On a construit ci-dessous, en rouge, une spirale:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.1]
\draw(0,0) rectangle +(100,100);
\node[below] at (50,0) {$c_1=10$};
\draw[red] (0,0) arc(180:90:100);
\draw(100,100) rectangle +(50.0,-50.0);
\draw[red] (100,100) arc(90:0:50.0);
\draw(150.0,50.0) rectangle +(-25.0,-25.0);
\draw[red] (150.0,50.0) arc(0:-90:25.0);
\draw(125.0,25.0) rectangle +(-12.5,12.5);
\draw[red] (125.0,25.0) arc(-90:-180:12.5);
\draw(112.5,37.5) rectangle +(6.25,6.25);
\draw[red] (112.5,37.5) arc(-180:-270:6.25);
\draw(118.75,43.75) rectangle +(3.125,-3.125);
\draw[red] (118.75,43.75) arc(-270:-360:3.125);
\draw(121.875,40.625) rectangle +(-1.5625,-1.5625);
\draw[red] (121.875,40.625) arc(-360:-450:1.5625);
\draw(120.3125,39.0625) rectangle +(-0.78125,0.78125);
\draw[red] (120.3125,39.0625) arc(-450:-540:0.78125);
\draw(119.53125,39.84375) rectangle +(0.390625,0.390625);
\draw[red] (119.53125,39.84375) arc(-540:-630:0.390625);
\draw(119.921875,40.234375) rectangle +(0.1953125,-0.1953125);
\draw[red] (119.921875,40.234375) arc(-630:-720:0.1953125);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Pour cela,
\begin{itemize}
\item on a tracé un carré de côté $c_1=10$ cm, puis un quart de cercle à l'intérieur;
\item ensuite, on a tracé un carré de côté $c_2=5$ cm à l'intérieur duquel on a tracé un quart de cercle qui \og continue \fg{} le précédent;
\item etc.
\end{itemize}
Le côté d'un carré mesure toujours la moitié du côté du carré précédent.

On note $c_n$ la longueur du carré $n$, et $\ell_n$ celle du quart de cercle à l'intérieur, $n\geqslant1$, exprimées en cm.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{\ell}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée au millimètre près, de la longueur totale de la spirale si l'on a construit 10 carrés.
\end{enumerate}

