\chapter{Méthodes d'ajustement}

\begin{defin}[(Ajustement)]
Un \bold{ajustement} est une représentation graphique qui s'approche le plus possible du nuage de point d'une série statistique à deux variables.
\end{defin}

\section{La méthode de Mayer}

\begin{defin}
La méthode de Mayer consiste à partager la série en deux séries de même effectif afin de trouver leur point moyen $G_1$ et $G_2$. L'ajustement sera alors la droite $\left(G_1G_2\right)$. C'est un \bold{ajustement affine}.
\end{defin}

\begin{exemple}
Reprenons l'exemple du chapitre précédent : on peut partager la série en deux séries : 
\[S_1=\{(-5; 38), (-3; 36), (-1; 30), (2; 29)\}\]
et
\[S_2=\{(5; 25), (7; 20), (10; 15), (13; 12)\}\]
dont les points moyens sont :
\[
G_1(-1,75;33,25)\qquad\text{et}\qquad G_2(8,75;18)
\]
On a alors l'ajustement page suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.5]
\draw[dotted] (-5,0) grid (14,8);
\draw[thick,->] (-6,0) -- (15,0) node[below left,outer ysep=1em] {Température};
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,9) node[right] {Consommation};
\foreach \y/\t in {1/5,2/10,3/15,4/20,5/25,6/30,7/35,8/40}
{
	\draw[thick] (0.2,\y) -- (-0.2,\y) node[left,scale=0.5] {\t};
}
\foreach \x in{-5,-4,...,13}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,scale=0.5] {\x};
}
\foreach \x/\y in {-5/7.6,-3/7.2,-1/6,2/5.8,5/5,7/4,10/3,13/2.4}
{
	\fill[bleunuit] (\x,\y) circle (4pt);
}
\fill[bleu] (3.5,5.125) circle (4pt) node[above] {$G$};
\fill[bleu] (-1.75,6.65) circle (4pt) node[above] {$G_1$};
\fill[bleu] (8.75,3.6) circle (4pt) node[above] {$G_2$};
\draw[bleu] plot[domain=-5:14] (\x,{-0.29048*\x+6.1417});
\end{tikzpicture}
\end{center}

Nous observons que l'ajustement obtenu n'est pas trop éloigné du nuage de points. Nous pouvons alors considéré qu'il est judicieux.
\end{exemple}

\bigskip

Obtenir un ajustement permet de faire des estimations. Par exemple, à l'aide de l'ajustement affine obtenu par la méthode de Mayer, on peut estimer graphiquement à 10 litres la consommation de fuel pour une température extérieure de 14$^\circ$ C.

\section{La méthode des moindres carrés}

\begin{defin}[(Covariance)]
Soit la série statistique $\left\lbrace\left(x_i;y_i\right)\right\rbrace_{1\leqslant i\leqslant n}$. On appelle \bold{covariance} de cette série le nombre :
\[
\sigma_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)
\]
\end{defin}

\begin{prop}[(Formule de Koenig)]
\[
\sigma_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\overline{x}\cdot\overline{y}
\]
\end{prop}

\begin{dem}
\begin{align*}
\sigma_{xy} & = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)\\
& = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_iy_i-x_i\overline{y}-y_i\overline{x}+\overline{x}\cdot\overline{y}\right)\\
& = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\overline{y}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i - \overline{x}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i+\overline{x}\cdot\overline{y}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 1\\
& = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\overline{y}\cdot\overline{x}-\overline{x}\cdot\overline{y}+ \overline{x}\cdot\overline{y}\\
\sigma_{xy} & = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\overline{x}\cdot\overline{y}
\end{align*}
\vskip-1.8em\hfill$\blacksquare$
\end{dem}

%\newpage

\begin{prop}[(Méthode des moindres carrés)]
Soient la série statistique $\left\lbrace\left(x_i;y_i\right)\right\rbrace_{1\leqslant i\leqslant n}$ et la droite $(d)$ : $y=ax+b$.\\
On pose alors $M_i\left(x_i;y_i\right)$, $P_i\left(x_i;ax_i+b\right)$ et :\vspace*{-1em}
\[
e=\sum_{i=1}^n M_iP_i^2=\sum_{i=1}^n\left[y_i-\left(ax_i+b\right)\right]^2
\]
Alors, $e$ est minimum pour $a=\frac{\sigma_{xy}}{V_x}$ et $b=\overline{y}-a\overline{x}$, où $V_x$ est la variance des $x_i$.\\
La droite $(d)$ ainsi obtenue est appelée la droite de régression de $y$ en $x$.
\end{prop}

\begin{dem}
$M_iP_i$ représente, pour $1\leqslant i\leqslant n$, la différence des ordonnées de chacun des points $M_i$ et $P_i$. En élevant au carré ces distances, on est certain d'avoir une quantité positive et en ajoutant ces carrés, on obtient $e$.\\
Ainsi, dire que $e$ est minimal signifie que la droite $(d)$ est la plus proche possible du nuage de points $M_i$.

\medskip

Posons maintenant : \[z_i=y_i-ax_i-b\]
Ainsi,
\[ e= \sum_{i=1}^n z_i^2\]
Si l'on note $V_z$ la variance des $z_i$, on a :
\[
nV_z=e-\overline{z}^2
\]
Donc 
\[
e=nV_z+\overline{z}^2
\]
Ainsi, minimiser $e$ revient à minimiser $nV_z$ et $\overline{z}^2$ car ce sont deux quantités positives.

\medskip

\begin{enumerate}[label=\fcolorbox{vert}{vert}{\color{white}\bfseries\arabic*}]
\item \textbf{Minimisation de $\pmb{nV_z}$.}
\begin{align*}
nV_z & = \sum_{i=1}^n\left(z_i-\overline{z}\right)^2\\
& = \sum_{i=1}^n\left[\left(y_i-\overline{y}\right)-a\left(x_i-\overline{x}\right) \right]^2\\
& = \sum_{i=1}^n\left[\left(y_i-\overline{y}\right)^2 -2a\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right) + a^2\left(x_i-\overline{x}\right)^2 \right]\\
& = \sum_{i=1}^n \left(y_i-\overline{y}\right)^2 -2a\sum_{i=1}^n \left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right) + a^2\sum_{i=1}^n \left(x_i-\overline{x}\right)^2\\
& = nV_y-2na\sigma_{xy}+na^2V_x
\end{align*}
Ainsi, en simplifiant par $n$ (qui est non nul), on a :
\[
V_z=V_x a^2 - 2\sigma_{xy}a + V_y
\]
polynôme du second degré en $a$.\\
Le coefficient de $a^2$ étant strictement positif, le minimum est atteint pour $a=-\dfrac{-2\sigma_{xy}}{2\times V_x}=\dfrac{\sigma_{xy}}{V_x}$

\item \textbf{Minimisation de $\pmb{\overline{z}}$.}

$\overline{z}$ est minimal quand il est nul.
\begin{align*}
\overline{z}=0 & \Leftrightarrow \overline{y}-a\overline{x}-b=0\\
& \Leftrightarrow b=\overline{y}-a\overline{x}
\end{align*}
\end{enumerate}
\vskip-2.2em\hfill$\blacksquare$
\end{dem}

\begin{rem}
Cette dernière égalité implique que la droite $(d)$ passe nécessairement par le point moyen $G$.
\end{rem}

\bigskip

\begin{exemple}
Reprenons l'exemple de la consommation de fuel.\\
On trouve :
\[ \sigma_{xy}\approx -52,062\qquad \text{et}\qquad V_x\approx 35,5\]
D'où : \[ (d)\: :\: y=-1,467x+30,758\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',xscale=0.5,yscale=0.3]
\draw[dotted] (-5,0) grid (14,8);
\draw[thick,->] (-6,0) -- (15,0) node[below left,outer ysep=1em] {Température};
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,9) node[right] {Consommation};
\foreach \y/\t in {1/5,2/10,3/15,4/20,5/25,6/30,7/35,8/40}
{
	\draw[thick] (0.2,\y) -- (-0.2,\y) node[left,scale=0.5] {\t};
}
\foreach \x in{-5,-4,...,13}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,scale=0.5] {\x};
}
\foreach \x/\y in {-5/7.6,-3/7.2,-1/6,2/5.8,5/5,7/4,10/3,13/2.4}
{
	\fill[bleunuit] (\x,\y) circle (4pt);
}
\fill[bleu] (3.5,5.125) circle (4pt) node[above] {$G$};
\draw[bleu] plot[domain=-5:14] (\x,{-0.2934*\x+6.1516}) node[below left] {$(d)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\section{Coefficient de corrélation linéaire}

\begin{defin}
Le \bold{coefficient de corrélation linéaire} est défini par l'égalité :
\[
\sigma = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y}
\]
\end{defin}

Ce nombre permet de qualifier la corrélation entre les $x_i$ et les $y_i$ : si $r>0,95$, on dira que la corrélation est forte et donc que l'ajustement linéaire est justifié.

\medskip

\begin{exemple}
Dans l'exemple précédent, on a :
\[
r=\frac{-52,062}{5,958\times 8,817}\approx 0,99
\]
L'ajustement affine est alors justifié.
\end{exemple}

\bigskip

Nous avons vu jusqu'à présent des nuages de points qui semblaient \^etre autour d'une droite. Cependant, ce n'est pas toujours le cas.\\
Nous allons voir maintenant des ajustements qui ne sont pas affines.

\section{Ajustement exponentiel}

\begin{defin}
Soit la série statistique $\left\lbrace\left(x_i;y_i\right)\right\rbrace_{1\leqslant i\leqslant n}$. Un \bold{ajustement exponentiel} est un ajustement obtenu en considérant la série statistique $\left\lbrace\left(x_i;\ln y_i\right)\right\rbrace_{1\leqslant i\leqslant n}$.
\end{defin}

\begin{exemple}
Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de personnes âgées
de plus de 85 ans, en France métropolitaine, de 1950 à 2000.
\begin{center}
\fontsize{6}{6}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*{11}{Sc|}}
\hline
\bfseries Année & 1950 & 1955 & 1960 & 1965 & 1970 & 1975 & 1980 & 1985 & 1990 & 1995 & 2000\\
\hline
\bfseries Rang ($\pmb{x_i}$) & 0 & 5 & 10  &15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45  &50\\
\hline
\bfseries Effectif ($\pmb{y_i}$) en milliers & 201 & 231 & 290 & 361 & 423 & 498 & 567 & 684 & 874 & \np{1079} & \np{1267}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le nuage de points correspondant est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.3,every node/.style={scale=0.5}]
\draw[dotted] (0,0) grid (11,11);
\draw[thick,->] (0,0) -- (12,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,12);
\foreach \x/\t in {0/0,1/5,2/10,3/15,4/20,5/25,6/30,7/35,8/40,9/45,10/50,11/55}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\t};
}
\foreach \y/\t in {0/200,1/300,2/400,3/500,4/600,5/700,6/800,7/900,8/\np{1000}, 9/\np{1100},10/\np{1200},11/\np{1300}}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\t};
}
\foreach \x/\y in {0/0.01,1/0.3,2/0.9,3/1.6,4/2.23,5/2.98,6/3.67, 7/4.84,8/6.74,9/8.79,10/10.67}
{
	\fill[bleunuit] (\x,\y) circle (2pt);
}
\clip (0,0) rectangle (11,11);
\draw[thick,red] plot[domain=0:11,samples=70] (\x,{0.01*(199*exp(0.037*5*\x)-200)});
\draw[thick,orange] plot[domain=0:11,samples=70] (\x,{0.01*(0.166*25*\x*\x+10.462*5*\x+165.174-200)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

La forme du nuage de points ne nous permet pas de faire un ajustement affine car il semble suivre une courbe exponentielle (ou parabolique).\\
On considère alors les valeurs $z_i=\ln y_i$ pour $1\leqslant i\leqslant 11$.
\begin{center}
\fontsize{6}{6}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*{11}{Sc|}}
\hline
\bfseries Rang ($\pmb{x_i}$) & 0 & 5 & 10  &15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45  &50\\
\hline
\bfseries $\pmb{z_i=\ln y_i}$ & 5,3 & 5,44 & 5,67 & 5,89 & 6,05 & 6,21 & 6,34 & 6,53 & 6,77 & 6,98 & 7,14\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.4,every node/.style={scale=0.5}]
\draw[dotted] (0,0) grid (11,5);
\draw[thick,->] (0,0) -- (12,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,6);
\foreach \x/\t in {0/0,1/5,2/10,3/15,4/20,5/25,6/30,7/35,8/40,9/45,10/50,11/55}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\t};
}
\foreach \y/\t in {0/5,1/{5,5},2/6,3/{6,5},4/7,5/{7,5}}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\t};
}
\foreach \x/\y in {0/0.6,1/0.88,2/1.34,3/1.78,4/2.1,5/2.42,6/2.68, 7/3.06,8/3.54,9/3.96,10/4.28}
{
	\fill[bleunuit] (\x,\y) circle (2pt);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

L'allure de ce nouveau nuage de points nous permet de faire un ajustement affine de $z$ en $x$. \`A l'aide de la méthode des moindres carrés, on trouve alors :
\[
z=0,037x+5,291.
\]
Dans la mesure où $z=\ln y$, on peut dire que $y=\text{e}^z$. On a alors :
\begin{align*}
y = \text{e}^{0,037x+5,291} = 199\text{e}^{0,037x}.
\end{align*}
(La fonction $x \mapsto 199\text{e}^{0,037x}$ est représentée en rouge)
\end{exemple}

\section{Ajustement quadratique}

Nous l'avons vu à travers l'exemple précédent, lorsque le nuage de points est courbé, on peut l'ajuster via un ajustement exponentiel, mais on peut aussi l'approcher avec une parabole.

\bigskip

\begin{defin}
Soit la série statistique $\left\lbrace\left(x_i;y_i\right)\right\rbrace_{1\leqslant i\leqslant n}$, où $y_i\geqslant 0$. Un \bold{ajustement quadratique} est un ajustement obtenu en considérant la série statistique $\left\lbrace\left(x_i;\sqrt{y_i}\right)\right\rbrace_{1\leqslant i\leqslant n}$.
\end{defin}

\begin{exemple}
En considérant l'exemple précédent, on a :
\begin{center}
\fontsize{6}{6}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*{11}{Sc|}}
\hline
\bfseries Rang ($\pmb{x_i}$) & 0 & 5 & 10  &15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45  &50\\
\hline
\bfseries $\pmb{z_i=\sqrt{y_i}}$ & 14,18 & 15,2 & 17,03 & 19 & 20,57 & 22,32 & 23,81 & 26,15 & 29,56 & 32,85 & 35,59\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.5,every node/.style={scale=0.5}]
\draw[dotted] (0,0) grid (11,6);
\draw[thick,->] (0,0) -- (12,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,6);
\foreach \x/\t in {0/0,1/5,2/10,3/15,4/20,5/25,6/30,7/35,8/40,9/45,10/50,11/55}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\t};
}
\foreach \y/\t in {0/10,1/15,2/20,3/25,4/30,5/35,6/40}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\t};
}
\foreach \x/\y in {0/0.836,1/1.04,2/1.406,3/1.8,4/2.114,5/2.464,6/2.762,7/3.23,8/3.912, 9/4.57,10/5.118}
{
	\fill[bleunuit] (\x,\y) circle (2pt);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ce dernier nuage de points nous permet de faire un ajustement affine de $z$ en $x$. \`A l'aide de la méthode des moindres carrés, on a :
\[
z = 0,407x+12,852
\]
Et donc :
\[
y =z^2 =0,166x^2+10,462x+165,174
\]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.5,every node/.style={scale=0.5}]
\draw[dotted] (0,0) grid (11,11);
\draw[thick,->] (0,0) -- (12,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,12);
\foreach \x/\t in {0/0,1/5,2/10,3/15,4/20,5/25,6/30,7/35,8/40,9/45,10/50,11/55}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\t};
}
\foreach \y/\t in {0/200,1/300,2/400,3/500,4/600,5/700,6/800,7/900,8/\np{1000}, 9/\np{1100},10/\np{1200},11/\np{1300}}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\t};
}
\foreach \x/\y in {0/0.01,1/0.3,2/0.9,3/1.6,4/2.23,5/2.98,6/3.67, 7/4.84,8/6.74,9/8.79,10/10.67}
{
	\fill[bleunuit] (\x,\y) circle (2pt);
}
\clip (0,0) rectangle (11,11);
\draw[thick,orange] plot[domain=0:11,samples=70] (\x,{0.01*(0.166*25*\x*\x+10.462*5*\x+165.174-200)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

Nous voyons ici que cet ajustement \og colle \fg{} moins au nuage de points, ce qui sous-entend que ce dernier ajustement est moins bon que l'ajustement exponentiel.
\end{exemple}

\section{Ajustement logarithmique}

\begin{defin}
Soit la série statistique $\left\lbrace\left(x_i;y_i\right)\right\rbrace_{1\leqslant i\leqslant n}$. Un \bold{ajustement logarithmique} est un ajustement obtenu en considérant la série statistique $\left\lbrace\left(x_i;\exp y_i\right)\right\rbrace_{1\leqslant i\leqslant n}$.
\end{defin}

\begin{exemple}
Le tableau ci-dessous donne la production d'électricité d'origine nucléaire en France, exprimée en milliards de kWh, entre 1979 et 2004.\\
Les rangs des années sont calculés par rapport à l'année 1975.
\begin{center}
\fontsize{8}{8}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*9{Sc|}}
\hline
\bfseries Année & 1979 & 1985 & 1990 & 1995 & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004\\
\hline
\bfseries Rang $\pmb{x_i}$ & 4 & 10 & 15 & 20 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29\\
\hline
\bfseries Production $\pmb{y_i}$ & 37,9 & 213,1 &297,9 &	358,8 	& 395,2 &	401,3 &	416,5 &	420,7 &	427,7\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{tikzpicture}[>=stealth',xscale=0.2,yscale=0.07,every node/.style={scale=0.75}]
\draw[dotted] (0,0) grid (30,50);
\draw[thick,->] (0,0) -- (35,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,55);
\foreach \x in {0,5,...,30}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {0,10,...,50}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\y 0};
}
\foreach \x/\y in {4/3.79,10/21.31,15/29.79,20/35.88,25/39.52,26/40.13,27/41.65,28/42.07,29/42.27}
{
	\fill[bleunuit] (\x,\y) ellipse (10pt and 20pt);
}
\clip (0,0) rectangle (30,50);
\draw[thick,red] plot[domain=7:50,samples=70] (\x,{10*ln(2.925*\x-17.946)});
\draw[thick,orange] plot[domain=2:50,samples=70] (\x,{0.1*(197*ln(\x)-235)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

L'allure du nuage de point nous fait penser à une courbe logarithmique. On pourrait donc effectuer le changement de variable :
\[ z_i=\text{e}^{y_i} \quad ,\quad 1\leqslant i\leqslant 9\]
Mais pour des raisons de simplifications de calculs, je préfère le changement de variable suivant :
\[ z_i=\text{e}^{0,01y_i} \quad ,\quad 1\leqslant i\leqslant 9\]
On a alors :
\begin{center}
\fontsize{8}{8}\selectfont
\begin{tabular}{|Sl|*9{Sc|}}
\hline
\bfseries Rang $\pmb{x_i}$ & 4 & 10 & 15 & 20 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29\\
\hline
\bfseries $\pmb{z_i=\text{e}^{0,1y_i}}$ & 1,46 & 8,42 & 19,67 & 36,16 & 52,04 & 55,31 & 64,39 & 67,15 & 72,02\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{tikzpicture}[>=stealth',xscale=0.2,yscale=0.05,every node/.style={scale=0.75}]
\draw[dotted] (0,0) grid[ystep=10,xstep=5] (30,75);
\draw[thick,->] (0,0) -- (35,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,80);
\foreach \x in {0,5,...,30}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {0,10,...,80}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\y};
}
\foreach \x/\y in {4/1.46,10/8.42,15/19.67,20/36.16,25/52.04,26/55.31,27/64.39,28/67.15, 29/72.02}
{
	\fill[bleunuit] (\x,\y) ellipse (10pt and 40pt);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\begin{exemplesuite}
%\valeurs{4/1.46,10/8.42,15/19.67,20/36.16,25/52.04,26/55.31,27/64.39,28/67.15, 29/72.02}
%\RegLin
L'équation de la droite de régression de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est :
\[
z=2,925x-17,946
\]
D'où :
\[
y=\ln z = \ln(2,925x-17,946)\quad,\quad x>6
\]
La fonction $x \mapsto \ln(2,925x-17,946)$ est tracée en rouge sur le premier graphique.
\end{exemplesuite}

\bigskip

\begin{rem}
On peut effectuer n'importe quel changement de variable qui nous paraît judicieux. En effet, si l'on effectue le changement de variable $z_i=f\left(y_i\right)$ et si l'on effectue un ajustement affine sur les $z_i$, alors $y_i=f^{-1}\left(z_i\right)$, où $f^{-1}$ est la fonction réciproque de $f$ (sous réserve qu'elle existe).
\end{rem}

\bigskip

Plutôt que d'effectuer un changement de variable, on peut aussi considérer que la fonction dont la courbe représentative approchera le nuage de point est de la forme :
\[
f(x)=a\ln x + b
\]
\`A nous de déterminer les meilleures valeurs de $a$ et $b$. On peut par exemple considérer que la courbe passe par le 1\ier{} et le dernier point du nuage. Ainsi, on a à résoudre le système :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
a\ln 4&+b=37,9\\
a\ln 29&+b=427,7
\end{array}
\right.
\]
On peut alors prendre $a=197$ et $b=-235$. On obtient alors la courbe orange dessinée sur le premier graphique et on constate que $f$ est une bien meilleure approximation que celle obtenue par la méthode précédente.