
\begin{enumerate}
\item \suite{u}{n}{} étant arithmétique, $u_2-u_0=2r$.

Or, $u_2-u_0=\numprint{6712}-\numprint{7820}=-\numprint{1108}$. Donc $2r=-\numprint{1108}$, d'où $r=-554$.

Ainsi, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est:
\[
\boxed{\begin{cases}u_0=\numprint{7820}\\u_{n+1}=u_n-554\end{cases}}
\]

\item D'après la formule du cours, $u_n=u_0+nr$, donc ici, pour tout entier naturel $n$:
\[
\underline{u_n = \numprint{7820}-554n}.
\]

\item Il s'agit ici de trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<\numprint{1000}$. Pour cela, on va calculer tous les termes successifs jusqu'à celui qui est inférieur à \numprint{1000}.

Il y a deux façons de procéder :

\begin{itemize}
\item \textbf{à l'aide de la relation de récurrence de la suite:}

\begin{python}
u = 7820 # premier terme
n = 0    # rang du premier terme
while u >= 1000:
    n = n + 1
    u = u - 554 # on calcul le terme suivant
    
print( n )
\end{python}

\item \textbf{à l'aide de la formule explicite :}

\begin{python}
u = 7820 # premier terme
n = 0    # rang du premier terme
while u >= 1000:
    n = n + 1
    u = 7820 - 554*n # on calcul le terme suivant
    
print( n )
\end{python}
\end{itemize}
Dans les deux cas, le résultat est le même:
\begin{console}
13
\end{console}
Ce qui signifie que $u_{13}$ est le premier terme à être inférieur à \numprint{1000}.


Pour le vérifier par le calcul, on résout l'inéquation :

\begin{align*}
u_n < \numprint{1000} & \iff \numprint{7820}-554n < \numprint{1000}\\[6pt]
& \iff -554n < \numprint{1000}-\numprint{7820}\\[6pt]
& \iff -554n < -\numprint{6820}\\[6pt]
& \iff n > \dfrac{-\numprint{6820}}{-554}\\[6pt]
& \iff n > 12,31\ldots
\end{align*}

Comme $n$ est un entier, cela signifie que le premier $n$ possible est $n=13$, ce qui correspond bien au résultat de nos programmes Python.
\end{enumerate}
