

\begin{enumerate}
\item $f(x)=a(x+4)(x+2)(x-3)$. En effet, $f$ s'annule pour $x=-4$, $x=-2$ et $x=3$.

De plus, $f(0)=-3$ donc $a\times4\times2\times(-3)=-3$, soit $a=\dfrac{1}{8}$. Ainsi :
\[\boxed{f(x)=\frac{1}{8}(x+4)(x+2)(x-3)} \]

\item  $g(x)=(x+4)(ax^2+bx+c)$. En effet, $g(-4)=0$.

De plus, $g(0)=-1$ donc $4c=-1$, soit $c=-\dfrac{1}{4}$.

Ainsi, $g'(x)=ax^2+bx-\dfrac{1}{4}+(x+4)(2ax+b)$ (on dérive le produit).

Or, $g'(-2)=0$ donc $4a-2b-\dfrac{1}{4}+2(-4a+b)=0$, soit $-4a=\dfrac{1}{4}$. Donc $a=-\dfrac{1}{16}$.

De plus, $g'(1)=0$ donc $-\dfrac{1}{16}+b-\dfrac{1}{4}+5\left(-\dfrac{1}{8}+b\right)=0$, soit $6b=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{8}=\dfrac{15}{16}$. Donc $c=\dfrac{5}{32}$. Ainsi :
\[ \boxed{g(x)=(x+4)\left(-\dfrac{1}{16}x^2+\frac{5}{32}x-\frac{1}{4}\right)}\]

\item L'abscisse d'un point d'intersection des deux courbes vérifie l'équation $f(x)=g(x)$.
\begin{align*}
f(x)=g(x) & \Leftrightarrow \dfrac{1}{8}(x+4)(x+2)(x-3) = (x+4)\left(-\dfrac{1}{16}x^2+\frac{5}{32}x-\frac{1}{4}\right)\\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{8}\left(x^2-x-6\right) = -\dfrac{1}{16}x^2+\frac{5}{32}x-\frac{1}{4}\\
& \Leftrightarrow 4x^2-4x-24=-2x^2+5x-8 \text{ on a multiplié par }32\\
& \Leftrightarrow 6x^2-9x-16=0.
\end{align*}
\[ \Delta = 81-4\times 6\times(-16) = 465.\]
Les abscisses des deux points d'intersection sont donc :
\[ \boxed{x_1=\frac{9-\sqrt{465}}{12}\qquad ; \qquad x_2=\frac{9+\sqrt{465}}{12}}\]
\end{enumerate}
