\documentclass{book}
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\begin{document}
\paragraph*{Exercice 1} On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x)=-x+2+x^2\e^{-2x}\]
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left(O;\vv{i},\vv{j}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$, puis $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$.\\
Etudier les branches infinies de $\mathscr{C}$ (on donnera l'équation de l'asymptote oblique $\mathscr{D}$).
\item On considère la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ u(x)=2x(1-x)\e^{-2x}-1\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $\lim\limits_{x\to -\infty} u(x)$, puis $\lim\limits_{x\to +\infty} u(x)$.\\
\emph{On admettra pour cette dernière limite que $\lim\limits_{t\to -\infty} t^n\e^{t}=0$ pour $n>0$.}
\item Calculer $u'(x)$.
\item Etudier son signe puis donner le sens de variation de $u$ sur $\mathbb{R}$.\\
Calculer $u\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ puis en déduire le signe de $u(x)$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ puis montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
\item Montrer que $\mathscr{C}$ admet deux points d'inflexion, dont on précisera les abscisses.
\item Montrer que $\mathscr{D}$ est tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0.
\item Tracer $\mathscr{C}$ sur l'intervalle $[-1;6]$.\\
On prendra pour unité graphique en abscisses 2cm et en unité graphique en ordonnées 1 cm.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2.} On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par :\[f(x)=\e^x+3\sqrt{x}-2\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$, puis $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$.
\item Calculer $f'(x)$, puis en déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}_+$.

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par : \[ g(x)=\frac{1}{9}\left(2-\e^x\right)^2\] et la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=g\left(u_n\right),\ \forall n\in\mathbb{N}^*
\end{array}
\right.
\]

\item Montrer que résoudre l'équation $f(x)=0$ équivaut à résoudre l'équation $g(x)=x$.\\
On note $\alpha$ cette solution. Montrer que $\alpha \in [0;1]$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \in [0;1]$.
\item Calculer $g'(x)$ puis montrer que pour tout réel $x$ dans $[0;1]$, $\vert g'(x) \vert < \frac{1}{4}$.
\item Montrer, à l'aide de l'inégalité des accroissements finis, l'inégalité suivante~: \[ \forall n\in\mathbb{N},\quad\vert u_{n+1}-\alpha \vert \leq \frac{1}{4}\vert u_n-\alpha\vert\]
\item En déduire alors : \[ \forall n\in\mathbb{N},\quad \vert u_n-\alpha\vert\leq\left(\frac{1}{4}\right)^n\]
\item Montrer alors que $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.
\item Donner le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n$ soit une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\alpha$.\\
Donner cette valeur approchée.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 3.} Un joueur participe à un jeu se jouant en plusieurs parties. Ses observations lui permettent d'affirmer que :

\begin{itemize}
\item s'il gagne deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité $\frac{2}{3}$ ;
\item s'il perd une partie et gagne la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité $\frac{1}{2}$ ; 
\item s'il gagne une partie et perd la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité $\frac{1}{2}$ ;
\item s'il perd deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité $\frac{1}{3}$.
\end{itemize}

\medskip

\noindent
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note :
\begin{center}$A_n$ : \og le joueur gagne la $n$\ieme{} partie \fg{} \end{center}

De plus, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on pose :
\[ E_n=A_{n-1}\cap A_n \quad ; \quad F_n=\overline{A_{n-1}}\cap A_{n}\quad ; \quad G_n=A_{n-1}\cap \overline{A_n}\quad ; \quad H_n=\overline{A_{n-1}}\cap\overline{A_n}\]

\begin{enumerate}
\item On admet que $\left(E_n;F_n;G_n;H_n\right)$ est un système complet d'événements.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : \[P\left(E_{n+1}\right)=\frac{2}{3}P(E_n)+\frac{1}{2}P(F_n)\]
\item Exprimer de la même façon les probabilités $P(F_{n+1})$, $P(G_{n+1})$ et $P(H_{n+1})$. \emph{On ne demande aucune justification}.
\item Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on pose :
\[ U_n=\begin{pmatrix}P(E_n)\\P(F_n)\\P(G_n)\\P(H_n)\end{pmatrix}\]
Vérifier que $U_{n+1}=AU_n$, où $A=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}&0&0\\0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}&0&0\\0&0&\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}

\item 
On pose : 
\[ P=
\begin{pmatrix}1&1&3&3\\-2&-1&-1&2\\2&-1&1&2\\-1&1&-3&3\end{pmatrix}
\qquad ; \qquad Q=
\begin{pmatrix}
-1&-3&3&1\\2&-3&-3&2\\2&1&-1&-2\\1&1&1&1
\end{pmatrix}\qquad ; \qquad
D=\begin{pmatrix}
-\frac{1}{3}&0&0&0\\0&\frac{1}{6}&0&0\\0&0&\frac{1}{2}&0\\0&0&0&1
\end{pmatrix}
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $PQ$. En déduire que $P$ est inversible et donner son inverse.
\item Montrer que $A=PDP^{-1}$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $A^n=PD^nP^{-1}$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $U_n=A^{n-2}U_2$.
\item Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, donner la première colonne de $A^n$, puis en déduire $P(E_n)$, $P(F_n)$, $P(G_n)$ et $P(H_n)$.
\item Calculer alors $\lim\limits_{n\to +\infty} P(E_n)$, $\lim\limits_{n\to +\infty} P(F_n)$, $\lim\limits_{n\to +\infty} P(G_n)$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} P(H_n)$.
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $k$ non nul, on note $X_k$ la variable aléatoire qui vaut 1 si le joueur gagne la $k$\ieme{} partie et qui vaut 0 sinon ($X_1$ et $X_2$ sont donc deux variables certaines).

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à 2, exprimer $A_k$ en fonction de $E_k$ et $F_k$.
\item En déduire, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à 2, la loi de $X_k$.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on note $S_n$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur lors des $n$ premières parties.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(S_n = 2)$ en distinguant les cas $n = 2$, $n = 3$ et $n\geq 4$.
\item Déterminer $P(S_n = n)$.
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, écrire $S_n$ en fonction des variables $X_k$, puis déterminer l'espérance $E(S_n)$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\scshape\bfseries\Large Correction
\end{center}

\paragraph*{Exercice 1.}

\begin{enumerate}
\item On peut écrire : $f(x)=x\left(-1+\frac{2}{x}-(-x\e^{-x})\times\e^{-x}\right)$. D'où : 

$
\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2}{x} = 0\\
\lim\limits_{x \to +\infty} (-x\e^{-x}) = 0\\
\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x} = 0
\end{array}
\right\rbrace \Rightarrow \boxed{\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)= -\infty}
$

\medskip

De plus, on peut écrire $f(x)=x^2\left(-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}+\e^{-2x}\right)$. D'où : 

$
\left.
\begin{array}{l}
\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{-1}{x} = 0\\
\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{2}{x^2} = 0\\
\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-2x} = +\infty
\end{array}
\right\rbrace \Rightarrow \lim\limits_{x \to -\infty} \left(-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}+\e^{-2x}\right)= +\infty
\\
\hfill\lim\limits_{x\to -\infty} x^2 = +\infty
\end{array}
\right\rbrace \Rightarrow \boxed{\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty}
$

\medskip

On peut alors remarquer que :\\
$\lim\limits_{x\to +\infty}\left(f(x)-(-x+2)\right)=\lim\limits_{x^2\to +\infty} x\e^{-2x}=0$ (d'après ce qui a été fait auparavant).\\
Ce qui implique que la droite d'équation $y=-x+2$ est une asymptote oblique en $+\infty$.

\item

\begin{enumerate}
\item On a :

$
\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to -\infty} 2x=-\infty\\
\lim\limits_{x\to -\infty} (1-x)=+\infty\\
\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-2x}=+\infty
\end{array}\right\rbrace\Rightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to -\infty} u(x)=-\infty}$

\medskip

De plus, on peut écrire : $u(x)=-(-2x)\e^{-2x}+\frac{1}{2}\left((2x)^2\e^{-2x}\right)-1$.\\
Or, $\lim\limits_{t\to -\infty} \left(t^n\e^{t}\right)=0$ pour $n>0$ donc $\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty} u(x)=-1}$


\item On peut écrire : $u(x)=(2x-2x^2)\e^{-2x}$. Donc :

$
\begin{array}{rcl}
u'(x) & = & (2-4x)\e^{-2x}+(2x-2x^2)(-2\e^{-2x})\\
& = & [2-4x-2(2x-2x^2)]\e^{-2x}\\
& = &(2-4x-4x+4x^2)\e^{-2x}\\
& = & (4x^2-8x+2)\e^{-2x}
\end{array}$

\item $\e^{-2x}>0$ donc $u'(x)$ est du signe de $P(x)=4x^2-8x+2)$. 

\medskip

Le discriminant de $P$ est :\\
$\Delta = (-8)^2-4\times 4\times 2 = 64-32=32$.\\
Ainsi, $P$ admet deux racines :
\[ x_1=\frac{8-\sqrt{32}}{8}=\frac{8-4\sqrt{2}}{8}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[ x_2=\frac{8+\sqrt{32}}{8}=\frac{8+4\sqrt{2}}{8}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}\]

D'où le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2]{$x$/0.8,$u'(x)$/.8,$u(x)$/1}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$u(x_1)$,-/,+/$-1$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

$u\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\times\frac{2+\sqrt{2}}{2}\times\left[1-\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\e^{-2\times\frac{2+\sqrt{2}}{2}}-1$\\
$u\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=(2+\sqrt{2})\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\e^{-2-\sqrt{2}}-1$\\
$u\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\left(\sqrt{2}+1\right)\e^{-2-\sqrt{2}}-1$\\
$u\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\approx -0,92$

\medskip

On voit alors que $u(x)<0$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\item $f'(x)=-1+2x\e^{-2x}+x^2\left(-2\e^{-2x}\right)=-1+2x(1-x)\e^{-2x}=u(x)$.\\
On a montré que $u(x)<0$ sur $\mathbb{R}$ donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

\item $\mathscr{C}$ admet un point d'inflexion lorsque $f''(x)$ s'annule en changeant de signe. \\
Or, $f''(x)=u'(x)$, et nous avons vu que $u'(x)$ s'annulait en changeant de signe pour $x_1$ et $x_2$.\\
Ainsi, $\mathscr{C}$ admet deux points d'inflexion d'abscisses $x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $x_2~=~1~+~\frac{\sqrt{2}}{2}$.

\item L'équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0 est :
\[ y=f'(0)(x-0)+f(0)\]
\[ y=-x+2\]
On remarque que c'est l'équation de l'asymptote $\mathscr{D}$ à $\mathscr{C}$ en $+\infty$.
\item Voir courbe page suivante.

\newpage

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=1]
\draw[gray!50] (-1,-5) grid[step=1] (6,10);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-1,0) -- (6,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-5) -- (0,10);
\draw[blue] plot[domain=-1:6] (\x,{-\x+2});
\draw[thick,red] plot[domain=-1:6,samples=100] (\x,{-\x+2+\x*\x*exp(-2*\x)});
\node[blue,below right] at (-1,2.7) {$\mathscr{D}$};
\node[red,right] at (-1,9.5) {$\mathscr{C}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\paragraph*{Exercice 2.}

\begin{enumerate}
\item $f(0)=\e^0+3\sqrt{0}-2=1-2=-1$. Donc \underline{$f(0)=-1$}.

\medskip

De plus, nous avons :

$
\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty\\
\lim\limits_{x\to +\infty} 3\sqrt{x}=+\infty\\
\end{array}\right\rbrace\Rightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty}$

\item $f'(x)=\e^x+\frac{3}{2\sqrt{x}}$. Ainsi, $f'(x)>0$ sur $\mathbb{R}_+$, ce qui signifie que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.

\item On a les équivalences suivantes :
\begin{align*}
f(x)=0 & \Leftrightarrow \e^{x}+3\sqrt{x}-2=0\\
& \Leftrightarrow 3\sqrt{x}=2-\e^{x}\\
& \Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{3}\left(2-\e^{x}\right)\\
& \Leftrightarrow \left(\sqrt{x}\right)^2=\frac{1}{3^2}\left(2-\e^x\right)^2\\
& \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\left(2-\e^x\right)^2\\
& \Leftrightarrow x = g(x)
\end{align*}

\medskip

$f(1)=\e^1+3\sqrt{1}-2=\e+1>0$.\\
De plus, nous avons vu à la question 1 que $f(0)<0$.\\
Or, $f$ est strictement décroissante et dérivable sur $[0;1]$ donc, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[0;1]$.\\
\underline{Donc $\alpha\in[0;1]$.}

\item Montrons par récurrence que $u_n\in[0;1]$ pour tout entier naturel $n$.

\begin{description}
\item[$\bullet$] \textbf{Initialisation.} $u_0=1\in[0;1]$.
\item[$\bullet$] \textbf{Hérédité.} Supposons que, pour un certain rang $n$, $u_n\in[0;1]$ (hypothèse de récurrence).\\
Alors, On a les implications suivantes :
\begin{align*}
u_n\in[0;1] & \Rightarrow \e^0 \leq \e^{u_n} \leq \e^1\\
& \Rightarrow 1\leq \e^{u_n} \leq \e\\
& \Rightarrow -\e \leq -\e^{u_n} \leq -1\\
& \Rightarrow 2-\e\leq 2-\e^{u_n}\leq 2-1\\
& \Rightarrow 2-\e\leq 2-\e^{u_n}\leq 1\\
& \Rightarrow (2-\e)^2\leq \left(2-\e^{u_n}\right)^2\leq 1\\
& \Rightarrow \frac{1}{9}(2-\e)\leq \frac{1}{9}\left(2-\e^{u_n}\right)^2\leq \frac{1}{9}\\
& \Rightarrow 0 < g\left(u_n\right) < 1\\
& \Rightarrow 0 < u_{n+1} < 1
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.\\
\underline{Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}\in[0;1]$.}
\end{description}

\item $g'(x)=\frac{1}{9}\times 2(-\e^x)\left(2-\e^x\right)$, d'où $\underline{g'(x)=-\frac{2}{9}\e^x\left(2-\e^x\right)}$.\\
On a les équivalences suivantes :

\begin{align*}
0 \leq x \leq 1 & \Leftrightarrow \e^0\leq \e^x\leq \e^1\\
& \Leftrightarrow \left\lbrace
\begin{array}{l}
-\frac{2}{9}\e \leq -\frac{2}{9}\e^x\leq -\frac{2}{9}  \\
2-\e\leq 2-\e^x\leq 1
\end{array}
\right.\\
& \Leftrightarrow -\frac{2}{9}(2-\e)\leq g'(x)\leq -\frac{2}{9}\\
&\Leftrightarrow \vert g'(x) \vert \leq \frac{2}{9}<\frac{1}{4}
\end{align*}

\item On sait que $u_n\in[0;1]$, pour tout entier naturel $n$, et que $\alpha\in[0;1]$. De plus, $g$ est dérivable sur $]0;1[$, continue sur $[0;1]$, et sur $]0;1[$, $\vert g'(x)\vert\leq\frac{1}{4}$.\\
Ainsi, d'après l'inégalité des accroissements finis appliquée sur l'intervalle $)u_n;\alpha($ :
\[\forall n\in\mathbb{N},\qquad \left\vert f\left(u_n\right)-f(\alpha)\right\vert\leq\frac{1}{4}\left\vert u_n-\alpha\right\vert\]
Soit :
\[\forall n\in\mathbb{N},\qquad\vert u_{n+1}-\alpha\vert\leq\frac{1}{4}\vert u_n-\alpha\vert \]
car $f(u_n)=u_{n+1}$ et $f(\alpha)=\alpha$, par définitions.

\item Montrons l'inégalité à l'aide d'un raisonnement par récurrence.

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \textbf{Initialisation.} Pour $n=0$, $\vert u_0-\alpha\vert\leq 1$ car $u_0\in[0;1]$ et $\alpha\in[0;1]$.
\item[$\bullet$] \textbf{Hérédité.} Supposons que pour un certain rang $n$, $\vert u_n-\alpha\vert \left(\frac{1}{4}\right)^n$.\\
D'après la question précédente, on sait que : \[ \vert u_{n+1}-\alpha\vert\leq\frac{1}{4}\vert u_n-\alpha\vert\]
Et donc, d'après l'hypothèse de récurrence :
\[ \vert u_{n+1}-\alpha\vert\leq\frac{1}{4}\times\left(\frac{1}{4}\right)^n\]
Soit : \[ \vert u_{n+1}-\alpha\vert\leq\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\]
L'hérédité est alors vérifiée. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ :
\[\boxed{\vert u_n-\alpha\vert\leq\left(\frac{1}{4}\right)^{n}} \]
\end{itemize}
\item On sait que $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n=0$ car $\frac{1}{4}\in]0;1[$.\\
Ainsi, d'après l'inégalité démontrée à la question précédente et le théorème des gendarmes, \[\lim_{n\to +\infty}\vert u_n-\alpha\vert=0\]
Ce qui implique alors : \[ \boxed{\lim_{n\to +\infty} u_n=\alpha}\]
\item $\vert u_n-\alpha\vert$ représente la différence entre $u_n$ et $\alpha$. Ainsi, si $\vert u_n-\alpha\vert\leq 0,001$, $u_n$ représentera une valeur approchée de $\alpha$ avec une erreur inférieure à 0,001.\\
Or, on sait que $\vert u_n-\alpha\vert\leq\frac{1}{4^n}$ ; ainsi, si $\frac{1}{4^n}\leq 0,001$, $u_n$ sera toujours une valeur approchée de $\alpha$ à 0,001 près. On a les équivalences suivantes :
\begin{align*}
\frac{1}{4^n}\leq 0,001 & \Leftrightarrow 4^n \geq \np{1000}\\
& \Leftrightarrow \ln 4^n \geq \ln\np{1000}\\
& \Leftrightarrow n\ln 4 \geq \ln\np{1000}\\
&\Leftrightarrow n\geq \frac{\ln\np{1000}}{\ln 4}\approx 4,98
\end{align*}

Ainsi, pour $n=5$, on a une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.\\
Il suffit donc de calculer $u_1,\ u_2,\ u_3,\ u_4$ et $u_5$.\\
\underline{On obtient alors $u_5\approx 0,091$.}
\end{enumerate}
\end{document}