\documentclass[10pt]{article}
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\title{Espaces vectoriels}
\author{Stéphane PASQUET}
\date{\today}
\newcounter{exo}
\newcommand{\exo}{\stepcounter{exo}\paragraph*{Exercice \theexo.}}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
\bfseries\Large Rappels de cours
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Les espaces vectoriels connus}

Tous les ensembles suivants sont munis de l'addition interne et de la multiplication externe.

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\R$, $\R^2$, $\R^3$ et plus généralement $\R^n$ ($n\in\N$) sont des espaces vectoriels réels.
\item[$\bullet$] $\C$, $\C^2$, $\C^3$ et plus généralement $\C^n$ ($n\in\N$) sont des espaces vectoriels réels.
\item[$\bullet$] $\mathscr{F}(\R,\R)$ (ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$) est un espace vectoriel réel.
\item[$\bullet$] $\mathscr{M}_{n\times p}(\R)$ (l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes) est un espace vectoriel réel.
\end{itemize}


\item \textbf{Sous-espaces vectoriels}

Soit $E$ un espace vectoriel réel. L'ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel si :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $F\subseteq E$ (c'est pratiquement toujours évident)
\item[$\bullet$] $F\neq\emptyset$ (on trouve un élément qui appartient à $F$ pour le montrer)
\item[$\bullet$] Pour tous réels $\lambda$ et $\mu$, et pour tous $X$ et $Y$ dans $F$, on a $\lambda X+\mu Y\in F$ (on dit que $F$ est stable par combinaison linéaire)
\end{itemize}

\item \textbf{Base d'un espace vectoriel}

Soit $E$ un espace vectoriel (réel ou complexe) et soit $\mathscr{B}=\left\lbrace e_1 ; e_2 ; \cdots ; e_n\right\rbrace$ une partie de $E$ (c'est-à-dire que tous les $e_i$ sont des éléments de $E$).\\
On dit que $\mathscr{B}$ est une base de $E$ lorsque :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $x_1e_1+x_2e_2+\cdots+x_ne_n=0 \Leftrightarrow x_1=x_2=\cdots=x_n=0$
\item[$\bullet$] Quel que soit l'élément $x$ de $E$, il existe $\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n$ tels que $x=\mu_1e_1+\mu_2e_2+\cdots+\mu_ne_n$
\end{itemize}

\textbf{\emph{Exemple :}} $\mathscr{B}=\{1;\i\}$ est une base de $\C$ car :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $x_1\times 1+x_2\times\i\Leftrightarrow x_1=x_2=0$ (propriété sur les complexes)
\item[$\bullet$] Quel que soit le nombre complexe $z$, il peut s'écrire sous la forme $z=a\times 1+ b\times\i$.
\end{itemize}

\item \textbf{Dimension d'un espace vectoriel}

Soit $E$ un espace vectoriel (réel ou complexe) et soit $\mathscr{B}$ une base de $E$.\\
La dimension de $E$ est le nombre d'éléments de $\mathscr{B}$, et on la note : $\dim(E)$.
\end{enumerate}


\begin{center}
\bfseries\Large Exercices
\end{center}

%------------ exercices

\exo
Soit $E=\left\{(x;y;z)\in\R^3\vert x-y+2z=0 \right\}$.\\
$E$ est-il un espace vectoriel réel ?\\
\emph{Indication :} on pourra montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$.

\exo
Soit $E=\left\{P(x)=ax^2+bx+c\vert P(1)=P(2)=d,{} (a;b;c;d)\in\R^4 \right\}$.\\
$E$ est-il un espace vectoriel réel ? Dans l'affirmative, donner une base de $E$ et $\dim(E)$.

\exo 
Soient $A=\left\{\begin{pmatrix} a \\ -a \\ 2a\end{pmatrix},{} a\in\R \right\}$ et $B=\left\{\begin{pmatrix}x+y\\2x\\-y\end{pmatrix},{} (x;y)\in\R^2 \right\}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $A$ et $B$ sont deux sous-espaces vectoriels de $\R^3$.
\item Trouver une base de $A$ et une base de $B$.\\
En déduire $\dim(A)$ et $\dim(B)$.
\end{enumerate}

\exo
Soit $E=\left\{\begin{pmatrix}a+b\\3a-b\\a+2b\end{pmatrix},{}(a;b)\in\R^2 \right\}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$.
\item Donner une base de $E$ et préciser alors $\dim(E)$.
\end{enumerate}

\exo
Soit $E=\left\{\begin{pmatrix}x+2y\\x-y\\3x+y\end{pmatrix},{}(x;y)\in\R^2 \right\}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$.
\item Donner une base de $E$ et préciser alors $\dim(E)$.
\end{enumerate}

\exo
On sait que dans $\C$, $\j=\dfrac{1}{2}+\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\\
Montrer que $\mathscr{B}=\{1;\j\}$ est une base de $\C$.

\exo
Soit $E=\left\{f(t)=A\cos(\omega t+\varphi),{} (A,\omega,\varphi) \in \R^3 \right\}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que les deux fonctions $c(t)=\cos(\omega t)$ et $s(t)=\sin(\omega t)$ sont des éléments de $E$.
\item Montrer que $(E,+,\cdot)$ est un $\R$-espace vectoriel.
\item Montrer que $\mathscr{B}=\left\{c(t);s(t)\right\}$ est une base de $E$.\\
En déduire $\dim(E)$.
\item Déterminer les coordonnées de $f(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$ dans $\mathscr{B}$.\\
En déduire celles de $g(t)=2\cos\left(\omega t+\dfrac{\pi}{3}\right)$.
\end{enumerate}

\exo
Soit $E=\left\{P(x)=ax^4+ax^2+b,{}(a;b)\in\R^2 \right\}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est un $\R$-espace vectoriel.
\item Déterminer une base de $E$ ainsi que $\dim(E)$.
\end{enumerate}

\exo

Soit $E$ l'ensemble des fonctions dérivables et $F=\left\{f\in E\vert f(0)=f'(0)=0 \right\}$.\\
Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

\exo
Soient $E$ un espace vectoriel réel de base $\mathscr{B}_1=\left\{ \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} ; \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}\right\}$ et $F$ un espace vectoriel réel de base $\mathscr{B}_2=\left\{\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix} ; \begin{pmatrix}5\\0\\-7\end{pmatrix}\right\}$.\\
Montrer que $E=F$.\\
\emph{Indication : } en notant $\mathscr{B}_1=\{ x_1 ; y_1 \}$ et $\mathscr{B}_2=\{ x_2 ; y_2 \}$, peut-on exprimer $x_2$ et $y_2$ en fonction de $x_1$ et $y_1$ ?
\end{document}