\documentclass[10pt]{article}
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\title{Méthodes d'intégration}
\author{Stéphane PASQUET}
\date{\today}
\newcommand{\dint}{\displaystyle\int}
\newcommand{\dx}{~\text{d}x}
\newcommand{\dt}{~\text{d}t}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\begin{document}
\maketitle
\paragraph{Exercice 1 - Linéarisation de fonctions trigonométriques}
Calculer les intégrales suivantes :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\item $\dint_0^{\frac{\pi}{6}} \cos^4(x)\dx$ & 
\item $\dint_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^3(x)\dx$\\
\item $\dint_0^{\frac{\pi}{4}} \cos ^3(x)\sin^2(x)\dx$ & 
\item $\dint_0^{\frac{\pi}{3}} \cos^4(x)\sin^3(x)\dx$
\end{tabularx}


\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 2 - Intégration par parties} Calculer les intégrales suivantes :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\item $\dint_1^2 \ln x \dx$ & 
\item $\dint_0^1 \arctan x\dx$\\
\item $\dint_0^1 x\e^x\dx$ & 
\item $\dint_0^1 x\sin x\dx$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 3 - Décomposition en éléments simples} Calculer les intégrales suivantes :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\item $\dint_0^1 \dfrac{x+2}{(x+3)(x-5)} \dx$ & 
\item $\dint_1^2 \dfrac{\dx}{x(x+1)^2}$\\
\item $\dint_{-1}^0 \dfrac{1}{(x-1)(x+2)^2}\dx$ & 
\item $\dint_0^1 \dfrac{x}{\left(x^2+2x+5\right)} \dx$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 4 - Changement de variable} Calculer les intégrales suivantes :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\dint_2^3 \dfrac{\dt}{t\ln t}$ [Poser $u=\ln t$]
\item $\dint_0^1 \dfrac{\dt}{\sqrt{t+1}}$ [Poser $u=\sqrt{t+1}$]
\item $\dint_0^1 \dfrac{\dt}{3+\e^{-t}}$ [Poser $u=\e^{-t}$]
\item $\dint_1^2 \dfrac{-\dt}{\sqrt{4t-t^2}}$ [Poser $u=\frac{1}{2}t-1$]
\item $\dint_1^2\dfrac{\dt}{t\sqrt{1-\ln^2t}}$ [Poser $u=\ln t$]
\item $\dint_0^1\dfrac{\dt}{\sqrt{1+\e^t}}$ [Poser $u=\sqrt{\e^t+1}$]
\item $\dint_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\dt}{2+\sin t+\cos t}$ [Poser $u=\tan\frac{t}{2}$]
\item $\dint_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\dt}{\sin t}$
\item $\dint_0^1\dfrac{\dt}{\left(1+t^2\right)^2}$ [Poser $u=\arctan t$]
\end{multicols}
\end{enumerate}



\paragraph{Exercice 5 - Intégrales diverses} Calculer les intégrales suivantes :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\dint_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\dx}{\sin^2 x+\tan^2 x}$
\item $\dint_3^4 \dfrac{x^5+x^4-8}{x^3-4x}\dx$
\item $\dint_0^1 \dfrac{x^2+2}{(x-2)(x+1)^3}\dx$ 
\item $\dint_0^1 \dfrac{x+3}{\sqrt{4x^2+4x+3}} \dx$ 
\item $\dint_0^1 \dfrac{x}{x^2+1} \dx$ 
\item $\dint_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \dx$
\item $\dint_1^2 x^3\ln x\dx$ 
\end{multicols}
\end{enumerate}


\paragraph{Exercice 6} On se propose ici de déterminer la valeur de l'intégrale :
\[
I=\int_0^1\frac{\dt}{\left(t^2+2t+5\right)^2}
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\dfrac{1}{\left(t^2+2t+5\right)^2}=\dfrac{at^2+bt+c}{\left(t^2+2t+5\right)^2}+\dfrac{d}{t^2+2t+5}$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre réels que l'on déterminera.
\item En déduire que $I=\dfrac{1}{160}+\dfrac{\pi}{64}-\dfrac{1}{16}\arctan\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\Large Réponses
\end{center}

\paragraph{Exercice 1}

\begin{enumerate}
\item $F(x)=\dfrac{1}{32}\sin(4x)+\dfrac{1}{4}\sin(2x)+\dfrac{3}{8}+k$
\item $F(x)=\dfrac{1}{4}\sin(3x)-\dfrac{3}{4}\sin(x)+k$
\item $F(x)=\dfrac{1}{3}\sin^3(x)-\dfrac{1}{5}\sin^5(x)$ car $f(x)=(\sin^2 x-\sin^4 x)\cos x$
\item $F(x)=\dfrac{1}{7}\cos^7(x)-\dfrac{1}{5}\cos^5(x)$ car $f(x)=(\cos^4 x - \cos^6 x)\sin x$
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 2}

\begin{enumerate}
\item $F(x)=x\ln x -x + k$
\item $F(x)=x\arctan x-\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)+k$
\item $F(x)=(x-1)\e^x+k$
\item $F(x)=\sin x -x\cos x+k$
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 3}

\begin{enumerate}
\item $F(x)=\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{1}{x-5} + k$
\item $F(x)=\ln\left\vert\dfrac{x}{x+1}\right\vert +\dfrac{1}{x+1}+k$
\item $F(x)=\dfrac{1}{9}\ln\left\vert\dfrac{x-1}{x+2}\right\vert-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{(x+2)^2}+k$
\item $F(x)=\dfrac{1}{2}\ln\vert x^2+2x+5 \vert-\dfrac{1}{2}\arctan\left(\dfrac{x+1}{2}\right)+k$ car $x^2+2x+5=(x+1)^2+4)$
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 5}

\begin{enumerate}
\item $I=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\arctan\dfrac{\sqrt{6}}{2}-\arctan\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$
\item $I=\dfrac{119}{6}+6\ln 2-5\ln 3+3\ln 5$
\item $F(x)=\dfrac{1}{2(x+1)^2}-\dfrac{1}{3(x+1)}-\dfrac{2}{9}\ln\vert x+1\vert +\dfrac{2}{9}\ln\vert x-2\vert +k$
\item $I=\dfrac{1}{4}\sqrt{11}-\dfrac{1}{4}\sqrt{3}+5\ln\left(\dfrac{3+\sqrt{11}}{1+\sqrt{3}}\right)$
\item $F(x)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+k$
\item $I=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1$
\item $F(x)=\dfrac{1}{4}x^4\ln x - \dfrac{1}{16}x^4+k$
\end{enumerate}
\end{document}