
\begin{enumerate}
\item Il y a deux manières de répondre à cette question: établir directement une équation cartésienne de $(AB)$ et voir si ce que l'on obtient est équivalent à l'équation donnée dans l'énoncé, ou injecter les coordonnées de $A$ et $B$ dans l'équation donnée. C'est cette dernière méthode que je vais ici utiliser:
\begin{itemize}
\item $x_A+3y_A-6=3+3\times1-6=0$ donc $A$ appartient à la droite d'équation $x+3y-6=0$;
\item $x_B+3y_B-6=-3+3\times3-6=0$ donc $B$ appartient à la droite d'équation \mbox{$x+3y-6=0$}.
\end{itemize}
\underline{Par conséquent, $x+3y-6=0$ est bien une équation cartésienne de $(AB)$.}

\item Soit $M\coord{x}{y}$ sur $(d)$, perpendiculaire à $(AB)$ et passant par $C$. Alors,
\begin{align*}
\prodscal{CM}{AB}=0 & \iff \dbinom{x-2}{y-4}\cdot\dbinom{-3-3}{3-1}=0\\
& \iff -6(x-2) + 2(y-4)=0\\
& \iff -6x+12+2y-8=0\\
& \iff -6x+2y+4=0\\
& \iff 3x-y-2=0\qquad\text{(en divisant tous les coefficients par }-2)
\end{align*}

\underline{Ainsi, $3x-y-2=0$ est une équation cartésienne de $(d)$.}

\item $K$, projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est le point d'intersection de $(d)$ et $(AB)$. Pour obtenir ses coordonnées, il faut résoudre le système :
\begin{align*}
\systeme{x+3y-6=0@L_1,3x-y-2=0@L_2} & \iff \systeme{3x+9y-18=0@L_1\leftarrow3L_1,3x-y-2=0@L_2}\\
& \iff \systeme{10y-16=0@L_1\leftarrow L_1-L_2,3x-y-2=0}\\
& \iff \systeme{y=\frac{16}{10}=\frac{8}{5}@L_1\leftarrow L_1-L_2,3x-y-2=0}\\
& \iff \systeme{y=\frac{8}{5},3x=2+\frac{8}{5}=\frac{18}{5}}\\
& \iff \systeme{y=\frac{8}{5},x=\frac{6}{5}}
\end{align*}

\underline{Ainsi, $K\coord{\dfrac{6}{5}}{\dfrac{8}{5}}$}

\item $\vv{AB}\dbinom{-6}{2}$ donc:
\[
AB = \sqrt{(-6)^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=\sqrt4\times\sqrt{10}=2\sqrt{10}.
\]
De plus, $M$, milieu de [AB], a pour coordonnées:
\[
x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{3-3}{2}=0
\]
et
\[
y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{1+3}{2}=2.
\]
\underline{Ainsi, $M\coord{0}{2}$}.

\item Le cercle de diamètre $[AB]$ a pour centre $M$ donc son équation cartésienne est de la forme:
\[
(x-x_M)^2 + (y-y_M)^2=R^2
\]
où $R$ est le rayon, donc $R = \dfrac{AB}{2}=\sqrt{10}$.

Une équation du cercle est donc :
\[
\boxed{x^2 + (y-2)^2 = 10}
\]
\end{enumerate}
