
\begin{itemize}
\item Si le mot de passe comporte 1 seul caract\`ere, alors il y a 70 possibilit\'es (car un caract\`ere est choisi parmi 70 symboles);
\item si le mot de passe comporte 2 caract\`eres, il y a $70^2$ possibilit\'es ;
\item si le mot de passe comporte 3 caract\`eres, il y a $70^3$ possibilit\'es ;
etc.
\end{itemize}
Ainsi, le nombre total de possibilit\'es est :
\[
S=70+70^2+70^3+\cdots+70^{\textcolor{violet}{25}}
\]
car il y a au plus \textcolor{violet}{25} caract\`eres dans le mot de passe.

\begin{align*}
S & = 70\big(1+q+q^2+\cdots+q^{24}\big)\quad\text{avec }q=70\\
& = 70\times\dfrac{q^{25}-1}{q-1}\\
& = 70 \times\dfrac{70^{25}-1}{70-1}\\
& = \dfrac{70}{70-1}\times\big(70^{25}-1\big).
\end{align*}

On peut consid\'erer que $\dfrac{70}{70-1}$ est proche de 1 et que $70^{25}-1$ est proche de $70^{25}$.

\medskip

\uline{Ainsi, un ordre de grandeur du nombre total de mots de passe est $70^{25}$.}

\medskip

Mais par \og ordre de grandeur \fg, on peut comprendre \og une puissance de 10 \fg. Nous allons donc aller plus loin.
\begin{align*}
70^{25} & = (7 \times 10)^{25}\\
& = 7^{25} \times 10^{25}\\
& = 7\times7^{24}\times10^{25}\\
& = 7\times\left(\textcolor{red}{7^2}\right)^{12}\times10^{25}\\
& \approx 7\times \textcolor{red}{50}^{12} \times10^{25}\\
& \approx 7\times\textcolor{blue}{5^{12}}\times10^{12}\times10^{25}\\
& \approx 7\times\textcolor{blue}{2\times10^{8}}\times10^{37}\\
& \approx 14\times10^{45}\\
& \approx 10^{46}.
\end{align*}

Petite pr\'ecision : j'ai calcul\'e $5^{12}$ \`a l'aide de la calculatrice pour \'ecrire que c'\'etait \`a peu pr\`es \'egal \`a $2\times10^8$.
