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\title{Applications linéaires\\Fiche technique}
\author{Stéphane PASQUET}
\date{\today}
\newcounter{exple}
\newcommand{\exple}{\stepcounter{exple}\paragraph*{Exemple \theexple.}}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\maketitle

\section*{Montrer qu'une application est linéaire.}

Pour montrer qu'une application $f\ :\ E \rightarrow\ F$ est linéaire, on montre que :
\[ \forall (u,v)\in E,\ \forall\lambda\in\R,\ f(\lambda u+ v)=\lambda f(u)+f(v) \]

\exple On considère l'application $f$ de $\R^2$ dans $\R^2$ telle que :
\[ f(x;y)=(x-2y;3x-y) \]
Soient alors $u(x;y)$ et $v(x';y')$ deux vecteurs de $\R^2$, et soit $\lambda\in\R$. Alors :
\[ \lambda u (\lambda x ; \lambda y)\]
Et donc :
\[ \lambda u + v = (\lambda x + x' ; \lambda y + y') \]
Ainsi, on a :
\begin{align*}
f(\lambda u + v) & = (\lambda x + x' - 2(\lambda y + y') ; 3(\lambda x + x') - (\lambda y + y')\\
& = (\lambda x - 2\lambda y + x' - 2y' ; 3\lambda x - \lambda y + 3x' - y')\\
& = (\lambda x - 2\lambda y ; 3\lambda x - \lambda y) + (x'-2y' ; 3x'-y')\\
& = \lambda (x-2y ; 3x-y) + (x'-2y' ; 3x'-y')\\
& = \lambda f(u) + f(v)
\end{align*}

\underline{L'application $f$ est donc linéaire.}

\medskip

La présentation en ligne des coordonnées des vecteurs n'est pas très pratique pour la lisibilité. on pourra alors les présenter en colonne pour y voir mieux :

\[ f(x;y) = \begin{pmatrix}x-2y\\3x-y\end{pmatrix} \quad ; \quad u\binom{x}{y}\in\R^2 \quad ; \quad v\binom{x'}{y'}\in\R^2\]

\begin{align*}
f(\lambda u + v) & = \begin{pmatrix}\lambda x + x' - 2(\lambda y + y')\\3(\lambda x + x') - (\lambda y + y'\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}\lambda x - 2\lambda y + x' - 2y'\\3\lambda x-\lambda y + 3x'-y'\end{pmatrix}\\
& = \lambda\begin{pmatrix}x-2y\\3x-y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x'-2y'\\3x'-y'\end{pmatrix}\\
& = \lambda f(u)+f(v)
\end{align*}

\newpage


\section*{Déterminer le noyau d'une application linéaire.}

Pour déterminer le noyau d'une application linéaire $f\ :\ E \rightarrow F$, on détermine les coordonnées de tous les vecteurs $u\in E$ pour que $f(u)=0_F$ (vecteur nul de $F$). On cherche donc des conditions sur les coordonnées de $u$.
\[ \ker(f)=\{u\in E\vert f(u)=0_F\} \]

\exple On considère l'application $f$ de $\R^2$ dans $\R^2$ telle que :
\[ f(x;y)=(x-2y;3x-y) \]
\begin{align*}
u\dbinom{x}{y}\in\ker(f) & \Leftrightarrow f(u)=0_{\R^2}\\
& \Leftrightarrow \begin{pmatrix}x-2y\\3x-y\end{pmatrix}=\dbinom{0}{0}\\
& \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x-2y=0\\3x-y=0\end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2y\\3\times 2y-y=0\end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2y\\y=0\end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow u\dbinom{0}{0}
\end{align*}
Ainsi, $\ker(f)=\left\{u\in\R^2\vert u\dbinom{0}{0} \right\}=\left\{\dbinom{0}{0}\right\}=\left\{ 0_{\R^2} \right\}$ (on adoptera uniquement l'une de ses notations).

\exple Soit $f:\R^3\rightarrow\R^2$ telle que $f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-y\\-x-z\end{pmatrix}$.
\begin{align*}
u\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\ker(f) & \Leftrightarrow f(u)=0_{\R^2}\\
& \Leftrightarrow \begin{pmatrix}2x-y\\-x-z\end{pmatrix} = \dbinom{0}{0}\\
&\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2x-y=0\\-x-z=0\end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=2x\\z=-x\end{array} \right. \textcolor{red}{\text{On exprime deux inconnues en fonction de l'autre}}\\
& \Leftrightarrow u\begin{pmatrix}x\\2x\\-x\end{pmatrix},\ x\in\R	
\end{align*}
On en déduit alors que $\ker(f)=\left\{u\begin{pmatrix}x\\2x\\-x\end{pmatrix},\ x\in\R	\right\}=\left\langle \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}	 \right\rangle$
\end{document}