

\begin{enumerate}
\item La probabilité de tirer deux boules noires est :
\[
\dfrac{n}{n+10}\times\dfrac{10}{n+11}=\dfrac{10n}{(n+10)(n+11)}.
\]
La probabilité de tirer deux boules blanches est :
\[
\dfrac{10}{n+10}\times\dfrac{n+1}{n+11}=\dfrac{10(n+1)}{(n+10)(n+11)}.
\]
La probabilité de tirer deux boules de même couleur est la somme de ces deux probabilités donc :
\[
\boxed{\dfrac{10(2n+1)}{(n+10)(n+11)}}
\]
\item Posons $f(x)=\dfrac{10(2x+1)}{(x+10)(x+11)}=\dfrac{20x+10}{x^2+21x+110}$.

Alors,
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{20(x^2+21x+110)-(20x+10)(2x+21)}{(x^2+21x+110)^2}\\
& = \dfrac{20x^2+420x+\numprint{2200}-40x^2-420x-20x-210}{(x^2+21x+110)^2}\\
& = \dfrac{-20x^2-20x+\numprint{1990}}{(x^2+21x+110)^2}\\
& = \dfrac{10(-2x^2-2x+199)}{(x^2+21x+110)^2}
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $-2x^2-2x+19$ est :
\[
\Delta=4+8\times199=\numprint{1596}.
\]
Il a donc deux racines :
\[
x_1=\dfrac{2-\sqrt{\numprint{1596}}}{-4}=\dfrac{-1+\sqrt{399}}{2}>0
\text{ et } x_2=\dfrac{2+\sqrt{\numprint{1596}}}{-4}=\dfrac{-1-\sqrt{399}}{2}<0.
\]
On a alors le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorV=numpagecorrige!20,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{0,$x_1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}

\end{center}
On voit alors que $f(x)$ atteint son maximum pour $x=\dfrac{-1+\sqrt{399}}{2}\approx9$.

\medskip

\uline{Ainsi, pour $n=9$, la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur est maximale.}
\end{enumerate}
