
L'existence de points d'intersection entre $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$ est conditionnée par le fait que l'équation $f(x)=mx-4$ aient deux  solutions. En effet, si on note $A\coord{x}{f(x)}$ un point de $\mathcal{C}$ et B$\coord{x}{mx-4}$ un point de $\mathcal{D}$, A et B sont confondus si leurs ordonnées sont égales, donc si $f(x)=mx-4$.
\begin{align*}
f(x)=mx-4 & \iff 2x^2-5x+1=mx-4\\
& \iff 2x^2 - 5x-mx+1+4=0\\
& \iff 2x^2 -(m+5)x+5 = 0.
\end{align*} 
Cette dernière équation admet deux solutions si $\Delta>0$:
\begin{align*}
\Delta>0 & \iff (m+5)^2-4\times2\times5 > 0\\
& \iff m^2+10m+25-40 > 0\\
& \iff m^2+10m-15>0.
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $m^2+10m-15$ est :
\[
\Delta^\prime=100-4\times(-15)=160
\]
donc il admet deux racines $m_1$ et $m_2$:
\[
m_1=\dfrac{-10-\sqrt{160}}{2}=-5-2\sqrt{10}
\]
et sa conjuguée:
\[
m_2=-5+2\sqrt{10}.
\]
On a alors le tableau de signes suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=1.5,color,colorC = numpagecorrige!20,colorL = numpagecorrige!20,colorV = numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$m^2+10m-15$/0.7}{$-\infty$,$m_1$,$m_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, $\Delta^\prime>0$, et donc $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ admettent deux points d'intersection, si :
\[
m\in\intervOO{-\infty}{-5-2\sqrt{10}}\cup\intervOO{-5+2\sqrt{10}}{+\infty}.
\]
