Espaces vectoriels

Stéphane PASQUET

30 mars 2013

Rappels de cours

1. Les espaces vectoriels connus Tous les ensembles suivants sont munis de l’addition interne et de la multiplication externe.

– ℝ, ℝ^{2}, ℝ^{3} et plus généralement ℝ^{n} (n ∈ ℕ) sont des espaces vectoriels réels.

– ℂ, ℂ^{2}, ℂ^{3} et plus généralement ℂ^{n} (n ∈ ℕ) sont des espaces vectoriels réels.

– ℱ (ℝ, ℝ) (ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ) est un espace vectoriel réel.

– ℳ_{n×p}(ℝ) (l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes) est un espace vectoriel réel

2. Sous-espaces vectoriels Soit E un espace vectoriel réel. L’ensemble F est un sous-espace vectoriel si :

– F ⊆ E (c’est pratiquement toujours évident)

– F ≠ ∅ (on trouve un élément qui appartient à F pour le montrer)

– Pour tous réels λ et μ, et pour tout X et Y dans F, on a λX + μY ∈ F (on dit que F est

stable par combinaison linéaire)

3. Base d’un espace vectoriel Soit E un espace vectoriel réel et soit ℬ = {e_{1}; e_{2}; ⋯; e_{n}} une partie de E (c’est-à-dire que tous les e_{i} sont des éléments de E). On dit que ℬ est une base de E lorsque :

– x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + ⋯ + x_{n}e_{n} = 0 ⇔ x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{n} = 0