
Faisons une figure avant tout.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (2,0) node[below right] {B} -- (2,2) node[above right]{C} -- (0,2) node[below left] {D} -- cycle;
\draw [dashed] (0,0) -- (2,2);
\draw [dashed] (0,2) -- (2,0);
\node[above] at (1,1) {O};
\fill (1,0) circle (1pt) node[below] {I};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Soit M un point quelconque du plan. Notons H son projeté orthogonal sur (AB).
\begin{align*}
\prodscal{AB}{AM}=2 & \iff \rm AB \times AH = 2\\
& \iff \rm AH = 1.
\end{align*}
Donc $\rm H\in[AB)$ (car le produit scalaire est positif) et H est confondu avec I, ce qui signifie que M est sur la droite perpendiculaire à (AB) passant par I.

\medskip

\underline{M est donc sur (OI)}. 

\item 
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\prodscal{MA}{MB} & = \big(\vv{\rm MI}+\vv{\rm IA}\big)\cdot\big(\vv{\rm MI}+\vv{\rm IB}\big)\\
& = \prodscal{MI}{MI} + \prodscal{MI}{IB} + \prodscal{IA}{MI} + \prodscal{IA}{IB}\\
& =\rm MI^2 + \vv{\rm MI}\cdot\underbrace{\big(\vv{\rm IB} + \vv{\rm IA}\big)}_{=\vv{0}} + IA \times IB \times\cos\angleor{IB}{IA}\\
\Aboxed{\prodscal{MA}{MB}& = \rm MI^2- 1}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\prodscal{MA}{MB}=4 & \iff \rm MI^2-1 = 4\\
& \iff \rm MI^2=5\\
& \iff \rm IM = \sqrt5.
\end{aligned}$

Ainsi, l'ensemble des points M tels que $\prodscal{MA}{MB}=4$ est le cercle de centre I et de rayon $\sqrt{5}$.

Or, $\rm IB = 1$ et $\rm BC = 2$ donc on s'aperçoit que $\rm IC^2=1^2+2^2=5$ et donc que $\rm IC = \sqrt{5}$.

\medskip

\uline{Par conséquent, l'ensemble des points M tels que $\prodscal{MA}{MB}=4$ est le cercle de centre I passant par C.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
