\chapter{Dérivation et ses applications}


\section{Première approche historique}
\pagestyle{main}

\subsection*{Archimède}

Archimède de Syracuse ($-287$ -- $-212$) était un savant grec. Il semblerait qu'il fusse le premier à se pencher sur la notion de \textit{tangente} à une courbe, une droite qui \og frôle \fg{} une courbe et la touche en un seul point.

\subsection*{Torricelli}

Plusieurs siècles plus tard, l'italien Torricelli (1608 -- 1646) et le français Roberval (1602 -- 1675) continuèrent les travaux d'Archimède et apportèrent ainsi les premières notions sérieuses du calcul dit \textit{infinitésimal}.

\subsection*{Pierre de Fermat}

Le mathématicien français Pierre de Fermat (vers 1610 -- 1665), surnommé le \og prince des amateurs \fg{} car les mathématiques étaient pour lui plus un passe-temps qu'un métier, décrit ensuite la tangente comme la position limite d'une sécante à une courbe. C'est la définition qu'on utilise aujourd'hui (voir paragraphe II).

\subsection*{René Descartes}

René Descartes (1596 -- 1650), souvent très dur envers Fermat, critiquera le manque de rigueur de ce dernier ce qui pousse Fermat à clarifier et à étendre sa méthode.

\subsection*{En Angleterre : Wallis, Gregory, Barrow et Newton}

Les méthodes analytiques de Descartes et de Fermat ont beaucoup de succès en Angleterre et sont donc reprises par John Wallis (1616 -- 1707) et James Gregory (1638 -- 1675). Ceci pousse le mathématicien Issac Barrow (1630 -- 1677), le prédécesseur d'Isaac Newton (1643 -- 1727) à la chaire de mathématiques de l'université de Cambridge à développer une méthode des tangentes par le calcul, très proche de celle actuellement utilisée. Il expose cette méthode dans ses cours.

Puis les mathématiciens anglais Newton (1643 -- 1727) et allemand Leibniz (1646 -- 1716), indépendamment l'un de l'autre, inventent des procédés algorithmiques, ce qui tend à faire de l'analyse dite \textit{infinitésimale} une branche autonome des mathématiques. Newton publie en 1736 sa méthode la plus célèbre, la \textit{méthode des fluxions et des suites infinies}.

\subsection*{Blaise Pascal}

C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du XVII\ieme{} siècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait « touchantes ». Le marquis de l'Hospital contribuera à diffuser le calcul différentiel de Leibniz à la fin du XVII\ieme{} siècle grâce à son livre sur l'analyse des infiniment petits. Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales qui porte son nom) contribua également à l'essor de l'analyse différentielle.

Néanmoins cette théorie tout juste éclose n'est pas encore, à l'époque, pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait exigée, et notamment la notion d'infiniment petit introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable.

\subsection*{Jean le Rond d'Alembert}

C'est au XVIII\ieme{} siècle que Jean le Rond d'Alembert (1717 -- 1783)  introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problème. C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIX\ieme{} siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé.

\subsection*{Joseph-Louis Lagrange}

C'est au mathématicien français Joseph-Louis Lagrange (1736 -- 1813) que l'on doit la notation $f'(x)$, aujourd'hui usuelle, pour désigner le nombre dérivé de $f$ en  $x$. C'est aussi à lui qu'on doit le nom de « dérivée » pour désigner ce concept mathématique.

\bigskip

\begin{flushright}
Source : \href{https://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/les-developpements/798-une-histoire-du-calcul-differentiel-de-la-derivation-et-des-tangentes}{math93.com}.
\end{flushright}

\section{Nombre dérivé}
\enlargethispage*{2\baselineskip}

\subsection{Approche géométrique}

Considérons la courbe représentative $\cal C$ d'une fonction $f$, et un point A\coord{a}{f(a)}. 

Considérons ensuite un point M\coord{a+h}{f(a+h)} où $h\in\R$, et la droite $\cal D$ passant par $A$ et $M$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-2}{-1}{7}{6}
\draw[thick,red] plot[domain=0:7,samples=100] (\x,{-0.3*\x*\x+2*\x+1});
\fill[blue] (1,{-0.3+2+1}) circle (2pt) node[below right] {$A$};
\draw[dashed,blue] (1,0) node[below] {$a$} -- (1,{-0.3+2+1}) -- (0,{-0.3+2+1}) node[left] {$f(a)$};
\fill[purple] (4,{-0.3*16+2*4+1}) circle (2pt) node[above] {$M$};
\draw[dashed,purple] (4,0) node[below] {$a+h$} -- (4,{-0.3*16+2*4+1}) -- (0,{-0.3*16+2*4+1}) node[left] {$f(a+h)$};
\draw[<->,>=latex,,green!50!black] (1,-0.7) -- (4,-0.7) node[midway,fill=main] {$h$};
%\draw[thick,purple] plot[domain=-2:7] (\x,{(-0.3*16+2*4+1+0.3-2-1)*\x+(-0.3+2+1)-(-0.3*16+2*4+1+0.3-2-1)});
\draw[thick,purple] plot[domain=-2:7] (\x,{0.5*\x+2.2});
\node[red] at (6.5,0.5) {$\cal C$};
\node[purple] at (6.5,5.7) {$\cal D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

$\cal D$ est appelée la \textbf{sécante} à $\cal C$ passant par $A$ et $M$.

Le coefficient directeur de cette sécante est appelé le \textbf{taux d'accroissement} de $f$ entre $a$ et $a+h$; d'après la formule vue en classe de Seconde, il est égal à :
\[
\dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
\]


Si $M$ se rapproche de $A$, c'est-à-dire si $h$ se rapproche de 0, alors la droite $\cal D$ se rapproche d'une droite $\cal T$ (en \textcolor{green!50!black}{vert} ci-dessous) qui \og frôle \fg{} $\cal C$ et qui la touche au point $A$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-2}{-1}{7}{7}
\draw[thick,red] plot[domain=0:7,samples=100] (\x,{-0.3*\x*\x+2*\x+1});
\fill[blue] (1,{-0.3+2+1}) circle (2pt) node[below right] {$A$};
\foreach \h in {4,3,2}
{
\fill[purple] (\h,{-0.3*\h*\h+2*\h+1}) circle (2pt) node[above] {$M$};
\draw[thick,purple,dashed] plot[domain=-2:7] (\x,{((-0.3*\h*\h+2*\h+1-2.7)/(\h-1))*\x+(2.7-(-0.3*\h*\h+2*\h+1-2.7)/(\h-1)))});
}
\draw[thick,green!50!black] plot[domain=-2:7] (\x,{(-0.3*16+2*4+1+0.3-2-1)*\x+(-0.3+2+1)-(-0.3*16+2*4+1+0.3-2-1)});
\node[red] at (6.5,0.5) {$\cal C$};
\node[purple] at (6.5,5.7) {$\cal D$};
\node[green!50!black] at (3.3,6.5) {$\cal T$};
\end{tikzpicture}
\end{center}



Ainsi, le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ à $a+h$ se rapproche du coefficient directeur de $\cal T$. On dit que la \textit{limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0} est égal au coefficient directeur de $\cal T$, et on note :
\[
\limite{h}{0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\text{coefficient directeur de }{\cal T}.
\]

En prenant $f(x)=-0,3x^2+2x+1$, on peut alors écrire un programme (en Python par exemple) qui écrit les coefficients directeurs successifs de $\cal D$ quand $h$ se rapproche de 0 :

\bigskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{python}
def f(x):
    return -0.3*x*x+2*x+1

def coef(a):
    h = a
    while (h > 0):
        m = ( f(a+h) - f(a) ) / h
        print('h =' , h , ',' , 'm =', m)
        h = h - 0.01
        
coef(1)
\end{python}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{console}
...
h = 0.03999999999999925 , 
m = 1.387999999999993
h = 0.02999999999999925 , 
m = 1.3909999999999993
h = 0.019999999999999248 , 
m = 1.3939999999999921
h = 0.009999999999999247 , 
m = 1.3969999999999758
\end{console}
\end{minipage}

\subsection{Définition et exemples fondamentaux}

\subsubsection*{Définition}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et soit $a\in I$.

On définit le \textbf{nombre dérivé de $\pmb{f}$ en $\pmb{a}$} comme étant le nombre noté $f'(a)$ tel que :
\[ f'(a)=\limite{h}{0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]
\end{defin}


\subsubsection*{Exemples fondamentaux}

\begin{exemple}[la fonction carré]
Posons $f(x)=x^2$, et calculons le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, où $a$ est un nombre quelconque et $h>0$ :
\begin{align*}
\tau_a(h) &  = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
& = \dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\
& = \dfrac{\cancel{a^2}+2ah+h^2-\cancel{a^2}}{h}\\
& = \dfrac{\cancel{h}(2a+h)}{\cancel{h}}\\
& = 2a+h.
\end{align*}
Ainsi,
\[ f'(a)=\limite{h}{0}(2a+h)=2a+0=2a. \]
Quelle que soit la valeur de $a$, le nombre dérivé de $x^2$ en $a$ est $f'(a)=2a$.
\end{exemple}

\begin{exemple}[la fonction cube]
Posons $f(x)=x^3$, et calculons le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, où $a$ est un nombre quelconque et $h>0$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node at (0,0) {\begin{minipage}{5cm}$\begin{aligned}
\tau_a(h) &  = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
& = \dfrac{(a+h)^3-a^3}{h}\\
& = \dfrac{\textcolor{red}{\cancel{a^3}+3a^2h+3ah^2+h^3}-\cancel{a^3}}{h}\\
& = \dfrac{\cancel{h}(3a^2+3ah+h^2)}{\cancel{h}}\\
& = 3a^2+3ah+h^2+h.
\end{aligned}$\end{minipage}};
\draw[->,>=latex,red] (0.7,0.4) to [bend left=20] (5,2);
\node[red,right,draw,fill=white] (idrem) at (5,2) {$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$};
\drawshadow{idrem}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ainsi,
\[ f'(a)=\limite{h}{0}(3a^2+3ah+h^2+h)=3a^2. \]
Quelle que soit la valeur de $a$, le nombre dérivé de $x^3$ en $a$ est $f'(a)=3a^2$.
\end{exemple}






\begin{exemple}[la fonction racine carrée]
Posons $f(x)=\sqrt{x}$.
\begin{align*}
\tau_a(h) 
& = \dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}\\
& = \dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}\times\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{a+h}-\sqrt{a}\big)\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)}{h\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{a+h}\big)^2-\big(\sqrt{a}\big)^2}{h\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)}\\
& = \dfrac{a+h-a}{h\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)}\\
& = \dfrac{\cancel{h}}{\cancel{h}\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)}\\
& = \dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}.
\end{align*}
Ainsi,
\[ f'(a)=\limite{h}{0}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}. \]
Quelle que soit la valeur de $a$, le nombre dérivé de $\sqrt{x}$ en $a$ est $f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.
\end{exemple}

\begin{exemple}[la fonction inverse]
Posons $f(x)=\dfrac{1}{x}$.
\begin{align*}
\tau_a(h) &  = \dfrac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}\\
& = \dfrac{\frac{a}{a(a+h)}-\frac{a+h}{a(a+h)}}{h}\\
& = \dfrac{\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}\\
& = -\dfrac{\cancel{h}}{a(a+h)}\times\dfrac{1}{\cancel{h}}\\
& = -\dfrac{1}{a(a+h)}.
\end{align*}
Ainsi,
\[ f'(a)=\limite{h}{0}\left(-\dfrac{1}{a(a+h)}\right)=-\dfrac{1}{a^2}. \]
Quelle que soit la valeur de $a$, le nombre dérivé de $\dfrac{1}{x}$ en $a$ est $f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}$.
\end{exemple}

\subsection{Interprétations du nombre dérivé}

\subsubsection*{En physique}

Imaginons un corps en chute libre, lâché sans vitesse initiale.

La distance qu'il parcourt en $t$ secondes est égale à $d(t)=5t^2$.

Sa vitesse moyenne entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est :
\[
v = \dfrac{d(t_2)-d(t_1)}{t_2-t_2}
\]
car $v = \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}$. On peut aussi noter :
\[
d = \dfrac{\Delta d}{\Delta t}\,,
\]
\og $\Delta$ \fg{}  désignant ici la variation (et non le discriminant).

\medskip

La \textbf{vitesse instantanée} est la vitesse à un instant donné. Ainsi, la vitesse instantanée à l'instant $t$ peut être vue comme étant égale à $\limite{h}{0}\dfrac{d(t+h)-d(t)}{h}$, donc égale à $v'(t)$.

\medskip

Le nombre dérivé peut donc être perçu comme une vitesse instantanée.
En liaison avec la notation $\dfrac{\Delta d}{\Delta t}$ (pour le taux d'accroissement), on peut aussi noter :
\[
v'(t)=\dfrac{\text{d}d(t)}{\dx[t]}.
\]


\subsubsection*{En économie}

On définit le \textbf{coût marginal de production} comme le coût supplémentaire induit par la dernière unité produite. Si $C$ représente le coût total, on note $C_m$ le coût marginal associé.

Le coût marginal sert à évaluer s'il est rentable d'accepter une commande supplémentaire.

\medskip

On peut alors exprimer  le coût marginal par :
\[ C_m(x)=\limite{h}{0}\dfrac{C(x+h)-C(x)}{(x+h)-x}=\limite{h}{0}\dfrac{C(x+h)-C(x)}{h}.\]
On s'aperçoit que le coût marginal n'est rien d'autre que le nombre dérivé du coût total.

\newpage

\section{\'Equation de la tangente}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Soit $\cal C$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$. Soit $a\in I$.

\medskip

On appelle \textbf{tangente à $\pmb{\cal C}$ au point d'abscisse $\pmb{a}$} la droite de coefficient directeur $f'(a)$ passant par le point de coordonnées \coord{a}{f(a)}.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-2}{-1}{7}{7}
\draw[thick,red] plot[domain=0:7,samples=100] (\x,{-0.3*\x*\x+2*\x+1});
\fill[blue] (1,{-0.3+2+1}) circle (2pt) node[below right] {$A$};
\draw[thick,green!50!black] plot[domain=-2:7] (\x,{(-0.3*16+2*4+1+0.3-2-1)*\x+(-0.3+2+1)-(-0.3*16+2*4+1+0.3-2-1)});
\node[red] at (6.5,0.5) {$\cal C$};
\node[green!50!black] at (3.3,6.5) {$\cal T$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

$\cal T$ est ici la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse 1.
\end{exemple}

\subsection{\'Equation}

\begin{prop}
Soit $\cal C$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$. Soit $a\in I$.

\medskip

L'équation réduite de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse $a$ est :
\[
y = f'(a)(x-a)+f(a).
\]
\end{prop}

\newpage

\begin{demo}
Par définition, le coefficient de la tangente est $f'(a)$ donc l'équation réduite de la tangente est de la forme :
\[
y=f'(a)x + p.
\]
On sait de plus que le point de coordonnées \coord{a}{f(a)} est sur $\cal C$ donc ses coordonnées vérifient l'équation : 
\[
f(a)=f'(a)\times a + p
\]
donc :
\[
p=f(a)-af'(a).
\]
Ainsi, l'équation réduite de la tangente est :
\[
y = f'(a)x + f(a)-af'(a)
\]
soit, en factorisant une partie du second membre par $f'(a)$ :
\[
y = f'(a)(x-a)+f(a).
\]
\end{demo}

\section{Fonction dérivée}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

On définit la \textbf{fonction dérivée de $\pmb{f}$} comme étant la fonction :
\[
f'\;:\; x \longmapsto f'(x)
\]
où $f'(x)$ est le nombre dérivé de $f$ en $x$.

\bigskip

Si $f'(x)$ est définie sur un intervalle $J$ inclus dans $I$ alors on dit que $f$ est \textbf{dérivable sur $\pmb{J}$}.
\end{defin}

\subsection{Dérivées de référence}
\enlargethispage*{3em}
\begin{prop}
D'après les exemples \ref{exemple:la fonction carré}, \ref{exemple:la fonction cube}, \ref{exemple:la fonction racine carrée} et \ref{exemple:la fonction inverse}, on peut écrire :
\begin{enumerate}
\item Si $f(x)=x^2$ alors $f'(x)=2x$ sur \R.
\item Si $f(x)=x^3$ alors $f'(x)=3x^2$ sur \R.
\item Si $f(x)=\sqrt{x}$ alors $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ sur \intervOF{0}{+\infty} (la fonction n'est pas dérivable en 0).
\item Si $f(x)=\dfrac{1}{x}$ alors $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ sur $\intervOO{-\infty}{0}$ et sur $\intervOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}
De plus,
\begin{enumerate}[start=5]
\item Si $f(x)=x^n$, $n\in\Z$, alors $f'(x)=nx^{n-1}$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\subsection{Dérivée d'une fonction composée}

\begin{prop}
Soit la fonction $x\mapsto g(ax+b)$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

Alors, sa fonction dérivée est :
\[
x\longmapsto ag'(ax+b).
\]
\end{prop}


\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{-5x+20}$, définie sur \intervOF{-\infty}{4}.

Ici, $g(x)=\sqrt{x}$ et $f(x)=g(-5x+20)$.

\medskip

$g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $f'(x)=-5g'(-5x+20)$ soit :
\[
f'(x)=\dfrac{-5}{2\sqrt{-5x+20}},\ \text{définie sur }\intervOO{-\infty}{4}.
\]

\item $f(x)=\dfrac{1}{4x+12}$, définie sur $\R\setminus\{-3\}$.

Ici, $g(x)=\dfrac{1}{x}$ et $f(x)=g(4x+12)$.

\medskip

$g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(x)=4g'(4x+12)$ soit :
\[
f'(x)=-\dfrac{4}{(4x+12)^2},\ \text{définie sur }\R\setminus\{-3\}.
\]
\end{enumerate}
\end{exemple}

\section{Fonction valeur absolue}

\subsection{Définition (rappel de Seconde)}

\begin{defin}
Pour tout réel $x$, on définit la \textbf{valeur absolue de $\pmb{x}$}, et on note $|x|$, par :
\[
|x|=\begin{cases}
x & \text{si }x\geqslant0\\
-x & \text{si }x<0.
\end{cases}
\]
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $|-5|=5$ car $-5<0$.
\item $|3|=3$ car $3\geqslant0$.
\item $|0|=0$.
\item $|\pi|=\pi$ car $\pi\geqslant0$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exemple}

\subsection{Courbe représentative}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-5}{-1}{5}{5}
\draw[thick,red] plot[domain=-5:5] (\x,{abs(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Dérivée}

\begin{prop}
Soit $f(x)=|x|$. Alors,
\[
f'(x)=\begin{cases}
-1 & \text{si }x<0\\
1  & \text{si }x>0
\end{cases}
\]
et $f'(0)$ n'existe pas.
\end{prop}

\begin{rem}
On dit que la fonction n'est pas dérivable en 0.
\end{rem}

\begin{demo}
D'après la relation $(x^n)^\prime = nx^{n-1}$, on sait que la dérivée de $x \mapsto x$ est $x \mapsto 1$, et celle de $x\mapsto-x$ est $x\mapsto-1$.

\medskip

Or, si $x<0$, $|x|=-x$ donc sur $\intervOO{-\infty}{0}$, la dérivée de $x\mapsto|x|$ est celle de $x\mapsto-x$, c'est-à-dire $x\mapsto-1$.

\medskip

De plus,  si $x>0$, $|x|=x$ donc sur $\intervOO{0}{+\infty}$, la dérivée de $x\mapsto|x|$ est celle de $x\mapsto x$, c'est-à-dire $x\mapsto1$.

\bigskip

Le nombre dérivé de $x\mapsto|x|$ à gauche de 0 est donc égal à $-1$ alors que celui à droite de 0 vaut $1$. Ainsi, en 0, il n'y a pas le même nombre dérivé à gauche et à droite :\linebreak $f'(0)$ n'existe donc pas.
\end{demo}

\newpage
\section{Opérations sur les dérivées}

\begin{prop}[formules usuelles]
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.
\begin{enumerate}
\item $(ku)' = ku'$\\[-10pt]
\item $(u+v)' = u' + v'$.\\[-10pt]
\item $(u-v)' = u' - v'$.\\[-10pt]
\item $(uv)' = u'v+uv'$.\\[-5pt]
\item $\left(\dfrac{u}{v}\right)^\prime = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{exemple}[produit d'un nombre et d'une fonction]
$f(x)=3x^2$. On pose alors $u(x)=x^2$ et $k=3$. Comme $u'(x)=2x$, on a :
\[
f'(x)=3 \times 2x = 6x.
\]
\end{exemple}

\begin{exemple}[somme]
$f(x)=4x^3+5x^2+3x+1$. Pour calculer $f'(x)$, on calcule la dérivée de chaque terme :
\begin{align*}
f'(x) & = (4x^3)' + (5x^2)' + (3x)' + (1)'\\
& = 4\times3x^2+5\times2x+3\times1+0\\
& = 12x^2+10x+3.
\end{align*}
\end{exemple}

\begin{exemple}[différence]
$f(x)=8x^5-5x^2$. Pour calculer $f'(x)$, on calcule la dérivée de chaque terme :
\begin{align*}
f'(x) & = (8x^5)' - (5x^2)'\\
& = 8\times5x^4 - 5\times2x\\
& = 40x^4-10x.
\end{align*}
\end{exemple}


\begin{exemple}[produit de deux fonctions]
$f(x)=(3x+1)\sqrt{2x+5}$. On pose :

\medskip

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\begin{multicols}{2}
$u(x)=3x+1$

$u'(x)=3$

$v(x)=\sqrt{2x+5}$

$v'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+5}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+5}}$
\end{multicols}
\end{minipage}
\end{center}

\medskip

D'où :
\begin{align*}
f'(x)&=3\times\sqrt{2x+5} + (3x+1)\times\dfrac{1}{\sqrt{2x+5}}\\
& = 3\sqrt{2x+5}+\dfrac{3x+1}{\sqrt{2x+5}}\\
& = \dfrac{3\sqrt{2x+5}\times\sqrt{2x+5}+(3x+1)}{\sqrt{2x+5}}\\
& = \dfrac{3(2x+5)+3x+1}{\sqrt{2x+5}}\\
& = \dfrac{9x+16}{\sqrt{2x+5}}.
\end{align*}
\end{exemple}

\begin{exemple}[quotient de deux fonctions]
$f(x)=\dfrac{3x^2-5x+2}{x+3}$. On pose :

\medskip

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\begin{multicols}{2}
$u(x)=3x^2-5x+2$

$u'(x)=6x-5$

$v(x)=x+3$

$v'(x)=1$
\end{multicols}
\end{minipage}
\end{center}

\medskip

D'où :

\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{(6x-5)\times(x+3)-(3x^2-5x+2)\times1}{(x+3)^2}\\
& = \dfrac{6x^2+18x-5x-15-3x^2+5x-2}{(x+3)^2}\\
& = \dfrac{3x^2+18x-17}{(x+3)^2}.
\end{align*}

\begin{rem}
On ne développe pratiquement jamais le carré au dénominateur; nous verrons que cela à une utilité dans le paragraphe \og Applications de la dérivation \fg.
\end{rem}
\end{exemple}
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\begin{demo}[du point 4 de la propriété \ref{prop:formules usuelles}]
Calculons le taux d'accroissement de la fonction $uv$ en $a$ :
\begin{align*}
\tau_a(h) & = \dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}\\
& = \dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}\\
& = \dfrac{\textcolor{purple}{u(a+h)v(a)}-u(a)v(a)\textcolor{purple}{-u(a+h)v(a)}+u(a+h)v(a+h)}{h}
\end{align*}
(On a ici fait apparaître $u(a+h)v(a)$)

\begin{align*}
\tau_a(h) & = \dfrac{\big[u(a+h)-u(a)\big]v(a)+u(a+h)\big[v(a+h)-v(a)\big]}{h}\\
& = \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}v(a)+u(a+h)\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\;.
\end{align*}
Or,
\[ \lim_{h\to0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a),\ \lim_{h\to0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)\text{ et }\lim_{h\to0}u(a+h)=u(a).\]
Ainsi, 
\[
\lim_{h\to0}\tau_a(h)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a).\]
Donc $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.
\end{demo}

\section{Applications de la dérivation}

\subsection{Variation d'une fonction}

\begin{prop}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item $f$ est strictement croissante sur $I$ $\iff$ $f'(x)>0$ pour tout $x$ de $I$.
\item $f$ est strictement décroissante sur $I$ $\iff$ $f'(x)<0$ pour tout $x$ de $I$.
\end{itemize}
\end{prop}

\paragraph*{Conséquence:} \mbox{pour étudier les variations d'une fonction, il suffit d'étudier le signe de sa dérivée.}

\begin{exemple}
Soit $f(x)=3x^3-5x^2+4x-1$.

Sa dérivée est : $f'(x)=9x^2-10x+4$. C'est un polynôme de degré 2, dont le discriminant est :
\[
\Delta = (-10)^2-4\times9\times4=-44<0.
\]
Ainsi, $f'(x)$ est du signe du coefficient de $x^2$, c'est-à-dire ici positif.
\[ \forall x \in\R,\ f'(x)>0 \text{ donc $f$ est strictement croissante sur }\R. \]
\end{exemple}

\newpage

\subsection{Extremum local}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Soit $a\in I$.

On dit que $f$ admet un \textbf{extremum local} en $a$ si $f'(a)=0$ et si, pour $h\neq0$, $f'(a-h)$ et $f'(a+h)$ n'ont pas le même signe.

\medskip

Cet extremum local peut être :

\begin{itemize}
\item un \textbf{minimum} si $\begin{cases}f'(x)<0 & \text{pour }x<a\\f'(x)>0 & \text{pour }x>a \end{cases}$ ;
\item un \textbf{maximum} si $\begin{cases}f'(x)>0 & \text{pour }x<a\\f'(x)<0 & \text{pour }x>a \end{cases}$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{exemple}
Considérons la fonction $f(x)=-2x^3-20x^2+x+2$.

Sa dérivée est : $f'(x)=-6x^2-40x+1$, dont le discriminant est :
\[
\Delta = (-40)^2-4\times(-6)\times1=\numprint{1624}>0.
\]
$f'(x)$ admet donc deux racines distinctes :
\[
x_1=\dfrac{-20+\sqrt{406}}{6}\quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{-20-\sqrt{406}}{6}.
\]
On déduit alors le tableau de variations suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=exemple!20,colorL=exemple!20,colorV=exemple!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{$-\infty$,$\frac{-20-\sqrt{406}}{6}$,$\frac{-20+\sqrt{406}}{6}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\tkzTabVar{+/,-/\textcolor{red}{$f(x_2)$},+/\textcolor{green!50!black}{$f(x_1)$},-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\node[below right,draw=red,fill=red!20,shape=ellipse,text=red] (n) at ($(tab.south)+(-4,-1)$) {$f(x_2)$};
\node[below,red] at (n.south) {est un minimum local.};
\draw[->,>=latex,red] (n.east) to[bend right=20] ($(tab.south)+(-0.5,0.2)$);
%
\node[below,draw=green!50!black, shape=ellipse, text=green!50!black,fill=green!50!black!20] (m) at ($(tab.south)+(4,-0.5)$) {$f(x_1)$};
\node[below,green!50!black] at (m.south) {est un maximum local.};
\draw[->,>=latex,green!50!black] (m.west) to[bend left=30] ($(tab.south)+(2.5,0.75)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\subsection{Méthode de Newton}

La méthode de Newton est un algorithme permettant d'obtenir une valeur approchée d'une solution à une équation du type $f(x)=0$.

\bigskip

Voyons à travers un exemple son principe. Considérons la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=0,25x^2 + 0,4x-3
\]
dont la courbe représentative est donnée page suivante.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.45]
\draw[dashed,gray] (-5,-4) grid (10,14);
\draw[->,>=latex,thick] (-5,0) -- (10,0);
\draw[->,>=latex,thick] (0,-4) -- (0,14);
\draw[thick,red,->,>=latex] (0,0) -- (0,1) node[midway,left]
 {$\vv{\jmath}$};
 \draw[thick,red,->,>=latex] (0,0) -- (1,0) node[midway,below]
 {$\vv{\imath}$};
 \clip (-5,-4) rectangle (10,14);
 \draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-5:10,samples=100] (\x,{0.25*\x*\x+0.4*\x-3});
\fill[orange] (7,{0.25*7*7+0.4*7-3}) circle (3pt) node[right] {$M_0$};
\draw[thick,orange] plot[domain=0:10] (\x,{3.9*(\x-7)+12.05});
\fill[green!50!black] (3.91,0) circle (3pt) node[below right] {$a_1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Prenons un point $M_0$ sur cette courbe dont l'abscisse $x_0$ est supérieure à 3, et traçons la tangente à la courbe en ce point : elle coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse $a_1$.

\bigskip

Maintenant, prenons le point $M_1$ de coordonnées \coord{a_1}{f(a_1)}, puis traçons la tangente à la courbe en $M_1$ : elle coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse $a_2$, comme l'illustre le schéma suivant.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.45]
\draw[dashed,gray] (-5,-4) grid (10,14);
\draw[->,>=latex,thick] (-5,0) -- (10,0);
\draw[->,>=latex,thick] (0,-4) -- (0,14);
\draw[thick,red,->,>=latex] (0,0) -- (0,1) node[midway,left]
 {$\vv{\jmath}$};
 \draw[thick,red,->,>=latex] (0,0) -- (1,0) node[midway,below]
 {$\vv{\imath}$};
 \clip (-5,-4) rectangle (10,14);
 \draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-5:10,samples=100] (\x,{0.25*\x*\x+0.4*\x-3});
 %
\fill[orange] (7,{0.25*7*7+0.4*7-3}) circle (3pt) node[right] {$M_0$};
\draw[thick,orange] plot[domain=0:10] (\x,{3.9*(\x-7)+12.05});
\fill[green!50!black] (3.91,0) circle (3pt) node[below right] {$a_1$};
%
\fill[purple] (3.91,{0.25*3.91*3.91+0.4*3.91-3}) circle (3pt) node[above left] {$M_1$};
\draw[thick,purple] plot[domain=0:10] (\x,{2.355*(\x-3.91)+2.39});
\fill[green!50!black] (2.9,0) circle (3pt) node[above left] {$a_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On continue ainsi de façon analogue, et on peut remarquer que les nombres $a_1$, $a_2$, $a_3$, \ldots ainsi obtenus se rapprochent de l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

De plus, cela semble se rapprocher très vite; cela laisse à supposer que cette méthode est plutôt bonne pour trouver une valeur approchée de la solution positive à l'équation $f(x)=0$... 

\bigskip

Cette méthode, qui consiste à faire plusieurs fois la même chose mais pour avec des valeurs qui changent, nous pousse à écrire un algorithme calculant les valeurs successives $a_0$, $a_1$, \ldots

Mais avant cela, nous avons besoin de \textit{formaliser} le problème.

\subsubsection*{Formalisation}

Supposons connu la valeur de $a_n$; alors $M_{n+1}\coord{a_n}{f(a_n)}$.

L'équation de la tangente à la courbe au point $M_{n+1}$ sera alors :
\[
y = f'(a_n)(x-a_n)+f(a_n).
\]
$a_{n+1}$ est donc la solution de l'équation :
\[
0 = f'(a_n)(x-a_n)+f(a_n).
\]
Autrement dit, 
\begin{align*}
0 = f'(a_n)(a_{n+1}-a_n)+f(a_n) 
& \iff -f(a_n) = f'(a_n)(a_{n+1}-a_n)\\
& \iff -\dfrac{f(a_n)}{f'(a_n)}=a_{n+1}-a_n\\
& \iff \boxed{a_{n+1} = a_n-\dfrac{f(a_n)}{f'(a_n)}}
\end{align*}

\subsubsection*{Algorithme}

Nous avons désormais une égalité qui permet de calculer $a_{n+1}$ à partir de $a_n$; nous pouvons donc écrire un algorithme qui calcule une série de valeurs à partir de la simple valeur de $a_0$ correspondant à l'abscisse du point $M_0$ :

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\fbox{\begin{minipage}{0.95\linewidth}
\ttfamily
a prend la valeur 7 (abscisse de $M_0$)\\
Pour i allant de 1 à 10:\\
\hspace*{5mm} a prend la valeur a-f(a)/f'(a)\\
Fin du Pour\\
Afficher a
\end{minipage}}

\medskip


\begin{console}
a = 2.7552777669262354
\end{console}

\vspace*{1.3cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{python}
def f(x):
    return 0.25*x*x+0.4*x-3

def g(x):
    return 0.5*x+0.4

a = 7
for i in range(10):
    a = a - f(a)/g(a)
print('a = ',a)
\end{python}
\end{minipage}


\exercices


\subsection*{Nombre dérivé et tangente}
\enlargethispage*{2\baselineskip}

\begin{exocor}{lectures graphiques} % 01
Pour chacune des questions suivantes, on donne la représentation graphique d'une fonction $f$ (en rouge) et la tangente à cette représentation au point d'abscisse $a$. 

Déterminer graphiquement $f'(a)$, puis écrire l'équation réduite de la tangente tracée.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item $a=1$.

\vspace*{-7mm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1]
\rep{-2}{-1}{3}{3}
\draw[red] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{\x*\x*\x-2*\x+1});
\draw[blue] plot[domain=0:3] (\x,{\x-1});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\bigskip

\item $a=0$.

\vspace*{-7mm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-1}{-0.5}{10}{2}
\draw[red] plot[domain=-0.95:10,samples=150] (\x,{1/sqrt(\x+1)});
\draw[blue] plot[domain=-1:3] (\x,{-0.5*\x+1});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\bigskip

\item $a=1$.

\vspace*{-7mm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-1}{-1}{10}{2}
\draw[red] plot[domain=-0.95:10,samples=150] (\x,{(\x-1)/(\x+1)});
\draw[blue] plot[domain=-1:10] (\x,{0.5*\x-0.5});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\bigskip

\item $a=2$.

\vspace*{-7mm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\rep{-1}{-1.5}{5}{3}
\draw[red] plot[domain=-1:5,samples=150] (\x,{\x*\x-4*\x+3});
\draw[blue] plot[domain=-1:5] (\x,-1);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\tcblower

Dans cet exercice, il faut avoir en t\^ete que le nombre dérivé d'une fonction en un point $a$ est le coefficient directeur de la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.

Il faut donc, pour chaque question, regarder la tangente à la courbe tracée en rouge au point d'abscisse $a$ donné.

\begin{enumerate}
\item Ici, la tangente a pour coefficient directeur 1. Donc $f'(1)=1$.

Ainsi, la tangente tracée a pour équation réduite :
\[
\boxed{y=x-1}
\]

(N'oublions pas que dans l'équation d'une droite $y=mx+p$, $p$ désigne l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées).


\item Ici, le coefficient directeur de la tangente tracée est $-\dfrac{1}{2}$. En effet, les points A\coord{0}{1} et B\coord{2}{0} sont sur la tangente donc :
\[
m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0-1}{2-0}=-\dfrac{1}{2}.
\]

Ainsi, $f'(0)=-\dfrac{1}{2}$.

L'équation réduite de la tangente sera alors :
\[
\boxed{y=-\dfrac{1}{2}x+1}
\]

\item Ici, le coefficient directeur de la tangente est $\dfrac{1}{2}$, donc $f'(1)=\dfrac{1}{2}$.

L'équation réduite de la tangente sera alors :
\[
\boxed{y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac12}
\]

\item Ici, la tangente est horizontale donc son coefficient directeur est égal à 0.

L'équation de la tangente est alors :
\[
\boxed{y=-1}
\]
\end{enumerate}

\vspace*{3cm}~
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\newpage
\begin{exocor}{calcul avec taux d'accroissement} % 2
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer $f'(a)$ puis trouver l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f(x)=x^2$, $a=2$
\item $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $a=1$
\item $f(x)=x^2-2x+3$, $a=-1$
\item $f(x)=\sqrt{x}$, $a=4$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2$, $a=2$.

\begin{itemize}
\item Calcul de $f'(2)$.

Le taux d'accroissement de $f$ en 2 est :
\begin{align*}
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} & = \dfrac{(2+h)^2-2^2}{h}\\
& = \dfrac{(2+h-2)(2+h+2)}{h}\\
&= \dfrac{\cancel h(4+h)}{\cancel h}\\
& = 4+h.
\end{align*}

Ainsi, le nombre dérivé de $f$ en 2 est :
\[ 
f'(2)=\limite{h}{0}{(4+h)}=4.
\]

\item L'équation de la tangente au point d'abscisse 2 est alors :
\begin{align*}
y & = f'(a)(x-a)+f(a)\\
y & = f'(2)(x-2)+f(2)\\
y & =4(x-2)+4\\
y & = 4x-8+4\\
\Aboxed{y & = 4x-4}
\end{align*}
\end{itemize}

\item $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $a=1$.

\begin{itemize}
\item Calcul de $f'(1)$.

Le taux d'accroissement de $f$ en 1 est :

\begin{align*}
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} & = \dfrac{\frac{1}{1+h}-\frac11}{h}\\
& = \dfrac{\frac{1}{1+h}-\frac{1+h}{1+h}}{h}\\
&= \dfrac{\frac{-h}{1+h}}{h}\\
& = -\dfrac{\cancel h}{\cancel h(1+h)}\\
& = -\dfrac{1}{1+h}.
\end{align*}

Ainsi, le nombre dérivé de $f$ en 1 est :
\[ 
f'(1)=\limite{h}{0}{\left(-\dfrac{1}{1+h}\right)}=-1.
\]

\item L'équation de la tangente au point d'abscisse 1 est alors :
\begin{align*}
y & = f'(a)(x-a)+f(a)\\
y & = f'(1)(x-1)+f(1)\\
y & =-1(x-1)+1\\
y & = -x+1+1\\
\Aboxed{y & = -x+2}
\end{align*}
\end{itemize}


\item $f(x)=x^2-2x+3$, $a=-1$.

\begin{itemize}
\item Calcul de $f'(-1)$.

Le taux d'accroissement de $f$ en $-1$ est :

\begin{align*}
\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h} & = \dfrac{(-1+h)^2-2(-1+h)+3-\big((-1)^2-2\times(-1)+3\big)}{h}\\
& = \dfrac{h^2-2h+1+2-2h+3-6}{h}\\
&= \dfrac{h^2-4h}{h}\\
& = \dfrac{\cancel h(h-4)}{\cancel h}\\
& = h-4.
\end{align*}

Ainsi, le nombre dérivé de $f$ en $-1$ est :
\[ 
f'(-1)=\limite{h}{0}{(h-4)}=-4.
\]

\item L'équation de la tangente au point d'abscisse $-1$ est alors :
\begin{align*}
y & = f'(a)(x-a)+f(a)\\
y & = f'(-1)(x+1)+f(-1)\\
y & =-4(x+1)+6\\
y & = -4x-4+6\\
\Aboxed{y & = -4x+2}
\end{align*}
\end{itemize}
\vspace*{5cm}
\item $f(x)=\sqrt{x}$, $a=3$.

\begin{itemize}
\item Calcul de $f'(3)$.

Le taux d'accroissement de $f$ en $4$ est :

\begin{align*}
\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h} & = \dfrac{\sqrt{4+h}-\sqrt{4}}{h}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{4+h}-2\big)\big(\sqrt{4+h}+2\big)}{h}\\
&= \dfrac{h^2-4h}{h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}\\
& = \dfrac{4+h-4}{h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}\\
& = \dfrac{\cancel h}{\cancel h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}\\
& = \dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}.
\end{align*}

Ainsi, le nombre dérivé de $f$ en $4$ est :
\[ 
f'(4)=\limite{h}{0}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}\right)}=\dfrac{1}{4}.
\]

\item L'équation de la tangente au point d'abscisse $4$ est alors :
\begin{align*}
y & = f'(a)(x-a)+f(a)\\
y & = f'(4)(x-4)+f(4)\\
y & =\dfrac{1}{4}(x-4)+2\\
y & = \dfrac{1}{4}x-1+2\\
\Aboxed{y & = \dfrac 14x+1}
\end{align*}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{lectures graphiques et raisonnement} % 3
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[dashed] (-2,-4) grid (6,2);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-2,0) -- (6,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-4) -- (0,2);
\clip (-2,-4) rectangle (6,2);
\draw[blue,thick] plot[domain=-2:5.2,samples=100] (\x,-0.5*\x*\x+2*\x-1) node[above left] {$\mathcal{C}_f$};
\draw[thick,red] plot[domain=-0:6] (\x,-2*\x+7);
\node[red] at (5.75,-3.8) {$\mathcal{T}$};
\node[left,fill=pageenonce!30] at (0,1) {1};
\node[below,fill=pageenonce!30] at (1,-0.2) {1};
\draw[thick] (1,-0.1) -- (1,0.1);
\draw[thick] (-0.1,1) -- (0.1,1);
\node[above] at (.5,0) {A};
\node[below] at (3.4,0) {B};
\end{tikzpicture}
\end{center}

La courbe ci-dessus représente la fonction $f$ dont l'expression est de la forme :
\[ f(x)=ax^2+bx+c. \]
\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement les valeurs : $f(0)\quad ;\quad f(2)\quad;\quad f'(2)\quad ; \quad f(4)\quad ; \quad f'(4)$.
\item Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à l'aide des valeurs trouvées précédemment.
\item Calculer l'abscisse des points A et B.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item $f(0)=-1$ ; 
\item $f(2)=1$ ; 
\item $f'(2)=0$ car la fonction atteint un maximum pour $x=2$ ;
\item $f(4)=-1$ ;
\item $f'(4)=-2$ (coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4).
\end{itemize}

\item 
\begin{itemize}
\item $f(0)=a\times0^2+b\times0+c=c$ ; donc $c=-1$ d'après la question précédente (1\ier{} point).

\item $f'(x)=2ax+b$ et $f'(2)=4a+b$ ; donc $4a+b=0$, soit $b=-4a$.

\item $f(2)=1$ donc $4a+2b-1=1$, soit $-b+2b=2$ d'après le point précédent. Ainsi, $b=2$.

\item $f'(4)=8a+b=-2$ donc $8a=-4$, soit $b=-\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}

\underline{Finalement, on a : $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x-1$.}

\item L'abscisse des points A et B sont les solutions de l'équation $f(x)=0$.

\[ \Delta=2^2-4\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times(-1)=4-2=2.\]
Ainsi,

\begin{multicols}{2}
\[ x_B=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\]
\[ x_B=\dfrac{-2-\sqrt{2}}{-1}\]
\[ \underline{x_B=2+\sqrt{2}}\]

\columnbreak

\[ x_A=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\]
\[ x_A=\dfrac{-2+\sqrt{2}}{-1}\]
\[ \underline{x_A=2-\sqrt{2}}\]
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{exocor}{trouver des coefficients} % 4
On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre nombres réels.

On sait que :
\begin{itemize}
\item le point $A\coord{1}{-1}$ appartient à $\mathcal{C}_f$ ;
\item la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ a pour équation : $y=-2x+1$ ;
\item $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 2 ;
\item $f'(0)=-5$
\end{itemize}

Déterminer les valeurs de $a$, $b$, $c$ et $d$ à l'aide de ces informations.

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item $A\coord{1}{-1}\in\mathcal{C}_f$ donc $f(1)=-1$, soit :
\begin{equation}
a+b+c+d=-1\label{deriv-eq-1}
\end{equation}

\item la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ a pour équation : $y=-2x+1$ donc $f'(1)=-2$, soit :

\begin{equation}
3a+2b+c=-2\label{deriv-eq-2}
\end{equation}

\item $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 2 donc $f(0)=2$, d'où :
\[ d=2.\]

\item $f'(0)=-5$ et $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ donc :
\[
c=-5.
\]
\end{itemize}

Les équations \ref{deriv-eq-1} et \ref{deriv-eq-2} donnent alors le système suivant :

\[
\begin{cases}
a+b=-1-(-5)-2=2\\
3a+2b=-2-(-5)=3
\end{cases}
\]
soit :
\[
\begin{cases}
a=2-b\\
3(2-b)+2b=3
\end{cases}
\]
La seconde équation donne alors :
\[ 
6-b=3\qquad\text{soit~:}\qquad b=3.
\]
La première équation donne alors :
\[ 
a=2-3=-1.
\]

On obtient finalement :
\[
\boxed{f(x)=-x^3+3x^2-5x+2.}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{exocor}{d'après les courbes} % 5
On considère les fonctions $f$ et $g$ dont les courbes représentatives sont données ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw[gray,dashed] (-5,-4) grid (5,5);
\clip (-5,-4) rectangle (5,5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-5,0) -- (5,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-4) -- (0,5);
\node[below left] at (0,0) {O};
\node[below] at (1,0) {1};
\node[left] at (0,1) {1};
\draw[thick,violet] plot[domain=-5:3.9,samples=100] (\x,{0.125*(\x*\x*\x+3*\x*\x-10*\x-24)}) node[below right,outer ysep=1em] {$\mathcal{C}_f$};
\fill (-4,0) circle (2pt) node[above left] {A};
\fill (-2,0) circle (2pt) node[above right] {B};
\fill (0,-3) circle (2pt) node[below left] {C};
\fill (2,-3) circle (2pt) node[below right] {D};
\fill (3,0) circle (2pt) node[below right] {E};
\draw[thick,purple] plot[domain=-5:3.7,samples=100] (\x,{-\x*\x*\x/16-3*\x*\x/32+3*\x/8-1}) node[above right,outer ysep=0.5em] {$\mathcal{C}_g$};
\fill (-2,-13/8) circle (2pt) node[below right] {F};
\draw[<->,>=stealth'] (-2.75,-13/8) -- (-1.25,-13/8);
\fill (1,-25/32) circle (2pt) node[above right] {G};
\draw[<->,>=stealth'] (.25,-25/32) -- (1.75,-25/32);
\fill (0,-1) circle (2pt) node[below right] {H};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On sait que :

\begin{itemize}
\item les fonctions $f$ et $g$ sont des polyn\^omes de degré 3 ;
\item $\mathcal{C}_f$ passe par les points A, B, C, D et E ;
\item $\mathcal{C}_g$ passe par les points A et H;
\item les tangentes à $\mathcal{C}_g$ aux points d'abscisse $-2$ et $1$ sont horizontales.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide des informations ci-dessous, déterminer l'expression factorisée de $f(x)$.
\item \`A l'aide des informations ci-dessous, déterminer une expression de $g(x)$.
\item Trouver les abscisses des points d'intersection des deux courbes par le calcul.
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item $f(x)=a(x+4)(x+2)(x-3)$. En effet, $f$ s'annule pour $x=-4$, $x=-2$ et $x=3$.

De plus, $f(0)=-3$ donc $a\times4\times2\times(-3)=-3$, soit $a=\dfrac{1}{8}$. Ainsi :
\[\boxed{f(x)=\frac{1}{8}(x+4)(x+2)(x-3)} \]

\item  $g(x)=(x+4)(ax^2+bx+c)$. En effet, $g(-4)=0$.

De plus, $g(0)=-1$ donc $4c=-1$, soit $c=-\dfrac{1}{4}$.

Ainsi, $g'(x)=ax^2+bx-\dfrac{1}{4}+(x+4)(2ax+b)$ (on dérive le produit).

Or, $g'(-2)=0$ donc $4a-2b-\dfrac{1}{4}+2(-4a+b)=0$, soit $-4a=\dfrac{1}{4}$. Donc $a=-\dfrac{1}{16}$.

De plus, $g'(1)=0$ donc $-\dfrac{1}{16}+b-\dfrac{1}{4}+5\left(-\dfrac{1}{8}+b\right)=0$, soit $6b=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{8}=\dfrac{15}{16}$. Donc $c=\dfrac{5}{32}$. Ainsi :
\[ \boxed{g(x)=(x+4)\left(-\dfrac{1}{16}x^2+\frac{5}{32}x-\frac{1}{4}\right)}\]

\item L'abscisse d'un point d'intersection des deux courbes vérifie l'équation $f(x)=g(x)$.
\begin{align*}
f(x)=g(x) & \Leftrightarrow \dfrac{1}{8}(x+4)(x+2)(x-3) = (x+4)\left(-\dfrac{1}{16}x^2+\frac{5}{32}x-\frac{1}{4}\right)\\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{8}\left(x^2-x-6\right) = -\dfrac{1}{16}x^2+\frac{5}{32}x-\frac{1}{4}\\
& \Leftrightarrow 4x^2-4x-24=-2x^2+5x-8 \text{ on a multiplié par }32\\
& \Leftrightarrow 6x^2-9x-16=0.
\end{align*}
\[ \Delta = 81-4\times 6\times(-16) = 465.\]
Les abscisses des deux points d'intersection sont donc :
\[ \boxed{x_1=\frac{9-\sqrt{465}}{12}\qquad ; \qquad x_2=\frac{9+\sqrt{465}}{12}}\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{Calculs de dérivées}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{exocor}{sommes et différences} % 6
Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, calculer $f'(x)$.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f(x)=3x-1$
\item $f(x)=5x^2+3x-1$
\item $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-5x^2+3x-1$
\item $f(x)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{x}$
\item $f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{3}{x}$
\item $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{1}{3}\sqrt{x}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x)=3x-1$ donc $f'(x)=3$.
\item $f(x)=5x^2+3x-1$ donc $f'(x)=10x+3$.
\item $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-5x^2+3x-1$ donc $f'(x)=x^2-10x+3$.
\item $f(x)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{x}$ donc $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
\item $f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{3}{x}$ donc $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{3}{x^2}$.
\item $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{1}{3}\sqrt{x}$ donc $f'(x)=-x+3-\dfrac{1}{6\sqrt{x}}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{exocor}{produits et quotients} % 7
Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, calculer $f'(x)$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $f(x)=2x\sqrt{x}$
\item $f(x)=\dfrac{3x-1}{4x+5}$
\item $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-x}{x^2+1}$
\item $f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x-3}$
\item $f(x)=\dfrac{\sqrt x}{x+\dfrac{1}{x}}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x)=2x\sqrt{x}$. On pose :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=2x$

$u'(x)=2$

\columnbreak

$v(x)=\sqrt{x}$

$v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
\end{multicols}

On a alors :\vspace*{-1em}
\begin{align*}
f'(x) & = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\
& = 2\sqrt{x}+2x\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = 2\sqrt{x}+\dfrac{x}{\sqrt x}\\
& = 2\sqrt{x}+\dfrac{\cancel{\sqrt{x}}\times\sqrt{x}}{\cancel{\sqrt x}}\\
& = 2\sqrt{x}+\sqrt{x}\\
\Aboxed{f'(x) & = 3\sqrt{x}}
\end{align*}


\item $f(x)=\dfrac{3x-1}{4x+5}$. On pose :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=3x-1$

$u'(x)=3$

\columnbreak

$v(x)=4x+5$

$v'(x)=4$
\end{multicols}


On a alors :
\vspace*{-1em}
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\
&= \dfrac{3(4x+5)-4(3x-1)}{(4x+5)^2}\\
& = \dfrac{12x+15-12x+4}{(4x+5)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{19}{(4x+5)^2}}
\end{align*}

\item $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-x}{x^2+1}$. On pose :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=\sqrt{x}-x$

$u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-1$

\columnbreak

$v(x)=x^2+1$

$v'(x)=2x$
\end{multicols}

On a alors :
\begin{align*}
f'(x) & = 
\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = 
\dfrac{
\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-1\right)\times(x^2+1)-\left(\sqrt{x}-x\right)\times2x}{\big(x^2+1\big)^2}
\end{align*}

\begin{align*}
& = \dfrac{\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}-x^2-1-2x\sqrt{x}+2x^2}{\big(x^2+1\big)^2}\\
& = \dfrac{\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}+x^2-2x\sqrt{x}-1}{\big(x^2+1\big)^2}\\
& = \dfrac{\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{2x^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\dfrac{4x^2}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{\big(x^2+1\big)^2}\\
& = \dfrac{\dfrac{2x^2\sqrt{x}-2\sqrt{x}-3x^2+1}{2\sqrt{x}}}{\big(x^2+1\big)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{2x^2\sqrt{x}-2\sqrt{x}-3x^2+1}{2\sqrt{x}\big(x^2+1\big)^2}}	
\end{align*}


\item $f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x-3}$. On pose :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=x^2-3x+1$

$u'(x)=2x-3$

\columnbreak

$v(x)=x-3$

$v'(x)=1$
\end{multicols}

On a donc :
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = \dfrac{(2x-3)(x-3)-(x^2-3x+1)\times1}{(x-3)^2}\\
& = \dfrac{2x^2-6x-3x+9-x^2+3x-1}{(x-3)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}}
\end{align*}

\item $f(x)=\dfrac{\sqrt x}{x+\dfrac{1}{x}}$.

On commence par simplifier l'écriture de $f(x)$ :

\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{\sqrt{x}}{\frac{x^2+1}{x}}\\
& = \dfrac{x\sqrt{x}}{x^2+1}.
\end{align*}

On pose alors :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=x\sqrt{x}$

$\begin{aligned}[t]
u'(x) & =1\times\sqrt{x}+x\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = \sqrt{x}+\dfrac{\cancel{\sqrt{x}}\times\sqrt{x}}{2\cancel{\sqrt x}}\\
& = \sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\sqrt{x}\\
&=  \dfrac{3}{2}\sqrt{x}
\end{aligned}$

\columnbreak

$v(x)=x^2+1$

$v'(x)=2x$
\end{multicols}

D'où :
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt x(x^2+1)-x\sqrt x \times 2x}{(x^2+1)^2}\\
& = \dfrac{\frac32x^2\sqrt x+\frac32\sqrt x-2x^2\sqrt x}{(x^2+1)^2}\\
& = \dfrac{\frac32\sqrt x-\frac12x^2\sqrt x}{(x^2+1)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{\frac12\sqrt x\big(3-x^2\big)}{(x^2+1)^2}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{sens de variations} % 8
Pour chacune des fonctions $f$ et $g$, 
\begin{itemize}
\item trouver son domaine de définition ;
\item trouver sa dérivée ;
\item trouver son sens de variations sur son domaine de définition ;
\item donner le signe de la fonction sur son domaine de définition.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f(x)=(3x+2)\sqrt{x}$
\item $g(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\sqrt{x}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x)=(3x+2)\sqrt{x}$. 

\begin{itemize}
\item Le domaine de définition de $f$ est : $\mathcal{D}_f=\intervFO{0}{+\infty}$.

\item $f$ est de la forme $uv$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=3x+2$

$u'(x)=3$

\columnbreak

$v(x)=\sqrt{x}$

$v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
\end{multicols}

Donc :
\begin{align*}
f'(x) & = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\
& = 3\sqrt{x}+(3x+2)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = 3\sqrt{x}+\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x}}\\
& = \dfrac{3\sqrt{x}\times2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x}}\\
& = \dfrac{6x+3x+2}{2\sqrt{x}}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{9x+2}{2\sqrt{x}}}
\end{align*}

\item $f'(x)>0  \Longleftrightarrow 9x+2>0$ car $2\sqrt{x}>0$ pour tout $x\in\intervOO{0}{+\infty}$.

Ainsi, $f'(x)>0 \Longleftrightarrow x>-\dfrac{2}{9}$, d'où le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{0,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+}
\tkzTabVar{-/0,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après le tableau de variation de $f$, on peut dire que $f(x)\geqslant0$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\end{itemize}

\item $g(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\sqrt{x}$.

\begin{itemize}
\item Le domaine de définition de $g$ est $\mathcal{D}_g=\intervOO{0}{+\infty}$.

\item $g$ est de la forme $uv$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=1+\dfrac{1}{x}$

$u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$

\columnbreak

$v(x)=\sqrt{x}$

$v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
\end{multicols}

Donc :
\begin{align*}
g'(x) & = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\
& = -\dfrac{1}{x^2}\sqrt{x}+\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = -\dfrac{\sqrt{x}}{x^2}+\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = -\dfrac{\cancel{\sqrt{x}}}{x\times\sqrt{x}\times\cancel{\sqrt{x}}}+\dfrac{x+1}{2x\sqrt{x}}\\
& = -\dfrac{1}{x\sqrt{x}}+\dfrac{x+1}{2x\sqrt{x}}\\
\Aboxed{g'(x) & = \dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}}
\end{align*}

\item $g'(x)>0 \Longleftrightarrow x-1>0 \Longleftrightarrow x>1$ car $2x\sqrt{x}>0$ sur $\mathcal{D}_g$.

On a alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1}{0,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-,z,+}
\tkzTabVar{D+/,-/2,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}

\end{center}

\item D'après le tableau de variations de $g$, on peut dire que $g(x)\geqslant2$ sur \intervOO{0}{+\infty}, donc\linebreak $g(x)>0$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{exocor}{sens de variations} % 9
Pour chacune des fonctions suivantes,
\begin{itemize}
\item donner son domaine de définition ;
\item trouver sa dérivée ;
\item en déduire ses variations sur son domaine de définition.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $f(x)=\dfrac{3x-4}{5x-2}$
\item $g(x)=\dfrac{5x-3}{x^2-x-2}$
\item $h(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-3x+2}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{3x-4}{5x-2}$.

\begin{itemize}
\item $\mathcal{D}_f=\R\setminus\left\{\dfrac{2}{5}\right\}$.

\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=3x-4$

$u'(x)=3$

\columnbreak

$v(x)=5x-2$

$v'(x)=5$
\end{multicols}

Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = \dfrac{3(5x-2)-5(3x-4)}{(5x-2)^2}\\
& = \dfrac{15x-6-15x+20}{(5x-2)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{14}{(5x-2)^2}}
\end{align*}


\item $f'(x)>0$ pour tout réel $x\in\mathcal{D}_f$ donc :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,$\frac{2}{5}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+}
\tkzTabVar{-/,+D-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}

\item $g(x)=\dfrac{5x-3}{x^2-x-2}$.

\begin{itemize}
\item Une racine évidente de $x^2-x-2$ est $x_1=2$. De plus, $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $2x_2=-2$, soit $x_2=-1$.

Ainsi, $\mathcal{D}_g=\R\setminus\{-1~;~2\}$.


\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=5x-3$

$u'(x)=5$

\columnbreak

$v(x)=x^2-x-2$

$v'(x)=2x-1$
\end{multicols}

Ainsi,\vspace*{-1em}
\begin{align*}
g'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = \dfrac{5(x^2-x-2)-(5x-3)(2x-1)}{(x^2-x-2)^2}\\
& = \dfrac{5x^2-5x-10-10x^2+5x+6x-3}{(x^2-x-2)^2}\\
\Aboxed{g'(x) & = \dfrac{-5x^2+6x-13}{(x^2-x-2)^2}}
\end{align*}

\item $g'(x)$ est du signe de $-5x^2+6x-13$, dont le discriminant est :
\[ \Delta = 36-260<0.\]
D'où le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1}{$-\infty$,$-1$,2,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,,-}
\tkzTabVar{+/,-D+/,-D+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}


\item $h(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-3x+2}$.

\begin{itemize}
\item $x^2-3x+2$ possède $\alpha=1$ comme racine évidente, donc la seconde racine est $\beta=2$.

Ainsi, $\mathcal{D}_h=\R\setminus\{1~;~2\}$.

\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=x^2+x+1$

$u'(x)=2x+1$

\columnbreak

$v(x)=x^2-3x+2$

$v'(x)=2x-3$
\end{multicols}

D'où :

\begin{align*}
h'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = \dfrac{(2x+1)(x^2-3x+2)-(x^2+x+1)(2x-3)}{(x^2-3x+2)^2}\\
& = \dfrac{2x^3-6x^2+4x+x^2-3x+2-(2x^3-3x^2+2x^2-3x+2x-3)}{(x^2-3x+2)^2}\\
& = \dfrac{2x^3-5x^2+x+2-2x^3+x^2+x+3}{(x^2-3x+2)^2}\\
\Aboxed{h'(x) & = \dfrac{-4x^2+2x+5}{(x^2-3x+2)^2}}
\end{align*}

\item $h'(x)$ est du signe de $-4x^2+2x+5$, dont le discriminant est :
\[
\Delta=4+80=84.\]
Ses deux racines sont donc :
\[
x_1=\dfrac{-2+\sqrt{84}}{-8}=\dfrac{-2+2\sqrt{21}}{-8}=\dfrac{1-\sqrt{21}}{4}\approx-0,9<\alpha
\]
et
\[
x_2=\dfrac{-2-\sqrt{84}}{-8}=\dfrac{-2-2\sqrt{21}}{-8}=\dfrac{1+\sqrt{21}}{4}\approx1,4\in\intervOO{\alpha}{\beta}=\intervOO{1}{2}.
\]

On a alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,espcl=1.5]{$x$/0.75,$h'(x)$/0.5,$h(x)$/1}{$-\infty$,$x_1$,$\alpha=1$,$x_2$,$\beta=2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,z,-,,-}
\tkzTabVar{+/,-/,+D-/,+/,-D+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 10

\begin{exocor}{en économie}
L'entreprise KIHARNAK fabrique de la poudre de fée dont tout le monde pourrait se passer et qui pourtant a un succès fou.

Son coût de production est donné par la fonction $C(q) =q^3-2q^2+10q+150$, où $q$ représente la quantité (en tonne) de poudre.

On définit le \textit{coût unitaire}, ou \textit{coût moyen}, par la fonction $CM(q)=\dfrac{C(q)}{q}$.

On rappelle que le coût marginal est la fonction définie par :
$C_m(q) = C'(q)$.

\textit{Dans cet exercice, il ne faudra pas hésiter à prendre des initiatives en s'aidant éventuellement de la calculatrice ou d'un quelconque autre instrument informatique.}
\begin{enumerate}
\item Donner l'expression de $CM(q)$, puis celle de $C_m(q)$.
\item \'Etudier les variations de $CM$, puis donner la quantité $q$ pour laquelle le coût moyen est minimal. Quel est alors ce coût ?
\item Résoudre l'équation $CM(q)=C_m(q)$. Que peut-on constater ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $CM(q)=\dfrac{C(q)}{q} = \dfrac{q^3-2q^2+10q+150}{q} = q^2-2q+10+\dfrac{150}{q}$.

$C_m(q)=C'(q)=3q^2-4q+10$.

\item $CM'(q)=2q-2-\dfrac{150}{q^2}=\dfrac{2q^3-2q^2-150}{q^2}=\dfrac{2}{q^2}(q^3-q^2-75)$.

$\dfrac{2}{q^2}>0$ donc $CM'(q)$ est du signe du polynôme $P(q)=q^3-q^2-75$.

$P'(q)=3q^2-2q = q(3q-2)$ donc $q=0$ et $q=\dfrac{2}{3}$ sont les deux racines de $P$.

On en déduit le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$q$/0.75,$P'(q)$/0.5,$P(q)$/1.5}{$0$,$\frac{2}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/$-75$,-/{$\approx-75,1$},+/}
\tkzTabVal{2}{3}{0.5}{5}{25}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Intuitivement, comme il n'y a pas de valeurs interdites entre $\dfrac{1}{3}$ et 5, on peut supposer qu'il existe une valeur de $q$, notée $\alpha$, comprise entre $\dfrac{2}{3}$ et 5, telle que $P(\alpha)=0$. 

\begin{rem}
Vous verrez l'année prochaine une formulation plus adéquate ce ce qui vient d'être dit sur l'existence de $\alpha$; ce sera un théorème du cours.
\end{rem}

\newpage

On peut alors dresser le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,espcl=1.5]{$q$/0.5,$CM'(q)$/0.5,$CM(q)$/1.5}{$0$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-,z,+}
\tkzTabVar{D+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

À la calculatrice, on trouve une valeur approché de $\alpha$ :
\[ \alpha \approx 4,578. \]
Le coût moyen de production est donc minimal pour $\numprint{4578}$ kg de poudre fabriquée.

\medskip

Le coût minimal est alors $CM(\alpha)\approx54,57$ \euro, ce qui signifie qu'une tonne de poudre (de fée) coûte en moyenne 54,57 \euro{} à fabriquer si on en fabrique 4,578 tonnes.

\item Résolvons l'équation $CM(q)=C_m(q)$ à la calculatrice : on trouve $q\approx4,578$.

On constate que l'on obtient la valeur de $q$ pour laquelle le coût moyen est minimal.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 11

\begin{exocor}{étude d'une fonction}
On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFO{0}{+\infty}$ par : $f(x)=\dfrac{x\sqrt x}{x^2+1}$.

On note $\cal C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Rij.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée de la fonction $f$ est donnée par : $
f'(x)=\dfrac{\sqrt x(3-x^2)}{2(x^2+1)^2}$.
\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$, puis en déduire les variations de $f$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$.
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x\sqrt x$ et $v(x)=x^2+1$.

$u$ est une fonction produit $gh$ avec $g(x)=x$ et $h(x)=\sqrt x$, donc $u=g'h+h'g$. Ainsi, 
\begin{align*}
u'(x) & =1\times\sqrt x+x\times\dfrac{1}{2\sqrt x}\\
& =\sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt x}\\
& = \sqrt x+\dfrac{\sqrt x}{2}\\
& = \dfrac{3}{2}\sqrt x
\end{align*}

On a alors :
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}(x)\\
& = \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt x(x^2+1)-x\sqrt x\times2x}{(x^2+1)^2}\\
& = \dfrac{3\sqrt x(x^2+1)-4x^2\sqrt x}{2(x^2+1)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{\sqrt x(3-x^2)}{2(x^2+1)^2}}
\end{align*}

\item $2(x^2+1)^2>0$ et $\sqrt x\geqslant0$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$. Par conséquent, $f'(x)$ est du signe de $3-x^2$, polynôme de degré 2 admettant pour racines $\sqrt3$ et $-\sqrt3$ et dont le coefficient de $x^2$ est négatif, d'où le tableau page suivante.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{0,$\sqrt3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,z,-,z}
\tkzTabVar{-/0,+/,-/0}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item L'équation réduite d'une tangente est donnée par la formule $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, avec ici $a=1$.

$f(a)=\dfrac{1}{2}$ et $f'(a)=\dfrac{1}{4}$ donc l'équation réduite de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse 1 est :
\[
y=\dfrac{1}{4}(x-1)+\dfrac{1}{2}
\]
soit $\boxed{y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{Optimisation}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 12

\begin{exocor}{volume optimal d'une boîte}
On souhaite construire une bo\^ite parallélépipédique à partir d'un carton carré de 4 mètres de c\^oté, comme l'illustre le schéma suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.6]
\filldraw[pattern={north east lines},pattern color=violet] (0,1.5) -- (4.5,1.5) -- (4.5,0) -- (7.5,0) -- (7.5,1.5) -- (9,1.5) -- (9,7.5) -- (7.5,7.5) -- (7.5,9) -- (4.5,9) -- (4.5,7.5) -- (0,7.5) -- cycle;
\draw (0,0) rectangle (9,9);
\draw (0,1.5) -- (9,1.5);
\draw (0,7.5) -- (9,7.5);
\draw[dashed] (3,1.5) -- (3,7.5);
\draw[dashed] (4.5,1.5) -- (4.5,7.5);
\draw[dashed] (7.5,1.5) -- (7.5,7.5);
\draw (4.5,0) -- (4.5,1.5);
\draw (4.5,7.5) -- (4.5,9);
\draw (7.5,0) -- (7.5,1.5);
\draw (7.5,7.5) -- (7.5,9);
\draw[<->] (-1,0) -- (-1,9) node[midway,fill=pageenonce!30,rotate=90] {4 m};
\draw[<->] (0,-1) -- (9,-1) node[midway,fill=pageenonce!30] {4 m};
\draw[<->] (3,1) -- (4.5,1) node[midway,below,fill=pageenonce!30,outer ysep=4pt,inner ysep=0pt] {$x$};
\draw[<->] (9.5,0) -- (9.5,1.5) node[midway,right,fill=pageenonce!30,outer xsep=5pt] {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

La partie hachurée correspond à la partie du carton qui va \^etre pliée (aux pointillés) pour obtenir la bo\^ite.

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume de la bo\^ite est égal à $f(x)=2x(2-x)^2$.
\item \'Etudier les variations de $f$, puis en déduire la valeur de $x$ (arrondie au centimètre près) pour laquelle le volume de la bo\^ite est optimal.
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item Notons $y$ la largeur d'une face de la bo\^ite  (voir illustration page suivante). Alors,
\[ 
y+x+y+x=4\;,
\]
soit :
\[ 
y=2-x.
\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\filldraw[pattern={north east lines},pattern color=numpagecorrige] (0,1.5) -- (4.5,1.5) -- (4.5,0) -- (7.5,0) -- (7.5,1.5) -- (9,1.5) -- (9,7.5) -- (7.5,7.5) -- (7.5,9) -- (4.5,9) -- (4.5,7.5) -- (0,7.5) -- cycle;
\draw (0,0) rectangle (9,9);
\draw (0,1.5) -- (9,1.5);
\draw (0,7.5) -- (9,7.5);
\draw[dashed] (3,1.5) -- (3,7.5);
\draw[dashed] (4.5,1.5) -- (4.5,7.5);
\draw[dashed] (7.5,1.5) -- (7.5,7.5);
\draw (4.5,0) -- (4.5,1.5);
\draw (4.5,7.5) -- (4.5,9);
\draw (7.5,0) -- (7.5,1.5);
\draw (7.5,7.5) -- (7.5,9);
\draw[<->] (-0.5,0) -- (-0.5,9) node[midway,fill=pagecorrige!30] {4 m};
\draw[<->] (0,-0.5) -- (9,-0.5) node[midway,fill=pagecorrige!30] {4 m};
\draw[<->] (3,1) -- (4.5,1) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$x$};
\draw[<->] (8,0) -- (8,1.5) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$x$};
\draw[<->] (0,8) -- (3,8) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$y$};
\draw[<->] (9.5,1.5) -- (9.5,7.5) node[midway,right] {$4-2x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le volume de la bo\^ite est alors  :

\begin{align*}
f(x) & = x\times (4-2x)\times y\\
\Aboxed{f(x) & = 2x(2-x)^2}
\end{align*}

\item $f(x)=2x(4-4x+x^2)=2x^3-8x^2+8x$.

Ainsi, $f'(x)=6x^2-16x+8$, dont le discriminant est $\Delta=16^2-4\times6\times8=64$. $f'(x)$ admet donc deux racines : $\alpha=\dfrac{16-\sqrt{64}}{12}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$ et $\beta=\dfrac{16+8}{12}=2$. On a alors :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{0,$\frac{2}{3}$,2}
\tkzTabLine{,+,z,-,z}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Notons que $x$ ne peut pas dépasser la valeur 2 car il faut que $4-2x\geqslant0$, soit $2x\leqslant4$, d'où $x\leqslant2$.

\medskip

Le maximum de $f$ est atteint en $x=\dfrac{2}{3}$ (exprimé en mètre).

\underline{Le volume de la bo\^ite est optimal pour $x=67$ cm.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{volume d'une casserole}
Une casserole peut être assimilée à un cylindre avec un seule base (le fond). On note $R$ le rayon du disque constituant la base et $h$ la hauteur du cylindre.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw=black,very thick,rounded corners,fill=white] (img) {\includegraphics[scale=0.1]{02-casserole.jpg}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la surface de la casserole est donnée par la fonction $f(R)=\pi R^2+\dfrac{2V}{R}$, où $V$ est le volume de la casserole.
\item Montrer alors que la surface est minimale quand la hauteur de la casserole est égale au rayon de la base.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'aire du disque de fond est : $\pi R^2$;

l'aire de la surface latérale est : $2\pi Rh$ (c'est un rectangle de largeur $h$ et de longueur égale au périmètre du disque de base, soit $2\pi R$).

Donc $f(R)=\pi R^2 + 2\pi Rh$.

Or, le volume d'un cylindre est :
\[
V=\pi R^2h
\]
donc:
\[
h = \dfrac{V}{\pi R^2}.
\]
Alors,
\[
f(R)=\pi R^2 + 2\pi R\times\dfrac{V}{\pi R^2}=\boxed{\pi R^2+\dfrac{2V}{R}}
\]

\item $\begin{aligned}[t]
f'(R) & = 2\pi R-\dfrac{2V}{R^2}\\
& = 2\times\dfrac{\pi R^3-V}{R^2}.
\end{aligned}$

Ainsi,
\[
f'(R)>0 \iff R^3>\dfrac{V}{\pi}=\dfrac{\pi R^2 h}{\pi}=R^2 h.
\]
Donc, en simplifiant par $R^2$ :
\[
R>h.
\]
Ainsi, le minimum de la fonction $f$ est atteint pour $R=h$.

\medskip

Nous avons bien vérifié que la surface de la casserole est minimale quand la hauteur de la casserole est égale à son rayon. Prenez une casserole chez voue et essayez !
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{bénéfice maximal}
Une entreprise fabrique des pizzas comptées par lots de 40 pizzas. On suppose qu'elle vend toute sa production. Les coûts de production sont, d'une part, les coûts fixes (amortissement du four, assurances, ...) et d'autre part, les coûts variables (salaires, ingrédients, ...) qui dépendent du nombre $q$ de lots fabriqués.

On estime que la fonction de coût total de cette entreprise (exprimé en dizaine d'euros) pour une journée est donnée par la fonction :
\[
C(q)=\dfrac{1}{2}q^3-2q^2+5q+20.
\]
On suppose que cette entreprise ne peut pas fabriquer plus de 800 pizzas par jour.

Cette entreprise vend une pizza 7,50 \euro. On note $B$ la fonction qui donne le bénéfice quotidien de l'entreprise en fonction de $q$ lots fabriqués et vendus.

\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de $C$ sur l'intervalle \intervFF{1}{20}.

\item Exprimer en fonction de $q$ le bénéfice $B(q)$ de cette entreprise (en dizaine d'euros).

\item \'Etudier les variations de $B$ sur \intervFF{0}{20}.

En déduire le nombre de lots de pizzas qu'il faut fabriquer et vendre pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est alors ce bénéfice ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $C(q)=\dfrac{1}{2}q^3-2q^2+5q+20.$ donc $C'(q)=\dfrac{3}{2}q^2-4q+5$.

Le discriminant de $C'(q)$ est :
\[
\Delta=(-4)^2-4\times\dfrac{3}{2}\times5=16-30=-14<0.
\]
Par conséquent, $C'(q)>0$ sur \R et donc sur \intervFF{0}{20}. Ainsi, $C$ est strictement croissante sur \intervFF{0}{20}.

\item Une pizza est vendue 7,50 \euro{} et il y a 4 dizaines de pizzas dans un lot donc la recette (exprimée en dizaine d'euros) est :
\[
R(q)=4\times7,5q = 30q.
\]
Ainsi, le bénéfice est :
\begin{align*}
B(q) & = R(q)-C(q)\\
     & = 30q-\dfrac{1}{2}q^3+2q^2-5q-20\\
\Aboxed{B(q) & = -\dfrac{1}{2}q^3+2q^2+25q-20}
\end{align*}

\item $B'(q)=-\dfrac{3}{2}q^2+4q+25$. Le discriminant de $B'(q)$ est :
\[
\Delta=16+150=\numprint{166}.
\]
Les racines sont donc :
\[
q_1=\dfrac{-4-\sqrt{\numprint{166}}}{-3}\approx5,63
\]
et
\[
q_2=\dfrac{-4+\sqrt{\numprint{166}}}{-3}<0.
\]
On a alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$B'(q)$/0.5,$B(q)$/1}{0,$q_1$,20}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le bénéfice maximal est donc atteint pour $q=5$ ou $q=6$ lots de 40 pizzas. Le bénéfice (en dizaine d'euros) est alors :
\[
B(5)=-\dfrac{1}{2}\times5^3+2\times5^2+25\times5-20=92,5.
\]
\[
B(6)=-\dfrac{1}{2}\times6^3+2\times6^2+25\times6-20=94.
\]
Le bénéfice maximum est donc atteint pour 6 lots de 40 pizzas fabriqués, et est égal à 94~\euro.
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{exocor}{optimisation d'un bénéfice}
Une entreprise fabrique des fils de cuivre. Pour $q$ tonnes fabriquées, le coût de production (exprimé en dizaine d'euros) est donné par :
\[
C(q)=\dfrac{1}{3}q^3-16q^2+266q+10.
\]
Les contraintes de production ne permettent pas de produire plus de 40 tonnes par jour.

\medskip

Le coût moyen de production est obtenu par l'expression :
\[
C_M(q)=\dfrac{C(q)}{q}\qquad\text{pour }q\in\intervOF{0}{40}.
\]
Le coût marginal est le coût supplémentaire engendré par la production d'une tonne supplémentaire. On l'assimile à la dérivée du coût de production :
\[
C_m(q)=C'(q).
\]
Chaque tonne fabriquée est vendue \numprint{3000} euros.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression du coût marginal $C_m(q)$.
\item En déduire les variations du coût total $C(q)$ sur \intervFF{0}{40}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression du coût moyen $C_M(q)$.
\item Montrer que :
\[
C_M^\prime(q)=\dfrac{2q^3-48q^2-30}{3q^2}.
\]
On admettra que $C_M^\prime(q)\leqslant0$ sur \intervFF{0}{q_0} et $C_M^\prime(q)\geqslant0$ sur \intervFF{q_0}{40}, avec $q_0\approx24,026$.
\item Donner les variations de $C_M$ sur \intervOF{0}{40}.
\item Calculer une valeur approchée à l'unité de $C_M(q_0)$ et de $C_m(q_0)$. Que peut-on constater ?
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le bénéfice quotidien de l'entreprise est donné par l'expression :
\[
B(q)=-\dfrac{1}{3}q^3+16q^2+34q-10.
\]
\item Trouver les variations de $B$ sur \intervFF{0}{40}.
\item Pour quelle production (arrondie à l'entier le plus proche) le bénéfice est-il maximal ? Quelle est alors sa valeur ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
C_m(q) & = C'(q)\\
& = \dfrac{1}{3}\times3q^2-16\times2q+266\\
\Aboxed{C_m(q) & = q^2-32q+266}
\end{aligned}$

\item Le discriminant de $C_m(q)$ est :
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = (-32)^2-4\times1\times266\\
& = -40.
\end{align*}
Ainsi, $C_m(q)>0$ sur $\R$, et donc sur \intervFF{0}{40}, ce qui signifie que la fonction $C$ est strictement croissante sur \intervFF{0}{40}.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
C_M(q) & = \dfrac{C(q)}{q}\\[8pt]
\Aboxed{C_M(q) & = \dfrac{1}{3}q^2-16q+266+\dfrac{10}{q}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
C_M^\prime(q) & =\dfrac{2}{3}q-16-\dfrac{10}{q^2} = \dfrac{\frac{2}{3}q^3-16q^2-10}{q^2}\\[8pt]
\Aboxed{C_m^\prime(q)& = \dfrac{2q^3-48q^2-30}{3q^2}}
\end{aligned}$

\item D'après ce qui est admis dans l'énoncé, on a :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$C_M'(q)$/0.5,$C_M(q)$/1}{0,$q_0$,40}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/$C_M(q_0)$,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $C_M(q_0)\approx C_M(24,026)\approx74$.

$C_m(q_0)\approx74$.

On constate alors que $C_M(q_0)=C_m(q_0)$. 

On dit ici que l'\emph{optimum technique} est atteint pour une quantité $q_0$ produite.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
B(q) & = 300q-C(q)\\
& = 300q-\left(\dfrac{1}{3}q^3-16q^2+266q+10\right)\\
& = 300q-\dfrac{1}{3}q^3+16q^2-266q-10\\
\Aboxed{B(q) & = -\dfrac{1}{3}q^3+16q^2+34q-10}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
B'(q) & = -\dfrac{1}{3}\times3q^2+16\times2q+34\\
& = -q^2+32q+34.
\end{aligned}$

Le discriminant de $B'(q)$ est :
\begin{align*}
\Delta & = 32^2-4\times(-1)\times34\\
& = \numprint{1160}>0
\end{align*}
Il admet donc deux racines :
\begin{align*}
q_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} &\qquad q_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\[8pt]
q_1=\dfrac{-32-\sqrt{\numprint{1160}}}{2\times(-1)} & \qquad q_2=\dfrac{-32+\sqrt{\numprint{1160}}}{2\times(-1)}\\[8pt]
q_1=16+\sqrt{290}\approx33,029 & \qquad q_2=16-\sqrt{290}\approx-1,029
\end{align*}
On a alors :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,deltacl=1.5]{$x$/0.5,$B'(q)$/0.5,$B(q)$/1}{0,$q_1$,40}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\uline{Le bénéfice est donc maximal pour environ 33 tonnes, et est alors à peu près égal à \numprint{33517} \euro.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{exocor}{bénéfice maximal}
Un artisan fabrique de la confiture qu'il vend à un grossiste. Le coût de fabrication quotidien, en euros, de $x$ kilogrammes de confiture est donné par la fonction:
\[
C(x)=0,01x^3-3,4x+100.
\]
Chaque kilogramme de confiture est vendu 14 euros.

Il estime qu'il ne peut pas fabriquer plus de 40 kilogrammes par jour.

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ la recette quotidienne $R(x)$ de $x$ kilogrammes de confiture vendus.
\item Montrer que le bénéfice quotidien de l'artisan pour $x$ kilogrammes est donné par la fonction:
\[
B(x)=-0,01x^3+17,4x-100.
\]
\item Calculer $B'(x)$.
\item Quelle quantité de confiture doit-il vendre afin d'obtenir un bénéfice maximal ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La recette quotidienne s'obtient en multipliant la quantité de confiture vendue (en kilogramme) par le prix unitaire (soit 14 \euro). Ainsi,
\[
\boxed{R(x)=14x}
\]

\item Le bénéfice quotidien de l'artisan pour $x$ kilogrammes est donné par la fonction:
\begin{align*}
B(x) & = R(x) - C(x)\\
& = 14x - (0,01x^3 -3,4x + 100)\\
& = -0,01x^3 +14x+3,4x - 100\\
\Aboxed{C(x) & = -0,01x^3 + 17,4x - 100}
\end{align*}

\item La dérivée de $B(x)$ est:
\begin{align*}
B'(x) & = -0,01 \times 3x^2 + 17,4\times 1- 0\\
\Aboxed{B'(x) & = -0,03x^2 + 17,4}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
B'(x)=0 & \iff -0,03x^2 + 17,4 = 0\\
& \iff -0,03x^2 = -17,4\\
& \iff x^2 = \dfrac{17,4}{0,03} = 580\\
& \iff x = \sqrt{580}\text{ sur }\intervFF{0}{40}
\end{aligned}$

\medskip

D'où le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$B'(x)$/0.5,$B(x)$/1}{0,$\sqrt{580}$,40}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\uline{Le bénéfice est donc maximal pour $\sqrt{580}\approx24$ kilogrammes de confiture vendus.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%% NEW 2022

\begin{exocor}{coût de production et bénéfice}
Une entreprise fabrique et vend des radiateurs. 

Elle estime que le coût de production mensuel de $q$ radiateurs est donné par la fonction:
\[
C(q) = \numprint{10} + 0,1q + \dfrac{250}{q}\;, \text{exprimé en millier d'euros}.
\]
Le coût moyen de production est donné par la fonction:
\[
CM(q) = \dfrac{C(q)}{q},~ \text{exprimé en millier d'euros}.
\]
L'entreprise estime de plus que le nombre de radiateurs qu'elle peut fabriquer par mois est compris entre 10 et 100.

Le prix de vente d'un radiateur est fixé à 350 \euro. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée de $C(q)$ est:
\[
C'(q)=\dfrac{q^2-\numprint{2500}}{10q^2}.
\]


\item \'Etudier les variations de la fonction $C$, et en déduire le nombre de radiateurs que l'entreprise peut fabriquer pour que son coût de production soit minimal.

On notera $q_0$ cette quantité.

\item Montrer que la dérivée de $CM(q)$ est:
\[
CM'(q)=-\dfrac{10q+500}{q^3}.
\]

\item Pour quelle quantité $q$ de radiateurs fabriqués le coût moyen de production est-il minimal ? Comparer cette quantité à $q_0$.

\item On note $B(q)$ le bénéfice, exprimé en millier d'euros, engendré par la vente de $q$ radiateurs.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $B(q)=0,25q-10-\dfrac{250}{q}$.
\item Calculer $B(q_0)$ et $B(100)$.

Quelle quantité de radiateurs cette entreprise doit-elle fabriquer pour avoir un bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La dérivée de $C(q)$ est:
\begin{align*}
C'(q) = 0 + 0,1\times1 + 250\times\left(-\dfrac{1}{q^2}\right)\\
& = 0,1 - \dfrac{250}{q^2}\\
& = \dfrac{0,1q^2-250}{q^2}\\
& = \dfrac{0,1(q^2-\numprint{2500})}{q^2}\\
& = \dfrac{\frac{1}{10}(q^2-\numprint{2500})}{q^2}\\
\Aboxed{C'(q) & = \dfrac{q^2-\numprint{2500}}{10q^2}}
\end{align*}

\item $C'(q)$ est du signe de $q^2-\numprint{2500}$ car $10q^2>0$. De plus,

\begin{align*}
q^2-\numprint{2500} & = q^2-50^2\\
& = (q-50)(q+50)
\end{align*}

Les deux racines de $q^2-\numprint{2500}$ sont donc $-50$ et $+50$, d'où le tableau page suivante.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$q$/0.5,$C'(q)$/0.7, $C$/1}{1,50,100}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\underline{Le coût de production est donc minimal pour 50 radiateurs fabriqués.}

Ainsi, $q_0=50$.

\item $\begin{aligned}[t]
CM(q) & = \dfrac{C(q)}{q}\\
& = \dfrac{10}{q}+0,1+\dfrac{250}{q^2}\\
& = \dfrac{10q+0,1q^2+250}{q^2}\\
& = \dfrac{0,1q^2+10q+250}{q^2}.
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $CM$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u = 0,1q^2+10q+250$

$u' = 0,2q+10$

$v = q^2$

$v'=2q$
\end{multicols}

Ainsi,
\begin{align*}
CM'(q) & = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}(q)\\
       & = \dfrac{(0,2q+10)q^2 - 2q(0,1q^2+10q+250)}{(q^2)^2}\\
       & = \dfrac{0,2q^3+10q^2-0,2q^3-20q^2-500q}{q^4}\\
       & = \dfrac{-10q^2-500q}{q^4}\\
       & = \dfrac{-q(10q+500)}{q\times q^3}\\
\Aboxed{CM'(q) & = -\dfrac{10q+500}{q^3}}
\end{align*}

\item $q>0$ donc $CM'(q)<0$. Par conséquent, $CM$ est une fonction décroissante sur \intervFF{10}{100}. Le coût moyen de production est donc minimal pour $q=100$, donc deux fois plus que $q_0$.

\item $B(q)$ est exprimé en \textit{millier} d'euros. Il faut donc exprimer le prix de revient en millier d'euros aussi. Un radiateur est vendu 350 \euro, donc 0,35 millier d'euros.
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
B(q) & = 0,35q - C(q)\\
& = 0,35q - \left(10+0,1q+\dfrac{250}{q}\right)\\
& = 0,35q - 10 - 0,1q - \dfrac{250}{q}\\
\Aboxed{B(q) & = 0,25q-10-\dfrac{250}{q}}
\end{aligned}$
\newpage
\item 
\begin{itemize}
\item $B(q_0)=B(50)=0,25\times50-10-\dfrac{250}{50}=-2,5$.
\item $B(100)=0,25\times100-10-\dfrac{250}{100}=12,5$.
\end{itemize}

Il est donc immédiat de remarquer que l'entreprise doit fabriquer 100 radiateurs pour avoir un bénéfice maximal, même si le coût de production n'est pas minimal.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 19

\begin{exocor}{dimensions d'un enclos}
Georges-Henri a trouvé un grillage long de 28 mètres. Il a alors l'idée de construire un enclos rectangulaire pour ses poules. Il souhaite que cet enclos ait la plus grande aire possible.

Donner les dimensions de cet enclos.

\tcblower

Appelons $x$ la longueur du rectangle (de l'enclos); alors, $\dfrac{28-2x}{2}=14-x$ est la largeur.

Ainsi, l'aire de l'enclos est $f(x)=x(14-x)=-x^2+14x$. 

$f$ est une fonction polynôme de degré 2 dont les branches sont dirigées vers le bas (car le coefficient de $x^2$ est négatif) donc $f$ admet un maximum pour $x_S=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{14}{-2}=7$.

Ainsi, la longueur de l'enclos doit être égale à 7 mètres et sa largeur, à $14-7=7$ mètres. L'enclos doit donc être carré pour optimiser son aire.
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 20

\begin{exocor}{optimisation d'une aire}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {$A$} -- (4,0) node[below right] {$B$} -- (4,4) node[above right] {$C$} -- (0,4) node[above left] {$D$} -- cycle;
\fill[violet!20] (0,0)  -- (2,0) -- (0,4) --(4,4) -- (0,0);
\draw [<->,>=latex] (0,-0.25) -- (2,-0.25) node[right] {$M$} node[midway,below] {$x$};
\draw [<->,>=latex] (4.25,0) -- (4.25,4) node[midway,right] {4};
\node[right] at (1.5,1.3) {$I$};
\draw[dashed] (1.35,0) node[above left] {$H$} -- (1.35,4) node[above] {$G$};
\draw (1.35,3.75) -- (1.6,3.75) -- (1.6,4);
\draw (1.35,0.25) -- (1.6,0.25) -- (1.6,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}
$ABCD$ est un carré de côté 4, et $M$ est un point de $[AB]$.

Déterminer la position de $M$ pour que l'aire coloriée soit minimale.

\bigskip

Pour cela, on pourra s'aider des indications et des points portés sur le schéma ci-dessus.

\tcblower

Pour connaître l'aire coloriée, il nous faut au moins connaître $IH$.

D'après le théorème de Thalès, dans la configuration croisée où $[DM]$ et $[GH]$ se coupent en $I$,
\[
\dfrac{IM}{ID}=\dfrac{IH}{IG}=\dfrac{IH}{4-IH}.
\]
De plus, dans la configuration croisée où $[DM]$ et $[AC]$ se coupent en $I$,
\[
\dfrac{IM}{ID}=\dfrac{AM}{DC}=\dfrac{x}{4}.
\]
Ainsi,
\[
\dfrac{IH}{4-IH}=\dfrac{x}{4}\qquad\text{soit}\qquad 4IH=x(4-IH).
\]
Ainsi, 
\[
4IH+xIH=4x
\]
et donc:
\[
IH=\dfrac{4x}{4+x}.
\]
Ainsi l'aire du triangle $IAM$ est:
\[
\dfrac{IH \times AM}{2}=\dfrac{2x^2}{4+x}.
\]
De plus, l'aire du triangle $CID$ est:
\[
\dfrac{IG \times DC}{2}=2(4-IH)=8-\dfrac{8x}{4+x}.
\]
L'aire coloriée est donc:
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{2x^2}{4+x}+8-\dfrac{8x}{4+x}\\
& = \dfrac{2x^2-8x+8(4+x)}{4+x}\\
& = \dfrac{2x^2+32}{4+x}.
\end{align*}
La dérivée de $f(x)$ est:
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{4x(4+x)-(2x^2+32)\times1}{(4+x)^2}\\
& = \dfrac{16x+4x^2-2x^2-32}{(4+x)^2}\\
& = \dfrac{2x^2+16x-32}{(x+4)^2}.
\end{align*}
Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $2x^2+16x-32$, polynôme du second degré dont le discriminant vaut :
\[
\Delta=16^2-4\times2\times(-32)=512.
\]
Donc les racines de ce dernier sont:
\[
x_1=\dfrac{-16-\sqrt{512}}{4}<0\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-16+\sqrt{512}}{4}=-4+4\sqrt2\approx1,66.
\]
On a alors le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{0,$x_2$,4}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

Ainsi, l'aire colorée est donc minimale pour $x=4\sqrt2-4$.
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage
\begin{exocor}{minimisation d'une aire}
On considère la figure suivante, où $N$ est un point du segment $[BC]$, $P$ un point de $[AB]$ et $M$ un point de $[AC]$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {$A$} -- (0,4) node[above] {$B$} -- (7,0) node[below right] {$C$} -- cycle;
\filldraw[fill=violet!20] (4.05,0) node[below] {$M$} -- (4.05,1.69) node[above right] {$N$} -- (0,1.69) node[left] {$P$} -- (0,0) -- cycle;
\draw (0,0.25) -- (0.25,0.25) -- (0.25,0);
\draw (4.05,0.25) -- (4.3,0.25) -- (4.3,0);
\draw (0,1.94) -- (0.25,1.94) -- (0.25,1.69);
\draw[<->,>=latex] (4.05,-0.5) -- (7,-0.5) node[midway,fill=pageenonce!30] {3};
\draw[<->,>=latex] (-0.5,1.69) -- (-0.5,4) node[midway,fill=pageenonce!30] {4};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du rectangle $AMNP$ est égale à 12.
\item Pour quelles valeurs de $AM$ et $AP$ l'aire du triangle $ABC$ est-elle minimale ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Posons $x=AM$ et $y=AP$.

$(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles et coupent donc la droite $(BC)$ suivant deux angles de même mesure; donc $\angle{PBN}=\angle{MNC}$.

De même, $\angle{PNB}=\angle{MCN}$.
\newpage
On peut alors conclure que les triangles $PNB$ et $MCN$ sont semblables; par conséquent, 
\[
\dfrac{PN}{MC}=\dfrac{PB}{MN}
\]
soit:
\[ 
\dfrac{x}{3}=\dfrac{4}{y}
\]
d'où:
\[
xy=12.
\]
Or, $xy$ représente l'aire du rectangle $AMNP$; \underline{donc cette aire est égale à 12}.

\item Notons $f(x)$ l'aire du triangle $ABC$. Alors,
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{1}{2}\times AB \times AC\\
& = \dfrac{1}{2}\times(y+4) \times (x+3)\\
& = \dfrac{1}{2}(xy+3y+4x+12)\\
& = \dfrac{1}{2}(12 + 3y + 4x + 12)\\
& = \dfrac{1}{2}(24 + 3y + 4x).
\end{align*}
Or, $xy=12$ donc $y=\frac{12}{x}$. Ainsi, on a:
\begin{align*}
f(x) &=\dfrac{1}{2}\left(24+3\times\dfrac{12}{x}+4x\right)\\
& = 12 + \dfrac{18}{x}+2x.
\end{align*}
La dérivée de $f(x)$ est donc:
\[
f'(x)=2-\dfrac{18}{x^2}=\dfrac{2x^2-18}{x^2}.
\]
$x^2 > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2x^2-18=2(x^2-9)=2(x-3)(x+3)$.

D'où le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{0,3,4}
\tkzTabLine{d,-,z,+}
\tkzTabVar{D+/,-/24,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, l'aire du triangle $ABC$ est minimale lorsque $AM=3$ et donc $AN=\frac{18}{3}=6$.
\end{enumerate}
\vspace*{3em}~
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 12

\begin{exocor}{volume optimal d'un cône}
On considère la figure suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[left] {A} -- (3,10) node[above] {S} -- (6,0) node[right] {B} arc(0:-180:3cm and 0.5cm);
\draw[dashed] (6,0) arc (0:180:3cm and 0.5cm);
\draw[dashed] (3,0) -- (3,10);
\draw[red,dashed] (1,3.33) -- (3,0) node[below] {O} -- (5,3.33) node[above right] {M} arc (0:180:2cm and 0.5cm);
\draw[red] (5,3.33) arc (0:-180:2cm and 0.5cm);
\fill[red] (3,3.33) circle (1pt) node[right] {O'};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\newpage
On donne:
\begin{itemize}
\item SO = 10 cm.
\item OB = 3 cm.
\item M est un point mobile sur [SB] tel que MB = $x$ cm.
\end{itemize}
On cherche à déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le volume du c\^one de sommet O est optimal. Pour cela, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item Calculer SB.
\item Déterminer en fonction de $x$ le rayon de la base ainsi que la hauteur OO' du c\^one de sommet O.

\item En notant $f(x)$ le volume du c\^one de sommet O, montrer que:
\[
f(x)=\dfrac{30\pi}{109\sqrt{109}}x\big(\sqrt{109}-x\big)^2.
\]
\item Conclure.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Dans le triangle BOS rectangle en O, d'après le théorème de Pythagore, 
\[
\text{SB}^2=\text{SO}^2+\text{OB}^2\;,
\]
donc :
\[
\boxed{\text{SB}=\sqrt{109}}
\]

\item (O'M) // (OB) donc le théorème de Thalès nous permet d'écrire :

\[
\thales{SO'}{SO}{SM}{SB}{O'M}{OB}\;,
\]
soit :
\[
\dfrac{\rm{SO'}}{10}=\dfrac{\sqrt{109}-x}{\sqrt{109}}=\dfrac{\rm{O'M}}{3}\;,
\]
On peut donc dire d'une part que :
\[
\boxed{\text{O'M}=\dfrac{3\big(\sqrt{109}-x\big)}{\sqrt{109}}}\qquad\text{(rayon de la base du c\^one)}
\]
et d'autre part :
\[
\text{SO'}=\dfrac{10\big(\sqrt{109}-x\big)}{\sqrt{109}}
\]
donc la hauteur du c\^one est :

\begin{align*}
h(x) & =10-\dfrac{10\big(\sqrt{109}-x\big)}{\sqrt{109}}\\
& = \dfrac{10\sqrt{109}-10\sqrt{109}+10x}{\sqrt{109}}\\
\Aboxed{h(x) & = \dfrac{10}{\sqrt{109}}x}
\end{align*}

\item Le volume d'un c\^one est donné par la formule :
\[
V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h
\]
donc :
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{1}{3}\pi\left(\dfrac{3\big(\sqrt{109}-x\big)}{\sqrt{109}}\right)^2\times \dfrac{10}{\sqrt{109}}x\\
\Aboxed{f(x) & = \dfrac{30\pi}{109\sqrt{109}}x\big(\sqrt{109}-x\big)^2}
\end{align*}

\item Optimiser $f(x)$ équivaut à optimiser la fonction $g$ définie par :
\begin{align*}
g(x) & =x\big(\sqrt{109}-x\big)^2=\\
& = x(109-2\sqrt{109}x+x^2)\\
& = x^3-2\sqrt{109}x^2+109x.
\end{align*}

On a :
\[
g'(x)=3x^2-4\sqrt{109}x+109.
\]

Le discriminant de $g'(x)$ est :
\[
\Delta=\big(4\sqrt{109}\big)^2-4\times3\times109=436=\big(2\sqrt{109}\big)^2.
\]
Donc ses racines sont :
\[
\alpha=\dfrac{4\sqrt{109}-2\sqrt{109}}{6}=\dfrac{\sqrt{109}}{3}
\]
et
\[
\beta=\dfrac{4\sqrt{109}+2\sqrt{109}}{6}=\sqrt{109}.
\]

On a alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1}{0,$\alpha$,$\sqrt{109}$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z}
\tkzTabVar{-/0,+/,-/0}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\underline{Ainsi, le volume est optimal lorsque M est au tiers de [SB] en partant de B.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{Exercices spécimens}

Les exercices spécimens sont des exercices vous permettant de tester votre niveau exigible pour un devoir surveillé par exemple.


\begin{exocor}{polynôme de degré 3}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3+7x^2+11x-19$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère $\Rij$ du plan.

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur \R. Déterminer l'expression de $f'(x)$.
\item Résoudre dans \R l'inéquation $3x^2+14x+11>0$.
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\item Justifier que 1 est solution de $x^3+7x^2+11x-19=0$.
\item Vérifier que pour tout réel $x$: $f(x)=(x-1)(x^2+8x+19)$.
\item Étudier le signe de la fonction $f$ et en dresser le tableau de signes sur \R.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f'(x)=3 \times x^2 + 7 \times 2x + 11 \times 1 - 0$, donc \underline{$f'(x)=3x^2+14x+11$.}

\item $3x^2+14x+11$ est un polynôme de degré 2, dont le discriminant est:
\[
\Delta=b^2-4ac=14^2-4\times3\times11=64.
\]
Ses deux racines sont alors:
\[
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-14-\sqrt{64}}{2\times3}=-\dfrac{11}{3}
\]
et
\[
x_2 = \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-14+\sqrt{64}}{2\times3}=-1.
\]
Le polynôme est du signe de $a$ à l'extérieur de ses racines sont $3x^2+14x+11>0$ si $x\in\intervOO{-\infty}{-\dfrac{11}{3}}\cup\intervOO{-1}{+\infty}$.

\newpage
On en déduit le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{$-\infty$,$-\frac{11}{3}$,$-1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabVar{-/,+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a=1$ est :
\[
y = f'(1)(x-1)+f(1).
\]
Or, 
\[
f'(1)=3\times1^2+14\times1+11=28
\]
et 
\[
f(1)=1^3+7\times1^2+11\times1-19=0
\]
Donc l'équation réduite de la tangente est:
\[
y=28(x-1)+0
\]
soit:
\[
\boxed{ y = 28x - 28 }
\]

\item $f(1)=0$ donc 1 est bien solution de l'équation $f(x)=0$.

De plus,
\begin{align*}
(x-1)(x^2+8x+19) & = x^3+8x^2+19x-x^2-8x-19\\
& = x^3 +7x^2 +11x-19\\
& = f(x).
\end{align*}

\item Le discriminant de $x^2+8x+19$ est:
\[
\Delta=8^2-4\times1\times19=-12.
\]
Le discriminant étant strictement négatif, $x^2+8x+19>0$ (signe du coefficient de $x^2$). Par conséquent, $f(x)$ est du signe de $x-1$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{$-\infty$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/0,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% sujet 45 des E3C
\newpage
\begin{exocor}{}
Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\-R$ des nombres réels par $f(x)=3x^3-5x^2+2$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\begin{enumerate}
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Donner l'expression de $f'(x)$, pour tout nombre réel $x$.

\item On note $(T)$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-1$. Donner l'équation réduite de la tangente $(T)$.

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=3x^3-4x+1$.

On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}_f$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$,
\[
f(x)-g(x)=-5x^2+4x+1.
\]
\item Étudier sur \R le signe de $f(x)-g(x)$.

\item En déduire pour quelles valeurs de $x$ la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La dérivée de $f$ est : $f'(x)=3\times3x^2-5\times2x+0$, soit:
\[
\boxed{f'(x)=9x^2-10x}
\]

\item L'équation de $(T)$, tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-1$ est:
\[
y=f'(-1)(x-(-1)) + f(-1).
\]
Or,
\[
f(-1)=3(-1)^3-5(-1)^2+2=-3-5+2=-6
\]
et
\[
f'(-1)=9(-1)^2-10(-1)=9+10=19.
\]
Ainsi, 
\[
(T)\;:\;y=19(x+1)-6
\]
soit:
\[
\boxed{(T)\;:\;y=19x+13}
\]

\item
\begin{enumerate}
\item Calculons, pour tout nombre réel $x$:
\begin{align*}
f(x)-g(x) & = 3x^3-5x^2+2-(3x^3-4x+1)\\
& = 3x^3-5x^2+2-3x^3+4x-1\\
\Aboxed{f(x)-g(x) & = -5x^2+4x+1}.
\end{align*}

\item $f(x)-g(x)$ est un trinôme du second degré, dont le discriminant est:
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = 4^2 - 4\times(-5)\times1\\
& = 16 + 20\\
\Delta & = 36.
\end{align*}

$\Delta > 0$ donc $f(x)-g(x)$ admet deux racines réelles distinctes:

\vspace*{-1.5em}
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
x_1 & = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\\
& = \dfrac{-4-\sqrt{36}}{2\times(-5)}\\
& = \dfrac{-4-6}{-10}\\
& = 1
\end{align*}

\columnbreak

\begin{align*}
x_2 & = \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\\
& = \dfrac{-4+\sqrt{36}}{2\times(-5)}\\
& = \dfrac{-4+6}{-10}\\
& = -\dfrac{1}{5}.
\end{align*}
\end{multicols}

\begin{rem}
On aurait aussi pu remarquer que la somme des coefficients est nulle, et donc que $x_1=1$ est une racine évidente; avec la formule $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$, on déduit $x_2=-\dfrac{1}{5}$.
\end{rem}

\newpage
On en déduit alors le tableau de signes suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f(x)-g(x)$/0.75}{$-\infty$,$-\frac{1}{5}$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Du tableau de signes précédent, on peut conclure que:
\begin{itemize}
\item sur \intervOO{-\dfrac{1}{5}}{1}, $f(x)-g(x)>0$ et donc $f(x)>g(x)$ ce qui signifie que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$;

\bigskip

\item sur \intervOO{-\infty}{-\dfrac{1}{5}} et sur \intervOO{1}{+\infty}, $f(x)-g(x)<0$ et donc $f(x)<g(x)$ ce qui signifie que $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}
Une entreprise produit entre 1 millier et 5 milliers de pièces par jour. Le coût moyen de production d'une pièce, en milliers d'euros, pour $x$ milliers de pièces produites, est donné par la fonction $f$ définie pour tout réel $x\in\intervFF{1}{5}$ par :
\[
f(x)=\dfrac{0,5x^3-3x^2+x+16}{x}.
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer le coût moyen de production d'une pièce lorsque l'entreprise produit 2 milliers de pièces.

\item On admet que de $f$ est dérivable sur \intervFF{1}{5} et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

Montrer que pour tout réel $x\in\intervFF{1}{5}$,
\[
f'(x)=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}.
\]

\item Vérifier que, pour tout réel $x$,
\[
x^3-3x^2-16 = (x-4)(x^2+x+4).
\]

\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur \intervFF{1}{5}.

\item Déterminer le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de production d'une pièce soit minimal, ainsi que la valeur de ce coût minimal.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le coût moyen de production, en milliers d'euros, d'une pièce lorsque l'entreprise produit 2 milliers de pièces est :
\begin{align*}
f(2) & = \dfrac{0,5\times2^3-3\times2^2+2+16}{2}\\
& = \dfrac{4-12+18}{2}\\
f(2) & = 5.
\end{align*}
\underline{Ainsi, le coût moyen de production est égal à \numprint{5000}~\euro.}

\item On peut écrire $f(x)$ sous la forme suivante si l'on divise tous les termes par $x$:
\[
f(x)=0,5x^2-3x+1+\frac{16}{x}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x)&=0,5\times2x-3\times1+0-16\times\dfrac{1}{x^2}\\
& = x^2-3-\dfrac{16}{x^2}\\
\Aboxed{f'(x)& = \dfrac{x^3-3x-16}{x^2}}
\end{align*}

\item Développons:
\begin{align*}
(x-4)(x^2+x+4) & = x^3+x^2+4x-4x^2-4x-16\\
& = x^3-3x^2-16.
\end{align*}

\newpage
\item $f'(x)$ est du signe de $x^3-3x^2-16$ car $x^2 > 0$, donc du signe de $(x-4)(x^2+x+4)$.

Or, le discriminant de $x^2+x+4$ est :
\[
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times1\times4 = 1-16=-15<0.
\]
Donc $x^2+x+4$ est du signe du coefficient de $x^2$, c'est-à-dire positif.

Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $x-4$, d'où le tableau de signes et de variations suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.75,$f(x)$/1.5}{1,4,5}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/${14,5}$,-/1,+/${1,7}$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après le tableau de variations de $f$, le coût moyen de production est minimal pour $x=4$, soit pour \numprint{4000} pièces produites par jour, auquel cas le coût de production moyen est égal à \numprint{1000}~\euro.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}
Dans cet exercice, les distances sont exprimées en mètres.

On considère un rectangle $ABCD$ d'aire 49 m$^2$ tel que $DC=x$ et $BC=y$.

On admet que les nombres $x$ et $y$ sont strictement positifs.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (6,0) node[below right] {B} -- (6,4) node[above right] {C} -- (0,4) node[above left] {D} -- cycle;
\draw[<->,>=latex] (6.5,0) -- (6.5,4) node[midway,fill=pageenonce!30] {$y$};
\draw[<->,>=latex] (0,4.5) -- (6,4.5) node[midway,fill=pageenonce!30] {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On souhaite déterminer les dimensions $x$ et $y$ pour que le périmètre de ce rectangle soit minimal.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le périmètre, en mètres, du rectangle $ABCD$ est égal à $2x+\dfrac{98}{x}$.
\item Calculer ce périmètre pour $x=10$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

Soit $f$ la fonction définie sur \intervOO{0}{+\infty} par $f(x)=2x+\dfrac{98}{x}$. 

\medskip

On admet que $f$ est dérivable sur \intervOO{0}{+\infty} et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\bigskip

\begin{enumerate}[start=2]
\item Montrer que, pour tout $x > 0$, $f'(x)=\dfrac{2x^2-98}{x^2}$.

\item Déterminer le tableau de variations de la fonction $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.

\item En déduire les dimensions du rectangle d'aire 49 m$^2$ dont le périmètre est minimal.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item L'aire du rectangle $ABCD$ est égale à $xy$, mais aussi égale à 49. Donc:
\[
y=\dfrac{49}{x}.
\]
Le périmètre de $ABCD$ est $2(x+y)$ soit:
\begin{align*}
2\left(x + \dfrac{49}{x}\right) & = 2x+\dfrac{98}{x}\\
& = \dfrac{2x^2+98}{x^2}
\end{align*}

\item Si $x=10$, ce périmètre vaut:
\[
\dfrac{2\times10^2-98}{10^2}=\dfrac{200-98}{100}=1,02.
\]
\underline{Le périmètre du rectangle est donc égal à 1,02 m.}
\end{enumerate}

\item Pour $x>0$, la dérivée de $f(x)$ est:
\begin{align*}
f'(x) & = 2\times1 + 98\times\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\\
& = 2-\dfrac{98}{x^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{2x^2-98}{x^2}}
\end{align*}

\item $f'(x)=0 \iff 2x^2-98=0 \iff x^2 = \dfrac{98}{2} \iff
 x^2=49 \iff x=7\text{ ou }x=-7$. D'où le tableau suivant sur \intervOO{0}{+\infty}:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.75,$f(x)$/1.5}{0,7,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-,z,+,}
\tkzTabVar{D+/,-/28,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après le tableau de variations de $f$, le périmètre est minimal pour $x=7$, et vaut 28 m. Dans ce cas précis, $ABCD$ est un carré.
\end{enumerate}
\end{exocor}

\corriges
