
\begin{enumerate}
\item Illustrons la situation avec un schéma :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[orange,thick,->] (0,0) -- ($(50:2)+(3,0)$) node[midway,above left] {$\vv{R}$};
\fill (0,0) circle (3pt) node[below left] {$O$};
\draw[thick,->] (0,0) -- (3,0) node[midway,below] {$\vv{F}_1$};
\draw[thick,->] (0,0) -- (50:2) node[midway,above left] {$\vv{F}_2$};
\draw[dashed] (50:2) -- ($(50:2)+(3,0)$) node[above right] {$A$} -- (3,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Construisons le point $A$ de sorte à former un parallélogramme.

D'après la propriété \ref{prop:identités avec des normes} du cours,
\begin{align*}
\prodscal{F_1}{F_2} 
& = \dfrac{1}{2}\big( \| \vv{F}_1+\vv{F}_2 \|^2 - \| \vv{F}_1 \|^2 - \|\vv{F}_2 \|^2\big)\\
 &= \dfrac{1}{2}\big( \| \vv{R} \|^2 - \| \vv{F}_1 \|^2 - \|\vv{F}_2 \|^2\big)\\
 & = \dfrac{1}{2}\big( \| \vv{R} \|^2 - 300^2-200^2 \big)\\
 & = \dfrac{1}{2}\big(\| \vv{R} \|^2 - \numprint{50000} \big).
\end{align*}

De plus,
\begin{align*}
\prodscal{F_1}{F_2} & = \|\vv{F}_1\| \times \|\vv{F_2}\| \times \cos\angleor{F_1}{F_2}\\
& = 200 \times 300 \times\cos50^\circ\\
& = \numprint{60000}\cos50^\circ.
\end{align*}

Donc :
\[
 \dfrac{1}{2}\big(\| \vv{R} \|^2 - \numprint{50000} \big) = \numprint{60000}\cos50^\circ.
\]
d'où :
\[
\| \vv{R} \|^2 = \numprint{120000}\cos50^\circ+\numprint{50000}
\]
et donc :
\[
\|\vv{R}\| = \sqrt{\numprint{120000}\cos50^\circ+\numprint{50000}}\approx343,496
\]
\underline{La résultante à donc une intensité d'environ 343 N.}

\item 
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
W & = \vv{F}\cdot\vv{u}\\
& = \|\vv{F}\| \times \|\vv{u}\| \times \cos\big(\vv{F},\vv{u}\big)\\
& = \numprint{2000} \times 50 \times \cos45^\circ\\
& = \numprint{50000}\sqrt{2}\\
& \approx \numprint{70711}\text{ J}.
\end{aligned}$

\underline{Le travail de la force est alors égal à \numprint{70711} Joules.}

\item Notons $\vv{F'}$ la force exercée par un bateau se déplaçant dans la même direction que la péniche. On veut alors :
\begin{align*}
\vv{F'}\cdot\vv{u}=\numprint{70711} & \iff \|\vv{F'}\| \times 50 \times\cos\angleor{F'}{u} = \numprint{70711}\\
& \iff \|\vv{F'}\|=\dfrac{\numprint{70711}}{50}\approx\numprint{1414}
\end{align*}
\underline{L'intensité de la force du bateau doit donc être environ égale à \numprint{1414} N.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
