
\begin{enumerate}
\item Dans le repère $\big(0, \frac{1}{3}\vv{OA},\frac{1}{3}\vv{OC}\big)$, on a :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\draw (0,0) node[below left] {O} -- (4,0) node[right] {A} -- (4,4) node[above right] {B} -- (0,4) node[left] {C} -- cycle;
\draw (0,0) -- (0,-3) node[below right] {F} -- (-3,-3) node[below left] {E} -- (-3,0) node[above left] {D} -- cycle;
\draw[dashed] (4,0) -- (4,-3) node[right] {M} -- (0,-3);
\draw plot[domain=-5:2] (\x,{(4/3)*\x+4});
\draw plot[domain=-3:4.5] (\x,{(-3/4)*\x});
\node[above] at (-2,1.5) {H};
\draw[very thick,->,>=latex,red] (0,0) -- ({4/3},0) node[midway,below,fill=pagecorrige!20,inner sep=2pt,outer xsep=10pt] {$\frac{1}{3}\vv{OA}$};
\draw[very thick,->,>=latex,red] (0,0) -- (0,{4/3}) node[midway,left,fill=pagecorrige!20,inner sep=2pt,outer ysep=10pt] {$\frac{1}{3}\vv{OC}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\[
\vv{DC}\dbinom{2}{3}\qquad\text{et}\qquad\vv{OM}\dbinom{3}{-2}.
\]
Ainsi,
\[
\prodscal{DC}{OM}=2\times3 + 3\times(-2)=0.
\]
On en conclut alors que $\vv{DC}$ et $\vv{OM}$ sont orthogonaux, et donc que les droites (DC) et (OM) sont perpendiculaires.

\item $\begin{aligned}[t]
\prodscal{CD}{CM} & = \dbinom{-2}{-3}\cdot\dbinom{3}{-5}\\
& = -2\times3 + (-3)\times(-5)\\
& = -6+15\\
\Aboxed{\prodscal{CD}{CM} & = 9}
\end{aligned}$

\item 
\begin{itemize}
\item Une équation réduite de (CD) est : $y=\dfrac{3}{2}x+3$. En effet, $\vv{CD}\dbinom{-2}{-3}$ donc le coefficient directeur de (CD) est $m=\dfrac{-3}{-2}=\dfrac{3}{2}$. De plus, l'ordonnée à l'origine est celle de C, donc $p=3$.

\item Une équation réduite de (OM) est : $y=-\dfrac{2}{3}x$. En effet, $\vv{OM}\dbinom{3}{-2}$ donc le coefficient directeur de (CD) est $m=\dfrac{-2}{3}$. De plus, l'ordonnée à l'origine est celle de O, donc $p=0$.

\item $H\coord{x_H}{y_H}\in(CD)$ donc $y_H=\dfrac{3}{2}x_H+3$ et $H\in(OM)$ donc $y_H=-\dfrac{2}{3}x_H$. On en déduit alors que:
\begin{align*}
\dfrac{3}{2}x_H+3=-\dfrac{2}{3}x_H & \iff \dfrac{3}{2}x_H+\dfrac{2}{3}x_H=-3\\
& \iff \dfrac{13}{6}x_H=-3\\
& \iff x_H=-3\times\dfrac{6}{13}=-\dfrac{18}{13}
\end{align*}
d'où:
\[
y_H=-\dfrac{2}{3}x_H=-\dfrac{2}{3}\times\left(-\dfrac{18}{13}\right)=\dfrac{12}{13}.
\]
Ainsi, $H\coord{-\dfrac{18}{13}}{\dfrac{12}{13}}$.

\item À l'aide des coordonnées de $H$, on peut à présent calculer $CH$:
\begin{align*}
CH & = \sqrt{(x_H-x_C)^2 + (y_H-y_C)^2}\\
& = \sqrt{\left(-\dfrac{18}{13}-0 \right)^2 + \left(\dfrac{12}{13}-3 \right)^2}\\
& = \sqrt{\dfrac{81}{13}}\\
& = \dfrac{9}{\sqrt{13}}\\
& = \dfrac{9\sqrt{13}}{13}.
\end{align*}
\end{itemize}
\end{enumerate}

