
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = \dfrac{1}{u_{n+1}-0,5}\\
& = \dfrac{1}{1-\frac{1}{4u_n}-\frac{1}{2}}\\
& = \dfrac{1}{\frac{4u_n}{4u_n}-\frac{1}{4u_n}-\frac{2u_n}{4u_n}}\\
& = \dfrac{1}{\frac{2u_n-1}{4u_n}}\\
& = \dfrac{4u_n}{2u_n-1}\\
& = \dfrac{4u_n}{2(u_n-0,5)} = \dfrac{2u_n}{u_n-0,5}.
\end{aligned}$

\medskip

$\begin{aligned}[t]
v_{n+1}-v_n & =\dfrac{2u_n}{u_n-0,5}-\dfrac{1}{u_n-0,5}\\
& = \dfrac{2u_n-1}{u_n-0,5}\\
& = \dfrac{2(u_n-0,5)}{u_n-0,5}\\
& = 2.
\end{aligned}$

\medskip

$v_{n+1}-v_n$ étant égal à une constante, \suite{v}{n}{} est arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0-0,5}=\dfrac{1}{3-0,5}=\dfrac{2}{5}=0,4$.

\item \suite{v}{n}{} étant arithmétique, $v_n=v_0+nr$, soit $v_n=0,4+2n$.

Or, $v_n=\dfrac{1}{u_n-0,5}$ donc $\dfrac{1}{v_n}=u_n-0,5$, soit $u_n=\dfrac{1}{v_n}+0,5$.

Ainsi, $\boxed{u_n=\dfrac{1}{0,4+2n}+0,5}$

\item Lorsque $n$ augmente de plus en plus, $2n+0,4$ augmente aussi de plus en plus, donc son inverse se rapproche de plus en plus de 0. \uline{Finalement, $u_n$ se rapproche alors de 0,5.}
\end{enumerate}
