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\title{\'Equations différentielles du premier ordre à variables séparables}
\author{Stéphane PASQUET}
\date{\today}
\newcounter{exo}
\newcommand{\exo}{\stepcounter{exo}\paragraph*{Exercice \theexo.}}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
\bfseries\Large Rappels de cours
\end{center}

Ce sont les équations différentielles de la forme :
\[ y'=f(x)g(y) \]
Dans ce cas, on peut écrire :
\[ \frac{y'}{g(y)}=f(x) \]
Et donc :
\[ \int \frac{\text{d}y}{g(y)} = \int f(x)\dx \]

\bigskip

\begin{center}
\bfseries\Large Exercices
\end{center}

\exo Montrer que les solutions de l'équation différentielle $y'=-\dfrac{x}{y}$ sont les fonctions $f$ telles que $f(x)=\pm\sqrt{C-x^2}$, $C\in\R$.

\exo Montrer que les solutions de l'équation différentielle $y'=y\ln(x)$ sont les fonctions $f$ telles que $f(x)=Cx^x\e^{-x}$, $C\in\R$.

\exo Montrer que les solutions de l'équation différentielle $y'=\dfrac{6}{y^4}$ sont les fonctions $f$ telles que $f(x)=\sqrt[5]{30x+C}$, $C\in\R$.

\exo Montrer que l'équation différentielle $\e^{x+y}y'+1=0$ admet pour solutions les fonctions $f$ telles que $f(x)=\ln\left(\e^{-x}+C\right)$, $C\in\R$.

\exo Montrer que l'équation différentielle $y'=2xy(y-1)$ admet pour solutions les fonctions $f$ telles que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] S'il existe un réel $c$ telle que $f(c)=0$ ou $f(c)=1$, $f(x)=C$, $C\in\{0;1\}$.
\item[$\bullet$] Sinon, $f(x)=\dfrac{1}{1-C\e^{x^2}}$, $C\in\R$.
\end{itemize}

\exo Résoudre l'équation différentielle suivante : $\e^{-x^2+y}y'=x$. On montrera que les solutions sont de la forme $f(x)=\ln\left(\dfrac{1}{2}e^{x^2}+C\right)$, $C\in\R$.
\end{document}