
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
t_{n+1} & = u_{n+1}+v_{n+1}\\
& = (0,2u_n+0,6v_n)+(0,8u_n+0,4v_n)\\
& = (0,2+0,8)u_n+(0,6+0,4)v_n\\
& = u_n+v_n\\
\Aboxed{t_{n+1} & = t_n}
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, \suite{t}{n}{} est une suite constante et $t_n=t_0=u_0+v_0$}. Par conséquent, $\boxed{t_n=1}$.

\item $\begin{aligned}[t]
w_{n+1} & = 3v_{n+1}-4u_{n+1}\\
&= 3(0,8u_n+0,4v_n)-4(0,2u_n+0,6v_n)\\
& = 2,4u_n+1,2v_n-0,8u_n-2,4v_n\\
& = (2,4-0,8)u_n+(1,2-2,4)v_n\\
& = 1,6u_n-1,2v_n\\
& = -0,4(-4u_n+3v_n) \qquad \leftarrow (*)\\
& = -0,4w_n.
\end{aligned}$

\textit{(*) Pour trouver $-0,4$, j'ai regardé les coefficients que je voulais faire apparaître devant $u_n$ et $v_n$. Par exemple, dans l'expression $w_n=3v_n-4u_n$, il me faut \og 3 \fg{} devant $v_n$. Or, j'avais $-1,2$ dans l'expression $w_{n+1}=1,6u_n-1,2v_n$. J'ai donc fait $-1,2\div3=-0,4$. Je sais donc ici qu'il faut que je factorise mon expression $w_{n+1}=1,6u_n-1,2v_n$ par $-0,4$.}

\medskip

\uline{Ainsi, \suite{w}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=-0,4$ et de premier terme\\ $w_0=3v_0-4u_0=-4$.}

\medskip

On en déduit alors que $w_n=w_0\times q^n$ donc $\boxed{w_n=-4\times(-0,4)^n}$.

\item D'après ce qui précède, on peut écrire :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
t_n=u_n+v_n\\
w_n=-4u_n+3v_n
\end{array}
\right. \qquad \Leftrightarrow \qquad
\left\{
\begin{array}{r@{\;=\;}l}
1 & u_n+v_n\\
-4\times(-0,4)^n & -4u_n+3v_n
\end{array}
\right.
\]
En multipliant la première ligne par 4, on a :
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\;=\;}l}
4 & 4u_n+4v_n\\
-4\times(-0,4)^n & -4u_n+3v_n
\end{array}
\right.
\]
En ajoutant alors les deux lignes, on obtient :
\[
4-4\times(-0,4)^n=4u_n+4v_n-4u_n+3v_n
\]
soit :
\[
4-4\times(-0,4)^n=7v_n.
\]
En divisant par 7, on arrive alors à :
\[
\boxed{v_n=\dfrac{4-4\times(-0,4)^n}{7}}
\]
et donc, comme $u_n+v_n=1$,
\begin{align*}
u_n & = 1-v_n=1-\dfrac{4-4\times(-0,4)^n}{7}\\
& =\dfrac{7}{7}-\dfrac{4-4\times(-0,4)^n}{7}\\
& = \dfrac{7-[4-4\times (-0,4)^n]}{7}\\
& = \dfrac{7-4+4\times(-0,4)^n}{7}\\
\Aboxed{u_n & = \dfrac{3+4\times(-0,4)^n}{7}}
\end{align*}
\end{enumerate}
