
\begin{enumerate}
\item Le coût moyen de production, en milliers d'euros, d'une pièce lorsque l'entreprise produit 2 milliers de pièces est :
\begin{align*}
f(2) & = \dfrac{0,5\times2^3-3\times2^2+2+16}{2}\\
& = \dfrac{4-12+18}{2}\\
f(2) & = 5.
\end{align*}
\underline{Ainsi, le coût moyen de production est égal à \numprint{5000}~\euro.}

\item On peut écrire $f(x)$ sous la forme suivante si l'on divise tous les termes par $x$:
\[
f(x)=0,5x^2-3x+1+\frac{16}{x}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x)&=0,5\times2x-3\times1+0-16\times\dfrac{1}{x^2}\\
& = x^2-3-\dfrac{16}{x^2}\\
\Aboxed{f'(x)& = \dfrac{x^3-3x-16}{x^2}}
\end{align*}

\item Développons:
\begin{align*}
(x-4)(x^2+x+4) & = x^3+x^2+4x-4x^2-4x-16\\
& = x^3-3x^2-16.
\end{align*}

\newpage
\item $f'(x)$ est du signe de $x^3-3x^2-16$ car $x^2 > 0$, donc du signe de $(x-4)(x^2+x+4)$.

Or, le discriminant de $x^2+x+4$ est :
\[
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times1\times4 = 1-16=-15<0.
\]
Donc $x^2+x+4$ est du signe du coefficient de $x^2$, c'est-à-dire positif.

Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $x-4$, d'où le tableau de signes et de variations suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.75,$f(x)$/1.5}{1,4,5}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/${14,5}$,-/1,+/${1,7}$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après le tableau de variations de $f$, le coût moyen de production est minimal pour $x=4$, soit pour \numprint{4000} pièces produites par jour, auquel cas le coût de production moyen est égal à \numprint{1000}~\euro.
\end{enumerate}
