
\begin{enumerate}
\item $ABCD$ est un parallélogramme tel que $AB=5$, $AD=3$ et $AC=6$.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, nous allons nous servir de la propriété \ref{prop:identités avec des normes}.
\begin{align*}
\prodscal{AB}{AD} & = \dfrac{1}{2}\Big(\|\vv{AB}+\vv{AD}\|^2-\|\vv{AB}\|^2-\|\vv{AD}\|^2 \Big)\\
& = \dfrac{1}{2}\Big(\|\vv{AC}\|^2-\|\vv{AB}\|^2-\|\vv{AD}\|^2 \Big)\\
& = \dfrac{1}{2}(6^2-5^2-3^2)\\
\Aboxed{\prodscal{AB}{AD}& = 1}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
\prodscal{AB}{AD} & = AB \times AD \times \cos\angleor{AB}{AD}\\
1 & = 5\times3\times\cos\angleor{AB}{AD}\\
\cos\angleor{AB}{AD} & = \dfrac{1}{15}\\
\Aboxed{\angleor{AB}{AD} & \approx 86^\circ}
\end{aligned}$
\end{enumerate}

\item $EFGH$ est un parallélogramme tel que $EF=6$, $EH=FH=5$.
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\prodscal{EF}{EH} & = \dfrac{1}{2}\Big(\|\vv{EF}\|^2+\|\vv{EH}\|^2-\|\vv{EF}-\vv{EH}\|^2 \Big)\\
& = \dfrac{1}{2}\Big(\|\vv{EF}\|^2+\|\vv{EH}\|^2-\|\vv{HF}\|^2 \Big)\\
& = \dfrac{1}{2}(6^2+5^2-5^2)\\
\Aboxed{\prodscal{EF}{EH} & = 18}
\end{aligned}$

\item  $\begin{aligned}[t]
\prodscal{EF}{EH} & = EF \times EH \times \cos\angleor{EF}{EH}\\
18 & = 6\times5\times\cos\angleor{EF}{EH}\\
\cos\angleor{EF}{EH} & = \dfrac{18}{30}\\
\angleor{EF}{EH} & \approx 53^\circ.
\end{aligned}$
\end{enumerate}

\item $IJKL$ est un parallélogramme tel que $IK=8,5$ et $JL=5$.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on va toujours utiliser la propriété \ref{prop:identités avec des normes}, mais pas la même égalité.
\begin{align*}
\prodscal{IJ}{IL} & = \dfrac{1}{4}\Big(\|\vv{IJ}+\vv{IL}\|^2-\|\vv{IJ}-\vv{IL}\|^2 \Big)\\
& = \dfrac{1}{4}\big( \|\vv{IK}\|^2-\|\vv{LJ}\|^2 \big)\\
& = \dfrac{1}{4}\big(8,5^2-5^2\big)\\
\Aboxed{\prodscal{IJ}{IL} & = \dfrac{189}{16}}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
\prodscal{IJ}{IK} & = \vv{IJ}\cdot\big(\vv{IJ}+\vv{IL}\big)\\
& = \prodscal{IJ}{IJ} + \prodscal{IJ}{IL}\\
& = IJ^2 + \dfrac{189}{16}.
\end{aligned}$

\item Par définition,
\[
\prodscal{IJ}{IK}=\|\vv{IJ}\| \times \|\vv{IK}\| \times \cos\angleor{IJ}{IK} = 8,5\times IJ \times \cos\angleor{IJ}{IK}.
\]
D'après la question précédente, ce même produit scalaire est égal à $IJ^2 + \dfrac{189}{16}$, donc
\[
IJ^2 + \dfrac{189}{16} = 8,5\times IJ \times \cos\angleor{IJ}{IK}\;,
\]
c'est-à-dire :
\[
\boxed{IJ^2 - 8,5\cos\angleor{IJ}{IK}IJ + \dfrac{189}{16}=0}\tag{E}
\]

\item L'équation $(E)$ est une équation quadratique d'inconnue $IJ$ qui admet au moins une solution (car le parallélogramme existe) donc son discriminant doit être supérieur ou égal à 0 :
\[
\big[8,5\cos\angleor{IJ}{IK}\big]^2-4\times1\times\dfrac{189}{16}\geqslant0
\]
soit :
\[
\cos^2\angleor{IJ}{IK}\geqslant\dfrac{189}{4}\times\dfrac{1}{8,5^2}
\]
et donc :
\[
\boxed{\cos^2\angleor{IJ}{IK}\geqslant \dfrac{189}{289}}
\]

\item D'après la question précédente, $\cos^2\angleor{IJ}{IK}\geqslant \dfrac{189}{289}$. 

Comme $0\leqslant \angleor{IJ}{IK} < 90^\circ$ (comme angle formé par un côté et une diagonale d'un parallélogramme), on en déduit que $\cos\angleor{IJ}{IK}>0$, d'où :
\[
\cos\angleor{IJ}{IK}\geqslant \sqrt{\dfrac{189}{289}}.
\]
Regardons sur le cercle trigonométrique ce que signifie l'inégalité $\cos\alpha\geqslant\lambda$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (3cm);
\draw (0,-3) -- (0,3);
\draw (-3,0) -- (3,0);
\draw[very thick,orange] ({3*sqrt(3)/2},0) node[below left] {$\lambda$}  -- (3,0);
\draw[very thick,orange] (-30:3) arc(-30:30:3cm);
\draw[dashed,orange] (-30:3) -- (30:3);
\draw[violet] (0,0) -- (-30:3);
\draw[violet] (0,0) -- (30:3);
\draw[violet] (-30:1) arc(-30:30:1);
\node[violet] at (5:1.2) {$\alpha$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
À la calculatrice, on trouve que l'angle positif dont le cosinus est égal à $\sqrt{\dfrac{189}{289}}$ est à peu près $36^\circ$.

\medskip

Ainsi, on a :
\[
\boxed{0\leqslant\angleor{IJ}{IK}\leqslant36^\circ}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
