\documentclass[10pt]{article}
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\title{Développements limités}
\author{Stéphane PASQUET}
\date{\today}
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\newcommand{\e}{\text{e}}
\newcounter{exo}
\newcommand{\exo}{\stepcounter{exo}\paragraph*{Exercice \theexo.}}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
\bfseries\Large Rappels de cours
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Théorème des accroissements finis (T.A.F.) :}

Soit $f$ une fonction continue sur $[a~;b]$ et dérivable sur $]a~;b[$. Alors :
\[
\exists c\in ]a~;b[,\ f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)
\]

\item \textbf{Théorème de Rolle (cas particulier du T.A.F.) :}

Soit $f$ une fonction continue sur $[a~;b]$, dérivable sur $]a~;b[$ et telle que $f(a)=f(b)$. Alors : 
\[
\exists c\in ]a~;b[,\ f'(c)=0
\]

Soit $f:\; [a~;b]\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathscr{C}^n$, $n\in\mathbb{N}^*$.

\item \textbf{Formule de Taylor-Lagrange (généralisation du T.A.F.) :}
\[ \exists c\in ]a~;b[,\ f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(c)\]

\item \textbf{Formule de Taylor avec reste intégral :}
\[ f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(a)+\cdots+\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}+\int_a^b\frac{(b-t)^n}{(n-1)!}f^{(n)}(t)\dt\]

\item \textbf{Formule de Taylor-Young :}
\[
\exists x_0\in]a~;b[,\ f(x_0+h)+f(x_0)+hf'(x_0)+\frac{h^2}{2!}f''(x_0)+\cdots+\frac{h^n}{n!}f^{(n)}(x_0)+h^n\varepsilon(h), \quad\lim_{h\to0}\varepsilon(h)=0
\]

\item \textbf{Quelques D.L. connus au voisinage de 0 :}

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x)$, $\lim\limits_{x\to0}\varepsilon(x)=0$.
\item[$\bullet$] $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}+x^n\varepsilon(x)$, $\lim\limits_{x\to0}\varepsilon(x)=0$.
\item[$\bullet$] $\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+x^n\varepsilon(x)$, $\lim\limits_{x\to0}\varepsilon(x)=0$.
\item[$\bullet$] $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}+ x^n\varepsilon(x)$, $\lim\limits_{x\to0}\varepsilon(x)=0$.
\item[$\bullet$] $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+x^{2n+1}\varepsilon(x)$, $\lim\limits_{x\to0}\varepsilon(x)=0$.
\item[$\bullet$] $\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+x^{2n+2}\varepsilon(x)$, $\lim\limits_{x\to0}\varepsilon(x)=0$.
\item[$\bullet$] $\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}+x^{2n+1}\varepsilon(x)$, $\lim\limits_{x\to0}\varepsilon(x)=0$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\newpage

\exo Montrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $\dfrac{x}{1+x^2}\leqslant \arctan x\leqslant x$.

\exo \`A l'aide du T.A.F., calculez $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\cos x-\cos \frac{1}{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{2}}}$.

\exo Déterminer les asymptotes de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x}{1+\e^{\frac{1}{x}}}$.

\exo{Exercice 4.} Calculez $\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{3}}\left(\dfrac{\e^{x-\frac{\pi}{3}}-2\cos x}{\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.

\exo Calculez $\lim\limits_{x\to3}\left(\dfrac{\e^{x-3}+\ln\left(\e^{x-4}\right)-x^2+2x+3}{x-4+\cos(x-3)}\right)$.

\exo Calculez $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{x-\dfrac{3\sin x}{2+\cos x}}{x^5}\right)$.

\exo Calculez $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{\e^{\sin x}+\cos x-x-2}{\sin (x^2)\sin^2 x}\right)$.

\exo Calculez  $\lim\limits_{x\to0}\left[\dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{1}{1+x}-\cos x\right)\right]$.

\exo Calculez  $\lim\limits_{x\to0} \left(\dfrac{\arctan x-x}{\sin x-x}\right)$.

\exo Calculez  $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{\e^x-\cos x-\sin x}{x^2}\right)$.

\exo Calculez  $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{x}{\e^x-1}\right)$.

\exo Soit $a\in\mathbb{R}$. On pose alors $f(x)=a\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{x}}-\cos x$. 
\begin{enumerate}
\item Calculez $\lim\limits_{x\to0} f(x)$.
\item Calculez $\lim\limits_{x\to0} f'(x)$.\\
En déduire l'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}

\exo Calculez  $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{x^2\sin ^2 x}{x-\sin x}\right)$, puis  $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-x^2\ln(1+x)\right)$.

\exo Calculez  $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{\sin(3x)}{1-\e^{2x}}\right)$, puis  $\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\left(\dfrac{1-\tan x}{\cos(2x)}\right)$.

\exo Calculez  $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{\sqrt{\cos x}-1+\sin\left(\frac{x^2}{4}\right)}{\tan x-\text{th}~x}\right)$.

\exo Calculez  $\lim\limits_{x\to1} \left(\dfrac{x\ln x}{x^2-1}\right)$, puis  $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{2^x-4}{x-2}\right)$.
\end{document}