
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item $A\coord{1}{-1}\in\mathcal{C}_f$ donc $f(1)=-1$, soit :
\begin{equation}
a+b+c+d=-1\label{deriv-eq-1}
\end{equation}

\item la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ a pour équation : $y=-2x+1$ donc $f'(1)=-2$, soit :

\begin{equation}
3a+2b+c=-2\label{deriv-eq-2}
\end{equation}

\item $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 2 donc $f(0)=2$, d'où :
\[ d=2.\]

\item $f'(0)=-5$ et $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ donc :
\[
c=-5.
\]
\end{itemize}

Les équations \ref{deriv-eq-1} et \ref{deriv-eq-2} donnent alors le système suivant :

\[
\begin{cases}
a+b=-1-(-5)-2=2\\
3a+2b=-2-(-5)=3
\end{cases}
\]
soit :
\[
\begin{cases}
a=2-b\\
3(2-b)+2b=3
\end{cases}
\]
La seconde équation donne alors :
\[ 
6-b=3\qquad\text{soit~:}\qquad b=3.
\]
La première équation donne alors :
\[ 
a=2-3=-1.
\]

On obtient finalement :
\[
\boxed{f(x)=-x^3+3x^2-5x+2.}
\]
\end{enumerate}
