\documentclass[10pt]{article}
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\title{Méthodes d'intégration\\Fiche technique}
\author{Stéphane PASQUET}
\date{\today}
\newcommand{\dint}{\displaystyle\int}
\newcommand{\dx}{~\text{d}x}
\newcommand{\dt}{~\text{d}t}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\begin{document}
\maketitle
\section{Intégration de formes trigonométriques}
\begin{enumerate}
\item On utilise les \emph{formules d'{\scshape Euler}} lorsque l'on a des intégrales de la forme :
\[ \int\cos^p x\dx \qquad\text{ou}\qquad\int\sin^p x\dx \qquad\text{ou}\qquad\int\cos^px\sin^qx\dx\ (p\text{ et }q\text{ impairs)}\]
\fbox{
\begin{minipage}{\linewidth}
\paragraph*{Exemples :} $\dint \cos^3x\dx$, $\dint\sin^4x\dx$ ou $\dint\sin^3x\cos^5x\dx$.
\end{minipage}
}
\item On factorise par la ligne trigonométrique de puissance impaire lorsque l'on a une intégrale de la forme :
\[ \int\cos^p x\sin^q x\dx\]
où $p$ et $q$ sont de parité différente, puis on utilise la formule $\cos^2x+\sin^2x=1$ pour se ramener à des produits de la forme $u'u^n$.\\
\fbox{
\begin{minipage}{\linewidth}
\paragraph*{Exemple :} 
$\begin{aligned}[t]
\dint\cos^3x\sin^2x\dx & =\dint\cos x\left(\cos^2x\sin^2x\right)\dx\\
& =\dint\cos x\left[\left((1-\sin^2x\right)\sin^2x\right]\dx\\
& = \dint\underbrace{\cos x}_{u'}\underbrace{\sin^2x}_{u^2}\dx-\dint\underbrace{\cos x}_{u'}\underbrace{\sin^4 x}_{u^4}\dx\\
& = \dfrac{\sin^3x}{3}-\dfrac{\sin^5}{5}
\end{aligned}$
\end{minipage}
}
\item On utilise la formule $\cos^2x+\sin^2=1$ lorsque l'on a une intégrale de la forme :
\[\int \cos^px\sin^q x\dx\]
où $p$ et $q$ sont pairs, pour obtenir des intégrales du type vu en $(1)$.\\
\fbox{
\begin{minipage}{\linewidth}
\paragraph*{Exemple :} 
$\begin{aligned}[t]
\dint\cos^4x\sin^2x\dx & =\dint\cos^4x\left(1-\cos^2x\right)\dx\\
& = \dint\cos^4x\dx-\dint\cos^6x\dx
\end{aligned}$
\end{minipage}
}
\end{enumerate}

\section{Intégration par parties}
Lorsque l'on a un produit qui n'est pas une primitive usuelle, on utilise le théorème suivant :
\[ \int u'v = [uv]-\int uv'\]
\fbox{
\begin{minipage}{\linewidth}
\paragraph*{Exemple :} $\dint x^2\e^x\dx=\left[x^2\e^x\right]-2\dint x\e^x\dx=\left[x^2\e^x\right]-2\left(\left[x\e^x\right]-\dint \e^x\dx\right)=\left[(x^2-2x+2)\e^x\right]$
\end{minipage}
}

\section{Décomposition en éléments simples}

Cela ne concerne que les fractions rationnelles (quotient de polyn\^omes).\\
\begin{enumerate}
\item La fraction ne comporte que des éléments de \emph{1\iere{} espèce}, c'est-à-dire que le dénominateur se factorise en produits de puissances de polynômes de degré 1.\\
\fbox{
\begin{minipage}{\linewidth}
\paragraph*{Exemple :} $\dfrac{1}{x(x+1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{(x+1)^2}$.
\end{minipage}
}
\item La fraction est un élément de \emph{2\ieme{} espèce}, c'est-à-dire de la forme $\dfrac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}$.\\
Dans ce cas, on exprime le numérateur ($Ax+B$) en fonction de la dérivée de $x^2+px+q$, ce qui nous ramène au final à deux fractions : la première est de la forme $k\cdot\dfrac{u'}{u^n}$ et la seconde est de la forme $\dfrac{1}{(x^2+px+q)^n}$, que l'on peut aussi ramener à $\lambda\cdot\dfrac{1}{t^2+1}$ pour pouvoir l'intégrer.\\
\fbox{
\begin{minipage}{\linewidth}
\textbf{Exemple :}

\medskip

$\begin{aligned}[t]
\dint_0^1\dfrac{x}{x^2+2x+5}\dx & =\dfrac{1}{2}\dint_0^1\dfrac{2x+2}{x^2+2x+5}\dx-\dint\dfrac{1}{x^2+2x+5}\dx\\
& = \dfrac{1}{2}\left[\ln\vert x^2+2x+5\vert\right]_0^1-\dint_0^1\dfrac{1}{(x+1)^2+4}\dx\\
& = \dfrac{1}{2}\left(\ln 8-\ln 5\right)-\dint_0^1\dfrac{1}{4\left[\left(\frac{x+1}{2}\right)^2+1\right]}\dx\\
& \left(\text{on pose alors }t=\frac{x+1}{2},\text{ donc }\dt=\frac{1}{2}\dx\right)\\
& = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{8}{5}-\dint_{\frac{1}{2}}^1\dfrac{2\dt}{4(t^2+1)} \text{(attention aux bornes d'intégration !)}\\
& = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{8}{5}-\dfrac{1}{2}\left(\underbrace{\arctan 1}_{\frac{\pi}{4}}-\arctan\dfrac{1}{2}\right)
\end{aligned}$
\end{minipage}
}
\end{enumerate}

\section{Changement de variable}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Pour les intégrales avec lignes trigonométriques}, on pose $t=\tan\dfrac{x}{2}$ et $\dt=\dfrac{1}{2}\left(1+t^2\right)\dx$ et on utilise les formules :
\[ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad ; \quad \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\quad ; \quad \tan x = \frac{2t}{1-t^2}\]
\fbox{
\begin{minipage}{\linewidth}
\paragraph*{Exemple :}$\dint_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}\dfrac{\dx}{\sin x}=\dint_{\tan\frac{\pi}{12}}^{\tan\frac{\pi}{6}}\underbrace{\dfrac{1+t^2}{2t}}_{\frac{1}{\sin x}}\times\underbrace{\dfrac{2}{1+t^2}\dt}_{\dx}=\dint_{\tan\frac{\pi}{12}}^{\tan\frac{\pi}{6}}\dfrac{1}{t}\dt=\ln\left\vert\tan\frac{\pi}{12}\right\vert-\ln\left\vert\tan\frac{\pi}{6}\right\vert$
\end{minipage}
}

\item \textbf{Pour les polynômes exponentiels}, on pose $t=\e^x$.\\
\fbox{
\begin{minipage}{\linewidth}
\paragraph*{Exemple :}$\dint_0^1\dfrac{\e^x\dx}{\e^{2x}+3\e^x+2}=\dint_{\e^0}^{\e^1}\dfrac{1}{t^2+3t+2}\dt$, puis décomposition en éléments simples.
\end{minipage}
}
\end{enumerate}
\end{document}