
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $g$ a pour racine évidente $x_1=1$ donc sa seconde racine est $x_2=\frac{c}{a}=4$. D'après le cours, on a alors le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline]
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$g(x)$/0.5}{$-\infty$,$1$,$4$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $A_n\coord{n}{g(n)}$ car $A_n\in\mathcal{P}$.

$A_{n+1}\coord{n+1}{g(n+1)}$ car $A_{n+1}\in\mathcal{P}$.

\medskip

Le coefficient directeur de $(A_nA_{n+1})$ est donc:
\[
\dfrac{g(n+1)-g(n)}{(n+1)-n}=\big[(n+1)^2-5(n+1)+4 \big] - \big[n^2-5n+4 \big]=2n-4.
\]

\item $a_n$ est une fonction affine de $n$, donc \suite{a}{n}{} est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $a_0=-4$ (on a en effet $u_n=u_0+nr$).
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in\intervFF{0,5}{8}$, $\dfrac{g(x)}{x}=\dfrac{x^2-5x+4}{x}=x-5+\dfrac{4}{x}=f(x)$.

\item Sur \intervFF{0,5}{8}, $f(x)$ et $g(x)$ sont de même signe car $x>0$ donc:
\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur \intervOO{-\infty}{1} et sur \intervOO{4}{+\infty};
\item $\mathcal{C}$ est en-dessous de l'axe des abscisses sur \intervOO{1}{4};
\item $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en $x=1$ et $x=4$.
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = (x-5)^\prime + \left(\dfrac{4}{x}\right)^\prime\\
      & = 1 - \dfrac{4}{x^2}\\
      & = \dfrac{x^2-4}{x^2}\\
      & = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}.
\end{aligned}$

\newpage

\item $f'(x)$ est du signe de $(x-2)(x+2)$ car $x^2>0$ d'où:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{${0,5}$,$2$,$8$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/{3,5},-/$-1$,+/{3,5}}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On devra dessiner une courbe ressemblant à cela:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt, fill=white] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\rep{-0.1}{-1.2}{8.5}{4}
\draw[thick,red, domain=0.5:8,samples=100] plot (\x,{\x-5+4/\x});
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{rem}
Comment tracer la courbe sans avoir l'allure donnée par la calculatrice ? Il faut partir du \og premier point \fg{} de coordonnées \coord{0,5}{3,5} et aller vers le deuxième point du tableau de variations (de coordonnées \coord{2}{-1}) en gardant en tête que c'est un minimum et que la tangente est \textit{horizontale}; donc il ne doit pas y avoir de \og pointe \fg{} à ce niveau. Ensuite, on doit aller jusqu'au dernier point, de coordonnées \coord{8}{3,5}. D'où l'importance de calculer les images des abscisses que l'on a dans le tableau de variations.

\medskip

Le tracé doit être le plus harmonieux possible: pas d'à-coup. Cependant, on ne vous sanctionnera pas si vous dessinez façon Picasso...
\end{rem}
