
\begin{enumerate}
\item On a le tableau suivant :

\begin{tabular}{|Sl|*6{Sc|}}
\hline
Condition i<N & \cellcolor{numpagecorrige} & vraie : 0<4 & vraie : 1<4 &  vraie : 2<4 & vraie : 3<4 & fausse\\
\hline
Valeurs de i &  0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
Valeurs de U & 
2 & 
$\frac{2}{3\times2+1}=\frac{2}{7}$ & 
$\frac{2}{3\times\frac{2}{7}+1}=\frac{14}{13}$ & 
$\frac{2}{3\times\frac{14}{13}+1}=\frac{26}{41}$ & 
$\frac{2}{3\times\frac{26}{41}+1}=\frac{82}{119}$ & \cellcolor{numpagecorrige}
 \\\hline
\end{tabular}

Cet algorithme affiche alors la dernière valeur de U calculée, à savoir $\dfrac{82}{119}$, qui est $u_4$.

\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & =\dfrac{u_{n+1}-\frac{2}{3}}{u_{n+1}+1}\\
& = \dfrac{\frac{2}{3u_n+1}-\frac{2}{3}}{\frac{2}{3u_n+1}+1}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = \dfrac{\frac{6-2(3u_n+1)}{3(3u_n+1)}}{\frac{2+3u_n+1}{3u_n+1}}\\
& = \dfrac{-6u_n+4}{3(3u_n+1)}\times\dfrac{3u_n+1}{3u_n+3}\\
& = \dfrac{-6u_n+4}{9u_n+9}\\
& = \dfrac{-6\left(u_n-\frac{2}{3}\right)}{9(u_n+1)}\\
& = -\dfrac{6}{9}v_n\\
\Aboxed{v_{n+1} & = -\dfrac{2}{3}v_n}
\end{aligned}$

Ainsi, \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=-\dfrac{2}{3}$ et de premier terme :
\begin{align*}
v_0 & =\dfrac{u_0-\frac{2}{3}}{u_0+1}\\
& = \dfrac{2-\frac{2}{3}}{2+1}\\
& = \dfrac{\frac{4}{3}}{3}\\
\Aboxed{v_0 & = \dfrac{4}{9}}
\end{align*}

\item De la question précédente, on déduit :
\[
v_n=\dfrac{4}{9}\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n.
\] 
De plus, 
\begin{align*}
& v_n=\dfrac{u_n-\frac{2}{3}}{u_n+1}\\
\Longleftrightarrow\ & v_n(u_n+1)=u_n-\frac{2}{3}\\
\Longleftrightarrow\ & v_nu_n-u_n=-v_n-\frac{2}{3}\\
\Longleftrightarrow\ & u_n(v_n-1)=-v_n-\frac{2}{3}\\
\Longleftrightarrow\ & u_n=\dfrac{-v_n-\frac{2}{3}}{v_n-1}\\
\Longleftrightarrow\ & \boxed{u_n = \dfrac{-\frac{4}{9}\times\left(-\frac{2}{3}\right)^n-\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}\times\left(-\frac{2}{3}\right)^n-1}}
\end{align*}
\end{enumerate}
