
\begin{itemize}
\item $\cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)$ est de la forme $\cos(\pi-x)$ qui vaut $-\cos(x)$. Ainsi,
\[
\cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right) = -\cos\frac{\pi}{5}.
\]
Comme $\dfrac{\pi}{5}$ n'est pas un angle remarquable, on ne peut pas aller plus loin. Ce dernier résultat est le plus simplifié possible à notre niveau.

\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{7}+\dfrac{\pi}{2} \right)$ est de la forme $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$, qui est égal à $\cos(x)$. Ainsi,
\[
\sin\left(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{2} \right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right).
\]
Comme $\dfrac{\pi}{7}$ n'est pas un angle remarquable, on ne peut pas aller plus loin. Ce dernier résultat est le plus simplifié possible à notre niveau.

\item Pour simplifier $\cos^2\left(\dfrac{2\pi}{9}\right)+\sin^2\left(\dfrac{11\pi}{9}\right)$, on peut remarquer que $11-2=9$ (la différence des coefficients de $\pi$ aux numérateurs est égale aux dénominateurs des fractions), ce qui laisse à penser qu'il y a un lien entre les deux angles. Et en effet,
\[
\frac{11\pi}{9}=\frac{9\pi}{9}+\frac{2\pi}{9}=\pi+\frac{2\pi}{9}.
\]

Donc:

\[
\sin\dfrac{11\pi}{9}=\sin\left(\pi+\frac{2\pi}{9}\right)=-\sin\frac{2\pi}{9}
\]

et ainsi:

\[
\sin^2\dfrac{11\pi}{9}=\sin^2\frac{2\pi}{9}.
\]

On peut alors écrire:
\begin{align*}
\cos^2\left(\dfrac{2\pi}{9}\right)+\sin^2\left(\dfrac{11\pi}{9}\right) & = \cos^2\left(\dfrac{2\pi}{9}\right)+\sin^2\left(\dfrac{2\pi}{9}\right)\\
& =1.
\end{align*}
En effet, $\cos^2x + \sin^2x = 1$ pour tout réel $x$.
\end{itemize}
