
On choisit $\Omega$ comme l'ensemble des individus de la population. 

On pose :
\begin{itemize}
\item M : \og l'individu est malade \fg
\item P : \og le test est positif \fg.
\end{itemize}
Alors, l'énoncé nous dit que :
\begin{itemize}
\item $\proba{M}=\pourcent{0,5}=\dfrac{5}{\numprint{1000}}=\dfrac{1}{200}$, d'où $\proba{\evcont{M}}=\dfrac{199}{200}$;
\item $\probacond{P}{M}=\dfrac{99}{100}$;
\item $\probacond{P}{\evcont{M}}=\pourcent{2}=\dfrac{1}{50}$.
\end{itemize}
On cherche à déterminer $\probacond{M}{P}$.
\begin{align*}
\probacond{M}{P} & = \dfrac{\proba{M\cap P}}{\proba{P}}\\
& = \dfrac{\probacond{P}{M}\times\proba{M}}{\probacond{P}{M}\times\proba{M}+\probacond{P}{\evcont{M}}\times\proba{\evcont{M}}}\\
& = \dfrac{0,99\times0,005}{0,99\times0,005+0,02\times0,995}\\
& \approx0,2.
\end{align*}
\underline{Il y a donc \pourcent{20} d'être malade sachant que le test est positif.}

\begin{rem}
Selon une enquête de l'institut Max-Planck, si on demande à des médecins de
choisir comme réponse à la question posée dans l'énoncé entre 3 probabilités possibles (à peu près \pourcent{90}, à peu près \pourcent{50} ou à peu près \pourcent{9}), seul un tiers des médecins trouvent la bonne réponse.
\end{rem}
