
$OI=6$ et $IB=12$ donc $OB=18$.

Dans le triangle OCB, rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore,
\begin{align*}
(6+x)^2+(12+x)^2=18^2 & \iff 2x^2+36x-144=0\\
& \iff x^2 + 18x - 72 = 0.
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $x^2 + 18x - 72$ est:
\[
\Delta = 18^2-4\times(-72)=612>0
\]
donc il admet deux racines:
\[
x_1=\dfrac{-18-\sqrt{612}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-18+\sqrt{612}}{2}
\]
soit:
\[
x_1=-9-3\sqrt{17}<0\qquad\text{et}\qquad x_2=3\sqrt{17}-9>0.
\]
Seule la racine positive nous intéresse car $x$ est une longueur.

\underline{Ainsi, $x=3\sqrt{17}-9$.}

\bigskip

L'aire de ABCD est donc égale à 
\[
(12+3\sqrt{17}-9)^2 = 162+18\sqrt{17}.
\]
