On considère la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\dfrac{2}{3u_n+1}
\end{cases}
\]

On considère alors l'algorithme suivant :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\ttfamily
U $\leftarrow$ 2\\
i $\leftarrow$ 0\\
Saisir la valeur de N\\
Tant que i<N:\\
\hspace*{5mm}i $\leftarrow$ i+1\\
\hspace*{5mm}U $\leftarrow$ 2/(3*U+1)\\
Fin du Tant que\\
Afficher U
\end{minipage}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un tableau, exécuter cet algorithme pour $N=4$.

Qu'affiche alors cet algorithme ?
\end{enumerate}

On considère la suite \suite{v}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[ 
v_n=\dfrac{u_n-\frac{2}{3}}{u_n+1}.
\]
\begin{enumerate}[start=2]
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

