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\begin{document}
\chapter*{Intégration - Changement de variable}

\begin{center}
\textbf{\abstractname{ de cours}}
\end{center}

\paragraph*{Théorème} Soit $\varphi$ une fonction réelle dérivable sur $[a;b]$ telle que $\varphi^{\prime}$ est continue sur $[a;b]$, et soit $f$ une fonction continue sur $\varphi([a;b])$. Alors : \[ \int_a^b (f \circ \varphi)(t)\varphi^{\prime}(t)\textrm{d}t = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\textrm{d}u\]

\paragraph*{Exemple 1} Soit $I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin t \cos t \textrm{d}t$. \\
Ici, nous avons $f:t \mapsto t$ et $\varphi : t \mapsto \sin t$. Donc d$\varphi = \cos t$d$t$. On a alors : \[ I = \int_{\sin 0}^{\sin \frac{\pi}{2}} u\textrm{d}u\]
\[ I = \int_0^1 u\textrm{d}u\]
\[ I = \left[ \frac{1}{2}u^2\right]_0^1\]
\[ \boxed{I = \frac{1}{2}}\]

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\paragraph*{Exemple 2} Calculons la valeur de $J = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin t}\cos t\textrm{d}t$.\\
Ici, $f:t \mapsto e^t$ et $\varphi : t \mapsto \sin t$. Donc : \[ J = \int_{\sin 0}^{\sin \frac{\pi}{2}} e^t \textrm{d}t = \int_0^1 e^t \textrm{d}t\]
\[ \boxed{J = e-1}\]

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\paragraph*{Exercice 1} Montrez que $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\textrm{d}t}{\sin t} = -\ln\left\vert \tan\frac{\pi}{8}\right\vert$.

\paragraph*{Exercice 2} Montrez que $\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{e^t}{e^{2t}+3e^t+2}\textrm{d}t = \ln\frac{3(e+1)}{2(e+2)}$.

\paragraph*{Exercice 3} Montrez que $\displaystyle\int_{1}^{e} \frac{(\ln t)^3}{t}\textrm{d}t = \dfrac{1}{4}$.

\paragraph*{Exercice 4} Montrez que $\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{1-t^2}\textrm{d}t = \frac{\pi}{4}$.
\paragraph*{\phantom{Exercice 4}}(\textit{On pourra s'aider du changement de variable $t=\cos x$})

\paragraph*{Exercice 5} Montrez que $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+t^2}\textrm{d}t = 1$.
\paragraph*{\phantom{Exercice 5}}(\textit{On pourra s'aider du changement de variable $t=\tan x$})

\paragraph*{Exercice 6} Montrez que $\displaystyle\int_{0}^{2} \frac{t}{(1+t)^2}\textrm{d}t = \ln 3 - \dfrac{2}{3}$.

\paragraph*{Exercice 7} Montrez que $\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{e^t+1}{3e^t+2}\textrm{d}t = \dfrac{1-\ln(15e+10)}{2}$.

\paragraph*{Exercice 8} On pose $I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\cos t + \sin t}\textrm{d}t$ et $J=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{\cos t + \sin t}\textrm{d}t$.
\paragraph*{\phantom{Exercice 8}} Calculez $I+J$, puis $I-J$ et déduisez-en que $I=J=\dfrac{\pi}{4}$.

\paragraph*{Exercice 9} Montrez que $\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{t\textrm{d}t}{\sqrt{1+t}} = \dfrac{4-2\sqrt{2}}{3}$.

\paragraph*{Exercice 10} Montrez que $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 t \sin^3 t \textrm{d}t = \dfrac{2}{35}$.

\paragraph*{Exercice 11} Montrez que $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} \frac{\cos^3 t}{1-2\sin t} \textrm{d}t = \dfrac{3}{8}\ln 2$.


\end{document}