Madame Laguigne est très malchanceuse. Elle a constaté que la probabilité pour qu'une montre qu'elle vient d'acheter fonctionne correctement est égale à 0,7.

De plus, si la montre qu'elle vient d'acheter ne fonctionne pas, la probabilité pour que la montre qu'elle achètera après fonctionne correctement est égale à 0,5 alors que si la montre fonctionne bien cette probabilité est égale à 0,7.

On pose :
\begin{itemize}
\item C$_n$ l'événement : \og la $n$-ième montre fonctionne correctement \fg{} pour un entier $n$ supérieur ou égal à 1 ;
\item $p_n$ la probabilité que C$_n$ se réalise.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilités suivant :
\vspace*{-5mm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.5]
\node[right] (a1) at (1.5,1) {C$_1$};
\node[right] (a1b) at (1.5,-1) {$\overline{\text{C}_1}$};
\draw (0,0) -- (1.5,1) node[midway,fill=pageenonce!30] {\small ...};
\draw (0,0) -- (1.5,-1) node[midway,fill=pageenonce!30] {\small ...};
\node[right] at (3.5,-0.5) {C$_2$};
\node[right] at (3.5,-1.5) {$\overline{\text{C}_2}$};
\draw (a1b.east) -- (3.5,-0.5) node[midway,fill=pageenonce!30] {\small ...};
\draw (a1b.east) -- (3.5,-1.5) node[midway,fill=pageenonce!30] {\small ...};
\node[right] (a2) at (3.5,1.5) {C$_2$};
\node[right] (a2b) at (3.5,0.5) {$\overline{\text{C}_2}$};
\draw (a1.east) -- (3.5,0.5) node[midway,fill=pageenonce!30] {\small ...};
\draw (a1.east) -- (3.5,1.5) node[midway,fill=pageenonce!30] {\small ...};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Montrer que la probabilité que la deuxième montre fonctionne est égale à 0,64.
\item Justifier l'égalité : $p_{n+1}=0,2p_n+0,5$.
\item On pose :
\[
u_n=p_n-0,625.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire $p_n$ en fonction de $n$.
\item Vers quel nombre se rapproche $p_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ? Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

