
On sait que si $a$ et $b$ sont solutions d'une équation polynomiale de degré 2 alors, ils sont aussi solutions de l'équation :
\[
x^2-(a+b)x+ab=0.
\]
Comme $a$ et $b$ sont solutions de l'équation :
\[
x^2-sx+t=0\;,
\]
on a :
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\;=\;}l}
a+b & s\\
ab & t
\end{array}
\right.
\]
De même, comme $a+1$ et $b+1$ sont solutions de l'équation :
\[
x^2-s^2x+st=0\;,
\]
on a :
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\;=\;}l}
(a+1)+(b+1) & s^2\\
(a+1)(b+1) & st
\end{array}
\right.
\]
soit :
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\;=\;}l}
a+b+2 & s^2\\
ab+a+b+1 & st
\end{array}
\right.
\]
Comme $a+b=s$ et $ab=t$ (d'après le premier système), on obtient :
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\;=\;}l}
s^2-s-2 & 0\\
t+s+1 & st
\end{array}
\right.
\]
L'équation :
\[
s^2-s-2=0
\]
a pour solutions :
\[
s_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\left\{\begin{array}{l}
s_1=-1\\
s_2=2
\end{array} \right.
\]
\begin{itemize}
\item Si $s=-1$, alors l'équation $t+s+1=st$ devient :
\[
t=-t\qquad\text{soit :}\qquad t=0
\]
Dans ce cas, le couple solution demandé est : $\boxed{\coord{s}{t}=\coord{-1}{0},\ t\in\R}$.

\item Si $s=2$, alors l'équation $t+s+1=st$ devient :
\[
t+3=2t\qquad\text{soit}\qquad t=3
\]
Dans ce cas, le couple solution demandé est : $\boxed{\coord{s}{t}=\coord{2}{3},\ t\in\R}$.
\end{itemize}

\begin{rem}
Si on vérifie nos résultats, on voit dans un premier temps que le couple \coord{-1}{0} donne pour la première équation : $x^2+x=0$ (qui admet pour solutions 0 et $-1$) et donne pour la seconde équation : $x^2-x=0$ (qui admet 0 et 1 pour solutions, et qui sont bien les successeurs de $-1$ et 0).

En revanche, pour le couple \coord{2}{3}, la première équation donne : $x^2-2x+3=0$, de discriminant négatif. Il n'y a donc pas de solutions... dans l'ensemble des réels ! Car en effet, elle admet quand-même des solutions, mais dans un ensemble plus \og grand \fg{} que celui des nombres réels : l'ensemble des nombres \textit{complexes} (que vous verrez l'année prochaine).
\end{rem}
