
\begin{enumerate}
\item Réponse \ref{prodscalapplexoq1b} On sait que :
\[
\prodscal{AB}{AC}=AB\times AC \times  \cos\angleor{AB}{AC} = 3\times6\times\cos\angleor{AB}{AC}=18\cos\angleor{AB}{AC}.
\]
D'après la relation D'Al-Kaschi,
\[
BC^2=AB^2+AC^2-2AB\times AB\times\cos\angle{A}
\]
donc:
\begin{align*}
\cos\angle{A} & \dfrac{BC^2-AB^2-AC^2}{-2AB \times AC}\\
& = \dfrac{5^2-3^2-6^2}{-2\times 3\times 6}\\
& = \dfrac{25-9-36}{-36} = \dfrac{5}{9}.
\end{align*}

Ainsi,
\[
\prodscal{AB}{AC}=18\times\dfrac{5}{9}=10.
\]

\item Réponse \ref{prodscalapplexoq2c} Dans le plan muni d'un repère, une équation cartésienne du cercle de centre $A\coord{-2}{3}$ et de rayon 4 est: $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ d'après la formule\linebreak $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, où \coord{a}{b} sont les coordonnées du centre du cercle, et $R$ son rayon.

\item Réponse \ref{prodscalapplexoq3d} Le triangle ABC est tel que $AB=5$, $AC=7$ et $\angle{BAC}=60\degres$.

D'après la formule d'Al-Kaschi, 
\begin{align*}
BC^2 & = AB^2 + AC^2 -2\times AB \times AC \times \cos\angle{BAC}\\
& = 5^2+7^2-2\times5\times7\times\cos60\circ\\
& = 25+49-70\times\dfrac{1}{2}\\
& = 74-35\\
& = 39\\
\Aboxed{BC &= \sqrt{39}}
\end{align*}

\item Réponse \ref{prodscalapplexoq4c} Le cercle $\mathcal{C}$ a pour équation $x^2-2x+y^2+y=3$ et la droite $\mathcal{D}$ pour équation $y=1$ donc s'il existe au moins un point d'intersection, ses coordonnées sont de la forme \coord{x}{1} ($y=1$ car il appartient à la droite d'équation $y=1$). Remplaçons $y$ par 1 dans l'équation du cercle:
\[
x^2-2x+1^2+1=3 \iff x^2-2x-1=0.
\]
Le discriminant du polynôme $x^2-2x-1$ est $\Delta=8>0$ donc cette dernière équation admet deux solutions réelles. Il y a donc deux points d'intersection.

\item Réponse \ref{prodscalapplexoq5b} En effet, un vecteur normal à la droite $(d)$ d'équation cartésienne\linebreak $2x-y+1 = 0$ est $\vv{n}\dbinom{2}{-1}$ donc une équation cartésienne de $(d_1)$ peut être de la forme $-1x-2y+c=0$ ou $x+2y+c=0$.
\end{enumerate}
