
$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc \iff a^2-(b+c)a+b^2+c^2-bc=0$.

Posons alors $f(a)=a^2-(b+c)a+b^2+c^2-bc$.

L'équation $f(a)=0$ admet au moins une solution car le triangle existe donc le discriminant de $f(a)$ est supérieur ou égal à 0.

\medskip

$\begin{aligned}[t]
\Delta 
& = \big[-(b+c)\big]^2-4\times1\times(b^2+c^2-bc)\\
& = b^2+2bc+c^2-4b^2-4c^2+4bc\\
& = 6bc-3(b^2+c^2)\\
& = -3\big(b^2-2bc+c^2\big)\\
& = -3(b-c)^2
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $\Delta\leqslant0$. Or, on sait que $\Delta\geqslant0$ donc  $\Delta=0$, ce qui signifie que $b=c$.

Il n'y a qu'une solution à l'équation $f(a)=0$ donnée par : $-\dfrac{-(b+c)}{2}=\dfrac{2b}{2}=b$ (car $b=c$).

\underline{Finalement, on a $a=b=c$. Le triangle est donc équilatéral.}
