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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
{\ECFJD\fontsize{12}{12}\selectfont\color{orangesanguine}}
{\thesubsection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

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\lhead{}
\cfoot{\ECFJD\Large\color{white}\fcolorbox{bleu}{bleu}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}


\title{Dérivation}

\section*{Nombre dérivé}

\subsection*{Définition}

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en une valeur $a$ est le nombre noté $f'(a)$ tel que:
\[
\boxed{f'(a)=\limite{h}{0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\qquad\text{ou}\qquad\boxed{f'(a)=\limite{x}{a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}
\]
C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x=a$.

\subsection*{\'Equation de la tangente}

L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est:
\[
\boxed{y = f'(a)(x-a) + f(a)}
\]

\paragraph*{Exemple:} $f(x)=x^2$. Trouvez l'équation réduite de la tangente à sa courbe représentative au point d'abscisse 3.

\medskip

\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} & = \dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\
& = \dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\
& = \dfrac{h(2a+h)}{h}\\
& = 2a+h.
\end{align*}

\columnbreak

$f'(a)=\limite{h}{0}(2a+h)=2a$.

Donc $f'(3) = 2\times3 = 6$.

L'équation de la tangente est donc:
\begin{align*}
y &= f'(3)(x-3)+f(3)\\
y &= 6(x-3) + 3^2\\
y &= 6x - 9
\end{align*}
\end{multicols}

\section*{Fonctions dérivées}

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
\rowcolor{bleuciel} $f(x)$ & $f'(x)$\\
\hline
$k\in\R$ & 0\\
\hline
$ax$ & $a$\\
\hline
$x^2$ & $2x$\\
\hline
$\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$\\
\hline
$\dfrac{1}{x}$ & $-\dfrac{1}{x^2}$\\
\hline
$x^n$ ($n\in\Z$) & $nx^{n-1}$\\
\hline
$\sqrt{ax+b}$ & $\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}$\\
\hline
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
\rowcolor{bleuciel}Fonction & Dérivée\\
\hline
$k \times u$ ($k\in\R$, $u$: fonction) & $k\times u'$\\
\hline
$u + v$ & $u' + v'$\\
\hline
$uv$ & $u'v + v'u$\\
\hline
$\dfrac{u}{v}$ & $\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$\\
\hline
$g(ax+b)$ & $a \times g'(ax+b)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{document}