Soit $f$ la fonction définie sur \R par:
\[
f(x)=(2x+1)\e^x.
\]
Sur le graphique ci-dessous, sont tracées la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$, et la
droite $(T)$, tangente à cette courbe au point d'abscisse 0.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[gray,dashed] (-5,-3) grid (5,5);
\draw[very thick,->,>=latex] (-5,0) -- (5,0);
\draw[very thick,->,>=latex] (0,-3) -- (0,5);
\clip (-5,-3) rectangle (5,5);
\draw[very thick] (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below] {1};
\draw[very thick] (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left] {1};
\node[below left] at (0,0) {0};
\draw[very thick,red] plot[domain=-5:2,samples=100] (\x,{(2*\x+1)*exp(\x)});
\node[red] at (0.3,4.5) {$\mathcal{C}_f$};
\draw[very thick,blue] plot[domain=-5:2] (\x,{3*\x+1});
\node[blue,right] at (1.2,4.5) {$(T)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
\item Montrer que, pour tout $x$ réel, que $f'(x)=(2x+3)\e^x$.
\item Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur \R, puis préciser les variations de $f$ sur \R.
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $(T)$.
\item Justifier graphiquement que, pour tout réel $x$, on a :
\[
(2x+1)\e^x \geqslant 3x+1.
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

