On considère un jeu où deux urnes $U_1$ et $U_2$ sont remplies de 12 boules.

Dans $U_1$, il y a 8 boules rouges, 3 boules blanches et 1 boule noire.

Dans $U_2$, il y a 1 boule rouge, 8 boules blanches et 3 boules noires.

Le joueur tire au hasard une boule dans $U_1$, puis une autre dans $U_2$.

On note :
\begin{itemize}
\item R l'événement : \og la boule tirée est rouge \fg{} ;
\item B l'événement : \og la boule tirée est blanche \fg{} ;
\item N l'événement : \og la boule tirée est noire \fg.
\end{itemize}

Si les deux boules tirées sont de la même couleur, le joueur gagne 10 \euro{}; sinon, il ne gagne rien.

Pour jouer, on doit s'acquitter d'une somme de 5 \euro.

On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilités suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (R1) at (0,2) {R};
\node (B1) at (0,0) {B};
\node (N1) at (0,-2) {N};
%
\node (R1R2) at (2,2.5) {R};
\node (R1B2) at (2,2) {B};
\node (R1N2) at (2,1.5) {N};
%
\node (B1R2) at (2,.5) {R};
\node (B1B2) at (2,0) {B};
\node (B1N2) at (2,-.5) {N};
%
\node (N1R2) at (2,-1.5) {R};
\node (N1B2) at (2,-2) {B};
\node (N1N2) at (2,-2.5) {N};
%
\draw (-2,0) -- (R1.west);
\draw (-2,0) -- (B1.west);
\draw (-2,0) -- (N1.west);
%
\draw (R1.east) -- (R1R2.west);
\draw (R1.east) -- (R1B2.west);
\draw (R1.east) -- (R1N2.west);
%
\draw (B1.east) -- (B1R2.west);
\draw (B1.east) -- (B1B2.west);
\draw (B1.east) -- (B1N2.west);
%
\draw (N1.east) -- (N1R2.west);
\draw (N1.east) -- (N1B2.west);
\draw (N1.east) -- (N1N2.west);
%
\node at (0,3) {$U_1$};
\node at (2,3) {$U_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace*{-1em}
\item Déterminer la loi de probabilités de X.
\item Calculer l'espérance mathématique de X, puis interpréter ce résultat.
\item Calculer la variance puis l'écart-type de X.
\end{enumerate}
\vspace*{-0.5em}

