On considère la suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+3
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item \suite{u}{n}{n\geqslant0} est-elle une suite arithmétique ? Une suite géométrique ?
\end{enumerate}

\medskip

On considère la suite \suite{v}{n}{n\geqslant0} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[ v_n=u_n-\dfrac{9}{2} .\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que \suite{v}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis une expression de $u_n$ en fonction de $n$.


\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\ttfamily
U $\leftarrow$ 1\\
i $\leftarrow$ 0\\
Saisir la valeur de N\\
Tant que i < N:\\
\hspace*{5mm}i $\leftarrow$ i+1\\
\hspace*{5mm}U $\leftarrow$ U/3+3\\
Fin du Tant que\\
Afficher U
\end{minipage}}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un tableau (par exemple), exécuter cet algorithme pour $N=3$.
\item Que permet de faire cet algorithme ?
\item \`A l'aide de votre calculatrice, donner la valeur qu'affiche cet algorithme pour N=10, N=20 et N=30.

Que peut-on conjecturer ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

