\documentclass[10pt]{article}
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\title{Continuité}
\author{Stéphane PASQUET}
\date{\today}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\maketitle
\begin{tikzpicture}[decoration={random steps,segment length=1mm}]
\node[draw,fill=white,decorate,inner sep=5mm,drop shadow] {\begin{minipage}{0.95\linewidth}
\textbf{Rappels : } Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors, 
\[ \forall a\in I, f'(a)=\limite{h}{0}{\left(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \right)}.  \]
Cette définition va nous servir à \og lever \fg{} des indéterminations de limites de la forme \og $\dfrac{0}{0}$ \fg.
\end{minipage}};
\end{tikzpicture}
\section*{Exercice 1}

On définit la fonction $f$ par :
\[
f(x)=
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
\dfrac{\e^x-1}{x} & \text{si }x<0\\
\ln(x+1)+1 & \text{si }x\geqslant0
\end{array}
\right.
\]

Calculer \limite[x<0]{x}{0}{f(x)} et \limite[x>0]{x}{0}{f(x)}.\\
La fonction $f$ est-elle continue en 0 ?

\section*{Exercice 2}
On définit la fonction $f$ par :
\[
f(x)=
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
\dfrac{\ln(x+1)}{x} & \text{si } x\neq0\\
1 & \text{si }x=0
\end{array}
\right.
\]
Montrer que la fonction $f$ est continue sur \R.

\section*{Exercice 3}

Soit la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x-1} & \text{si } x\in\intervOO{-1}{1}\\
x+1 & \text{si }x\leqslant-1\\
-x+1 & \text{si }x\geqslant1
\end{array}
\right.
\]
La fonction $f$ est-elle continue sur \R{} ?

\section*{Exercice 4}

Montrer que la fonction $f\;:\;x\mapsto\dfrac{\sin x}{x}$ est prolongeable par continuité en 0.

\section*{Exercice 5}

La fonction $f\;:\;x\mapsto\dfrac{x^2-4x+3}{4x-12}$ est-elle prolongeable par continuité en 3 ?

\section*{Exercice 6}

Montrer que la fonction $f$ définie de \R* dans \R{} par :
\[ \forall x\in\R*,\quad f(x)=\dfrac{x}{|x|}\]
n'est pas prolongeable par continuité en 0.

\section*{Exercice 7}

On définit la fonction $f$ sur \R* par :
\[
f(x)=\dfrac{x}{1+\e^{\frac{1}{x}}}.
\]
Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en 0.

\section*{Exercice 8}

On définit la fonction $f$ par :
\[
f(x)=
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
\dfrac{x\ln\vert x\vert}{x-1} & \text{si }x\notin\lbrace0;1\rbrace,\\
1 & \text{si }x=1,\\
0 & \text{si }x=0.
\end{array}
\right.
\]
Est-elle continue ?

\section*{Exercice 9}
On pose :
\[ f(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{2}{1-x^2}\]
pour tout réel $x$ dans $\R\setminus\{-1;1\}$.\\
Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $-1$ et 1.

\section*{Exercice 10}

On considère la fonction $f_a$ définie par :
\[
f(x)=\dfrac{\sin(ax)-\sin (x^2)}{a-x}.
\]
Déterminer le prolongement par continuité de la fonction $f$.
\end{document}