
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries\arraybackslash}Sr|*4{Sc|}}
\hline
X & 50 & 100 & 200 & 500\\
\hline
\probavar{X}{x_i} & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{1}{10}$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{3}{10}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\[
\esp{X}=235\qquad\text{et}\qquad\sigma(X)=\sqrt{\numprint{33525}}=15\sqrt{149}. 
\]
De plus, on sait que :
\[
\esp{$a$X+$b$}=a\esp{X}+b
\]
On cherche donc $a$ et $b$ afin d'avoir :
\[
a\esp{X}+b=0 \iff 235a+b=0 \iff b=-235a.
\]
De plus, 
\[
\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X).
\]
On souhaite que $\sigma(aX+b)=1$ donc :
\[
|a|\sigma(X)=1 \iff |a|=\dfrac{1}{15\sqrt{149}}.
\]
On en déduit alors que :
\[
\text{si }a=\dfrac{1}{15\sqrt{149}}\text{ alors } b=-\dfrac{235}{15\sqrt{149}}.
\]
Dans ce cas, la nouvelle variable aléatoire sera :
\[
Y=\dfrac{X-235}{15\sqrt{149}} = \left\{ -\dfrac{37}{3\sqrt{149}}~;~-\dfrac{9}{\sqrt{149}}~;~-\dfrac{7}{3\sqrt{149}}~;~\dfrac{53}{3\sqrt{149}} \right\}.
\]
De plus,
\[
\text{si }a=-\dfrac{1}{15\sqrt{149}}\text{ alors } b=\dfrac{235}{15\sqrt{149}}.
\]
\newpage
Dans ce cas, la nouvelle variable aléatoire sera :
\[
Z=-Y=\left\{ \dfrac{37}{3\sqrt{149}}~;~\dfrac{9}{\sqrt{149}}~;~\dfrac{7}{3\sqrt{149}}~;~-\dfrac{53}{3\sqrt{149}} \right\}.
\]
\begin{rem}
À travers cet exemple, on peut remarque que si X est une variable aléatoire d'espérance $\esp{X}$ et d'écart-type $\sigma(X)$ alors la variable $Y=\dfrac{X-\esp{X}}{\sigma(X)}$ est telle que $\esp{Y}=0$ et $\sigma(Y)=1$.
\end{rem}
