

\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $uv$, avec :
\[
\begin{array}{l@{\hspace*{2cm}}l}
u(x)=e^{-x} & u'(x)=-\e^{-x}\\
v'(x)=\sqrt{x+1} & v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}
\end{array}
\] 
donc $f'(x)=(u'v+uv')(x)$.
\begin{align*}
f'(x) & = \big(-\e^{-x}\big)\sqrt{x+1}+\e^{-x}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\\[7pt]
& = \left(\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}\right)\e^{-x}\\[7pt]
& = \left(\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}\times\dfrac{2\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x+1}}\right)\e^{-x}\\[7pt]
& = \left(\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\dfrac{2(x+1)}{2\sqrt{x+1}}\right)\e^{-x}\\[7pt]
& = \left( \dfrac{1-2x-2}{2\sqrt{x+1}}\right)\e^{-x}\\[7pt]
& = \left( \dfrac{-2x-1}{2\sqrt{x+1}}\right)\e^{-x}\\[7pt]
& = -(2x+1)\dfrac{\e^{-x}}{2\sqrt{x+1}}.
\end{align*}
$\dfrac{\e^{-x}}{2\sqrt{x+1}}>0$ et $(2x+1)>0$ (car $x\geqslant0$) donc $f'(x)<0$.

\medskip

\uline{Ainsi, $f$ est strictement décroissante pour $x\geqslant0$.}

\item La boucle s'exécute tant que la valeur $f$ calculée est supérieure à 0,5. Or, $\sqrt{x+1}\e^{-x}$ correspond au taux de malades restants donc la boucle s'arrêtera pour la valeur de $x$ telle que $f(x)\leqslant0,5$.

Remarquons de surcroît que $x$ est augmenté de $\dfrac{1}{24}$ à chaque passage dans la boucle, ce qui correspond à 1 heure.

La valeur affichée est donc le moment (exprimé en jour décimal) où il y aura \pourcent{50} ou moins de malades par rapport au jour initial.

\item $x=1,08333\text{ jour}=1,08333\times24\text{ heures}=26\text{ heures}$.

\uline{Ainsi, après 26 heures, le taux de malades est inférieur à \pourcent{50}.}

\item On trouve $x\approx3$.

\uline{Ainsi, après 3 jours, le taux de malades est inférieur à \pourcent{10}.}
\end{enumerate}
