
\begin{enumerate}
\item Le domaine de définition de $f$ (\R) est centré en 0.

De plus, pour tout réel $x$, $f(-x)=\dfrac{\e^{-x}-\e^x}{\e^{-x}+\e^x}=-\dfrac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}}=-f(x)$.

\uline{$f$ est donc impaire.}

\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=\e^x-\e^{-x}$ et $v(x)=\e^x+\e^{-x}$.

Ainsi, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=\e^x+\e^{-x}=v(x)$ et $v'(x)=\e^x-\e^{-x}=u(x)$.

On a alors : $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = \dfrac{\big[v(x)\big]^2-\big[u(x)\big]^2}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = \dfrac{\big[v(x)-u(x)\big]\big[v(x)+u(x)\big]}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = \dfrac{2\e^{-2x}\times2\e^{2x}}{\big(\e^x+\e^{-x}\big)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{4}{\big(\e^x+\e^{-x}\big)^2}}
\end{aligned}$

Ainsi, $f'(x)>0$ sur $\R$, ce qui signifie que \uline{$f$ est strictement croissante sur \R}.

\item $f'(0)=\dfrac{4}{(1+1)^2}=1$ et $f(0)=0$ donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 est \uline{$y=x$}.
\end{enumerate}
