
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\big(2+2\sqrt3\big)^2 & = 4 + 8\sqrt3 + 4\times3\\
& = 16+8\sqrt3.
\end{aligned}$

Comme $2+2\sqrt3 > 0$,
\[
\big(2+2\sqrt3\big)^2 = 16+8\sqrt3 \iff 2+2\sqrt3 = \sqrt{16+8\sqrt3}.
\]

\item Pour résoudre sur \intervFF{0}{2\pi} l'équation:
\[
4\cos^2(x)  + 2\big(\sqrt3-1\big)\cos(x) - \sqrt3 = 0\,,
\]
on pose:
\[
X = \cos (x).
\]
Ainsi, l'équation est équivalente à :
\[
4X^2 + 2\big(\sqrt3-1\big)X - \sqrt3 = 0.
\]
C'est une équation du second degré, dont le discriminant vaut:
\begin{align*}
\Delta & = \Big[2\big(\sqrt3-1\big)\Big]^2 - 4 \times( - \sqrt3)\times4\\
       & = 4(3-2\sqrt3+1)+16\sqrt3\\
       & = 12-8\sqrt3+4+16\sqrt3\\
       & = 16+8\sqrt3\\
       & = \big(2+2\sqrt3\big)^2.
\end{align*}
Ainsi, il y a deux solutions distinctes à notre équation:
\begin{align*}
X_1 & = \dfrac{-2\big(\sqrt3-1\big)-\big(2+2\sqrt3\big)}{8} = \dfrac{-4\sqrt3}{8}=\dfrac{\sqrt3}{2}.\\
X_2& = \dfrac{-2\big(\sqrt3-1\big)+\big(2+2\sqrt3\big)}{8} = \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.
\end{align*}
Si on se ramène à présent à $x$, l'inconnue de départ, on a:
\[
\begin{cases}
\cos(x_1) = \dfrac{\sqrt3}{2}\\
\cos(x_2) = \dfrac{1}{2}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x_1 = \frac{\pi}{6}\text{ ou } x_1=\dfrac{11\pi}{6}\\
x_2 = \dfrac{\pi}{3}\text{ ou }x_2=\dfrac{5\pi}{3}.
\end{cases}
\]
L'ensemble solution de l'équation est alors:
\[
\boxed{\mathcal{S} = \left\{ \frac{\pi}{6}~;~\frac{\pi}{3}~;~\frac{5\pi}{3}~;~\frac{11\pi}{6} \right\}}
\]
\end{enumerate}
