
\begin{enumerate}
\item $C(q)=\dfrac{1}{2}q^3-2q^2+5q+20.$ donc $C'(q)=\dfrac{3}{2}q^2-4q+5$.

Le discriminant de $C'(q)$ est :
\[
\Delta=(-4)^2-4\times\dfrac{3}{2}\times5=16-30=-14<0.
\]
Par conséquent, $C'(q)>0$ sur \R et donc sur \intervFF{0}{20}. Ainsi, $C$ est strictement croissante sur \intervFF{0}{20}.

\item Une pizza est vendue 7,50 \euro{} et il y a 4 dizaines de pizzas dans un lot donc la recette (exprimée en dizaine d'euros) est :
\[
R(q)=4\times7,5q = 30q.
\]
Ainsi, le bénéfice est :
\begin{align*}
B(q) & = R(q)-C(q)\\
     & = 30q-\dfrac{1}{2}q^3+2q^2-5q-20\\
\Aboxed{B(q) & = -\dfrac{1}{2}q^3+2q^2+25q-20}
\end{align*}

\item $B'(q)=-\dfrac{3}{2}q^2+4q+25$. Le discriminant de $B'(q)$ est :
\[
\Delta=16+150=\numprint{166}.
\]
Les racines sont donc :
\[
q_1=\dfrac{-4-\sqrt{\numprint{166}}}{-3}\approx5,63
\]
et
\[
q_2=\dfrac{-4+\sqrt{\numprint{166}}}{-3}<0.
\]
On a alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$B'(q)$/0.5,$B(q)$/1}{0,$q_1$,20}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le bénéfice maximal est donc atteint pour $q=5$ ou $q=6$ lots de 40 pizzas. Le bénéfice (en dizaine d'euros) est alors :
\[
B(5)=-\dfrac{1}{2}\times5^3+2\times5^2+25\times5-20=92,5.
\]
\[
B(6)=-\dfrac{1}{2}\times6^3+2\times6^2+25\times6-20=94.
\]
Le bénéfice maximum est donc atteint pour 6 lots de 40 pizzas fabriqués, et est égal à 94~\euro.
\end{enumerate}
