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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
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\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
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%%% subsection

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%%% paragraph

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{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

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\cfoot{\ECFJD\Large\color{white}\fcolorbox{bleu}{bleu}{\thepage}}
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}


\title{Suites}

\section*{Généralités}

\subsection*{Définition}

Une suite est une fonction à variable entière. Elle peut être définie de deux manières :
\begin{itemize}
\item[\textbullet] \textit{de façon explicite}, avec une expression. 

Par exemple : $u_n=n^2+6$;
\item[\textbullet] \textit{par récurrence}, en exprimant un terme en fonction de son précédent. 

Par exemple, $u_{n+1}=5+u_n$, qui signifie qu'un terme est égal à 5 de plus que son précédent. Dans ce cas, il faut toujours connaître un terme (par exemple $u_0$) pour en déduire les autres.
\end{itemize}

\subsection*{Sens de variation}

On calcule $u_{n+1}-u_n$ et on regarde le signe du résultat.
\begin{itemize}
\item[\textbullet] Si $u_{n+1}-u_n>0$ alors $u_{n+1}>u_n$, donc la suite $(u_n)$ est croissante.
\item[\textbullet] Si $u_{n+1}-u_n<0$ alors $u_{n+1}<u_n$, donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
\end{itemize}

\begin{multicols}{2}
\paragraph*{Exemple 1:} $u_n= n^2+n+1$.

\medskip

$\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & = \big[ (n+1)^2 + (n+1) + 1 \big] - \big[ n^2 + n + 1 \big]\\
& = \big[ n^2 + 2n + 1 + n+1 + 1 \big] - \big[ n^2 + n+1 \big]\\
& = \big[ n^2 +3n+3 \big] - \big[ n^2 + n+1 \big]\\
& = n^2 + 3n+3-n^2-n-1\\
& = 2n+2>0.
\end{aligned}$

\medskip

Donc $(u_n)$ est strictement croissante.

\columnbreak

\paragraph*{Exemple 2:} $u_{n+1}=u_n^2+3u_n+2$, avec $u_0=2$.

\medskip

$\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & = (u_n^2+3u_n+2) - u_n\\
& = u_n^2+2u_n+2\\
& = (u_n^2+2u_n+1)+1\\
& = (u_n+1)^2+1>0\\
& \text{car un carré est toujours positif ou nul}.
\end{aligned}$

\medskip

Donc $(u_n)$ est strictement croissante.
\end{multicols}

\subsection*{Majorants et minorants}

$M$ est un majorant d'une suite $(u_n)$ si, pour tout entier $n$, $u_n\leqslant M$.

$M$ est un minorant d'une suite $(u_n)$ si, pour tout entier $n$, $u_n\geqslant M$.

\paragraph*{Exemple 3:} $u_n=3-\dfrac{1}{n}$, $n\geqslant1$.

\medskip

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, 

\medskip

$\begin{aligned}[t]
0 < \dfrac{1}{n} < 1 & \iff -1 < -\dfrac{1}{n} < 0\\
& \iff 2 < 3-\dfrac{1}{n}  < 3
\end{aligned}$

\medskip

Donc $(u_n)$ est minorée par 2, et majorée par 3. La suite est \textit{bornée}.

\newpage

\section*{Suites arithmétiques}

\subsection*{Définition}

Une suite est arithmétique si la différence de deux termes consécutifs quelconques est constante : $u_{n+1} - u_n = r$.

\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\subsection*{Formule de récurrence}
\[
\boxed{u_{n+1}=u_n+r}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\subsection*{Terme général en fonction de n}
\[
\boxed{\begin{aligned}[t]u_n&=u_0+nr\\u_n&=u_1+(n-1)r\\u_n&=u_p+(n-p)r,\ p\in\N \end{aligned}}
\]
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\subsection*{Somme des n premiers entiers}
\[
\boxed{1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\subsection*{Somme des n+1 premiers termes}
\[
\boxed{\begin{aligned}[t]
u_0+u_1+\cdots+u_n & =(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}\\
& = (n+1)\times\left(u_0 + \dfrac{1}{2}nr\right)
\end{aligned}}
\]
\end{minipage}


\section*{Suites géométriques}

\subsection*{Définition}

Une suite est géométrique si le rapport de deux termes consécutifs quelconques est constant : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q$.

\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\subsection*{Formule de récurrence}
\[
\boxed{u_{n+1}=q\times u_n}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\subsection*{Terme général en fonction de n}
\[
\boxed{\begin{aligned}[t]u_n&=u_0\times q^n\\u_n&=u_1\times q^{n-1}\\u_n&=u_p\times q^{n-p},\ p\in\N \end{aligned}}
\]
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\subsection*{Somme des n+1 premières puissances de q}
\[
\boxed{1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q},\quad q\neq1}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\subsection*{Somme des n+1 premiers termes}
\[
\boxed{u_0+u_1+\cdots+u_n =u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}
\]
\end{minipage}

\end{document}