\documentclass[10pt]{article}
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\title{Développements limités et Algèbre linéaire (suite)}
\author{Stéphane PASQUET}
\date{\today}
\newcounter{exo}
\newcommand{\exo}{\stepcounter{exo}\paragraph*{Exercice \theexo.}}
\begin{document}
\maketitle

%%%%%%%%%%%%%% EX 1
\exo 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le DL$_2$(0) de $f(x)=\ln\left(3-x+x^2\right)$ est : $f(x)=\ln 3-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{18}x^2+o\left(x^2\right)$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que le DL$_4$(0) de $g(x)=\ln\left(\cos x\right)$ est : $g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{12}x^4+o\left(x^4\right)$.
\item Calculer $g'(x)$ puis en déduire le DL$_3$(0) de $\tan x$.
\end{enumerate} 
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le DL$_3$(0) de $h(x)=\e^{\frac{1}{1-x}}$ est : $g(x)=\e+\e x+\dfrac{3\e}{2}x^2+o\left(x^2\right)$.
\item Calculer $h'(x)$ puis en déduire le DL$_1$(0) de $\dfrac{1}{(1-x)^2}\e^{\frac{1}{1-x}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exo 
\begin{enumerate}
\item Donner le DL$_2$(0) de $\cos x$.
\item Donner le DL$_2$(0) de $\e^{x^2}$.
\item En déduire $\limite{x}{0}\left(\dfrac{\cos x -\e^{x^2}}{x^2}\right)$.
\end{enumerate}

\exo On considère l'application $f$, définie de $\R^3$ dans $\R^2$ par :
\[ f(x;y;z)=\coord{x+y-z}{2x-y+z}\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une application linéaire.
\item Déterminer $\ker(f)$. Que vaut $\dim\ker(f)$ ? $f$ est-elle injective ?
\item Que vaut $\dim\text{Im}(f)$. $f$ est-elle surjective ?
\item $f$ est-elle bijective ?
\end{enumerate}

\exo On considère l'ensemble $E$ défini par :
\[ E = \left\lbrace \vv{u}(x;y;z)\in\R^3,\  x-y+2z=0\right\rbrace\]
Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$.
\end{document}