
Je rappelle que l'orthocentre d'un triangle est le point d'intersection de ses hauteurs.

Il faut donc déterminer les équations cartésiennes de deux hauteurs.

\begin{itemize}
\item La hauteur issue du sommet C est perpendiculaire à (AB). Si M\coord{x}{y} est un point de cette hauteur, alors 
\begin{align*}
\prodscal{AB}{CM} = 0 & \iff \dbinom{6}{-5}\cdot\dbinom{x-9}{y-4}=0\\
& \iff 6(x-9)-5(y-4)=0\\
& \iff 6x-5y-34=0
\end{align*}

Une équation cartésienne de la hauteur issue de C est donc $6x-5y-34=0$.

\item La hauteur issue du sommet B est perpendiculaire à (AC). Si M\coord{x}{y} est un point de cette hauteur, alors 
\begin{align*}
\prodscal{AC}{BM} = 0 & \iff \dbinom{10}{1}\cdot\dbinom{x-5}{y+2}=0\\
& \iff 10(x-5)+(y+2)=0\\
& \iff 10x+y-48=0.
\end{align*}

Une équation cartésienne de la hauteur issue de C est donc $10x+y-48=0$.
\end{itemize}

On doit donc résoudre le système :
\begin{align*}
\systeme{6x-5y=34@L_1,10x+y=48@L2} & \iff \systeme{6x-5y=34@L_1,50x+5y=240@5L_2}\\
& \iff  \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme{6x-5y=34@L_1,56x=274@L_1+L_2}
\end{align*}
On en déduit que $x=\dfrac{137}{28}$ et en remplaçant cette valeur de $x$ dans l'équation $10x+y=48$, on obtient :
\[
y=48-10\times\dfrac{137}{28}=-\dfrac{13}{14}.
\]
\underline{Ainsi, l'orthocentre de ABC a pour coordonnées \coord{\dfrac{137}{28}}{-\dfrac{13}{14}}.}
\vspace*{4cm}~
