
\begin{enumerate}
\item $u_n=3+4n$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = 3+4(n+1)-(3+4n)\\
& = 3+4n+4-3-4n\\
& = 4.
\end{align*}
$u_{n+1}-u_n=4$ est une constante (un nombre qui ne dépend pas de $n$) donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite arithmétique de raison $r=4$ et de premier terme $u_0=3+4\times0=3$.
\begin{rem}
J'ai remarqué que $u_n$ était de la forme $u_0+nr$ donc j'ai commencé par calculer $u_{n+1}-u_n$ car je savais alors que c'était une suite arithmétique.
\end{rem}

\item $u_n=8\times2^n$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\cancel{8}\times2^{n+1}}{\cancel{8}\times2^n}\\
& = \dfrac{2^n\times2^1}{2^n}\\
& = 2.
\end{align*}

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=2$ est une constante donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $u_0=8\times2^0=8$.

\medskip

\begin{rem}
Ici, j'ai remarqué que $u_n$ était de la forme $u_0\times q^n$, d'où le calcul de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.
\end{rem}


\item $u_n=2\times3^{n-1}$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :

\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\cancel{2}\times3^n}{\cancel{2}\times3^{n-1}}\\
& = \dfrac{3^{n-1}\times3}{3^{n-1}}\\
& = 3.
\end{align*}

Par conséquent, \suite{u}{n}{n\geqslant0} est géométrique de raison $q=3$ et de premier terme \linebreak$u_0=2\times3^{0-1}=\dfrac{2}{3}$.

\item $u_n=\sqrt{2^n}$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\sqrt{2^{n+1}}}{\sqrt{2^n}}\\
& = \sqrt{\dfrac{2^{n+1}}{2^n}}\\
& = \sqrt{\dfrac{2^n\times2}{2^n}} = \sqrt{2}.
\end{align*}

\suite{u}{n}{n\geqslant0} est donc géométrique de raison $q=\sqrt{2}$ et de premier terme $u_0=\sqrt{2^0}=1$.

\item $u_n=\dfrac{5}{3^n}$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\cancel{5}}{3^{n+1}}\times\dfrac{3^n}{\cancel{5}}\\
& = \dfrac{3^n}{3^n\times3} = \dfrac{1}{3}.
\end{align*}

\suite{u}{n}{n\geqslant0} est donc géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $u_0=\dfrac{5}{3^0}=5$.

\item $u_n=n(n+1)-n(n-1)=n^2+n-n^2+n=2n$. $u_n$ est donc de la forme $u_0+nr$ avec $u_0=0$ et $r=2$. 

\suite{u}{n}{n\geqslant0} est donc arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $u_0=0$.

\item $u_n=n^2+2n+1=(n+1)^2$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = (n+2)^2-(n+1)^2\\
& = (n+2-n-1)(n+2+n+1)\\
& = 2n+3.
\end{align*}

\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{(n+2)^2}{(n+1)^2}\\
& = \left(\dfrac{n+2}{n+1}\right)^2\\
& = \left(\dfrac{n+1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}\right)^2\\
& = \left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^2.
\end{align*}

Ainsi, $u_{n+1}-u_n$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ne sont pas des constantes. La suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est donc ni arithmétique, ni géométrique.

\item $u_n=\dfrac{1}{3^n}+1$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :

\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = \dfrac{1}{3^{n+1}}+1-\dfrac{1}{3^n}-1\\
& = \dfrac{1}{3^{n}\times3}-\dfrac{1}{3^n}\\
& = \dfrac{1}{3^n}\left(\dfrac{1}{3}-1\right)\\
& = -\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3^n}.
\end{align*}

\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\frac{1}{3^{n+1}}+1}{\frac{1}{3^n}+1}\\
& = \dfrac{\frac{1+3^{n+1}}{3^{n+1}}}{\frac{1+3^n}{3^n}}\\& = \dfrac{1+3^{n+1}}{3^{n+1}}\times\dfrac{3^n}{1+3^n}\\
& = \dfrac{1+3^{n+1}}{3(1+3^n)}.
\end{align*}

Ainsi, $u_{n+1}-u_n$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ne sont pas des constantes. La suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est donc ni arithmétique, ni géométrique.

\item $u_n=2^n+1$. On calcule :
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = 2^{n+1}+1-2^n-1\\
& = 2^n\times2-2^n\\
& = 2^n(2-1)\\
& = 2^n.
\end{align*}

\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{2^{n+1}+1}{2^n+1}.
\end{align*}

Ainsi, $u_{n+1}-u_n$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ne sont pas des constantes. La suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est donc ni arithmétique, ni géométrique.

\newpage
\item $u_n=\dfrac{\sqrt{2^n}}{3^n}$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\sqrt{2^{n+1}}}{3^{n+1}}\times\dfrac{3^n}{\sqrt{2^n}}\\
& = \dfrac{\sqrt{2^{n+1}}}{\sqrt{2^n}}\times\dfrac{3^n}{3^{n+1}}\\
& = \sqrt{2}\times\dfrac{1}{3}\\
& = \dfrac{\sqrt{2}}{3}.
\end{align*}

Ainsi, \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ et de premier terme $u_0=1$.
\end{enumerate}
