
\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilités est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.5]
\node[right] (a1) at (1.5,1) {C$_1$};
\node[right] (a1b) at (1.5,-1) {$\overline{\text{C}_1}$};
\draw (0,0) -- (1.5,1) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\small 0,7};
\draw (0,0) -- (1.5,-1) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\small 0,3};
\node[right] at (3.5,-0.5) {C$_2$};
\node[right] at (3.5,-1.5) {$\overline{\text{C}_2}$};
\draw (a1b.east) -- (3.5,-0.5) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\small 0,5};
\draw (a1b.east) -- (3.5,-1.5) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\small 0,5};
\node[right] (a2) at (3.5,1.5) {C$_2$};
\node[right] (a2b) at (3.5,0.5) {$\overline{\text{C}_2}$};
\draw (a1.east) -- (3.5,0.5) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\small 0,3};
\draw (a1.east) -- (3.5,1.5) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\small 0,7};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La probabilité que la deuxième montre fonctionne correctement est :
\begin{align*}
\proba{C_2} & = \proba{C_1 \cap C_2} + \proba{\evcont{C_1} \cap C_2}\\
& = \proba{C_1}\times\probacond{C_2}{C_1} + \proba{\evcont{C_1}}\times\probacond{C_2}{\evcont{C1}}\\
& = 0,7\times0,7+0,3\times0,5\\
\Aboxed{\proba{C_2} & = 0,64}
\end{align*}

\item \`A l'étape $n$, nous avons l'arbre suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.5]
\node[right] (a1) at (1.5,1) {C$_n$};
\node[right] (a1b) at (1.5,-1) {$\overline{\text{C}_n}$};
\draw (0,0) -- (1.5,1) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\small $p_n$};
\draw (0,0) -- (1.5,-1) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\small $1-p_n$};
\node[right] at (3.5,-0.5) {C$_{n+1}$};
\node[right] at (3.5,-1.5) {$\overline{\text{C}_{n+1}}$};
\draw (a1b.east) -- (3.5,-0.5) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\small 0,5};
\draw (a1b.east) -- (3.5,-1.5) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\small 0,5};
\node[right] (a2) at (3.5,1.5) {C$_n$};
\node[right] (a2b) at (3.5,0.5) {$\overline{\text{C}_{n+1}}$};
\draw (a1.east) -- (3.5,0.5) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\small 0,3};
\draw (a1.east) -- (3.5,1.5) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\small 0,7};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi,
\begin{align*}
p_{n+1} & = p_n\times0,7+(1-p_n)\times0,5\\
& = 0,7p_n+0,5-0,5p_n\\
\Aboxed{p_{n+1} & = 0,2p_n+0,5}
\end{align*}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & = \textcolor{red}{p_{n+1}}-0,625\\
& = \textcolor{red}{0,2p_n+0,5}-0,625\\
& = 0,2p_n-0,125\\
& = 0,2\left(p_n-\frac{0,125}{0,2}\right)\\
& = 0,2(p_n-0,625)\\
& = 0,2u_n
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, \suite{u}{n}{} est géométrique de raison $q=0,2$ et de premier terme :
\[
u_1=p_1-0,625=0,7-0,625=0,075.
\]

\item On déduit de la question précédente que :
\[
u_n=u_1\times q^{n-1}=0,075\times0,2^{n-1}
\]
et, comme $u_n=p_n-0,625$ :
\[
p_n=u_n+0,625\qquad\text{soit}\qquad \boxed{p_n=0,075\times0,2^{n-1}+0,625}
\]
\item Plus $n$ grandit, plus $0,2^n$ se rapproche de 0 car $0<0,2<1$, donc $p_n$ se rapproche de $0,625$.

\medskip

Cela signifie qu'à longs termes, la probabilité que madame Laguigne achète une montre qui fonctionne correctement se rapprochera de 0,625.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
