

\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}$ un cercle quelconque. Posons alors [EF] et [IJ] deux cordes quelconques de $\mathcal{C}$, c'est-à-dire que les points E, F, I et J sont sur $\mathcal{C}$ (on dit qu'ils sont \textit{cocycliques}).

Posons O le centre de $\mathcal{C}$; alors, les triangles OEF et OIJ sont isocèles en O, ce qui signifie que, dans le triangle OEF, la médiane issue de O est aussi la médiatrice de [EF]. 

De même, dans le triangle OIJ, la médiane issue de O est la médiatrice de [IJ]. 

Par conséquent, les médiatrices de [EF] et [IJ] passent par O.

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Conclusion : les médiatrices de deux cordes quelconques d'un cercle passent toujours par le centre de ce cercle.

\item On souhaite que le cercle passe par A, B et C donc [AB] et [BC] sont deux cordes du cercle.

Soit I le milieu de [AB]; ainsi,
\[
x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{3}{2}\qquad\text{et}\qquad y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=-\dfrac{1}{2}.
\]
Cherchons une équation cartésienne de la médiatrice de [AB]; pour cela, posons M\coord{x}{y} un point de cette médiatrice. Alors,
\begin{align*}
\prodscal{IM}{AB}=0 & \iff \dbinom{x-\frac{3}{2}}{y+\frac{1}{2}}\cdot\dbinom{1}{-3}=0\\
& \iff x-\dfrac{3}{2}-3y-\dfrac{3}{2}=0\\
& \iff x-3y-3=0.
\end{align*}

Une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] est donc $x-3y-3=0$.

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Soit J le milieu de [BC]. Alors,
\[
x_J=-\dfrac{5}{2}\qquad\text{et}\qquad y_J=\dfrac{3}{2}.
\]
Soit M\coord{x}{y} un point de la médiatrice de [BC]. Alors,
\begin{align*}
\prodscal{JM}{BC}=0 & \iff \dbinom{x+\frac{5}{2}}{y-\frac{3}{2}}\cdot\dbinom{-7}{1}=0\\
& \iff -7x-\dfrac{35}{2}+y-\frac{3}{2}=0\\
& \iff 7x-y+19=0.
\end{align*}

Une équation cartésienne de la médiatrice de [BC] est donc $7x-y+19=0$.

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Pour trouver l'abscisse du point d'intersection des deux médiatrices, on doit résoudre le système :
\begin{align*}
\systeme{x-3y=3@L_1,7x-y=-19@L_2} & \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme{x-3y=3@L_1,21x-3y=-57@3L_2}\\
& \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme{x-3y=3@L_1,20x=-60@L_2-L_1}
\end{align*}

On en déduit alors que $x=-3$ et en remplaçant $x$ par $-3$ dans $L_1$, on trouve $y=-2$.

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Ainsi, le centre $\Omega$ du cercle passant par A, B et C a pour coordonnées \coord{-3}{-2}.

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De plus,
\begin{align*}
\Omega A^2 = (x_A-x_\Omega)^2+(y_A-y_\Omega)^2\\
& = (1+3)^2 + (1+2)^2\\
& = 16+9\\
& = 25.
\end{align*}

Or, $\Omega A$ est le rayon du cercle. Ainsi, une équation cartésienne du cercle passant par A, B et C est :
\[
\boxed{(x+3)^2+(y+2)^2 = 25}
\]
\end{enumerate}
