

\begin{enumerate}
\item Le coefficient directeur de $(d)$ est le nombre $m=\tan30\degres=\dfrac{1}{\sqrt3}$ car $(d)$ forme un angle de $30\degres$ avec l'axe des abscisses. De plus, elle passe par l'origine du repère donc c'est une droite représentant une fonction linéaire.

Ainsi, une équation de $(d)$ est : $\boxed{y=\dfrac{1}{\sqrt3}x}$

\item L'équation du $\mathcal{C}^\prime$ est de la forme $(x-a)^2+(y-a)^2=r^2$ où \coord{a}{b} sont les coordonnées de son centre et $r$ son rayon.

Ainsi, $\mathcal{C}^\prime$ a pour équation : $\boxed{(x-18)^2+y^2=196}$

\item Notons \coord{x}{y} les coordonnées d'un point d'intersection de $(d)$ avec $\mathcal{C}^\prime$; alors, $y=\dfrac{1}{\sqrt3}x$ et $(x-18)^2+y^2=196$, donc $(x-18)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt3}x\right)^2=196$, soit $\dfrac{4}{3}x^2-36x+128=0$, ou encore, en multipliant par $\dfrac34$ : $x^2-27x+96=0$.

Le discriminant du polynôme $x^2-27x+96$ est $\Delta=(-27)^2-4\times1\times96=345$ donc ses deux racines sont :
\[
x_1=\dfrac{27-\sqrt{345}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{27+\sqrt{345}}{2}.
\]
L'abscisse de J est donc $\dfrac{27+\sqrt{345}}{2}$ (le point le plus éloigné de O). Son ordonnée est donc $\dfrac{27+\sqrt{345}}{2}\times\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{27\sqrt3+\sqrt{\numprint{1035}}}{6}$.

Ainsi, $\boxed{\text{J}\coord{\dfrac{27+\sqrt{345}}{2}}{\dfrac{27\sqrt3+\sqrt{\numprint{1035}}}{6}}}$

\item $\vv{\text{EJ}}\begin{pmatrix}\dfrac{19+\sqrt{345}}{2}\\\dfrac{27\sqrt3+\sqrt{\numprint{1035}}}{6}\end{pmatrix}$ et $\vv{\text{EF}}\dbinom{28}{0}$.

Ainsi, $\prodscal{EF}{EJ}=xx'+yy'=\dfrac{19+\sqrt{345}}{2}\times28=14\big(19+\sqrt{345}\big)$.

Or, $\prodscal{EF}{EJ}=\|\vv{\text{EF}}\|\times\|\vv{\text{EJ}}\|\times\cos\angleor{EF}{EJ}$, donc :
\[
\cos\angleor{EF}{EJ}=
\dfrac{14\big(19+\sqrt{345}\big)}{28\times\sqrt{\left(  \dfrac{19+\sqrt{345}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{27\sqrt3+\sqrt{ \numprint{1035} }}{6}\right)^2}}
\]
On en déduit alors que \underline{$\angle{JEF}\approx35\degres$}.
\end{enumerate}
