\frac{36}{290}$ & $\frac{90}{290}$ & $\frac{220}{290}$ & $\frac{267}{290}$ & $\frac{290}{290}=1$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{exemple}

\bigskip

\begin{defin}[(Densité)]
Soit une série statistique à caractère quantitatif continu.\\
La \bold{densité d'effectif} d'une classe est le rapport de son effectif avec son amplitude.\\
La \bold{densité de fréquence} d'une classe est le rapport de sa fréquence avec son amplitude.
\end{defin}

\begin{exemple}
Le tableau suivant donne les différentes tailles observées au sein d'une population.
\begin{center}
\fontsize{11}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*{4}{Sc|}}
\hline
\bfseries Tailles (en cm)& [140;170[ & [170;180[ & [180;190[ & [190;210[\\
\hline
\bfseries Effectifs & 13 & 25 & 21 & 30 \\
\hline
\bfseries Densité d'effectif & $\frac{13}{30}\approx0,43$ & $\frac{25}{10}=2,5$ & $\frac{21}{10}=2,1$ & $\frac{30}{20}=1,5$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{exemple}

\section{Paramètres de position}

\begin{defin}
Les paramètres de position d'une série statistique à une variable sont sa \bold{moyenne}, son \bold{mode} et ses \bold{quantiles} (médiane, quartiles, déciles, centiles).
\end{defin}

\begin{rem}
Ces paramètres sont des valeurs numériques qui \og résument \fg{} la série statistique en donnant un ordre de grandeur des observations.\\
Ils s'expriment toujours en la même unité que les observations.
\end{rem}

\subsection{La moyenne}

\begin{defin}
Soit la série statistique $(x_i;n_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$. Alors, sa \bold{moyenne} est le nombre défini par :
\[
\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i = \frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_N}{N}
\]
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}[label=\fcolorbox{bleunuit}{bleunuit}{\color{white}\bfseries\arabic*}]
\item Reprenons l'exemple des températures relevées à \og Mathtown \fg{} en 2011 
\begin{center}
\fontsize{10}{10}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*{12}{Sc|}}
\hline
\bfseries Mois & J & F & M & A & M & J & J & A & S & O & N & D\\
\hline
\bfseries Temp. ($^\circ$ C) & $-7$ & $-10$ & 1 & 5 & 12 & 22 & 29 & 32 & 24 & 20 & 13 & 6\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Alors, la température moyenne sur toute l'année est :
\[
\overline{x}=\frac{(-7)+(-10)+1+5+12+\cdots+24+20+13+6}{12}=12,25
\]

\item Considérons maintenant le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{4}{Sc|}}
\hline
\bfseries Tailles (en cm)& [160;170[ & [170;180[ & [180;190[ & [190;200[\\
\hline
\bfseries Effectifs & 13 & 25 & 21 & 9 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Pour calculer la taille moyenne de la population, on considère le milieu de chaque intervalle :
\begin{align*}
\overline{x} & = \frac{165\times 13+ 175\times 25+185\times 21+195\times 9}{13+25+21+9}\\
& \approx 179
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{defin}[(Moyenne pondérée)]
Soit $(x_i;n_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$ une série statistique, où les $x_i$ sont des caractères \underline{quantitatifs}. On appelle \bold{moyenne pondérée} de la série statistique le nombre défini par :
\[
\overline{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3+\cdots+n_Nx_N}{n_1+n_2+n_3+\cdots+n_N}
\]
\end{defin}

\begin{exemple}
On a relevé dans le tableau suivant les notes d'une classe lors d'un devoir sur table :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{12}{Sc|}}
\hline
\bfseries Notes ($x_i$)& 3 & 4 & 6 & 7 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 & 19\\
\hline
\bfseries Effectifs ($n_i$) & 1 & 1 & 2 & 5 & 4& 3& 4 & 5& 3& 2& 1& 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

La moyenne de la classe à ce contrôle est donc :
\begin{align*}
\overline{x} & = \frac{3\times 1+4\times1+6\times2+7\times5+9\times4+\cdots+15\times1+18\times1+19\times1}{1+1+2+5+4+3+4+5+3+2+1+1}\\
\overline{x}& = \frac{333}{32}\\
\overline{x}& \approx 10,4
\end{align*}
\end{exemple}

\begin{prop}[(Moyenne de moyennes)]
Soient $(x_i;n_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$ et $(y_i;m_i)_{1\leqslant i\leqslant M}$ deux séries statistiques de moyennes respectives $\overline{x}$ et $\overline{y}$.\\
Alors, la moyenne de la série regroupant ces deux séries est :
\[
\overline{m}=\frac{\overline{x}\displaystyle\sum_{i=1}^Nn_i+\overline{y}\displaystyle\sum_{i=1}^Mm_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i~+~\displaystyle\sum_{i=1}^M m_i}
\]
\end{prop}

\begin{dem}
Par hypothèse, on a :
\[
\overline{x}=\frac{x_1n_1+\cdots+x_{N}n_{N}}{n_1+\cdots+n_{N}}
\qquad ; \qquad \overline{y}=\frac{y_1m_1+\cdots+y_{M}m_{M}}{m_1+\cdots+m_{M}}\]
On peut alors écrire :
\[
\overline{x}\sum_{i=1}^Nn_i=\sum_{i=1}^N x_in_i \qquad\text{et}\qquad\overline{y}\sum_{i=1}^Mm_i=\sum_{i=1}^M y_im_i
\]
Ainsi :
\[
\overline{x}\sum_{i=1}^Nn_i+\overline{y}\sum_{i=1}^Mm_i=\sum_{i=1}^N x_in_i+\sum_{i=1}^M y_im_i
\]

Et donc, en divisant les deux membres de cette égalité par $\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i~+~\displaystyle\sum_{i=1}^M m_i$ :
\[
\frac{\overline{x}\displaystyle\sum_{i=1}^Nn_i+\overline{y}\displaystyle\sum_{i=1}^Mm_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i~+~\displaystyle\sum_{i=1}^M m_i}=\underbrace{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_in_i+\displaystyle\sum_{i=1}^M y_im_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i~+~\displaystyle\sum_{i=1}^M m_i}}_{=\overline{m}}
\]
On obtient alors la formule de la propriété.\hfill$\blacksquare$
\end{dem}

\begin{exemple}
Dans la même classe que précédemment, les notes lors du contrôle suivant on été :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{12}{Sc|}}
\hline
\bfseries Notes ($x_i$)& 2 & 3 & 5 & 7 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 & 20\\
\hline
\bfseries Effectifs ($n_i$) & 2 & 1 & 2 & 3 & 5& 2& 8 & 2& 3& 2& 1& 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

La moyenne de cette classe à ce contrôle est donc :
\begin{align*}
\overline{y} & = \frac{4+3+10+21+45+20+88+24+42+30+18+20}{32}\\
\overline{y} & \approx 9,84
\end{align*}
Ainsi, la moyenne de cette classe sur les deux contrôles est :
\begin{align*}
\overline{m} & = \frac{10,4\times 32+9,84\times 32}{32+32}\\
\overline{m} & \approx 10,12
\end{align*}
\end{exemple}

\begin{prop}[(Linéarité de la moyenne)]
Soit $(x_i;n_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$ une série statistique de moyenne $\overline{x}$. Alors, la moyenne de la série $(ax_i+b;n_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$, où $a$ et $b$ sont deux réels non nuls, est :
\[ \overline{y}=a\overline{x}+b\]
\end{prop}

\begin{dem}
\begin{align*}
\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^Nn_i\left(ax_i+b\right)}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i} & = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N an_ix_i+ \displaystyle\sum_{i=1}^N bn_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i}\\
& = \frac{a\displaystyle\sum_{i=1}^N n_ix_i+b\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i}\\
& = a\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_ix_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i}+b\\
& = a\overline{x}+b
\end{align*}
\vskip-2.2em\hfill$\blacksquare$
\end{dem}

\begin{exemple}
Les notes du second contrôle de la classe précédemment observée étant décevante, le professeur décide de multiplier toutes les notes par 1,1 et d'ajouter 0,5.\\
Ainsi, la série statistique obtenue est $\left(1,1x_i+0,5\right)_{i\leqslant i\leqslant 32}$. La nouvelle moyenne est donc :
\[
\overline{y} \approx1,1\times 9,84+0,5\qquad\text{soit}\qquad
\overline{y} \approx11,32
\]
\end{exemple}

\subsection{Le mode}

\begin{defin}
Le \bold{mode} d'une série est le caractère pour lequel l'effectif est le plus grand.\\
Si le caractère est quantitatif continu, on parle de \bold{classe modale}.\\
\begin{itemize}
\item[\color{bleu}$\bullet$] Si les classes sont de même amplitude, la classe modale sera la classe où l'effectif est le plus élevé ;
\item[\color{bleu}$\bullet$] Si les classes ne sont pas de même amplitude, la classe modale sera la classe où la densité d'effectif (ou la densité de fréquence) est la plus élevée.
\end{itemize}

S'il existe deux caractères pour lesquels l'effectif est maximal, 
\begin{itemize}
\item[\color{bleu}$\bullet$] si les caractères se suivent, on parle d'\bold{intervalle modal} ;
\item[\color{bleu}$\bullet$] si les caractères ne se suivent pas, on dit que la série est \bold{plurimodale}.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}[label=\fcolorbox{bleunuit}{bleunuit}{\color{white}\bfseries\arabic*}]
\item Dans l'exemple suivant :
\begin{center}
\fontsize{11}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*{12}{Sc|}}
\hline
\bfseries Notes ($x_i$)& 2 & 3 & 5 & 7 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 & 20\\
\hline
\bfseries Effectifs ($n_i$) & 2 & 1 & 2 & 3 & 5& 2& 8 & 2& 3& 2& 1& 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Le mode est \og 11 \fg.

\item Dans l'exemple suivant :
\begin{center}
\fontsize{11}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*{12}{Sc|}}
\hline
\bfseries Notes ($x_i$)& 2 & 3 & 5 & 7 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 & 20\\
\hline
\bfseries Effectifs ($n_i$) & 2 & 1 & 2 & 3 & 5& 2& 8 & 8& 3& 2& 1& 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

L'intervalle modal est \og $[11;12]$ \fg.

\item Dans l'exemple suivant :
\begin{center}
\fontsize{11}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*{4}{Sc|}}
\hline
\bfseries Tailles (en cm)& [160;170[ & [170;180[ & [180;190[ & [190;200[\\
\hline
\bfseries Effectifs & 13 & 25 & 21 & 9 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
La classe modale est \og [170;180[ \fg.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{exemplesuite}
\begin{enumerate}[start=4,label=\fcolorbox{bleunuit}{bleunuit}{\color{white}\bfseries\arabic*}]
\item Dans l'exemple suivant :
\begin{center}
\fontsize{11}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*{4}{Sc|}}
\hline
\bfseries Tailles (en cm)& [140;170[ & [170;180[ & [180;190[ & [190;210[\\
\hline
\bfseries Effectifs & 13 & 25 & 21 & 30 \\
\hline
\bfseries Densité d'effectif & $\frac{13}{30}\approx0,43$ & $\frac{25}{10}=2,5$ & $\frac{21}{10}=2,1$ & $\frac{30}{20}=1,5$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

La classe modale est \og $[170;180[$ \fg.
\end{enumerate}
\end{exemplesuite}

\bigskip

\begin{methode}
Dans le cas des caractères quantitatifs continus, on peut déterminer avec précision le mode en joignant les bornes inférieures et supérieures des classes qui précèdent et succèdent la classe modale.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.8]
\draw[dotted] (0,0) grid (9,5);
\draw[thick,->] (0,0) -- (10,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,6);
\foreach \x/\t in {1/140,2/150,3/160,4/170,5/180,6/190,7/200,8/210}
{
	\draw[thick] (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {\t};
}
\draw[thick] (1,0) rectangle+(3,2.6);
\draw[thick] (4,0) rectangle+(1,5);
\draw[thick] (5,0) rectangle+(1,4.2);
\draw[thick] (6,0) rectangle+(2,3);
\draw[purple,very thick] (4,2.6) -- (5,5);
\draw[purple,very thick] (4,5) -- (5,4.2);
\draw[dashed,very thick,purple] (4.75,0)-- (4.75,4.4);
\draw[very thick,purple,<-] (4.75,0) -- (4.2,-1) -- (3,-1) node[left] {Mode};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{methode}

\subsection{Les quantiles}

\subsubsection{La médiane}

\begin{defin}
La \bold{médiane} d'une série statistiques est le caractère qui la partage en deux séries de même effectif. On la note $M_e$.
\end{defin}

\begin{methode}
Il est souvent très pratique d'avoir les effectifs (ou fréquences) cumulé(e)s croissant(e)s pour déterminer la médiane.
\end{methode}

\medskip

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{12}{Sc|}}
\hline
\bfseries Notes ($x_i$)& 2 & 3 & 5 & 7 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 & 20\\
\hline
\bfseries Effectifs ($n_i$) & 2 & 1 & 2 & 3 & 5& 2& 8 & 8& 3& 2& 1& 1\\
\hline
\bfseries E.c.c. & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 15 & 23 & 31 & 34 & 36 & 37 & 38\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

La moitié de \og 38 \fg{} est \og 19 \fg, nombre atteint (sur la dernière ligne) pour le caractère \og 11 \fg; ainsi, $M_e=11$.
\end{exemple}

\medskip

\begin{rem}
Lorsque l'effectif total de la série est pair et que la moitié de cet effectif total est exactement atteint pour un caractère, la médiane est égale à la moyenne de ce caractère et du suivant.
\end{rem}

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{12}{Sc|}}
\hline
\bfseries Notes ($x_i$)& 2 & 3 & 5 & 7 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 & 20\\
\hline
\bfseries Effectifs ($n_i$) & 2 & 1 & 2 & 3 & 5& 2& 4 & 12& 3& 2& 1& 1\\
\hline
\bfseries E.c.c. & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 15 & 19 & 31 & 34 & 36 & 37 & 38\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

La moitié de \og 38 \fg{} est \og 19 \fg, nombre atteint \underline{exactement} pour le caractère \og 11 \fg; ainsi, $M_e=11,5$ (moyenne de 11 et 12).
\end{exemple}

\bigskip

\begin{methode}
Quand on a une série statistique à caractères quantitatifs continus, on détermine la médiane à l'aide du \textbf{polygone des e.c.c. (ou f.c.c.)}.
\begin{center}
\fontsize{11}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*{4}{Sc|}}
\hline
\bfseries Tailles (en cm)& [140;170[ & [170;180[ & [180;190[ & [190;210[\\
\hline
\bfseries Effectifs & 13 & 25 & 21 & 30 \\
\hline
\bfseries E.c.c. & 13 & 38 & 59 & 89\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{tikzpicture}[>=stealth',yscale=0.5,xscale=0.7]
\draw[dotted] (0,0) grid (9,9);
\draw[thick,->] (0,0) -- (10,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,10) node[right] {e.c.c.};
\foreach \x/\t in {1/140,2/150,3/160,4/170,5/180,6/190,7/200,8/210}
{
	\draw[thick] (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {\t};
}
\foreach \y in {1,...,9}
{
	\draw[thick] (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\y 0};
}
\draw[thick,purple] (1,0) -- (4,1.3) -- (5,3.8) -- (6,5.9) -- (8,8.9);
\draw[red,thick] (0.1,4.45) -- (-.1,4.45) node[left] {44,5};
\draw[dotted,red] (0,4.45) -- (5.3,4.45) -- (5.3,0);
\draw[<-,thick,red] (5.3,0) -- (5.7,-1) -- (7,-1) node[right] {$M_e$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{methode}

\begin{rem}
On pourrait calculer avec précision la médiane en trouvant l'équation du segment sur [180;190[.\\
En effet, ce segment passe par les points de coordonnées $(180;38)$ et $(190;59)$. Donc son coefficient directeur est :
\[
m=\frac{59-38}{190-180}=\frac{21}{10}
\]
L'équation est donc de la forme :
\[ y=\frac{21}{10}x+p \]
Donc :
\[ p =59-\frac{21}{10}\times190=59-21\times19= -340\]
Donc, l'équation du segment sur [180;190[ est :
\[ y=2,1x-340 \]
Ainsi, nous savons que :
\[ 44,5=2,1M_e-340\]
Donc :
\[
M_e=\frac{10}{21}\left(44,5+340\right)\approx 183
\]
La médiane est donc à peu près égale à 183 cm.
\end{rem}

\subsubsection{Les quartiles}

\begin{defin}
Le \bold{premier quartile} d'une série statistique (noté $Q_1$) est le caractère qui partage la série en deux séries d'effectifs 25\% et 75\%.\\
Le \bold{troisième quartile} d'une série statistique (noté $Q_3$) est le caractère qui partage la série en deux séries d'effectifs 75\% et 25\%.\\
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{12}{Sc|}}
\hline
\bfseries Notes ($x_i$)& 2 & 3 & 5 & 7 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 & 20\\
\hline
\bfseries Effectifs ($n_i$) & 2 & 1 & 2 & 3 & 5& 2& 4 & 12& 3& 2& 1& 1\\
\hline
\bfseries E.c.c. & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 15 & 19 & 31 & 34 & 36 & 37 & 38\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

25\% de 38 est égal à 9,5, atteint pour \og 9 \fg; donc $Q_1=9$.\\
75\% de 38 est égal à 28,5, atteint pour \og 12 \fg; donc $Q_3=12$.
\end{exemple}

\subsubsection{Les déciles}

\begin{defin}
Le \bold{premier décile} d'une série statistique (noté $d_1$) est le caractère qui partage la série en deux séries d'effectifs 10\% et 90\%.\\
Le \bold{neuvième décile} d'une série statistique (noté $d_9$) est le caractère qui partage la série en deux séries d'effectifs 90\% et 10\%.\\
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{12}{Sc|}}
\hline
\bfseries Notes ($x_i$)& 2 & 3 & 5 & 7 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 & 20\\
\hline
\bfseries Effectifs ($n_i$) & 2 & 1 & 2 & 3 & 5& 2& 4 & 12& 3& 2& 1& 1\\
\hline
\bfseries E.c.c. & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 15 & 19 & 31 & 34 & 36 & 37 & 38\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

10\% de 38 est égal à 3,8, atteint pour \og 5 \fg; donc $d_1=5$.\\
90\% de 38 est égal à 34,2, atteint pour \og 14 \fg; donc $d_9=14$.
\end{exemple}

\begin{rem}
On pourrait définir n'importe quel quantile d'ordre $\alpha$ \% comme le premier caractère tel que $\alpha$ \% des valeurs soient inférieures à ce caractère.
\end{rem}

\subsection{Diagramme en bo\^ite}

\subsubsection{\'Etendue}

\begin{defin}
L'\bold{étendue} d'une série statistique à caractères quantitatifs est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs des caractères.
\[
e=x_{\text{max}}-x_{\text{min}}
\]
\end{defin}

\begin{exemple}
Dans l'exemple précédent (notes), la plus petite valeur est \og 2 \fg{} et la plus grande, \og 20 \fg. Donc :
\[e=20-2=18\]
\end{exemple}

\subsubsection{La bo\^ite à moustaches}

La représentation graphique d'une série statistique à une variable est appelée \bold{diagramme en bo\^ite} ou \bold{bo\^ite à moustaches}. 

\newpage

Elle à l'allure suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=stealth'] (-1,-1.5) -- (11,-1.5);
\draw[dotted] (0,0) -- (0,-1.5) node[below] {$x_{\text{min}}$};
\draw[dotted] (1,0) -- (1,-1.5) node[below] {$d_1$};
\draw[dotted] (3,-0.5) -- (3,-1.5) node[below] {$Q_1$};
\draw[dotted] (8,-0.5) -- (8,-1.5) node[below] {$M_e$};
\draw[dotted] (9,-0.5) -- (9,-1.5) node[below] {$Q_3$};
\draw[dotted] (9.3,0) -- (9.3,-2) node[below] {$d_9$};
\draw[dotted] (10,0) -- (10,-1.5) node[below] {$x_{\text{max}}$};
\draw[|-|] (0,0) -- (10,0);
\filldraw[fill=white,draw=black] (3,-0.5) rectangle+(6,1);
\draw (8,-0.5) -- (8,0.5);
\filldraw[fill=white,draw=black] (1,0) circle (2pt);
\filldraw[fill=white,draw=black] (9.3,0) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{rem}
En mettant plusieurs bo\^ites à moustaches les unes en-dessous des autre, on peut comparer visuellement plusieurs séries statistiques.
\end{rem}

\section{Les paramètres de dispersion}

\subsection{Variance et écart-type}

\begin{defin}
Soit $(x_i;n_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$ une série statistique.\\
La \bold{variance} de cette série est le nombre :
\[
V=\frac{1}{n_1+n_2+\cdots+ n_N}\sum_{i=1}^N n_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2
\]
où $\overline{x}$ représente la moyenne de la série.\\
L'\bold{écart-type} de la série statistique est le nombre :
\[ \sigma = \sqrt{V} \]
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{12}{Sc|}}
\hline
\bfseries Notes ($x_i$)& 2 & 3 & 5 & 7 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 & 20\\
\hline
\bfseries Effectifs ($n_i$) & 2 & 1 & 2 & 3 & 5& 2& 8 & 2& 3& 2& 1& 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

On avait calculé précédemment : $\overline{x}\approx9,84$. Donc :
\begin{align*}
V & =\frac{1}{38}[2(2-9,84)^2+1(3-9,84)^2+2(5-9,84)^2+\cdots+1(20-9,84)^2]\\
V& = \frac{539,4192}{38}\\
V& \approx 14,2
\end{align*}
D'où :
\[ \sigma\approx\sqrt{14,2}\approx 3,77 \]
\end{exemple}

\bigskip

\begin{thm}[{de \scshape Koenig (ou \scshape König)}]
Soit $(x_i;n_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$ une série statistique.\\
Alors, 
\[
V=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_ix_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i}-\left(\overline{x}\right)^2
\]
\end{thm}

\begin{dem}
Par définition, on a :
\begin{align*}
V & = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i}\\
 & = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i\left(x_i^2-2x_i\overline{x}+\overline{x}^2\right)}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i}\\
V & = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i x_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i}-2\overline{x}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_ix_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i}+\overline{x}^2\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i}\\
V & = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i x_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i} - 2\overline{x}\times\overline{x}+\overline{x}^2\\
V & = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i x_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^N n_i}-\overline{x}^2
\end{align*}
\vskip-5em\hfill$\blacksquare$
\vskip 5em
\end{dem}

\newpage

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{12}{Sc|}}
\hline
\bfseries Notes ($x_i$)& 2 & 3 & 5 & 7 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 & 20\\
\hline
\bfseries Effectifs ($n_i$) & 2 & 1 & 2 & 3 & 5& 2& 8 & 2& 3& 2& 1& 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

D'après le théorème de {\scshape Koenig}, on a :
\begin{align*}
V & = \frac{2\times 2^2 + 1\times 3^2 + 2\times 5^2 + \cdots + 1\times 20^2}{38}-(9,84)^2\\
V& = \frac{8+9+50+147+\cdots+400}{38}-96,8256\\
V& = \frac{\np{3837}}{38}-96,8256\\
V& \approx 4,15
\end{align*}
\end{exemple}

\bigskip

\begin{rem}
Nous n'obtenons pas ici exactement la même variance que précédemment car trop arrondir implique qu'au final, la valeur approchée obtenue est peu précise.
\end{rem}

\subsection{Les intervalles interquantiles}

\begin{defin}
Les \bold{intervalles interquantiles} d'ordre $\alpha$ \% contiennent $\alpha$ \% des valeurs observées centrales.
\end{defin}

\medskip
\begin{itemize}
\item[\color{bleu}$\bullet$] L'intervalle interquartile est l'intervalle $\left[Q_1;Q_3\right]$ (ou $\left[Q_{25};Q_{75}\right]$) ; il contient 50 \% des valeurs observées centrales ;
\item[\color{bleu}$\bullet$] L'intervalle interdécile est l'intervalle $\left[d_1;d_9\right]$ ; il contient 80 \% des valeurs observées centrales ;
\item[\color{bleu}$\bullet$] L'intervalle intercentile est l'intervalle $\left[c_1;c_{99}\right]$ ; il contient 98 \% des valeurs observées centrales.
\end{itemize}
