
\begin{enumerate}
\item $u_2=u_1+52=130+52=182$;

$u_3=u_2+52=182+52=234$.

\item Par définition, $u_{n+1}=u_n+52$ donc \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique de premier terme $u_1=130$ et de raison $r=52$.

On en déduit alors que pour tout entier $n\geqslant1$, 
\[ 
u_n=u_1+(n-1)r,
\] 
c'est-à-dire:
\[
u_n = 130 + (n-1)\times52
\]
ou encore:
\[
\boxed{u_n=52n+78}
\]

\item $S_2$ correspond au coût de forage pour 2 mètres donc:
\[
S_2 = u_1+u_2=130+182=312.
\]
De même,
\[
S_3=u_1+u_2+u_3=S_2+u_3=312+234=546.
\]

\item La fonction complétée est :

\begin{python}
def nombre_metre(S):
    C = 130
    n = 1
    while C < S:
        C = C + 52*(n+1)+78
        n = n + 1
    return n
\end{python}

Attention ici: l'instruction \og \texttt{n = n + 1} \fg{} étant après \og \texttt{C = C + ...} \fg, il faut penser à ajouter 1 à $n$ dans la formule... Ce qui est à mes yeux stupide! Le concepteur du sujet aurait dû plutôt écrire la fonction suivante:
\begin{python}
def nombre_metre(S):
    C = 130
    n = 1
    while C < S:
        n = n + 1
        C = C + 52*n+78
    return n
\end{python}
car c'est bien plus naturel ainsi... Il n'y a aucune raison de complexifier la fonction en inversant les deux instructions de la boucle.

Dans cette dernière fonction, à chaque passage dans la boucle, on ajoute à \texttt{C} la valeur de $u_n$ car c'est ainsi que cela se passe réellement.

\item On cherche ici le premier entier $n$ pour lequel $S_n \leqslant \numprint{116610}$:
\[
S_n \leqslant\numprint{116610}  \iff 26n^2+104n-\numprint{116610}\leqslant0.
\]
Le discriminant du polynôme $26n^2+104n-\numprint{116610}$ est:
\[
\Delta = 104^2-4\times26\times(-\numprint{116610}=\numprint{12138256}=\numprint{3484}^2,
\]
donc il admet deux racines:
\[
n_1=\dfrac{-104-\numprint{3484}}{2\times26}=-69
\]
et 
\[
n_2=\dfrac{-104+\numprint{3484}}{2\times26}=65.
\]
Seules les valeurs de $n$ strictement positives nous intéressent donc $26n^2+104n-\numprint{116610}\leqslant0$ pour $n\geqslant65$.

\underline{Ainsi, \texttt{nombre\_metre(116610)} renvoie le nombre 65.}
\end{enumerate}

