Soit $ABCD$ un parallélogramme tel que $\rm AB=6$, $\rm AD=5$ et $\angleor{AB}{AD}=\dfrac{\pi}{3}$. Soient $I$ et $J$ les projetés orthogonaux de $D$ et $B$ sur $[AC]$.

\begin{enumerate}
\item En exprimant \prodscal{AC}{AB} et \prodscal{AC}{AD} à l'aide de $A$, $C$, $I$ et $J$, montrer que $\rm AI = JC$.
\item À l'aide de la propriété \ref{prop:identités avec des normes} du cours du chapitre précédent, exprimer \prodscal{AB}{AD} en fonction de AC, puis calculer \prodscal{AB}{AD} afin d'en déduire AC.
\item Justifier que $\rm AI = AD\cos\angleor{AI}{AD}$.
\item En utilisant la formule d'Al-Kashi dans le triangle ACD, montrer que :
\[ 
\cos\angleor{AI}{AD}=\dfrac{8\sqrt{91}}{91}.
\]
\item En déduire alors IJ.
\end{enumerate}

