
\begin{enumerate}
\item $f(x)$ est un quotient; par conséquent, $f$ est définie uniquement pour toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles le dénominateur de $f(x)$ est non nul.

Or, pour tout réel $x$, $\e^x >0$, donc $2\e^x>0$ et par conséquent, $2\e^x+7>0$.

Le dénominateur de $f(x)$ n'est donc jamais nul. Le domaine de définition de $f$ est donc \R.

\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec:
\begin{multicols}{2}
$u(x)=\e^{2x}-6$\\
$u'(x)=2\e^{2x}$

\columnbreak

$v(x)=2\e^x+7$\\
$v'(x)=2\e^x$
\end{multicols}
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = \dfrac{2\e^{2x}(2\e^x+7) - 2\e^x(\e^{2x}-6)}{(2\e^x+7)^2}\\
 & = \dfrac{2\e^{x}\big[\e^x(2\e^x+7) - (\e^{2x}-6)\big]}{(2\e^x+7)^2}\\
& = \dfrac{2\e^{x}\big[2\e^{2x}+7\e^x - \e^{2x}+ 6\big]}{(2\e^x+7)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{2\e^{x}(\e^{2x}+7\e^x + 6)}{(2\e^x+7)^2}}
\end{align*}
\item Pour tous réels $x$,
\begin{itemize}
\item $2\e^x > 0$,
\item $\e^{2x}+7\e^x + 6 > 0$ comme comme de termes strictement positifs,
\item $(2\e^x+7)^2 > 0$.
\end{itemize}

Ainsi, $f'(x)>0$ sur \R; la fonction $f$ est donc strictement croissante sur \R.
\end{enumerate}
