
\begin{enumerate}
\item Au jour 1, Léonard consomme la moitié d'eau ; donc il lui reste 50 litres. Il ajoute ensuite 20 litres d'eau donc \uline{$e_1=70$}.

\medskip

Au jour 1, il consomme \pourcent{30} de lait donc il lui reste 70 litres de lait ; il ajoute ensuite 10 litres de lait donc $\uline{\ell_1=80}$.

\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Pour \pmb{\suite{e}{n}{}} :} pour passer de $e_{n}$ à $e_{n+1}$, on doit multiplier par $\dfrac{1}{2}$ (ou diviser par 2). On a alors à ce stade : $e_{n+1}=\dfrac{1}{2}e_n$. Ensuite, on ajoute 20 litres donc finalement, $\boxed{e_{n+1}=\dfrac{1}{2}e_n+20}$

\item \textbf{Pour \pmb{\suite{\ell}{n}{}} :} pour passer de $\ell_{n}$ à $\ell_{n+1}$, on doit multiplier par $0,7$ (car enlever \pourcent{30} de la quantité signifie qu'il en reste \pourcent{70}). On a alors à ce stade : $\ell_{n+1}=0,7\ell_n$. Ensuite, on ajoute 10 litres donc finalement, $\boxed{\ell_{n+1}=0,7e_n+10}$ 
\end{itemize}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & =e_{n+1}-40\\
& = \dfrac{1}{2}e_n+20-40\\
& = \dfrac{1}{2}e_n-20
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & = \dfrac{1}{2}\left(e_n-\dfrac{20}{\frac{1}{2}}\right)\\
& = \dfrac{1}{2}(e_n-40)\\
& = \dfrac{1}{2}u_n\;.
\end{aligned}$

Ainsi, pour obtenir $u_{n+1}$, on doit multiplier $u_n$ par $\dfrac{1}{2}$ ; la suite \suite{u}{n}{} est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

Son premier terme est : $u_n=e_0-40$, soit $u_0=100-40=60$.

\item La suite \suite{u}{n}{} étant géométrique, $u_n=u_0\times q^n$ d'après le cours. Ainsi, ici, \uline{$u_n=60\times0,5^n$}.

\medskip

Or, $u_n=e_n-40$ donc $e_n=u_n+40$, soit $\boxed{e_n=60\times0,5^n+40}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & =\ell_{n+1}-\dfrac{100}{3}\\
& = 0,7\ell_n+10-\dfrac{100}{3}\\
& = 0,7\ell_n-\dfrac{70}{3}\\
& = 0,7\left(\ell_n-\dfrac{\frac{70}{3}}{0,7}\right)\\
& = 0,7\left(\ell_n-\dfrac{100}{3}\right)\\
& = 0,7v_n\;.
\end{aligned}$

Ainsi, pour obtenir $v_{n+1}$, on doit multiplier $v_n$ par $0,7$ ; la suite \suite{v}{n}{} est donc géométrique de raison $0,7$.

Son premier terme est : $v_n=\ell_0-\dfrac{100}{3}$, soit $v_0=100-\dfrac{100}{3}=\dfrac{200}{3}$.

\item La suite \suite{v}{n}{} étant géométrique, $v_n=v_0\times q^n$ d'après le cours. Ainsi, ici, $\boxed{v_n=\dfrac{200}{3}\times0,7^n}$.

\medskip

Or, $v_n=\ell_n-\dfrac{100}{3}$ donc $\ell_n=v_n+\dfrac{100}{3}$, soit $\boxed{\ell_n=\dfrac{200}{3}\times0,7^n+\dfrac{100}{3}}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{itemize}
\item $e_{365}=60\times0,5^{365}+40\approx40$ et $\ell_{365}=\dfrac{200}{3}\times0,7^{365}+\dfrac{100}{3}\approx33,3$.
\item $e_{730}=60\times0,5^{730}+40\approx40$ et $\ell_{730}=\dfrac{200}{3}\times0,7^{730}+\dfrac{100}{3}\approx33,3$.
\end{itemize}
On peut alors remarquer que les quantités au bout d'un an sont égales à celles obtenues au bout de 2 ans.

Tout porte donc à croire qu'au bout d'un nombre important de jours, la quantité d'eau stagne autour de 40 litres et que celle de lait stagne autour de 33,33 litres.
\end{enumerate}
