

\begin{enumerate}
\item $\e^{3x-1}>\e^{2x+4} \iff 3x-1>2x+4 \iff x>5$.

\medskip

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{5}{+\infty}}$

\item $\e^{-2x+5}\leqslant\e^{4x+7} \iff -2x+5\leqslant4x+7 \iff 6x\geqslant-2 \iff x\geqslant-\dfrac{1}{3}$.

\medskip

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervFO{-\dfrac{1}{3}}{+\infty}}$

\item $\e^{x^2-1}<\e \iff x^2-1<1 \iff x^2-2<0$.

$x^2-2$ admet pour racines $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$, et est négatif entre ses racines.

\medskip

L'ensemble solution de l'inéquation est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{-\sqrt2}{\sqrt2}}$

\item $\begin{aligned}[t]
12-4\e^{5x+1}\geqslant8 & \iff -4\e^{5x+1}\geqslant-4\\
& \iff \e^{5x+1}\leqslant1\\
& \iff \e^{5x+1}\leqslant\e^0\\
& \iff 5x+1\leqslant0\\
& \iff x\leqslant-\dfrac{1}{5}
\end{aligned}$

\medskip

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOF{-\infty}{-\dfrac{1}{5}}}$

\item $\begin{aligned}[t]
8+3\e^{-2x+3}\leqslant11 & \iff 3\e^{-2x+3}\leqslant3\\
& \iff \e^{-2x+3}\leqslant1\\
& \iff \e^{-2x+3}\leqslant\e^0\\
& \iff -2x+3\leqslant0\\
& \iff -2x\leqslant-3\\
& \iff x\geqslant\dfrac{3}{2}
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervFO{\dfrac{3}{2}}{+\infty}}$

\item $\begin{aligned}[t]
56+14\e^{47x-15}>70& \iff 14\e^{47x-15}>14\\
& \iff \e^{47x-15}>1\\
& \iff 47x-15>0\\
& \iff x>\dfrac{15}{47}
\end{aligned}$

\medskip

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{\dfrac{15}{47}}{+\infty}}$
\end{enumerate}
