
\begin{itemize}
\item Montrons d'abord que $f$ est $\pi$-périodique.
\begin{align*}
f(x+\pi) & = \big[\sin(x+\pi)\big]^3\cos\big[3(x+\pi)\big]\\
& = \big[-\sin x\big]^3\cos(3x+3\pi)\\
& = -\sin^3x\cos(3x+\pi)\\
& = -\sin^3x\big[-\cos(3x)\big]\\
& = \sin^3x\cos(3x)\\
\Aboxed{f(x+\pi) & = f(x)}
\end{align*}

La fonction $f$ est donc $\pi$-périodique ; on peut donc restreindre l'intervalle d'étude de $f$ à un intervalle d'amplitude $\pi$, par exemple \intervFF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}.

\item Montrons que $f$ est impaire. Le domaine de définition de $f$ est centré en 0. De plus,
\begin{align*}
f(-x) & = \big[\sin(-x)\big]^3\cos(-3x)\\
& = \big[-\sin x\big]^3\cos(3x)\\
& = -\sin^3x\cos(3x)\\
\Aboxed{f(-x) & = -f(x)}
\end{align*}

La fonction $f$ est donc impaire ; on peut donc réduire l'intervalle d'étude précédent à sa moitié, donc à \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}.
\end{itemize}
