
\begin{enumerate}
\item Pour 4 étages, nous avons :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{03-allumettes-1.png}
\end{center}
On ajoute 2 allumettes par rapport au nombre d'allumettes nécessaires pour l'étage précédent.

\underline{Ainsi, $u_4=6+2=8$.}

\item Comme mentionné dans la réponse précédente, pour construire l'étage $n+1$, il est nécessaire d'avoir $u_n$ allumettes (nombre d'allumettes pour construire l'étage $n$) et d'en ajouter 2.

\uline{Ainsi, $u_{n+1}=u_n+2$, ce qui correspond à la relation de récurrence d'une suite arithmétique de raison 2.}

\item Le nombre total d'allumettes pour construire 20 étages correspond à:
\begin{align*}
u_1+u_2+\cdots+u_{20} & = 20 \times \dfrac{u_1+u_{20}}{2}\\
& = 20 \times \dfrac{2 + (2+(20-1)\times2)}{2}\\
& = 20 \times 21\\
& = 420.
\end{align*}
\underline{Il est donc nécessaire d'avoir 420 allumettes pour construire 20 étages.}

\item Le programme Python complété est le suivant:
\begin{python}
u = 2
S = 0

for n in range(20):
    S = S + u
    u = u + 2
    
print(S)
\end{python}

\textbf{Explications:}
\begin{itemize}
\item On commence par initialiser la variable \texttt{u} à 2; elle représente $u_1$.
\item On initialise ensuite la variable \texttt{S} à 0; elle représentera la somme des allumettes.
\item On crée ensuite une boucle \og Pour \fg{} car on connaît le nombre d'étages (20); il faudra donc ajouter 20 termes pour obtenir la somme totale.
\item Dans cette boucle, on commence par ajouter à la valeur déjà stockée en \texttt{S} la valeur qui est dans \texttt{u}...
\item ... puis on calcule le \texttt{u} suivant en écrivant que c'est l'ancienne valeur de \texttt{u} à laquelle on ajoute 2 (la raison de la suite) : \og \texttt{u = u+2} \fg{} est la traduction de la relation $u_{n+1}=u_n+2$.
\item Une fois la boucle terminée, on affiche la valeur stockée dans \texttt{S}. 
\end{itemize}
Si on exécute ce programme pas à pas, on a:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\ttfamily}Sc|*6{Sc|}}
\hline
Valeurs de n & - & 0 & 1 & 2 & $\cdots$ & 19\\
\hline
Valeurs de S & 0 & $0+2=2$ & $2+4=6$ & $6+6=12$ & $\cdots$ & $380+40=420$\\
\hline
Valeurs de u & 2 & $2+2=4$ & $4+2=6$ & $6+2=8$ & $\cdots$ & $40+2=42$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
La dernière valeur de \texttt{S} est la valeur trouvée à la question précédente, à savoir 420.
\begin{rem}
Le fait de faire varier \texttt{n} de 0 à 19 est équivalent au fait de la faire varier de 1 à 20. On aurait donc pu écrire dans le programme, à la ligne 4 : \og \texttt{for n in range(1,21)} \fg. Ce qui compte est ici d'exécuter 20 fois les instructions à l'intérieur de la boucle.
\end{rem}
\end{enumerate}
