Une ancienne légende raconte que le jeu d'échecs a été inventé par un vieux sage. Son roi voulut le remercier en lui accordant n'importe quel cadeau en récompense. Le vieux sage
demanda qu'on lui fournisse un peu de riz pour ses vieux jours, et plus précisément qu'on place :

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\begin{itemize}
\item un grain de riz sur la première case du jeu qu'il venait d'inventer,

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\item puis deux grains de riz sur la case suivante,

\medskip

\item puis quatre grains de riz sur la troisième case,
\end{itemize}

\medskip

et ainsi de suite, en doublant le nombre de grain de riz entre une case et la suivante, et ce jusqu'à la 64\ieme{} case (puisqu'un plateau de jeu d'échecs comporte 64 cases).

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On note $u_1$ le nombre de grains de riz présents sur la première case, $u_2$ le nombre de grains sur la deuxième case, et ainsi de suite jusqu'à la 64\ieme{} case.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item En déduire la nature de la suite \suite{u}{n}{} et en préciser les éléments caractéristiques.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer le nombre de grains de riz qui doivent être disposés sur le plateau pour satisfaire à la demande du vieux sage.
\item On veut écrire une fonction en langage Python qui
détermine à partir de quelle case le vieux sage disposera
d'au moins $R$ grains de riz. Une ébauche de cette fonction
est donnée ci-dessous:\enlargethispage*{3em}
\begin{python}
def nb_case(R):
    case = 1
    u = 1
    somme = u
    while somme ...:
        u = ...
        somme = ...
        case = case + 1
    return case
\end{python}
Recopier et compléter cette fonction afin qu'elle renvoie
le résultat désiré.
\end{enumerate}

