\documentclass[10pt]{article}
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\title{Développements limités et Algèbre linéaire}
\author{Stéphane PASQUET}
\date{\today}
\newcounter{exo}
\newcommand{\exo}{\stepcounter{exo}\paragraph*{Exercice \theexo.}}
\begin{document}
\maketitle

%%%%%%%%%%%%%% EX 1
\exo Soient les fonctions :
\[ f(x)=2\e^x(\cos x-\sin x)\quad ; \quad F(x)=2\e^x\cos x\quad ; \quad G(x)=2\e^x(\cos x+\sin x)\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer le DL$_4$(0) de $F(x)$.\\En déduire l'allure de la courbe représentative de $F$ au voisinage de 0.
\item Calculer $F'(x)$. En déduire le DL$_3$(0) de $f(x)$.
\item Calculer $G'(x)$. En déduire le DL$_5$(0) de $G(x)$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%% EX 2
\exo Donner les développements limités suivants :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item DL$_2$(1) de $\ln(2+x)$.
\item DL$_2$(2) de $\e^{1+x}$.
\item DL$_5$(0) de $\sin^2(x)$.
\item DL$_4$(0) de $\dfrac{\cos(x)-1}{x^2}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%% EX 3
\exo Déterminer $\limite{x}{0}\left(\dfrac{x^2}{\e^x-1-x}\right)$.

%%%%%%%%%%%%%% EX 4
\exo On considère l'application $f$ de $\R^3$ dans $\R^2$ suivante :
\[ f\ :\ (x;y;z) \mapsto \coord{5x-y+z}{x-2y-z} \]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une application linéaire.
\item Déterminer le noyau de $f$. Donner alors sa dimension.
\item Calculer $\dim\text{Im}(f)$. En déduire $\text{Im}(f)$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%% EX 5
\exo On considère l'ensemble $E$ défini par :
\[ E = \left\lbrace \vv{u}(x;y)\in\R^2\ \vert\ \left\lbrace\begin{array}{l}x=2a+b\\y=-a+2b \end{array}\right.,\ a\in\R,\ b\in\R\right\rbrace \]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\R^2$.

\medskip

Soit $f$ l'application de $E$ dans $\R^2$ telle que :
\[ \forall (a;b)\in\R^2,\ f\coord{2a+b}{-a+2b}=\coord{a+b}{a-b} \]

\item Montrer que $f$ est une application linéaire.
\item 
\begin{enumerate}
\item On pose $x=2a+b$, $y=-a+2b$, $x'=a+b$ et $y'=a-b$.\\
Montrer que $x'=\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{5}y$ et $y'=-\dfrac{11}{5}x+\dfrac{3}{5}y$.
\item En déduire que $f$ est un isomorphisme.
\item En déduire $\dim(E)$ et $\ker(f)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}