\documentclass[10pt]{article}
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\title{Nombres complexes}
\author{Tirés du site \url{http://public.iutenligne.net/}}
\date{\today}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\begin{document}
\maketitle
\textbf{Exercice 1 -- QCM}

\begin{alterqcm}[VF,symb= \dingsquare,corsymb = \dingchecksquare]

\AQmessage{\medskip On considère la fonction $f$ définie de $\C$ dans $\C$ par : \[ f(z)=\frac{z-3}{z-1}\] \par~}

\AQquestion{Le nombre $z=2$ est le seul nombre complexe tel que $|f(z)|=1$.}

\AQquestion{L'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $|f(z)|=1$ est l'ensemble des nombres complexes de partie réelle 2.}

\AQquestion{L'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $f(z)\in\R$ est l'ensemble des imaginaires purs.}

\AQquestion{L'ensemble des nombres complexes tels que $|f(z)|=3$ est représenté géométriquement par un cercle de centre $\omega = \dfrac{3}{4}$ et de rayon $r=\dfrac{3}{4}$.}
\end{alterqcm}

%%%%%%%%% QCM 2

\medskip

\textbf{Exercice 2 -- QCM}

\medskip

\begin{alterqcm}[VF,symb= \dingsquare,corsymb = \dingchecksquare]
\AQmessage{Soit le nombre $Z$ défini par : $Z=\dfrac{2\i z-5}{z-2\i}$}

\AQquestion[br=2]{$Z$ est défini pour tous les points M d'affixe $z$ du plan.}
\AQquestion[br=1]{L'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $|Z|=1$ est la médiatrice de [AB] avec A$(0~;2)$ et B$\left(0~;-\dfrac{5}{2}\right)$}
\AQquestion[br=2]{L'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $|z|=1$ est la droite d'équation $y=-\dfrac{1}{2}$.}
\AQquestion[br=1]{L'ensemble des points M tels que $Z\in\R$ est le cercle de centre $\omega=-\dfrac{1}{4}\i$ et de rayon $\dfrac{9}{4}$ privé du point $a=2\i$}
\end{alterqcm}

\newpage %%%%%%%%%%%%%% QCM 3

\textbf{Exercice 3 -- QCM}

\medskip

\begin{alterqcm}[lq=8cm,symb= \dingsquare,corsymb = \dingchecksquare]
\AQquestion[br=1]{Le module du nombre complexe $z=1+\i$ est :}
{
{$\sqrt{2}$},
{0},
{2}
}
\AQquestion[br=3]{L'argument du nombre complexe $z=1+i$ est :}
{
{$\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$},
{$\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$},
{$\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$}
}

\AQquestion[br=2]{Les racines carrées de $1+\i$ sont : }
{
{$z_1=\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}+2}-\i\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{2}$ et\newline\hspace*{1em} $z_2=-\dfrac{-\sqrt{2\sqrt{2}+2}+\i\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{2}$},
{$z_1=\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}+2}+\i\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{2}$ et\newline\hspace*{1em} $z_2=-\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}+2}+\i\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{2}$},
{$z_1=\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}-\i\sqrt{2\sqrt{2}+2}}{2}$ et\newline\hspace*{1em} $z_2=-\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}-\i\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{2}$}
}
\end{alterqcm}

%%%%%%%%%%%%%%% EX 4

\paragraph{Exercice 4} Donner la forme algébrique des nombres suivants :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\item $z_1=(1-2\i)(2+\i)$ & 
\item $z_2=(3+3\i)^2-(2-\i)^2$ \\
\item $z_3=\dfrac{1-\i\sqrt{3}}{1+\i}$ & 
\item $z_4=\dfrac{1+\i\sqrt{2}}{1-\i\sqrt{2}}+\dfrac{1-\i\sqrt{2}}{1+\i\sqrt{2}}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 5

\paragraph{Exercice 5} Donner la forme exponentielle des nombres suivants :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\item $z_1=-1+\i$ & 
\item $z_2=1-\i\sqrt{3}$ \\
\item $z_3=\left(\dfrac{1+\i}{1-\i}\right)^2$ & 
\item $z_4=\dfrac{1+\i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\i}$\\
\item $z_5=1+\cos\theta -\i\sin\theta$ & 
\item $z_6=\dfrac{\cos\theta-\i\sin\theta}{\sin\theta-\i\cos\theta}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 6

\paragraph{Exercice 6} Soit le nombre complexe $z=\dfrac{1+\i}{1+\i\sqrt{3}}$.

\begin{enumerate}
\item \'Ecrire $z$ sous la forme algébrique.
\item \'Ecrire $z$ sous la forme trigonométrique.
\item En déduire la valeur de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 7

\paragraph{Exercice 7} Exprimer $\cos(6x)$ et $\sin(6x)$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x$, puis uniquement en fonction de $\cos x$.\\
\emph{Indication : utilisez le triangle de Pascal.}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 8

\paragraph{Exercice 8} Linéariser : $ 8\sin^4(x)+4\sin^2(x)\cos^2(x)-\sin(x)$

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 9

\paragraph{Exercice 9} Déterminer l'ensemble des points M du plan dont l'affixe $z$ vérifie : $z\overline{Z}+3z+3\overline{z}-7=0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 10

\paragraph{Exercice 10} Déterminer l'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $Z=\dfrac{z+1}{z+3\i}$ :
\begin{enumerate}
\item soit un réel
\item soit un imaginaire pur
\item ait un argument égal à $\dfrac{\pi}{2}$
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 11

\paragraph{Exercice 11} Soit le nombre complexe $z=\e^{\i\frac{2\pi}{7}}$.\\
On définit alors les deux sommes :
\[ S_1=z+z^2+z^4\qquad ; \qquad S_2=z^3+z^5+z^6 \]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $S_1$ et $S_2$ sont conjugués.
\item Déterminer le signe de la partie imaginaire de $S_1$.
\item Calculer $S_1S_2$ et $S_1+S_2$.
\item En déduire $S_1$ et $S_2$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 12

\paragraph{Exercice 12} Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivants :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\item $z_1=4+3\i$ & 
\item $z_2=1+\e^{\i\frac{\pi}{3}}$ &
\item $z_3=-7-24\i$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 13

\paragraph{Exercice 13} Soit $z=-1+\i$.
\begin{enumerate}
\item Calculer sous forme algébrique les racines carrées de $z$.
\item Calculer sous forme trigonométrique les racines carrées de $z$.
\item En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{3\pi}{8}$ et $\sin\dfrac{3\pi}{8}$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 14

\paragraph{Exercice 14} Résoudre dans $\C$ l'équation :
\[ z^2-(3+2\i)z+5+\i=0\]
puis en déduire une factorisation du polynôme $P(z)=z^2-(3+2\i)z+5+\i$.

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 15

\paragraph{Exercice 15} Déterminer les racines 4\ieme{} de l'unité sous forme algébrique. Déterminer ensuite les racines 4\ieme{} de $-4$.

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 16

\paragraph{Exercice 16} Racines $n$\ieme{}.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les racines quatrièmes de $16-16\i$ et écrire les racines sous forme trigonométrique.
\item Déterminer les racines cinquièmes de $\i$ et écrire les racines sous forme trigonométrique.
\item Déterminer les racines quatrièmes de $(1-\i)^3$ et écrire les racines sous forme trigonométrique.
\item Déterminer les racines cubiques de $\dfrac{1+\i\sqrt{3}}{1-\i\sqrt{3}}$ et écrire les racines sous forme trigonométrique.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 17

\paragraph{Exercice 17} Résoudre l'équation :
\[
\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right)^3+\left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)^3=0
\]

\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CORRECTIONS

\begin{center}
\Large Quelques corrections
\end{center}

\textbf{Exercice 1 -- QCM}

\begin{alterqcm}[VF,correction,symb= \dingsquare,corsymb = \dingchecksquare]
\AQquestion[br=2]{Le nombre $z=2$ est le seul nombre complexe tel que $|f(z)|=1$.}

\AQquestion[br=1]{L'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $|f(z)|=1$ est l'ensemble des nombres complexes de partie réelle 2.}

\AQquestion[br=2]{L'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $f(z)\in\R$ est l'ensemble des imaginaires purs.}

\AQquestion[br=1]{L'ensemble des nombres complexes tels que $|f(z)|=3$ est représenté géométriquement par un cercle de centre $\omega = \dfrac{3}{4}$ et de rayon $r=\dfrac{3}{4}$.}
\end{alterqcm}

%%%%%%%%% QCM 2

\medskip

\textbf{Exercice 2 -- QCM}

\medskip

\begin{alterqcm}[VF,correction,symb= \dingsquare,corsymb = \dingchecksquare]
\AQmessage{Soit le nombre $Z$ défini par : $Z=\dfrac{2\i z-5}{z-2\i}$}

\AQquestion[br=2]{$Z$ est défini pour tous les points M d'affixe $z$ du plan.}
\AQquestion[br=1]{L'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $|Z|=1$ est la médiatrice de [AB] avec A$(0~;2)$ et B$\left(0~;-\dfrac{5}{2}\right)$}
\AQquestion[br=2]{L'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $|z|=1$ est la droite d'équation $y=-\dfrac{1}{2}$.}
\AQquestion[br=1]{L'ensemble des points M tels que $Z\in\R$ est le cercle de centre $\omega=-\dfrac{1}{4}\i$ et de rayon $\dfrac{9}{4}$ privé du point $a=2\i$}
\end{alterqcm}

\newpage %%%%%%%%%%%%% QCM 3

\textbf{Exercice 3 -- QCM}

\medskip

\begin{alterqcm}[correction,lq=8cm,symb= \dingsquare,corsymb = \dingchecksquare]
\AQquestion[br=1]{Le module du nombre complexe $z=1+\i$ est :}
{
{$\sqrt{2}$},
{0},
{2}
}
\AQquestion[br=3]{L'argument du nombre complexe $z=1+i$ est :}
{
{$\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$},
{$\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$},
{$\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$}
}

\AQquestion[br=2]{Les racines carrées de $1+\i$ sont : }
{
{$z_1=\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}+2}-\i\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{2}$ et\newline\hspace*{1em} $z_2=-\dfrac{-\sqrt{2\sqrt{2}+2}+\i\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{2}$},
{$z_1=\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}+2}+\i\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{2}$ et\newline\hspace*{1em} $z_2=-\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}+2}+\i\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{2}$},
{$z_1=\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}-\i\sqrt{2\sqrt{2}+2}}{2}$ et\newline\hspace*{1em} $z_2=-\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}-\i\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{2}$}
}
\end{alterqcm}
\end{document}