\chapter{La fonction exponentielle}

\section{Première approche}
\pagestyle{main}
\subsection{Notre objectif}
\itemclass{titrecolor}
\color{black}

On recherche une fonction $f$ telle que:

\begin{enumerate}
\item\label{fctexp1} pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)$ ;
\item\label{fctexp2} $f(0)=1$.
\end{enumerate}

On suppose que cette fonction existe.

\bigskip

Très vite, on se rend compte que cette fonction n'est pas un polynôme (car le seul polynôme $P$ qui vérifie le point \ref{fctexp1} est $P(x)=0$ et dans ce cas, $P(0)\neq1$, ce qui ne satisfait pas le point \ref{fctexp2}.

Ce n'est pas non plus une fonction racine carrée ou une fraction rationnelle (quotient de deux polynômes).

\subsection{La méthode d'Euler}

Nous allons avant tout tenter de dessiner la courbe représentative de notre fonction. Pour cela, on va prendre des intervalles \intervFF{a}{a+h}, avec $h$ très proche de 0, et on va assimiler la courbe représentative de $f$ à sa tangente au point d'abscisse $a$. En effet, sur un intervalle assez petit \intervFF{a}{a+h}, la tangente est très proche de la courbe.

\medskip

On sait que l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ est :
\[
y = f'(a)(x-a)+f(a).
\]
Posons $g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)$. Confondre la courbe et la tangente revient à dire que\linebreak $f(a+h) \approx g(a+h)$, c'est-à-dire :
\[
f(a+h)\approx f'(a)(a+h-a)+f(a),
\]
soit :
\[
f(a+h)\approx f'(a)\times h + h(a).
\]
Or, d'après le point \ref{fctexp1}, $f'(a)=f(a)$ donc :
\[
f(a+h)\approx hf(a)+f(a)
\]
soit :
\[
f(a+h)\approx (1+h)f(a).
\]
$h$ peut être pris aussi petit qu'on le souhaite. Prenons par exemple $h=0,1$. Alors, 
\begin{itemize}
\item en prenant $a=0$ : $f(0+0,1)\approx(1+0,1)\times f(0)=1,1\times1=1,1$;
\item en prenant $a=0,1$ : $f(0,2)=f(0,1+0,1)\approx(1+0,1)\times f(0,1)=1,1\times1,1=1,21$;
\item en prenant $a=0,2$ : $f(0,3)=f(0,2+0,1)\approx(1+0,1)\times f(0,2)=1,1\times1,21=1,331$;
\item etc.
\end{itemize}

\newpage

Le programme Python suivant permet d'automatiser la construction des segments :

\bigskip

\begin{python}
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

xList = [0]
yList = [1]

a = 0
h = 0.1

for i in range(10):
    x = a+h
    y = (1+h)*yList[i]
    xList.extend([x])
    yList.extend([y])
    a = x

x = np.array(xList)
y = np.array(yList)
plt.plot(x, y, marker=".")

plt.show()
\end{python}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 5mm, fill = white] (img) {\includegraphics{04-Euler01.png}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\bigskip

Avec un pas plus petit ($h=0,01)$, on obtient la figure suivante.


\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 5mm, fill = white] (img) {\includegraphics{04-Euler02.png}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On voit alors se dessiner la courbe représentative de la fonction $f$ cherchée, sur \intervFF{0}{1}.

\section{Définition}

\subsection{Unicité de la fonction exponentielle}

Nous avons vu précédemment comment tracer la représentation graphique d'une fonction $f$ telle que $f'=f$, avec $f(0)=1$.

Montrons qu'une telle fonction est unique (on suppose son existence).

\medskip

Pour cela, nous aurons besoin de la propriété suivante.

\begin{prop}[fondamentale]
Soit une fonction $f$ dérivable sur \R telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.

Pour tout réel $x$, $f(x)\times f(-x)=1$ et $f(x) \neq 0$.
\end{prop}


\begin{demo}
Posons $h(x)=f(x) \times f(-x)$. Alors, $h$ est dérivable sur \R comme le produit de deux fonctions dérivables sur \R, et :
\[
h'(x)= f'(x)\times f(-x) + f(x)\times[-f'(-x)].
\]
Or, $f'(x)=f(x)$ donc :
\[
h'(x)=f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0.
\]
La fonction $h$ est donc constante sur \R.

Or, $h(0)=f(0)\times f(-0) = 1 \times1 = 1$.

Donc, pour tout réel $x$, $h(x)=1$, c'est-à-dire :
\[
f(x) \times f(-x) = 1.
\]
On en déduit de plus que $f$ ne s'annule jamais sur \R, donc que $f(x)\neq0$ sur \R.
\end{demo}

Montrons maintenant que $f$ est unique. Pour cela, supposons qu'il existe deux fonctions $f$ et $g$ qui vérifient les même hypothèses mathématiques, à savoir que :
\[
\begin{cases}
f'=f\\
f(0)=1
\end{cases}
\qquad
\text{et}
\qquad
\begin{cases}
g'=g\\
g(0)=1
\end{cases}.
\]

Posons alors $h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}$ (d'après la propriété \ref{prop:fondamentale}, $f$ ne s'annule jamais donc $h$ est bien définie).

$h$ est dérivable sur \R comme le quotient de deux fonction dérivables sur \R dont le dénominateur ne s'annule pas, et :
\[
h'(x)=\dfrac{g'(x)f(x)-g'(x)f'(x)}{\big[f(x)\big]^2}.
\]
Or, $g'=g$ et $f'=f$ donc :
\[
h'(x)=\dfrac{g(x)f(x)-f(x)g(x)}{\big[f(x)\big]^2}=0.
\]
Ainsi, $h$ est une fonction constante sur \R.

De plus, $h(0)=\dfrac{g(0)}{f(0)}=\dfrac{1}{1}=1$.

Donc, pour tout réel $x$, $h(x)=1$, ce qui signifie que $g(x)=f(x)$.

Nous venons donc de montrer qu'il n'existe qu'une fonction remplissant nos exigences.

\begin{thm}
Il n'existe qu'une fonction $f$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
\end{thm}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
On appelle \textbf{fonction exponentielle} la fonction $\exp$ telle que :
\[
\exp'=\exp\qquad\text{et}\qquad\exp(0)=1.
\]
\end{defin}

\newpage

\section{Relations fonctionnelles}

\subsection{Image d'un opposé}

D'après la propriété \ref{prop:fondamentale}, on peut tout de suite écrire :

\begin{prop}
Pour tout réel $x$,
\[ 
\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}.
\]
\end{prop}

\subsection{Image d'une somme}

\begin{prop}[exponentielle d'une somme]
Pour tous nombres réels $x$ et $y$,
\[
\exp(x+y) = \exp(x) \times \exp(y).
\]
\end{prop}

\begin{demo}
Posons $f(x)=\exp(x+y) \times \exp(-x)$. $f$ est dérivable sur \R comme le produit de deux fonctions dérivables sur \R, et :
\begin{align*}
f'(x) &= \exp'(x+y) \times \exp(-x) + \exp(x+y) \times \big[- \exp'(-x) \big]\\
& = \exp(x+y)\times\exp(-x) - \exp(x+y) \times \exp(-x)\\
& = 0.
\end{align*}
Ainsi, $f$ est une fonction constante.

De plus, $f(0)=\exp(0+y)\times\exp(-0)=\exp(y)$ donc, pour tout réel $x$,
\[
f(x)=\exp(x+y)\times\exp(-x)=\exp(y)\;,
\]
c'est-à-dire :
\[
\exp(x+y)=\exp(y)\times\dfrac{1}{\exp(-x)}=\exp(y)\times\exp(x).
\]
\end{demo}

\begin{prop}[exponentielle d'une différence]
Pour tous réels $x$ et $y$,
\[ 
\exp(x-y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}.
\]
\end{prop}


\begin{demo}
En considérant la propriété \ref{prop:exponentielle d'une somme} en remplaçant $y$ par $-y$, on a :
\[
\exp\big[x+(-y)\big]=\exp(x) \times \exp(-y).
\]
D'après la propriété \ref{prop:fondamentale}, $\exp(-y)=\dfrac{1}{\exp(y)}$ donc :
\[
\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}.
\]
\end{demo}

\section{Notation $\e^x$}

\subsection{Le nombre e}

En mathématiques, il est de coutume de désigner par une lettre un nombre important dont l'écriture décimale est infinie. C'est par exemple le cas du nombre $\pi$.

\medskip

C'est la raison pour laquelle on pose :
\[
\e = \exp(1).
\]

Le nombre $\e$ est égal à l'image de 1 par la fonction $\exp$.

\medskip

Avec la méthode d'Euler, nous avons vu que :
\begin{itemize}
\item $\exp(0,1)\approx (1+0,1)$;
\item $\exp(0,2)\approx (1+0,1) \times \exp(0,1) \approx (1+0,1)^2$;
\item $\exp(0,3)\approx (1+0,1) \times \exp(0,1) \approx (1+0,1)^3$;
\item etc.
\end{itemize}
On peut alors écrire, pour $h$ très proche de 0 et pour tout entier naturel $n$ :
\[
\exp(nh)\approx(1+h)^n.
\]
En prenant $h=\dfrac{1}{n}$, $n$ étant un entier assez grand pour que $\dfrac{1}{n}$ soit assez proche de 0, on a :
\[
\exp(1)\approx\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n.
\]
Ainsi, en prenant $n$ de plus en plus grand, le nombre $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ se rapproche du nombre $\e$.

Dans l'exercice \ref{exo-suite-exp}, nous en avons trouvé une valeur approchée. Nous prendrons :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=orange!50,draw=orange,inner sep=1ex] (e) {$\e \approx 2,71828182846$};
\drawshadow{e}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

\subsection{Vers la notation simplifiée}

De la propriété \ref{prop:exponentielle d'une somme}, nous pouvons déduire que :
\begin{itemize}
\item $\exp(2)=\exp(1+1)=\exp(1)\times\exp(1)=\big(\exp(1)\big)^2=\e^2$;
\item $\exp(3)=\exp(2+1)=\exp(2)\times\exp(1)=\big(\exp(1)\big)^3=\e^3$;
\item $\vdots$
\item $\exp(n) = \big(\exp(1)\big)^n=\e^n$, où $n\in\N$.
\end{itemize}

Ceci nous encourage alors à simplifier l'écriture $\exp(x)$ en $\e^x$, sans pour autant avoir démontré l'égalité pour tout réel $x$ (on laisse cette démonstration aux mathématicien.ne.s averti.e.s).

\medskip

Ainsi, à partir de maintenant, on notera :
\[
\forall x\in\R,\quad \exp(x)=\e^x.
\] 

Les propriétés précédentes s'écrivent alors :

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item $\e^{-x} = \dfrac{1}{\e^x}$;
\item $\e^{x+y}=\e^x \times \e^y$;
\item $\e^{x-y} = \dfrac{\e^x}{\e^y}$;
\item $\e^0 = 1$;
\item $\big(\e^x\big)' = \e^x$.
\end{itemize}
\end{prop}

\section{La suite $(\e^{na})$, $a$ réel}

Soit $a$ un réel. Considérons la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
u_n=\e^{na}.
\]

\subsection{La suite est géométrique}

Pour démontrer que la suite \suite{u}{n}{} est géométrique, il faut démontrer que le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant pour tout entier naturel $n$.

\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}
& = \dfrac{\e^{(n+1)a}}{\e^{na}}\\
& = \e^{(n+1)a-na} & \text{(d'après la propriété \ref{prop:exponentielle d'une somme})}\\
& = \e^{na+a-na}\\
& = \e^a.
\end{align*}

Ainsi, la suite \suite{u}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=\e^a$.

\subsection{Expression du terme général}

Par propriété, 
\[
u_n = u_0 \times q^n
\]
avec $u_0=\e^0 = 1$. Par conséquent, 
\[
u_n = \big(\e^a\big)^n.
\]
Or, $u_n=\e^{na}$. On en déduit alors la propriété suivante :

\begin{prop}[puissance d'une exponentielle]
Pour tout réel $a$ et pour tout entier $n$,
\[
\big(\e^{a}\big)^n = \e^{na}.
\]
\end{prop}

\section{\'Etude de la fonction $x\mapsto\e^x$}

\subsection{Positivité}

\begin{prop}[positivité]
La fonction $x\longmapsto\e^x$ est strictement positive.
\end{prop}

\begin{demo}
Quel que soit le réel $x$, on peut écrire :
\[
\e^x = \e^{\frac{x}{2}\times2}.
\]
D'après la propriété \ref{prop:puissance d'une exponentielle}, cela revient à écrire :
\[
\e^x = \Big(\e^{\frac{x}{2}}\Big)^2.
\]
Un carré étant toujours positif ou nul, cela signifie que :
\[
\forall x\in\R,\quad\e^x\geqslant0.
\]
Or, d'après la propriété \ref{prop:fondamentale},
\[
\forall x\in\R,\quad \e^x \times \e^{-x}=1\;,
\]
ce qui implique que pour tout réel $x$, $\exp(x)\neq0$.

\medskip

Ainsi, 
\[
\forall x\in\R,\quad\exp(x)>0.
\]
\end{demo}

\newpage
\subsection{Sens de variation}

\begin{prop}[croissance de la fonction exponentielle]
La fonction $x\longmapsto\e^x$ est strictement croissante sur \R.
\end{prop}

\begin{demo}
Par définition, 
\[
\exp' = \exp.
\]
De plus, d'après la propriété \ref{prop:positivité}, pour tout réel $x$, $\exp(x)>0$ donc :
\[
\forall x\in\R,\quad\exp'(x)>0\;,
\]
ce qui signifie que la fonction $x\mapsto\e^x$ est strictement croissante sur \R.
\end{demo}

\subsection{Courbe représentative}

La courbe représentative de la fonction $x\longmapsto\e^x$ sur \R est la suivante :

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\rep{-5}{-1}{5}{10}
\draw[thick,orange] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{exp(\x)});
\fill[blue] (1.5,{exp(1.5)}) circle (2pt);
\draw[dashed,thick,blue] (1.5,0) node[below] {$a$} -- (1.5,{exp(1.5)}) -- (0,{exp(1.5)}) node[left] {$\e^a$};
\draw[violet,thick] plot[domain=0:4] (\x,{exp(1.5)*(\x-1.5)+exp(1.5)});
\draw[->,thick,violet] (1.5,{exp(1.5)}) -- (2.5,{exp(1.5)}) node[midway,below] {$+1$};
\draw[->,thick,violet] (2.5,{exp(1.5)}) -- (2.5,{2*exp(1.5)}) node[midway,right] {$+\e^a$};
\node[orange,fill=white] at (1.5,9.5) {$y=\e^x$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

En tout point d'abscisse $a$, le coefficient directeur de la tangente à la courbe est égal à $\e^a$.

\newpage

\subsection{Propriétés de bijectivité}

\begin{prop}
Pour tous réels $x$ et $y$,
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $x = y \iff \e^x = \e^y$
\item $x \geqslant y \iff \e^x \geqslant \e^y$
\item $x \leqslant y \iff \e^x \leqslant \e^y$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{prop}

Ces propriétés découlent de la stricte monotonie de la fonction $x\mapsto\e^x$ sur \R.


\section{\'Etude des fonctions $x\mapsto\e^{kx}$}

\subsection{Variations}

Posons $f(x)=\e^{kx}$, où $k\in\R*$.

Nous avons vu précédemment que la dérivée de toute fonction $g(ax+b)$ était égale à $ag'(ax+b)$. Ainsi,
\[
f'(x)=k\e^{kx}.
\]
Pour tout réel $x$, $\e^{kx}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $k$. Ainsi,
\begin{itemize}
\item si $k<0$, $f$ est strictement décroissante sur \R;
\item si $k>0$, $f$ est strictement croissante sur \R.
\end{itemize}

\enlargethispage*{5em}
\subsection{Représentations graphiques}

Voici quelques exemples de représentations graphiques des fonctions $x\mapsto\e^{kx}$:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\rep{-5}{-1}{3}{10}
\draw[thick,orange] plot[domain=-5:3,samples=100] (\x,{exp(2*\x)});
\node[orange,fill=white,right] at (1.5,9.5) {$y=\e^{2x}$};
%
\draw[thick,violet] plot[domain=-5:3,samples=100] (\x,{exp(0.5*\x)});
\node[violet,fill=white] at (2.5,1.5) {$y=\e^{0,5x}$};
%
\draw[thick,green!50!black] plot[domain=-5:3,samples=100] (\x,{exp(-\x/3)});
\node[green!50!black,fill=white] at (-4,5.5) {$y=\e^{-x/3}$};
%
\draw[thick,purple] plot[domain=-2:3,samples=100] (\x,{exp(-1.5*\x)});
\node[purple,fill=white,left] at (-1.8,9.5) {$y=\e^{-1,5x}$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\subsection{Domaines où l'on rencontre l'exponentielle}

\subsubsection*{Radioactivité}

\begin{quote}
\og La radioactivité est le phénomène physique par lequel des noyaux atomiques instables (dits radionucléides ou radioisotopes), se transforment spontanément en d'autres atomes (désintégration) en émettant simultanément des particules de matière (électrons, noyaux d'hélium, neutrons, etc.) et de l'énergie (photons et énergie cinétique). La radioactivité a été découverte en 1896 par Henri Becquerel dans le cas de l'uranium, et très vite confirmée par Marie Curie pour le radium. \fg{} 
\end{quote}
\begin{flushright}
Source : \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Radioactivité}
\end{flushright}

Quand une substance est radioactive, elle ne l'est pas pour toujours. En effet, on montre mathématiquement que le nombre $N$ de noyaux radioactifs diminue avec le temps $t$ et est donné par l'égalité :
\[
N(t)=N_0\e^{-\lambda t}\;,
\]
où $\lambda$ est un paramètre positif dépendant de l'élément radioactif, et $N_0$ le nombre initial observé de noyaux radioactifs.

\subsubsection*{évolution d'un capital à taux fixe}

Lorsque l'on place un capital sur un compte à taux fixe, cela signifie que chaque année (si on n'y touche pas entre temps), on ajoute un certain pourcentage $t$ au capital de l'année précédente. Cela se traduit par l'égalité :
\[
C_{n}=C_0\times\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^n.
\]
Si on place les points représentant cette suite, on constate qu'ils suivent une courbe exponentielle :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.5]
\draw[->,>=latex,thick] (-0.4,0) -- (16,0);
\draw[->,>=latex,thick] (0,-0.2) -- (0,10);
\draw[dashed,red] plot[domain=0:16,samples=100] (\x,{(1+15/100)^\x}) node[right] {$f$};
\foreach \x in {0,1,...,15}
{
\fill[orange] (\x,{(1+15/100)^\x}) circle[x radius=4pt,y radius=2pt];
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On arrive à montrer que la fonction $f$ s'écrit sous la forme :
\[
f(x)=C_0\e^{kx},\quad k>0.
\]
\begin{rem}
Ici, le paramètre $k$ est ce que l'on nomme le \textbf{logarithme népérien} du nombre $1+\dfrac{t}{100}$. On le note $\ln\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$.
\end{rem}


\subsubsection*{Décroissance thermique}

La police scientifique utilise quelques fois (doux euphémisme...) les mathématiques. C'est le cas quand elle souhaite déterminer l'heure de la mort d'une personne. Pour cela, elle utilise la formule :
\[
\dfrac{T_{\text{corps}} - T_{\text{ambiante}}}{37,2-T_{\text{ambiante}}} = 1,25\e^{-kt}-0,25\e^{-5kt}\;,
\]
où :
\begin{itemize}
\item $T_{\text{corps}}$ désigne la température (en $^\circ$C) du corps;
\item $T_{\text{ambiante}}$ désigne la température (en $^\circ$C) du milieu où se trouve le corps;
\item $k$ est un paramètre dépendant de la masse (en kg) du corps, avec $k=\dfrac{1,2815}{\e^{0,625\ln(M)}}-0,0254$, où $\ln(M)$ désigne le logarithme népérien de $M$ (vous en saurez plus sur le logarithme népérien l'année prochaine).
\end{itemize}

À l'aide de cette égalité, on peut trouver le réel $t$, qui représente ici la différence entre l'heure de la mort et l'heure des relevés.

Par exemple, si on trouve $t\approx7,5$, cela signifie que l'heure de la mort remontre à 7h30min.


\exercices %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{Propriétés algébriques}

%%% 1

\begin{exocor}{simplifications}
Simplifier les nombres suivants en donnant le résultat sous la forme d'une seule exponentielle.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\e^5\times\e^{-3}$
\item $\dfrac{\e^{-9}}{\e^7}$
\item $\big(\e^{-2}\big)^3$
\item $\dfrac{\e^3\times\e^{-4}}{\e^{-2}}$
\item $\dfrac{\e^2\times\e^{-2}}{\e^{-1}}$
\item $\left(\e^{-1}\times\e^{-2}\right)^3$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\e^5\times\e^{-3}=\e^{5+(-3)}=\e^2$.
\item $\dfrac{\e^{-9}}{\e^7}=\e^{-9-7}=\e^{-16}$.
\item $\big(\e^{-2}\big)^3=\e^{-2\times3}=\e^{-6}$.
\item $\dfrac{\e^3\times\e^{-4}}{\e^{-2}}=\e^{3-4-(-2)}=\e^1=\e$.
\item $\dfrac{\e^2\times\e^{-2}}{\e^{-1}}=\e^{2-2+1}=\e$.
\item $\left(\e^{-1}\times\e^{-2}\right)^3=\e^{(-1-2)\times3}=\e^{-9}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 2

\begin{exocor}{simplifications}
Simplifier les expressions suivantes en donnant le résultat sous la forme d'une seule exponentielle.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\e^{2x-1}\times\e^{-x+3}$
\item $\dfrac{\e^{3x-1}}{\e^{4x-2}}$
\item $\big(\e^{-x+1}\times\e^{x-1}\big)^2$
\item $\left(\dfrac{\e^{2x+3}\times\e^{3x-2}}{\e^4}\right)^{-1}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\e^{2x-1}\times\e^{-x+3}=\e^{2x-1-x+3}=\e^{x+2}$.
\item $\dfrac{\e^{3x-1}}{\e^{4x-2}}=\e^{3x-1-(4x-2)}=\e^{-x+1}$.
\end{multicols}
\item $\big(\e^{-x+1}\times\e^{x-1}\big)^2=\e^{(-x+1+x-1)\times2}=\e^{0}=1$.
\item $\left(\dfrac{\e^{2x+3}\times\e^{3x-2}}{\e^4}\right)^{-1}=\e^{(2x+3+3x-2-4)\times(-1)}=\e^{-5x+3}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 3

\begin{exocor}{équations}
Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\e^{x+2}=0$
\item $\e^{x^5+x+1}=-1$
\item $\e^{2x+3}=\e^{-2x-5}$
\item $\e^{5x+2}=\e^{3x+1}$
\item $\e^{x^2-1}=\e^{2x^2+3x-2}$
\item $5-2\e^{3x+2}=3$
\item $2+3\e^{2x}=5$
\item $7-4\e^{5x-3}=3$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Une exponentielle étant toujours strictement positive, l'équation $\e^{x+2}=0$ n'admet aucune solution. $\boxed{\mathcal{S}=\varnothing}$

\item Une exponentielle étant toujours strictement positive, l'équation $\e^{x^5+x+1}=-1$ n'admet aucune solution. $\boxed{\mathcal{S}=\varnothing}$

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{2x+3}=\e^{-2x-5} & \iff 2x+3=-2x-5\\
& \iff 4x=-8\\
& \iff x=-2
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $\e^{2x+3}=\e^{-2x-5}$ est donc $\boxed{\mathcal{S}=\{-2\}}$

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{5x+2}=\e^{3x+1} & \iff 5x+2=3x+1\\
& \iff 2x=-1\\
& \iff x=-\dfrac{1}{2}
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $\e^{5x+2}=\e^{3x+1}$ est donc $\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}}$

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{x^2-1}=\e^{2x^2+3x-2} & \iff x^2-1=2x^2+3x-2\\
& \iff x^2+3x-1=0
\end{aligned}$

Le discriminant de $x^2+3x-1$ est $\Delta=9+4=13$ donc il y a deux solutions :
\[
x_1=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}.
\]
Donc $\boxed{\mathcal{S}=\left\{\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}~;~\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2} \right\}}$

\item $\begin{aligned}[t]
5-2\e^{3x+2}=3 & \iff -2\e^{3x+2}=-2\\
& \iff \e^{3x+2}=1\\
& \iff \e^{3x+2}=\e^0\\
& \iff 3x+2=0\\
& \iff x=-\dfrac{2}{3}
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $5-2\e^{3x+2}=3$ est donc $\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{2}{3}\right\}}$

\item $\begin{aligned}[t]
2+3\e^{2x}=5 & \iff 3\e^{2x}=3\\
& \iff \e^{2x}=1\\
& \iff \e^{2x}=\e^0\\
& \iff 2x=0\\
& \iff x=0
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $2+3\e^{2x}=5 $ est donc $\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}$

\item $\begin{aligned}[t]
7-4\e^{5x-3}=3 & \iff -4\e^{5x-3}=-4\\
& \iff \e^{5x-3}=1\\
& \iff \e^{5x-3}=\e^0\\
& \iff 5x-3=0\\
& \iff x=\dfrac{3}{5}
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $7-4\e^{5x-3}=3$ est donc $\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{3}{5}\right\}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 4

\begin{exocor}{équations avec changement de variable}
Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\e^{2x}-2\e^x+1=0$
\item $\e^{2x}+\e^x-2=0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\e^{2x}-2\e^x+1=0$. On pose $X=\e^x$. Ainsi, comme $\e^{2x}=\big(\e^x\big)^2$, l'équation est équivalente à :
\[ X^2-2X+1=0 \iff (X-1)^2=0 \iff X=1 \iff \e^x=1 \iff x=0. \]
L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}$

\item $\e^{2x}+\e^x-2=0$. On pose $X=\e^x$ et l'équation devient :
$ X^2+X-2=0$.

Le discriminant du polynôme $X^2+X-2$ est $\Delta=9$ donc il admet deux racines :
\[ X_1=\dfrac{-1-3}{2}=-2\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{-1+3}{2}=1.\]
Ainsi, $\e^{x_1}=-2$ et $\e^{x_2}=1$.
 
Une exponentielle étant strictement positive, $\e^{x_1}=-2$ est impossible.

$\e^{x_2}=1\iff x_2=0$ donc l'ensemble solution est $\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 5

\begin{exocor}{inéquations}
Résoudre dans $\R$ est inéquations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\e^{3x-1}>\e^{2x+4}$
\item $\e^{-2x+5}\leqslant\e^{4x+7}$
\item $\e^{x^2-1}<\e$
\item $12-4\e^{5x+1}\geqslant8$
\item $8+3\e^{-2x+3}\leqslant11$
\item $56+14\e^{47x-15}>70$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item $\e^{3x-1}>\e^{2x+4} \iff 3x-1>2x+4 \iff x>5$.

\medskip

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{5}{+\infty}}$

\item $\e^{-2x+5}\leqslant\e^{4x+7} \iff -2x+5\leqslant4x+7 \iff 6x\geqslant-2 \iff x\geqslant-\dfrac{1}{3}$.

\medskip

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervFO{-\dfrac{1}{3}}{+\infty}}$

\item $\e^{x^2-1}<\e \iff x^2-1<1 \iff x^2-2<0$.

$x^2-2$ admet pour racines $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$, et est négatif entre ses racines.

\medskip

L'ensemble solution de l'inéquation est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{-\sqrt2}{\sqrt2}}$

\item $\begin{aligned}[t]
12-4\e^{5x+1}\geqslant8 & \iff -4\e^{5x+1}\geqslant-4\\
& \iff \e^{5x+1}\leqslant1\\
& \iff \e^{5x+1}\leqslant\e^0\\
& \iff 5x+1\leqslant0\\
& \iff x\leqslant-\dfrac{1}{5}
\end{aligned}$

\medskip

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOF{-\infty}{-\dfrac{1}{5}}}$

\item $\begin{aligned}[t]
8+3\e^{-2x+3}\leqslant11 & \iff 3\e^{-2x+3}\leqslant3\\
& \iff \e^{-2x+3}\leqslant1\\
& \iff \e^{-2x+3}\leqslant\e^0\\
& \iff -2x+3\leqslant0\\
& \iff -2x\leqslant-3\\
& \iff x\geqslant\dfrac{3}{2}
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervFO{\dfrac{3}{2}}{+\infty}}$

\item $\begin{aligned}[t]
56+14\e^{47x-15}>70& \iff 14\e^{47x-15}>14\\
& \iff \e^{47x-15}>1\\
& \iff 47x-15>0\\
& \iff x>\dfrac{15}{47}
\end{aligned}$

\medskip

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{\dfrac{15}{47}}{+\infty}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 6

\begin{exocor}{inéquations avec changement de variable}
Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\e^{2x}+\e^{x}-2\geqslant0$
\item $\e^{2x}-2\e^x+1\leqslant0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\e^{2x}+\e^{x}-2\geqslant0 & \iff X^2+X-2\geqslant0\text{ avec $X=\e^x$}\\
& \iff (X-1)(X+2)\geqslant0\text{ (voir exercice 4 pour les racines)}\\
& \iff \big(\e^x-1\big)\big(\e^x+2\big)\geqslant0\\
& \iff \e^x-1\geqslant0\text{ (car }\e^x+2>0\text{ pour tout réel }x)\\
& \iff \e^x\geqslant1\\
& \iff x\geqslant0
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervFO{0}{+\infty}}$

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{2x}-2\e^x+1\leqslant0 & \iff X^2-2X+1\leqslant0\text{ avec }X=\e^x\\
& \iff (X-1)^2\leqslant0\\
& \iff (X-1)^2=0\text{ car }(X-1)^2\text{ est toujours positif ou nul}\\
& \iff X=1\\
& \iff \e^x=1\\
& \iff x=0
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{\'Etudes de fonctions}

%%% 7

\begin{exocor}{} % f(x) = (7x-1)exp(x)
On considère la fonction $f$ définie par pour tout réel $x$ par:
\[
f(x) = (7x-1)\e^x
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que sa dérivée est égale à $f'(x)=(7x+6)\e^x$.
\item En déduire les variations de $f$ sur \R.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x) = (7x-1)\e^x$ est de la forme $u\times v$ avec:
\begin{multicols}{2}
$u(x) = 7x-1$

$u'(x) = 7$

\columnbreak

$v(x) = \e^x$

$v'(x) = \e^x$
\end{multicols}

D'où:
\begin{align*}
f'(x) & = (u'v+v'u)(x)\\
& = 7\e^x + (7x-1)\e^x
\intertext{On peut alors factoriser par $\e^x$}
f'(x) & = (7 + 7x-1)\e^x\\
\Aboxed{f'(x) & = (7x+6)\e^x}
\end{align*}

\item Afin d'étudier les variations de $f$ sur \R, nous devos trouver le signe de $f'(x)$ sur \R.

Or, pour tout réel $x$, $\e^x > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $7x+6$.
\begin{align*}
7x+6>0 & \iff 7x > -6\\
& \iff x > -\frac{6}{7}
\end{align*}
On en déduit alors le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,$-\frac{6}{7}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 8

\begin{exocor}{} % f(x) = (3-2x)exp(-x)
On considère la fonction $f$ définie sur \R par:
\[
f(x) = (3-2x)\e^{-x}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que sa dérivée est égale à $f'(x)=(2x-5)\e^{-x}$.
\item En déduire le sens de variation de $f$ sur \R.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x) = (3-2x)\e^{-x}$ est de la forme $f = u \times v$ avec:
\begin{multicols}{2}
$u(x) = 3-2x$

$u'(x)=-2$

\columnbreak

$v(x)=\e^{-x}$

$v'(x) = -\e^{-x}$
\end{multicols}
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = (u'v + v'u)(x)\\
f'(x) & = -2\e^{-x} -\e^{-x}(3-2x)
\intertext{On peut alors factoriser par $\e^{-x}$.}
f'(x) & = \big[(-2-(3-2x)\big]\e^{-x}\\
f'(x) & = (-2-3+2x)\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x) & = (2x-5)\e^{-x}}
\end{align*}

\item Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $(2x-5)$.
\begin{align*}
2x-5 > 0 & \iff 2x > 5\\
& \iff x > \frac{5}{2}.
\end{align*}
D'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,$\frac{5}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 9

\begin{exocor}{} % f(x) = exp(x)/(1+exp(x))
\'Etudier sur \R les variations de la fonction $f$ définie par :
\[
f(x) = \dfrac{\e^x}{1+\e^x}.
\]

\tcblower

$f(x)=\dfrac{\e^x}{1+\e^x}=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, avec $u'(x)=\e^x$ et $v'(x) = \e^x$.
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'v-v'u}{v^2}\\
& = \dfrac{\e^x(1+\e^x) - \e^x\times\e^x}{(1+\e^x)^2}\\
& = \dfrac{\e^x+\e^{2x}-\e^{2x}}{(1+\e^x)^2}\\
f'(x) & = \dfrac{\e^x}{(1+\e^x)^2} > 0
\end{align*}

Ainsi, $f$ est strictement croissante sur \R (inutile de faire un tableau de variations quand la fonction est strictement monotone comme ici).
\end{exocor}

%%% 10

\begin{exocor}{} % f(x) = (exp(2x) - 6) / (2exp(x) + 7)
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ appartenant à son domaine de définition par:
\[
f(x)=\dfrac{\e^{2x}-6}{2\e^{x}+7}
\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que son domaine de définition est $\R$.
\item Montrer que sa dérivée est $f'(x)=\dfrac{2\e^x\big(\e^{2x}+7\e^{x}+6\big)}{\big(2\e^x+7\big)^2}$.
\item En déduire les variations de $f$ sur \R.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x)$ est un quotient; par conséquent, $f$ est définie uniquement pour toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles le dénominateur de $f(x)$ est non nul.

Or, pour tout réel $x$, $\e^x >0$, donc $2\e^x>0$ et par conséquent, $2\e^x+7>0$.

Le dénominateur de $f(x)$ n'est donc jamais nul. Le domaine de définition de $f$ est donc \R.

\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec:
\begin{multicols}{2}
$u(x)=\e^{2x}-6$\\
$u'(x)=2\e^{2x}$

\columnbreak

$v(x)=2\e^x+7$\\
$v'(x)=2\e^x$
\end{multicols}
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = \dfrac{2\e^{2x}(2\e^x+7) - 2\e^x(\e^{2x}-6)}{(2\e^x+7)^2}\\
 & = \dfrac{2\e^{x}\big[\e^x(2\e^x+7) - (\e^{2x}-6)\big]}{(2\e^x+7)^2}\\
& = \dfrac{2\e^{x}\big[2\e^{2x}+7\e^x - \e^{2x}+ 6\big]}{(2\e^x+7)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{2\e^{x}(\e^{2x}+7\e^x + 6)}{(2\e^x+7)^2}}
\end{align*}
\item Pour tous réels $x$,
\begin{itemize}
\item $2\e^x > 0$,
\item $\e^{2x}+7\e^x + 6 > 0$ comme comme de termes strictement positifs,
\item $(2\e^x+7)^2 > 0$.
\end{itemize}

Ainsi, $f'(x)>0$ sur \R; la fonction $f$ est donc strictement croissante sur \R.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 11

\begin{exocor}{} % f(x) = (x-1)(2-exp(-x))
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle \intervFO{0}{+\infty} par :
\[ f(x)=(x-1)\big(2-\e^{-x}\big).\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)=x\e^{-x}+2\left(1-\e^{-x}\right)$.
\item En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)>0$.
\item Préciser la valeur de $f'(0)$ puis donner les variations de $f$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=2-\e^{-x}$.

Ainsi, $f'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=\e^{-x}$.

D'où :
\[
\begin{aligned}
f'(x) & = 2-\e^{-x}+(x-1)\e^{-1}\\
& = 2-\e^{-x}+x\e^{-x}-\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x) & = x\e^{-x} + 2(1-\e^{-x})}
\end{aligned}
\]

\item Si $x>0$, alors $\e^{-x}>1$ et $1-\e^{-x}>0$.

De plus, $x\e^{-x}>0$ donc, par somme de termes positifs, $f'(x)>0$.

\item $f'(0)=0$.  

De la question précédente, on déduit que \underline{$f$ est strictement croissante sur \intervFO{0}{+\infty}}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 12

\begin{exocor}{}% f(x) = exp(x) * racine(x)
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^+$ par :
\[ f(x)=\e^x\sqrt{x}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$.
\item En déduire les variations de $f$ sur $\R_+$.

Dresser un tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f'(x)=\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)\e^x$, soit $\boxed{f'(x)=\left(\dfrac{1+2x}{2\sqrt{x}}\right)\e^x}$.

\item $x>0 \iff 1+2x>0 \iff f'(x)>0$ (car $\e^x>0$ et $2\sqrt{x}>0$) d'où le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{0,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+}
\tkzTabVar{-/0,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{rem}
J'ai ici dressé le tableau de variation, bien que la fonction soit strictement monotone, car il y a une valeur interdite (traduite par une \og double barre \fg{} verticale en-dessous de 0). 

Quand il y a au moins une valeur interdite, il est conseillé de faire le tableau.
\end{rem}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 13

\begin{exocor}{modélisation du taux d'équipement en smartphones} % f(t) = 1 / (1 + exp(-0.5t))
On peut modéliser le taux d'équipement en smartphones des adultes fran\c{c}ais au cours de l'année $2015+t$ par le fonction $f$ définie pour tout réel positif $t$ par :
\[
f(t)=\dfrac{1}{1+\e^{-0,5t}}.
\]
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le sens de variation de la fonction $f$.
\item À partir de quelle année le taux d'équipement deviendra supérieur à \pourcent{90} ? On pourra utiliser la calculatrice ou n'importe quel programme.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\dfrac{1}{v}$ donc $f'$ sera de la forme $-\dfrac{v'}{v^2}$ et donc :
\[
f'(t) = \dfrac{0,5\e^{-0,5t}}{\big(1+\e^{-0,5t}\big)^2}.
\]
Ainsi $f'(t)>0$ pour tout réel $t$, donc à plus forte raison pour $t\geqslant0$.

\uline{$f$ est donc croissante sur $\intervFO{0}{+\infty}$.}

\item On peut s'aider du programme Python suivant :

\medskip

\begin{python}
# on importe la fonction exponentielle du module "math"
from math import exp

t = 0
while 1/(1+exp(-0.5*t)) <= 0.9:
    t += 0.1

print(t)
\end{python}

\medskip

On part de $t=0$ et on calcule l'image de $t$ tant que celle-ci est inférieure ou égale à \pourcent{90}, c'est-à-dire 0,9. Tant que cette image ne dépasse pas 0,9, on ajoute 0,1 à $t$.

\medskip

Le programme retourne alors la valeur \og 4,4 \fg; c'est donc au cours de la 4\ieme{} année que le taux dépassera \pourcent{90}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 14

\begin{exocor}{} % f(x) = (ax + b)exp(kx)
On considère la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=(ax+b)\e^{kx}
\]
o\`u $a$, $b$ et $k$ sont trois nombres réels.

La courbe représentative ${\cal C}$ de $f$ est donnée ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,>=latex]
\draw[gray,dashed] (-10,-2) grid (10,20);
\draw[thick,->] (-10,0) -- (10,0);
\draw[thick,->] (0,-2) -- (0,20);
\clip (-10,-2) rectangle (10,20);
\draw[thick,purple] plot[domain=-10:10,samples=100] (\x,{(0.5*\x+3)*exp(0.1*\x)});
\foreach\x in {-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{
\draw[thick] (\x,0.2) -- (\x,-0.2) node[below,scale=0.5,fill=white] {$\x$};
}
\foreach\y in {2,4,6,8,10,12,14,16,18}
{
\draw[thick] (0.2,\y) -- (-0.2,\y) node[left,scale=0.5,fill=white] {$\y$};
}
\node[below left,scale=0.5] at (0,0) {0};
\node[purple] at (9.5,17.5) {$\cal C$};
\draw[thick,green!50!black] plot[domain=-10:10] (\x,{0.8*\x+3});
\node[green!50!black] at (9.5,9.5) {$\cal C$};
\fill[green!50!black] (5,7) circle (4pt) node[below right,scale=0.7] {A};
\fill[green!50!black] (-5,-1) circle (4pt) node[below right,scale=0.7] {B};
\end{tikzpicture}
\end{center}
${\cal T}$ est la tangente à ${\cal C}$ au point d'abscisse 0.

Les points A et B sont sur ${\cal T}$.

\medskip

Par lecture graphique :
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $f(0)$.

En déduire la valeur de $b$.

\item Déterminer la solution de l'équation $f(x)=0$.

En déduire la valeur de $a$.

\item Déterminer la valeur de $f'(0)$. 

En déduire la valeur de $k$.
\end{enumerate} 

\tcblower

\begin{enumerate}
\item D'après le graphique, $f(0)=3$.

Or, $f(0)=(a\times0+b)\e^0=b\times1=b$, donc \uline{$b=3$}.

\item $\cal C$ coupe l'axe des abscisses en $x=-6$, ce qui signifie que $f(-6)=0$.

Donc $f(-6)=(a\times(-6)+3)\e^{kx}=0$. Une exponentielle n'étant jamais nulle, cela signifie que $-6a+3=0$, soit \uline{$a=0,5$}.

\item $f'(0)$ est le coefficient directeur de ${\cal T}$. Pour le déterminer, on calcule :
\[
\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-1-7}{-5-5}=0,8.
\]
Or, si $f(x)=(ax+3)\e^{kx}$ alors :
\begin{align*}
f'(x) & = a\e^{kx}+(ax+3)\times k\e^{kx}\\
			& = (a+akx+3k)\e^{kx}.
\end{align*}
Ainsi, $f'(0)=(a+3k)\e^0=a+3k$ et donc $a+3k=0,8$.

En remplaçant $a$ par $0,5$, on a : $3k=0,3$, soit \uline{$k=0,1$}.

Finalement on trouve $\boxed{f(x)=(0,5x+3)\e^{0,1x}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 15

\begin{exocor}{} % f(x) = (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x))
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[ f(x)=\dfrac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}}. \]
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est impaire, c'est-à-dire que pour tout réel $x$, $f(-x)=-f(x)$.
\item Montrer que $f'(x)=\dfrac{4}{\big(\e^x+\e^{-x}\big)^2}$.

En déduire les variations de $f$ sur $\R$.

\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le domaine de définition de $f$ (\R) est centré en 0.

De plus, pour tout réel $x$, $f(-x)=\dfrac{\e^{-x}-\e^x}{\e^{-x}+\e^x}=-\dfrac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}}=-f(x)$.

\uline{$f$ est donc impaire.}

\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=\e^x-\e^{-x}$ et $v(x)=\e^x+\e^{-x}$.

Ainsi, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=\e^x+\e^{-x}=v(x)$ et $v'(x)=\e^x-\e^{-x}=u(x)$.

On a alors : $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = \dfrac{\big[v(x)\big]^2-\big[u(x)\big]^2}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = \dfrac{\big[v(x)-u(x)\big]\big[v(x)+u(x)\big]}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = \dfrac{2\e^{-2x}\times2\e^{2x}}{\big(\e^x+\e^{-x}\big)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{4}{\big(\e^x+\e^{-x}\big)^2}}
\end{aligned}$

Ainsi, $f'(x)>0$ sur $\R$, ce qui signifie que \uline{$f$ est strictement croissante sur \R}.

\item $f'(0)=\dfrac{4}{(1+1)^2}=1$ et $f(0)=0$ donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 est \uline{$y=x$}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 16

\begin{exocor}{taux de malades après injection d'un antidote} % f(x) = exp(-x) * sqrt(x + 1)
On injecte à toutes les personnes d'un groupe d'individus infectés par un virus un antidote à l'instant $x=0$.
 
Le taux de personnes ayant le virus à l'instant $x$ est donné par la fonction $f$ définie pour $x\geqslant0$ par :
\[ 
f(x)=\e^{-x}\sqrt{x+1}\;,
\]
o\`u $x$ est exprimé en jour.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de $f$.
\item \label{exp09}Soit l'algorithme suivant :
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\ttfamily
f $\leftarrow$ 1\\
x $\leftarrow$ 0\\
Tant que f > 0.5:\\
\hspace*{5mm}x $\leftarrow$ x+1/24\\
\hspace*{5mm}f $\leftarrow$ $\e^{-\rm x}\sqrt{\rm x+1}$\\
Afficher x
\end{minipage}}
\end{center}
À quoi correspond la valeur affichée par cet algorithme ?

\item Cet algorithme affiche la valeur : 1,08333.

Indiquer au bout de combien d'heures le taux de malades est inférieur à \pourcent{50}.

\item À l'aide d'un tableur ou de votre calculatrice, déterminer au bout de combien de jours et d'heures ce taux sera strictement inférieur à \pourcent{10}.
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $uv$, avec :
\[
\begin{array}{l@{\hspace*{2cm}}l}
u(x)=e^{-x} & u'(x)=-\e^{-x}\\
v'(x)=\sqrt{x+1} & v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}
\end{array}
\] 
donc $f'(x)=(u'v+uv')(x)$.
\begin{align*}
f'(x) & = \big(-\e^{-x}\big)\sqrt{x+1}+\e^{-x}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\\[7pt]
& = \left(\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}\right)\e^{-x}\\[7pt]
& = \left(\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}\times\dfrac{2\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x+1}}\right)\e^{-x}\\[7pt]
& = \left(\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\dfrac{2(x+1)}{2\sqrt{x+1}}\right)\e^{-x}\\[7pt]
& = \left( \dfrac{1-2x-2}{2\sqrt{x+1}}\right)\e^{-x}\\[7pt]
& = \left( \dfrac{-2x-1}{2\sqrt{x+1}}\right)\e^{-x}\\[7pt]
& = -(2x+1)\dfrac{\e^{-x}}{2\sqrt{x+1}}.
\end{align*}
$\dfrac{\e^{-x}}{2\sqrt{x+1}}>0$ et $(2x+1)>0$ (car $x\geqslant0$) donc $f'(x)<0$.

\medskip

\uline{Ainsi, $f$ est strictement décroissante pour $x\geqslant0$.}

\item La boucle s'exécute tant que la valeur $f$ calculée est supérieure à 0,5. Or, $\sqrt{x+1}\e^{-x}$ correspond au taux de malades restants donc la boucle s'arrêtera pour la valeur de $x$ telle que $f(x)\leqslant0,5$.

Remarquons de surcroît que $x$ est augmenté de $\dfrac{1}{24}$ à chaque passage dans la boucle, ce qui correspond à 1 heure.

La valeur affichée est donc le moment (exprimé en jour décimal) où il y aura \pourcent{50} ou moins de malades par rapport au jour initial.

\item $x=1,08333\text{ jour}=1,08333\times24\text{ heures}=26\text{ heures}$.

\uline{Ainsi, après 26 heures, le taux de malades est inférieur à \pourcent{50}.}

\item On trouve $x\approx3$.

\uline{Ainsi, après 3 jours, le taux de malades est inférieur à \pourcent{10}.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 17
\newpage
\begin{exocor}{datation au carbone 14} % PYTHON et N(t) = exp(-0.00012t)
Le carbone 14 est renouvelé constamment chez les êtres vivants. 

À leur mort, celui-ci se désintègre avec une demi-vie de \numprint{5730} ans. On peut alors établir l'expression de la fonction $N$ représentant le taux de carbone 14 en fonction du temps $t$ exprimé en années:
\[
N(t)=\e^{-0,00012t}.
\]
Si un fragment d'os contient \pourcent{71} de sa quantité initiale de carbone 14, quel âge a-t-il? 

Pour répondre à cette question, vous devrez faire preuve d'initiative et ne pas hésiter à utiliser des outils numériques (calculatrice, tableur ou programme Python par exemple).

\tcblower

Nous devons résoudre l'équation:
\[
\e^{-1,2\times10^{-4}t}=0,71.
\]
Le programme Python suivant nous permet d'avoir une valeur approchée (à l'unité) de $t$ :

\medskip

\begin{python}
# on importe la fonction exponentielle du module "math"
from math import exp 

t = 0
while abs(exp(-0.00012*t)-0.71)>=0.00001:
    t += 1

print(t)
\end{python}

\medskip

Je suis parti de $t=0$ et je teste si la différence entre l'image de $t$ par la fonction $t\mapsto\e^{-1,2\times10^{-4}t}$ et 0,71 était plus grande que $10^{-5}$; si tel est le cas, c'est que mon image n'est pas assez proche de 0,71 et je continue donc en augmentant la valeur de $t$ de 1. 

La valeur absolue est ici utilisée pour mettre en relief le fait que l'on calcule la \og distance \fg{} entre 0,71 et l'image de $t$ par la fonction (ainsi, inutile de se préoccuper de savoir si l'image est plus grande ou plus petite que 0,71). 
\end{exocor}


%%% 18
\begin{exocor}{taux de radioactivité} % PYTHON
Le taux d'un élément radioactif diminue de \pourcent{30} en \numprint{1500} ans.

On sait de plus que ce taux est égal à $\e^{-\lambda t}$ après $t$ années.

\medskip

À l'aide d'une calculatrice ou d'un programme Python, déterminer une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-4}$ près.

\tcblower

Le taux d'un élément radioactif diminue de \pourcent{30} en \numprint{1500} ans. Donc :
\[
\e^{-\lambda\times\numprint{1500}}=0,7.
\]
Le programme Python suivant nous permet d'obtenir un encadrement de $\lambda$ :

\medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{python}
from math import exp
l = 0
for i in range (40):
    l = i/100000
    f = exp(-1500*l)
    if abs(f-0.7)<=0.01:
        print(l,f)
\end{python}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{console}
0.00023 0.7082203534678
0.00024 0.697676326071031
\end{console}
\end{minipage}

\medskip

Ceci signifie que :
\[
0,00023 \leqslant \lambda \leqslant 0,00024.
\]
Ainsi, une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-4}$ est \underline{$\lambda\approx0,0002$}.
\end{exocor}

%%% 19

\begin{exocor}{} % g(x) = 1/2sqrt(x) - sqrt(x) - x + 1
Soit $g$ la fonction définie sur $\R*_+$ par :
\[
g(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}-x+1.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g'(x)=-\dfrac{4x^2+2x\sqrt{x}+\sqrt{x}}{4x^2}$.
\item En déduire le sens de variation de $g$.
\item Calculer $g\left(\frac{1}{4}\right)$ et $g(1)$.\\
Que peut-on intuitivement supposer quand au nombre de solutions de l'équation $g(x)=0$ sur $\intervFF{\frac{1}{4}}{1}$ ? On admettra ce résultat, et on notera $\alpha$ cette solution.
\end{enumerate}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R*_+$ par:
\[
f(x)=(x+\sqrt{x})\e^{-x}.
\]
\begin{enumerate}[start=4]
\item Montrer que $f'(x)=g(x)\e^{-x}$.
\item En déduire les variations de $f$ en fonction de $\alpha$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La dérivée de $x\mapsto\sqrt{x}$ est $x\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

La fonction $x\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ est de la forme $\dfrac{1}{v}$, dont la dérivée est $\dfrac{-v'}{v^2}$, donc la dérivée de $x\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ est la fonction:
\[
x\mapsto-\dfrac{2\times\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(2\sqrt{x})^2}=-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}.
\]
Ainsi, la dérivée de $g$ est:
\begin{align*}
g'(x)= & -\dfrac{1}{4x\sqrt{x}} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - 1\\
& = -\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}\times\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times\dfrac{2x\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}} - \dfrac{4x^2}{4x^2}\\
& = \dfrac{-\sqrt{x}-2x\sqrt{x}-4x^2}{4x^2}\\
\Aboxed{g'(x) & = -\dfrac{\sqrt{x}+2x\sqrt{x}+4x^2}{4x^2}}
\end{align*}

\item Pour tout $x>0$,  $\sqrt{x}+2x\sqrt{x}+4x^2>0$. On en déduit que $g'(x)<0$, et donc que $g$ est strictement décroissante sur $\R*_+$.

\item $g\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{5}{4}>0$ et $g(1)=-\dfrac{1}{2}$. 

Il n'y a pas de valeurs interdites entre $x=\dfrac{1}{4}$ et $x=1$, et $u$ est strictement décroissante sur $\intervFF{\frac{1}{4}}{1}$; on peut donc supposer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur cet intervalle (car dans ce cas, la courbe représentative de $g$ traverse l'axe des abscisses dans cet intervalle).

\item $f$ est de la forme $u \times v$ avec :
\begin{multicols}{2}
$u(x)=x+\sqrt{x}$

$u'(x)=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

\columnbreak

$v(x)=\e^{-x}$

$v'(x)=-\e^{-x}$
\end{multicols}

Ainsi,

\begin{align*}
f'(x) & = u'(x)v(x) + v'(x)u(x)\\
& = \left(1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\e^{-x} - \e^{-x}(x+\sqrt{x})\\
& = \left(1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-x-\sqrt{x}\right)\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x)& = g(x)\e^{-x}}
\end{align*}

\item $f'(x)$ est du signe de $g(x)$. D'après le signe de $g(x)$, on déduit:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{0,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,z,-}
\tkzTabVar{-/0,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 20
\newpage
\begin{exocor}{} % f(x) = 1 - 0.5(x² - 2x+2)exp(-x)
On observe la charge d'une batterie vide en fonction du temps, et on modélise son taux de remplissage par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par:
\[
f(x)=1-\frac{1}{2}(x^2-2x+2)\e^{-x}\,,
\]
où $x$ est exprimé en heure.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée de $f(x)$ est:
\[
f'(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2\e^{-x}.
\]

\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$.

\item On estime que la batterie est pleine lorsque $f(x) \geqslant 0,995$.

À l'aide de votre calculatrice, estimer la durée (en minutes) de charge totale de la batterie en expliquant votre démarche.

\item On appelle \og plage d'accalmie \fg{} la période durant laquelle le nombre dérivé de la fonction $f$ est compris entre 0 et 0,01.

\begin{enumerate}
\item Montrer que chercher la plage d'accalmie revient à résoudre l'inéquation :
\[
50(x-2)^2\e^{-x}-1 \leqslant 0.
\]

\item À l'aide de votre calculatrice, estimer alors une plage d'accalmie à la minute près en expliquant votre démarche.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La dérivée de $x \mapsto 1$ est nulle donc la dérivée de $f(x)$ est celle de $x \mapsto -\dfrac{1}{2}(x^2-2x+2)\e^{-x}$, fonction produit de la forme $u \times v$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=-\dfrac{1}{2}(x^2-2x+2)$

$u'(x)=-\dfrac{1}{2}(2x-2)=-x+1$

$v(x)=\e^{-x}$

$v'(x)=-\e^{-x}$
\end{multicols}

Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\
& = (-x+1)\e^{-x} -\dfrac{1}{2}(x^2-2x+2)\big(-\e^{-x}\big)\\
& = \left[ (-x+1) - \dfrac{1}{2}(-1)(x^2-2x+2) \right] \e^{-x}
\end{align*}

\begin{align*}
f'(x) & = \left(-x+1+\dfrac{1}{2}x^2-x+1\right)\e^{-x}\\
& = \left(\frac{1}{2}x^2-2x+2\right)\e^{-x}\\
& = \frac{1}{2}\big(x^2-4x+4\big)\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x) & = \frac{1}{2}(x-2)^2\e^{-x}}
\end{align*}

\item Pour tout $x$ dans $[0;+\infty[$, 
\begin{itemize}
\item $\dfrac{1}{2}>0$;
\item $(x-2)^2 \geqslant 0$;
\item $\e^{-x}>0$ (car une exponentielle est toujours strictement positive).
\end{itemize}

Ainsi, $f'(x) \geqslant 0$ comme produit de facteurs tous supérieurs ou égaux à 0, et donc \underline{$f$ est croissante sur $[0;+\infty[$}.

\item Dans cette question, on doit trouver la valeur de $x$ à partir de laquelle $f(x)\geqslant0,995$. Mais hors de question de résoudre cette inéquation (on ne sait pas faire !).

À l'aide de la calculatrice, on peut entrer la fonction:
\[
g(x)=f(x)-0,995
\]
et dresser un tableau de valeurs de $g(x)$ (avec un pas de 1 pour commencer) afin de voir à partir de quelle valeur de $x$ on a $g(x) \geqslant 0$. On obtient le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (tab) {
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!20}
$x$ & $g(x)$\\
\hline
0	&-0,95\\
1	&-0,1339397206\\
2	&-0,08533528324\\
3	&-0,07446767092\\
4&	-0,04157819444\\
5	&-0,007272549492\\
6	&0,0177762217\\
7&	0,03313018364\\
8	&0,0416134343\\\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ainsi, on sait que la valeur cherchée est entre 5 h et 6 h.

On construit alors le même tableau de valeurs, mais sur $[5;6]$ avec un pas de 0,1 et on obtient:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (tab) {
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!20}
$x$ & $g(x)$\\
\hline
5&	-0,007272549492\\
5,1	&-0,004291528166\\
5,2	&-0,001414380401\\
5,3	&0,001356917377\\
5,4	&0,004021206004\\\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On sait alors que $x \in [5,2 ; 5,3]$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (tab) {
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!20}
$x$ & $g(x)$\\
\hline
5,2	&-0,001414380401\\
5,21	&-0,001132462147\\
5,22	&-0,0008516045709\\
5,23&	-0,0005718090953\\
5,24&	-0,0002930770642\\
5,25&	-0,0000154097422\\
5,26&	0,0002611916841\\
5,27&	0,000536726105\\\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On trouve alors que $x \approx 5,25$, soit $5,25 \times 60 = 315$ minutes.

\medskip


\underline{La batterie sera estimée pleine au bout de 315 minutes (soit 5 h 15 min).}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
0 \leqslant f'(x) \leqslant 0,01 & \iff f'(x) \leqslant 0,01  \text{ car $f'(x)\geqslant0$}\\
& \iff \dfrac{1}{2}(x-2)^2\e^{-x} \leqslant \dfrac{1}{100}\\
& \iff 50(x-2)^2\e^{-x} \leqslant 1 \text{ en multipliant par 50 les deux membres}\\
& \iff \underline{(x-2)^2\e^{-x} - 1 \leqslant 0}.
\end{aligned}$

\item En traçant la courbe représentative de la fonction $x \mapsto (x-2)^2\e^{-x} - 1$, on s'aperçoit que cette fonction est négative sur un intervalle dont les bornes peuvent être trouvées en zoomant, où à l'aide des fonctions de la calculatrice permettant de trouver l'intersection de deux courbes. On peut aussi dresser un tableau de valeurs de cette fonction pour voir qu'elle est négative sur à peu près $[1,67~;~2,49]$. De plus, $1,67\times60\approx100$ et $2,49\times60\approx149$.

\underline{La plage d'accalmie est donc sur la période $[100;149]$ (en minutes).}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{Approfondissement (pour les futur.e.s expert.e.s)}

%%% 21

\begin{exocor}{équations différentielles}
Soit $a$ un réel non nul. On considère l'équation (E) : $y' = ay$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur \R.
\begin{enumerate}
\item Justifier que les fonctions $y_0(x)=0$ et $y_1(x)=\e^{ax}$ sont deux solutions de l'équation (E).

\item Montrer que toutes fonctions s'écrivant $f(x)=k\e^{ax}$ sont solutions de (E).

\item On suppose que $f$ et $g$ sont deux solutions de (E).

Montrer que la fonction $h=f+g$ est aussi solution de (E).

\item Soit $u$ une solution de l'équation (E). On pose alors $v(x)=u(x)\e^{-ax}$.

Montrer que $v$ est une fonction constante.

En déduire que $u(x)=k\e^{ax}$, où $k\in\R$.

\item Trouver toutes les fonctions solutions de l'équation : $y' = -5y$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Si $f_0(x)=0$ alors $f_0^\prime(x)=0$ et on a bien $f_0^\prime(x) = af_0(x)$; donc $f_0$ est bien une solution de (E).

\medskip

Si $f_1(x)=\e^{ax}$ alors $f_1^\prime(x)=a\e^{ax}=af_1(x)$, donc $f_1$ est bien une solution de (E).

\item $f(x)=k\e^{ax}$ donc $f'(x)=k\times a\e^{ax}=a\big(a\e^{ax}\big)=af(x)$.

Donc $f$ est bien solution de (E).
\item Si $h=f+g$ alors $h' = f'+g'$. Or, $f$ et $g$ étant deux solutions de (E), $f'=af$ et $g'=ag$.

Donc $h' = af+ag = a(f+g)=ah$. Ainsi, $h$ est bien solution de (E).

\item $v(x)=u(x)\e^{-ax}$. $v$ est dérivables sur \R comme le produit de deux fonctions dérivables sur~\R.
\begin{align*}
v'(x) & =u'(x)\e^{-ax} + u(x)\times\big[-a\e^{-ax}\big]\\
&=\big[u'(x)-au(x)\big]\e^{-ax}.
\end{align*}

Or, $u$ est solution de (E) donc $u'=au$, c'est-à-dire : $u'-au=0$.

D'où :
\[
v'(x)=0\times\e^{-ax} = 0.
\]
Ainsi, $v$ est une fonction constante.

\medskip

On peut alors conclure que $v(x)=u(x)\e^{ax}=k$, soit $u(x)=k\e^{ax}$.

\item Nous venons de démontrer, à travers cet exercice, que les fonctions de la forme $k\e^{ax}$ étaient solutions de l'équation $y'=ay$ et qu'il n'y en avait pas d'autres.

\medskip

Ainsi, l'équation $y'=-5y$ admet pour solutions les fonctions $f(x)=k\e^{-5x}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 22

\begin{exocor}{équation fonctionnelle de Cauchy}
On recherche toutes les fonctions $f$, dérivables sur \R, vérifiant l'égalité :
\[
\forall (x,y)\in\R\times\R,\qquad f(x+y)=f(x)\times f(y).\tag{E}
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction exponentielle vérifie l'égalité (E).

\item Montrer que les fonctions du type $x\mapsto \e^{ax}$, $a\in\R*$, sont solutions de (E).

\item Montrer que les fonctions du type $x\mapsto k\e^{ax}$, $k\in\R\setminus\{0~;~1\}$ et $a\in\R*$, ne sont pas solutions de (E).
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item D'après le cours, on sait que $\e^{a+b}=\e^a \times \e^b$ donc la fonction exponentielle vérifie l'égalité (E).

\item Si $f(x)=\e^{ax}$ alors :
\[
f(x+y) = \e^{a(x+y)} = \e^{ax+ay} = \e^{ax} \times \e^{ay} = \e^{ax} \times \e^{ay} = f(x) \times f(y). 
\]
Donc $f$ vérifie bien l'équation (E).

\item Si $f(x)=k\e^{ax}$, $k\neq0$, $k\neq1$, alors :
\[
f(x+y) = k\e^{a(x+y)} = k\e^{ax+ay} = k\e^{ax} \times \e^{ay} = k\e^{ax} \times \e^{ay}. 
\]
Or, 
\[
f(x) \times f(y) = \big(k\e^{ax}\big) \times \big(k\e^{ay}\big) = k^2\e^{ax}\times\e^{ay}.
\]
Ainsi, $f(x+y) \neq f(x) \times f(y)$, donc $f\;:\;x\mapsto k\e^{ax}$ n'est pas solution de l'équation (E).
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{Exercices spécimens}

Les exercices spécimens sont des exercices extraits de sujets spécimens délivrés par l'\'Education Nationale, idéaux pour préparer un contrôle.

%%% 23

\begin{exocor}{}
Soit $f$ la fonction définie sur \R par:
\[
f(x)=(2x+1)\e^x.
\]
Sur le graphique ci-dessous, sont tracées la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$, et la
droite $(T)$, tangente à cette courbe au point d'abscisse 0.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[gray,dashed] (-5,-3) grid (5,5);
\draw[very thick,->,>=latex] (-5,0) -- (5,0);
\draw[very thick,->,>=latex] (0,-3) -- (0,5);
\clip (-5,-3) rectangle (5,5);
\draw[very thick] (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below] {1};
\draw[very thick] (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left] {1};
\node[below left] at (0,0) {0};
\draw[very thick,red] plot[domain=-5:2,samples=100] (\x,{(2*\x+1)*exp(\x)});
\node[red] at (0.3,4.5) {$\mathcal{C}_f$};
\draw[very thick,blue] plot[domain=-5:2] (\x,{3*\x+1});
\node[blue,right] at (1.2,4.5) {$(T)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
\item Montrer que, pour tout $x$ réel, que $f'(x)=(2x+3)\e^x$.
\item Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur \R, puis préciser les variations de $f$ sur \R.
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $(T)$.
\item Justifier graphiquement que, pour tout réel $x$, on a :
\[
(2x+1)\e^x \geqslant 3x+1.
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=0 & \iff (2x+1)\e^x = 0\\
& \iff 2x+1 = 0 \quad\text{ car }\e^x \neq0\\
& \iff x = -\dfrac{1}{2}
\end{aligned}$

Ainsi, le point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses a pour coordonnées \coord{-\dfrac{1}{2}}{0}.

\item $f$ est de la forme $u \times v$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=2x+1$

$u'(x)=2$

\columnbreak

$v(x)=\e^x$

$v'(x)=\e^x$
\end{multicols}

Donc:\vspace*{-1.5em}
\begin{align*}
f'(x) & = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\\
& = 2\e^x + (2x+1)\e^x\\
& = (2+2x+1)\e^x\\
\Aboxed{f'(x) & = (2x+3)\e^x}
\end{align*}

\item $\e^x>0$ sur \R donc $f'(x)$ est du signe de $2x+3$, d'où le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,$-\frac{3}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item L'équation réduite de $(T)$ est:
\[ y = f'(0)(x-0)+f(0) \]
soit:
\[
\boxed{y = 3x+1}
\]
\item Sur le graphique donné, on constate que $\mathcal{C}_f$
 est toujours au-dessus de $(T)$, ce qui se traduit par :
 \[
 f(x) \geqslant 3x+1
 \]
 c'est-à-dire:
 \[
 (2x+1)\e^x \geqslant 3x+1.
 \]
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 24

\begin{exocor}{}
Soit $f$ la fonction définie sur \R par : $f(x)=\e^{2x}+6\e^x-8x-4$.

Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on considère :
\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$;
\item $\mathcal{D}$ la droite d'équation cartésienne $y=-8x-4$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x\in\R$, $f'(x)=2\big(\e^x-1\big)\big(\e^x+4\big)$.
\item Étudier le signe $f'(x)$ sur \R.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur \R.
\item En déduire le signe de $f(x)$ sur \R.
\item La courbe $\mathcal{C}_f $ et la droite $\mathcal{D}$ ont-elles un point commun ? Justifier.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$,
\[
f'(x)=2\e^{2x}+6\e^x-8.
\]
Or,
\begin{align*}
2\big(\e^x-1\big)\big(\e^x+4\big) &  = 2\big(\e{2x}+4\e^x-\e^x-4\big)\\
& = 2\big(\e^{2x}+3\e^x-4\big)\\
& = 2\e^{2x}+6\e^x-8\\
& = f'(x).
\end{align*}

\underline{Donc $f'(x)=2\big(\e^x-1\big)\big(\e^x+4\big)$.}

\item $\e^x+4>0$ pour tout réel $x$ car $\e^x>0$ sur \R. De plus, $2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $\e^x-1$.
\[
\e^x-1>0 \iff \e^x > 1 \iff x > 0.
\]
On en déduit alors que $f'(x)> 0$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$ et $f'(x)<0$ sur $\intervOO{-\infty}{0}$.

\newpage

\item De la question précédente, on déduit le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/3,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

$f(0)=\e^{2\times0}+6\e^0-8\times0-4=1+6\times1-0-4=3$.

\item Du tableau de variations précédent, on peut déduire que $f(x)\geqslant3$ sur \R, donc $f(x)>0$.

\item Afin de savoir si $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$ ont un point en commun, on peut résoudre l'équation :
\begin{align*}
f(x) = -8x-4 & \iff \e^{2x}+6\e^x-8x-4=-8x-4\\
& \iff \e^{2x}+6\e^x=0\\
& \iff \e^x\big(\e^x+6\big)=0
\end{align*}
Cette dernière équation n'admet aucune solution; en effet, $\e^x>0$ donc $\e^x\neq0$ et\linebreak $\e^x+6>6$ (donc $\e^x+6\neq0$).

\medskip

\underline{Ainsi, la courbe et la droite n'ont aucun point d'intersection.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 25

\begin{exocor}{le rameur}
Un rameur est une machine d'exercice physique simulant les mouvements d'une personne qui fait de l'aviron.

Il est souvent utilisé pour l'entraînement sportif afin d'améliorer sa condition physique.

La courbe ci-dessous représente la puissance (en Watt) en fonction du temps (en dixième de seconde) développée par un rameur débutant.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.04,xscale=2]
\draw[gray,dashed] (0,0) grid[xstep=0.5,ystep=20] (5,180);
\draw[very thick,->,>=latex] (-0.5,0) -- (5,0);
\draw[very thick,->,>=latex] (0,-5) -- (0,180);
\foreach\x in {0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5}
{
\draw[very thick] (\x,1) -- (\x,-1) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {20,40,60,80,100,120,140,160}
{
\draw[very thick] (0.05,\y) -- (-0.05,\y) node[left] {\y};
}
\node[below left] at (0,0) {0};
\clip (-0.5,-5) rectangle (5,180);
\draw[very thick,red] plot[domain=0.1:4,samples=100] (\x,{(-8*\x+32)*exp(\x)});
\node[red] at (0.75,45) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\partie{A}

Répondre par lecture graphique aux deux questions suivantes.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la puissance maximale atteinte par ce rameur ?
\item Pendant combien de temps la puissance développée reste-t-elle au-dessus de 100 Watts ?
\end{enumerate}

\newpage

\partie{B: modélisation par une fonction}

On suppose que la courbe est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle \intervFF{0,2}{4} par :
\[
f(x)=(-8x+32)\e^x.
\]
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle \intervFF{0,2}{4}, 
\[
f'(x)=(-8x+24)\e^x.
\]
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f$ sur \intervFF{0,2}{4}.

\item Déterminer la valeur exacte du maximum de la fonction $f$.

\item On suppose que le sportif améliore sa meilleure performance de \pourcent{5} tous les mois. 

Combien de mois d'entrainement seront nécessaires pour qu'il dépasse les 200 W ?

\end{enumerate}

\tcblower

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item La puissance maximale atteinte par le rameur est l'ordonnée du maximum de la fonction, donc environ 160 Watts.

\item Il faut ici regarder sur quel intervalle de $x$ la courbe est au-dessus de la droite horizontale d'équation $y=100$. On trouve alors un intervalle à peu près égal à \intervFF{1,7}{3,7}.
\begin{rem}
Le graphique ne nous permet pas de donner des résultats précis. Ainsi, on peut tout aussi bien considérer que l'intervalle est \intervFF{1,65}{3,65} ou tout autre intervalle à peu près identique.
\end{rem}
\underline{Ainsi, la puissance développée reste au-dessus de 100 Watts pendant environ 2 heures.}
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item $\e^x>0$ pour tout réel $x$ donc $f'(x)$ est du signe de $-8x+24$.
\begin{align*}
-8x+24 < 0 & \iff -8x > -24\\
& \iff x < \dfrac{-24}{-8}\\
& \iff x < 3
\end{align*}
D'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1.5}{${0,2}$,$3$,$4$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Des variations de $f$, on déduit que le maximum est atteint pour $x=3$, et vaut:
\[
f(3) = (-8\times3+32)\e^3 = 8\e^3.
\]

\item $f(3)\approx160,68$. Si cette performance est améliorée de \pourcent{5} chaque mois, alors elle est multipliée par $1,05$.

On cherche donc le premier entier $n$ tel que:
\[
160,68 \times 1,05^n > 200
\]
Il suffit alors de calculer:
\begin{itemize}
\item pour $n=1$, on trouve environ $168,7$;
\item pour $n=2$, on trouve environ $177,1$;
\item pour $n=3$, on trouve environ $186$;
\item pour $n=4$, on trouve environ $195,31$;
\item pour $n=5$, on trouve environ $205,1$;
\end{itemize} 

\underline{Ainsi, 5 mois d'entraînement seront nécessaires pour qu'il dépasse 200 W.}
\end{enumerate}
\vspace*{1cm}~
\end{exocor}

%%% 26

\begin{exocor}{}
Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle \intervFF{-10}{2}.

On a placé dans ce repère les points $A\coord{0}{2}$, $B\coord{2}{0}$ et $C\coord{-2}{0}$.

On dispose des renseignements suivants :
\begin{itemize}
\item le point B appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$;
\item la droite (AC) est tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_f$;
\item la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1 est une droite parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-10}{-1}{3}{4}
\draw[numpageenonce,thick] plot[domain=-10:2,samples=70] (\x,{(2-\x)*exp(\x)});
\node[color=numpageenonce] at (2.5,1.5) {$\mathcal{C}_f$};
\fill[numpageenonce] (0,2) circle(2pt) node[above left] {A};
\fill[numpageenonce] (2,0) circle(2pt) node[below right] {B};
\draw[green!50!black] plot[domain=-3.5:2] (\x,{\x+2});
\fill[numpageenonce] (-2,0) circle(2pt) node[below right] {C};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $f'(1)$.
\item Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.
\end{enumerate}

On admet que cette fonction $f$ est définie sur \intervFF{-10}{2} par $f(x)=(2-x)\e^x$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle \intervFF{-10}{2}, $f'(x)=(-x+1)\e^x$.
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{-10}{2}.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f'(1)$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=1$; il est égal au coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1, donc en A: c'est (AC).

Il est donc égal à :
\begin{align*}
f'(1) & = \dfrac{y_A-y_C}{x_A-x_C}\\
& = \dfrac{2-0}{0-(-2)}\\
\Aboxed{f'(1) & = 1}
\end{align*}

\item D'après la question précédente, 
\[
(AC)\;:\; y=x+p
\]
où $p$ est l'ordonnée du point d'intersection de (AC) avec l'axe des ordonnées, donc l'ordonnée du point A, à savoir 2. Ainsi,
\[
\boxed{(AC)\;:\;y=x+2}
\]

\item $f$ est de la forme $uv$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=2-x$\\
$u'(x)=-1$

\columnbreak

$v(x)=\e^x$\\
$v'(x)=\e^x$
\end{multicols}

Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\\
& = -1 \times \e^x + (2-x)\e^x\\
& = (-1+2-x)\e^x\\
\Aboxed{f'(x) & = (-x+1)\e^x}
\end{align*}

\item Pour tout rel $x$, $\e^x>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $(-x+1)$, d'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1.5}{$-10$,$1$,$2$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B$, d'abscisse 2, est:
\[
y = f'(2)(x-2)+f(2)
\]
Or,
\begin{align*}
f'(2) & = (-2+1)\e^2\\
& = -\e^2
\end{align*}
et
\begin{align*}
f(2) & = (2-2)\e^2\\
& = 0.
\end{align*}
Ainsi, l'équation réduite est:
\[
y = -\e^2(x-2)
\]
soit:
\[
\boxed{-\e^2x+2\e^2}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

\corriges


