
\begin{enumerate}
\item\label{q1exHeron} Dans le triangle AHB, rectangle en H, on a : $\sin\widehat{A}=\dfrac{h}{c}$, donc $h=c\times\sin\widehat{A}$.

\medskip

L'aire de ABC est :
\[
\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times b\times h\qquad\text{soit}\qquad\boxed{\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}bc\sin\widehat{A}}.
\]

\item La formule d'Al-Kashi donne:
\[
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}
\]
soit:
\[
a^2-b^2-c^2=-2bc\cos\widehat{A}
\]
ou encore:
\[
\cos\widehat{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.
\]
En élevant au carré, on obtient:
\[
\cos^2\widehat{A}=\dfrac{\big(b^2+c^2-a^2\big)^2}{4b^2c^2}.
\]
Or, $\cos^2\widehat{A}+\sin^2\widehat{A}=1$, donc $\cos^2\widehat{A}=1-\sin^2\widehat{A}$, ce qui donne :
\[
1-\sin^2\widehat{A}=\dfrac{\big(b^2+c^2-a^2\big)^2}{4b^2c^2}
\]
soit :
\[
\boxed{\sin^2\widehat{A}=1-\dfrac{\big(b^2+c^2-a^2\big)^2}{4b^2c^2}}.
\]

\item\label{q2exHeron} Développons :
\begin{align*}
& \dfrac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{b^2c^2}\\
= & \dfrac{4\frac{a+b+c}{2}\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)}{b^2c^2}\\
= &\dfrac{2(a+b+c)\left(\frac{b+c-a}{2}\right)\left(\frac{a-b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)}{b^2c^2}\\
= &\dfrac{(ab+ac-a^2+b^2+bc-ab+bc+c^2-ac)(a^2+ab-ac-ab-b^2+bc+ac+bc-c^2)}{4b^2c^2}\\
= & \dfrac{(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4b^2c^2}\\
= & \dfrac{\big[2bc+(b^2+c^2-a^2)\big]\big[2bc-(b^2+c^2-a^2)\big]}{4b^2c^2}\\
= & \dfrac{(2bc)^2-\big(b^2+c^2-a^2\big)^2}{4b^2c^2}\\= & 1-\dfrac{\big(b^2+c^2-a^2\big)^2}{4b^2c^2}\\
= & \sin^2\widehat{A}.
\end{align*}

\item De la question \ref{q1exHeron}, on déduit que :
\[
\mathcal{A}^2=\dfrac{1}{4}b^2c^2\sin^2\widehat{A}.
\]
En remplaçant alors $\sin^2\widehat{A}$ par l'expression trouvée à la question \ref{q2exHeron}, on obtient :
\begin{align*}
\mathcal{A}^2 & = \dfrac{1}{4}b^2c^2\times\dfrac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{b^2c^2}\\
& = p(p-a)(p-b)(p-c).
\end{align*}

$\mathcal{A}$ étant un nombre positif, en prenant la racine carrée des deux membres de cette dernière égalité, on obtient :
\[
\boxed{\mathcal{A}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}
\]

\item $p=\dfrac{7+9+12}{2}=14$ donc :
\begin{align*}
\mathcal{A} & = \sqrt{14(14-7)(14-9)(14-12)}\\
& = \sqrt{14\times7\times5\times2}\\
& \sqrt{980}\\
\Aboxed{\mathcal{A}& = 14\sqrt{5}~\text{cm}^2}
\end{align*}
\end{enumerate}
