
On calcule $u_{n+1}-u_n$ pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & =\sqrt{u_n^2+1}-u_n\\[8pt]
& = \dfrac{\big(\sqrt{u_n^2+1}-u_n\big)\big(\sqrt{u_n^2+1}+u_n\big)}{\sqrt{u_n^2+1}+u_n}\\[8pt]
& = \dfrac{u_n^2+1-u_n^2}{\sqrt{u_n^2+1}+u_n}\\[8pt]
& = \dfrac{1}{\sqrt{u_n^2+1}+u_n}.
\end{align*}

\medskip

$u_n>0$ car chaque terme est défini comme étant égal à une racine carrée.

\medskip

De plus, $\sqrt{u_n^2+1}>0$ donc $u_{n+1}-u_n>0$.

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\underline{La suite est donc croissante.}
