\documentclass[12pt]{article}
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\classe{Supérieur}
\begin{document}
\chapitre{Quelques lois de probabilité}

Une \textit{loi de probabilité} est un \underline{modèle} représentant \textit{au mieux} une distribution de fréquences d'une variable aléatoire.

Parmi ces modèles, nous distinguerons ceux qui sont \textit{discrets} et ceux qui sont \textit{continus}.

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Dans ce qui suit, je pose $X = \left\lbrace x_1, x_2, x_2, \ldots, x_n \right\rbrace$ une variable aléatoire (dans le cas des lois discrètes).

\titre{La loi uniforme discrète}

$X = \left\lbrace x_1, x_2, x_2, \ldots, x_n \right\rbrace$ avec \textcolor{red!75!black}{$P\left(x_i\right)=\dfrac{1}{n}$} pour tout entier naturel $i$ compris entre 1 et $n$.

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Dans ce cas, je noterai : \textcolor{blue!50!black}{$X \hookrightarrow \mathcal{U}_{\mathbb{N}}(n)$} (ceci n'est pas une notation conventionnelle).

\paragraph*{Exemple.} Si l'on dispose d'un dé non pipé que l'on lance une fois, et si l'on note X la variable aléatoire représentant la face du dé obtenue, alors $X \hookrightarrow \mathcal{U}_{\mathbb{N}}(6)$.

\titre{La loi binomiale (loi discrète)}

$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ quand :

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\begin{tabular}{p{1cm}|p{15cm}}
 & $\blacktriangleright$ Une épreuve est répétée $n$ fois toujours dans les mêmes conditions.\\
 & $\blacktriangleright$ Chaque épreuve n'admet que deux issues, notées $S$ et $\overline{S}$.\\
 & $\blacktriangleright$ $P(S)=p$ à chaque épreuve.
\end{tabular}

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Alors,  \textcolor{red!75!black}{$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$}.

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Dans ce cas, on note : \textcolor{blue!50!black}{$X \hookrightarrow \mathcal{B}(n;p)$}.

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On peut alors montrer que :

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\begin{tabular}{p{1cm}|ll}
 & $\blacktriangleright$ L'espérance de $X$ est : & $E(X)=np$.\\
 & $\blacktriangleright$ L'écart type de $X$ est : & $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.
\end{tabular}

\paragraph*{Exemple.} Un élève répond à un QCM comportant 20 questions, et ce au hasard. Chaque question comporte 5 choix de réponses. Alors, si X est la variable aléatoire représentant le nombre de bonnes réponses à ce QCM, on peut dire que $X \hookrightarrow \mathcal{B}\left(20;\frac{1}{5}\right)$.

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\titre{La loi de Poisson (loi discrète)}

\textcolor{red!75!black}{$P(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$}.

\medskip

Dans ce cas, on note : \textcolor{blue!50!black}{$X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$}.

\medskip

On peut alors montrer que :

\medskip

\begin{tabular}{p{1cm}|ll}
 & $\blacktriangleright$ L'espérance de $X$ est : & $E(X)=\lambda$.\\
 & $\blacktriangleright$ L'écart type de $X$ est : & $\sigma(X)=\sqrt{\lambda}$.
\end{tabular}

\medskip

La loi de Poisson est une bonne approximation de la loi binomiale dès lors que $n>30$ et $np<5$, ou dès que $n>50$ et $p<0,1$. Dans ces cas, on a : $\lambda = np$.

\[ 
\left(
\begin{array}{l}
n>30, np<5\\
\textrm{ou}\\
n>50, p<0,1
\end{array}
\right. \Longrightarrow \mathcal{B}(n;p) \sim \mathcal{P}(np)
\]

\titre{Loi normale, ou loi de Laplace-Gauss (loi continue)}

\textcolor{red!75!black}{$P(X \leq t)= \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^t e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2} \textrm{d}x$}.

\medskip

Dans ce cas, on note : \textcolor{blue!50!black}{$X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$}, où $\mu$ est l'espérance de $X$ et $\sigma$ son écart type.

\bigskip

Dans la pratique, on effectuera le changement de variable $Y=\sigma X + m$ où $Y$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$ dont on a une table de valeurs.

\pagebreak

Dans la pratique, la loi de Laplace-Gauss $\mathcal{N}\left(np;np(1-p)\right)$ est une bonne approximation de la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ dès que $n \geq 30$ et $0,4<p<0,6$.

\[ n \geq 30 \textrm{ et } 0,4<p<0,6 \Longrightarrow \mathcal{B}(n;p) \sim \mathcal{N}\left(np;np(1-p)\right) \]

\titre{Loi exponentielle (loi continue)}

\textcolor{red!75!black}{$P(X = t)= \lambda\displaystyle\int_{0}^t e^{-\lambda x} \textrm{d}x$}.

\medskip

Dans ce cas, on note : \textcolor{blue!50!black}{$X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda)$}.

On peut alors montrer que :

\medskip

\begin{tabular}{p{1cm}|ll}
 & $\blacktriangleright$ L'espérance de $X$ est : & $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$.\\
 & $\blacktriangleright$ L'écart type de $X$ est : & $\sigma(X)=\dfrac{1}{\lambda}$.
\end{tabular}

\paragraph*{Exemple.} On retrouve cette loi quand on étudie une durée de vie sans vieillissement (comme, par exemple, la durée de vie d'un composant électronique) ou en radioactivité (loi de désintégration radioactive).
\end{document}