\documentclass[10pt]{article}
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\title{\'Equations différentielles\\(Rappels de Terminale STI)}
\author{Stéphane PASQUET}
\date{\today}
\newcounter{exo}
\newcommand{\exo}{\stepcounter{exo}\paragraph*{Exercice \theexo.}}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
\bfseries\Large Rappels de cours
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \textbf{\'Equations de la forme $\pmb{y'=ay}$.}\\
Les fonctions $f$ solutions de l'équation différentielle $y'=ay$, $a\in\R$, sont les fonctions de la forme :
\[ f(x)= C\e^{ax} \quad , \quad C\in\R\]

\item \textbf{\'Equations de la forme $\pmb{y''+\omega^2y=0}$.}\\
Les fonctions $f$ solutions de l'équation différentielle $y''+\omega^2y=0$ sont les fonctions de la forme :
\[ f(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x) \quad , \quad A\in\R,B\in\R\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\bfseries\Large Exercices
\end{center}

\exo Trouver les solutions $f$ des équations différentielles suivantes en tenant compte des conditions :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $y'-y=0$~, $f(0)=1$
\item $y'+3y=0$~, $f(0)=-1$
\item $y'-5y=0$~, $f(0)=2$
\item $y'=\dfrac{1}{2}y$~, $f(0)=1$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\exo Trouver les solutions $f$ des équations différentielles suivantes en tenant compte des conditions :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $y''+y=0$~, $f(0)=1, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$
\item $y''+9y=0$~, $f(0)=-1, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$
\item $y''+3y=0$~, $f(0)=1, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1$
\item $y''+5y=0$~, $f(0)=1, f'(0)=1$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\exo On considère l'équation différentielle :
\[ (E_0): y''+4y=0 \]
\begin{enumerate}
\item Résoudre $(E_0)$.
\item Trouver la fonction $f_0$ solution de $(E_0)$ telle que $f_0(0)=\sqrt{2}$ et $f_0'(0)=-2\sqrt{2}$.
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f_0(x)=2\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$.

\medskip

On considère l'équation suivante :
\[ (E):y''+4y=8x+4 \]

\medskip

\item Montrer que la fonction $g(x)=2x+1$ est solution de $(E)$.
\item Montrer que la fonction $h(x)=f(x)+g(x)$ est solution de $(E)$, où $f$ est une solution de $(E_0)$.
\item Parmi les fonctions $h$ possibles, laquelle vérifie $h(0)=2$ et $h'(0)=2$ ?
\end{enumerate}
\end{document}