
\begin{enumerate}
\item\label{sujet0-1-q1}
\begin{enumerate}
\item $\vv{OI}$ a les même coordonnées que $I$ car $O$ est l'origine du repère.

Ainsi, $\vv{OI}\dbinom{4}{3}$.

\medskip

De même, $\vv{OC}\dbinom{0}{4}$.

\item\label{sujet0-1-q1b} On en déduit:
\[
\prodscal{OI}{OC}=4\times0 + 3\times4 = 12.
\]
\end{enumerate}

\item\label{sujet0-1-q2}
\begin{enumerate}
\item\label{sujet0-1-q2a} D'après le cours,
\[
\prodscal{OI}{OC}=OI \times OH
\]
car $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(OI)$.

\item\label{sujet0-1-q2b} $OAI$ est un triangle rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore,
\[
OI = \sqrt{AO^2+AI^2}=\sqrt{16+9}=5.
\]

\item Des questions \ref{sujet0-1-q1}\ref{sujet0-1-q1b}, \ref{sujet0-1-q2}\ref{sujet0-1-q2a} et \ref{sujet0-1-q2}\ref{sujet0-1-q2b}, on déduit:
\[
12 = 5OH \qquad\text{soit}\qquad OH = \dfrac{12}{5}=2,4.
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
M\coord{x}{y}\in(CH) & \iff \prodscal{OI}{CM}=0\\
& \iff \dbinom{4}{3}\cdot\dbinom{x}{y-4}=0\\
& \iff 4x + 3(y-4)=0\\
& \iff 4x + 3y - 12 = 0
\end{aligned}$

\medskip

Une équation cartésienne de $(CH)$ est donc $4x + 3y - 12 = 0$.

\item L'équation cartésienne canonique de $\mathcal{E}$ est:
\[
(x-x_D)^2 + (y-y_D)^2 = r^2\qquad\text{soit}\qquad (x-2)^2 + (y-2)^2 = (0,5)^2.
\]
En développant, on trouve:
\[
x^2-4x+4 + y^2-4y+4=0,25\qquad\text{soit}\qquad x^2+y^2-4x-4y+7,75=0.
\]

\item Si $M\coord{1,5}{2}$ appartient à l'intersection de $\mathcal{E}$ et $(CH)$, ses coordonnées doivent vérifier leurs équations cartésiennes respectives:
\begin{itemize}
\item Appartenance à $(CH)$: $4\times1,5 + 3\times2 - 12 = 6+6-12=0$.
\item Appartenance à $\mathcal{E}$: $ 1,5^2+2^2-4\times1,5-4\times2+7,75=2,25+4-6-8+7,75=0$.
\end{itemize}
Ainsi, $M$ est bien une intersection de $\mathcal{E}$ et $(CH)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
