
\begin{enumerate}
\item On a l'arbre pondéré suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (root) at (0,0) {$\Omega$};
\node (N) at (2,1.5) {$N$};
\node (R) at (2,0) {$R$};
\node (A) at (2,-1.5) {$A$};
\draw (root) -- (A) node[fill=pagecorrige!30,midway,scale=.5] {0,4};
\draw (root) -- (N) node[fill=pagecorrige!30,midway,scale=.5] {0,15};
\draw (root) -- (R) node[fill=pagecorrige!30,midway,scale=.5] {0,45};
\node (D) at (4,1.8) {$D$};
\node (DB) at (4,1.2) {$\overline{D}$};
\draw (N) -- (D) node[fill=pagecorrige!30,midway,scale=.5] {0,05};
\draw (N) -- (DB) node[fill=pagecorrige!30,midway,scale=.5] {0,95};

\node (D) at (4,0.3) {$D$};
\node (DB) at (4,-0.3) {$\overline{D}$};
\draw (R) -- (D) node[fill=pagecorrige!30,midway,scale=.5] {0,1};
\draw (R) -- (DB) node[fill=pagecorrige!30,midway,scale=.5] {0,9};

\node (D) at (4,-1.2) {$D$};
\node (DB) at (4,-1.8) {$\overline{D}$};
\draw (A) -- (D) node[fill=pagecorrige!30,midway,scale=.5] {0,2};
\draw (A) -- (DB) node[fill=pagecorrige!30,midway,scale=.5] {0,8};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant est donnée par :
\[ P(N \cap D) = P(N) \times P_N(D)=0,15 \times 0,05 = \uline{\numprint{0,0075}}.\]

\item D'après la formule des probabilités totales, on a : \[ P(D) = P(D \cap A) + P(D \cap R) + P(D \cap N).\]
Ainsi, d'après l'arbre, on a : \[ P(D)=0,4\times 0,2 + 0,45\times 0,1 + \numprint{0,0075} = \uline{\numprint{0,1325}}. \]

\item La probabilité que l'ordinateur choisi soit ancien sachant qu'il est défaillant est donnée par : \[ P_D(A)=\frac{P(A \cap D)}{P(D)}=\frac{0,08}{\numprint{0,1325}} \approx \uline{0,60}.\]
\end{enumerate}
