
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2$, $a=2$.

\begin{itemize}
\item Calcul de $f'(2)$.

Le taux d'accroissement de $f$ en 2 est :
\begin{align*}
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} & = \dfrac{(2+h)^2-2^2}{h}\\
& = \dfrac{(2+h-2)(2+h+2)}{h}\\
&= \dfrac{\cancel h(4+h)}{\cancel h}\\
& = 4+h.
\end{align*}

Ainsi, le nombre dérivé de $f$ en 2 est :
\[ 
f'(2)=\limite{h}{0}{(4+h)}=4.
\]

\item L'équation de la tangente au point d'abscisse 2 est alors :
\begin{align*}
y & = f'(a)(x-a)+f(a)\\
y & = f'(2)(x-2)+f(2)\\
y & =4(x-2)+4\\
y & = 4x-8+4\\
\Aboxed{y & = 4x-4}
\end{align*}
\end{itemize}

\item $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $a=1$.

\begin{itemize}
\item Calcul de $f'(1)$.

Le taux d'accroissement de $f$ en 1 est :

\begin{align*}
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} & = \dfrac{\frac{1}{1+h}-\frac11}{h}\\
& = \dfrac{\frac{1}{1+h}-\frac{1+h}{1+h}}{h}\\
&= \dfrac{\frac{-h}{1+h}}{h}\\
& = -\dfrac{\cancel h}{\cancel h(1+h)}\\
& = -\dfrac{1}{1+h}.
\end{align*}

Ainsi, le nombre dérivé de $f$ en 1 est :
\[ 
f'(1)=\limite{h}{0}{\left(-\dfrac{1}{1+h}\right)}=-1.
\]

\item L'équation de la tangente au point d'abscisse 1 est alors :
\begin{align*}
y & = f'(a)(x-a)+f(a)\\
y & = f'(1)(x-1)+f(1)\\
y & =-1(x-1)+1\\
y & = -x+1+1\\
\Aboxed{y & = -x+2}
\end{align*}
\end{itemize}


\item $f(x)=x^2-2x+3$, $a=-1$.

\begin{itemize}
\item Calcul de $f'(-1)$.

Le taux d'accroissement de $f$ en $-1$ est :

\begin{align*}
\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h} & = \dfrac{(-1+h)^2-2(-1+h)+3-\big((-1)^2-2\times(-1)+3\big)}{h}\\
& = \dfrac{h^2-2h+1+2-2h+3-6}{h}\\
&= \dfrac{h^2-4h}{h}\\
& = \dfrac{\cancel h(h-4)}{\cancel h}\\
& = h-4.
\end{align*}

Ainsi, le nombre dérivé de $f$ en $-1$ est :
\[ 
f'(-1)=\limite{h}{0}{(h-4)}=-4.
\]

\item L'équation de la tangente au point d'abscisse $-1$ est alors :
\begin{align*}
y & = f'(a)(x-a)+f(a)\\
y & = f'(-1)(x+1)+f(-1)\\
y & =-4(x+1)+6\\
y & = -4x-4+6\\
\Aboxed{y & = -4x+2}
\end{align*}
\end{itemize}
\vspace*{5cm}
\item $f(x)=\sqrt{x}$, $a=3$.

\begin{itemize}
\item Calcul de $f'(3)$.

Le taux d'accroissement de $f$ en $4$ est :

\begin{align*}
\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h} & = \dfrac{\sqrt{4+h}-\sqrt{4}}{h}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{4+h}-2\big)\big(\sqrt{4+h}+2\big)}{h}\\
&= \dfrac{h^2-4h}{h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}\\
& = \dfrac{4+h-4}{h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}\\
& = \dfrac{\cancel h}{\cancel h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}\\
& = \dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}.
\end{align*}

Ainsi, le nombre dérivé de $f$ en $4$ est :
\[ 
f'(4)=\limite{h}{0}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}\right)}=\dfrac{1}{4}.
\]

\item L'équation de la tangente au point d'abscisse $4$ est alors :
\begin{align*}
y & = f'(a)(x-a)+f(a)\\
y & = f'(4)(x-4)+f(4)\\
y & =\dfrac{1}{4}(x-4)+2\\
y & = \dfrac{1}{4}x-1+2\\
\Aboxed{y & = \dfrac 14x+1}
\end{align*}
\end{itemize}
\end{enumerate}
