
\begin{enumerate}
\item La dérivée de $x\mapsto\sqrt{x}$ est $x\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

La fonction $x\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ est de la forme $\dfrac{1}{v}$, dont la dérivée est $\dfrac{-v'}{v^2}$, donc la dérivée de $x\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ est la fonction:
\[
x\mapsto-\dfrac{2\times\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(2\sqrt{x})^2}=-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}.
\]
Ainsi, la dérivée de $g$ est:
\begin{align*}
g'(x)= & -\dfrac{1}{4x\sqrt{x}} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - 1\\
& = -\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}\times\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times\dfrac{2x\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}} - \dfrac{4x^2}{4x^2}\\
& = \dfrac{-\sqrt{x}-2x\sqrt{x}-4x^2}{4x^2}\\
\Aboxed{g'(x) & = -\dfrac{\sqrt{x}+2x\sqrt{x}+4x^2}{4x^2}}
\end{align*}

\item Pour tout $x>0$,  $\sqrt{x}+2x\sqrt{x}+4x^2>0$. On en déduit que $g'(x)<0$, et donc que $g$ est strictement décroissante sur $\R*_+$.

\item $g\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{5}{4}>0$ et $g(1)=-\dfrac{1}{2}$. 

Il n'y a pas de valeurs interdites entre $x=\dfrac{1}{4}$ et $x=1$, et $u$ est strictement décroissante sur $\intervFF{\frac{1}{4}}{1}$; on peut donc supposer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur cet intervalle (car dans ce cas, la courbe représentative de $g$ traverse l'axe des abscisses dans cet intervalle).

\item $f$ est de la forme $u \times v$ avec :
\begin{multicols}{2}
$u(x)=x+\sqrt{x}$

$u'(x)=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

\columnbreak

$v(x)=\e^{-x}$

$v'(x)=-\e^{-x}$
\end{multicols}

Ainsi,

\begin{align*}
f'(x) & = u'(x)v(x) + v'(x)u(x)\\
& = \left(1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\e^{-x} - \e^{-x}(x+\sqrt{x})\\
& = \left(1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-x-\sqrt{x}\right)\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x)& = g(x)\e^{-x}}
\end{align*}

\item $f'(x)$ est du signe de $g(x)$. D'après le signe de $g(x)$, on déduit:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{0,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,z,-}
\tkzTabVar{-/0,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
