\chapter{Suites numériques}

\newpage

\section{Rappels sur la méthode de Newton}


Nous avons vu dans le chapitre précédent que la méthode de Newton a pour objectif de trouver des nombres qui se rapprochent de plus en plus d'une solution à l'équation $f(x)=0$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[dashed,gray] (-5,-4) grid (10,14);
\draw[->,>=latex,thick] (-5,0) -- (10,0);
\draw[->,>=latex,thick] (0,-4) -- (0,14);
\draw[thick,red,->,>=latex] (0,0) -- (0,1) node[midway,left]
 {$\vv{\jmath}$};
 \draw[thick,red,->,>=latex] (0,0) -- (1,0) node[midway,below]
 {$\vv{\imath}$};
 \clip (-5,-4) rectangle (10,14);
 \draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-5:10,samples=100] (\x,{0.25*\x*\x+0.4*\x-3});
 %
\fill[orange] (7,{0.25*7*7+0.4*7-3}) circle (3pt) node[right] {$M_0$};
\draw[thick,orange] plot[domain=0:10] (\x,{3.9*(\x-7)+12.05});
\fill[green!50!black] (3.91,0) circle (3pt) node[below right] {$a_1$};
%
\fill[purple] (3.91,{0.25*3.91*3.91+0.4*3.91-3}) circle (3pt) node[above left] {$M_1$};
\draw[thick,purple] plot[domain=0:10] (\x,{2.355*(\x-3.91)+2.39});
\fill[green!50!black] (2.9,0) circle (3pt) node[above left] {$a_2$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}

\medskip

Les nombres $a_1$, $a_2$, \ldots se rapprochent de la solution.
\end{center}

On dit que les nombres $a_1$, $a_2$, \ldots sont les \textbf{termes successifs} de la \textbf{suite} \suite{a}{n}{}.

\section{Introduction}

\subsection{Définition}


\begin{defin}
On appelle \textbf{suite numérique} une fonction dont la variable est un entier naturel.

Pour ne pas confondre avec les fonctions à variables réelles, la variable est mise en indice.

\bigskip

Si \suite{u}{n}{n\in\N} est une suite, alors $n$ est l'\textbf{indice} du \textbf{terme} $u_n$.
\end{defin}

On peut définir une suite de deux manières :

\begin{itemize}
\item par une fonction (si on connaît l'expression du terme général en fonction de l'indice);
\item par récurrence (si on calcule un terme en fonction du ou des termes précédents). 
\end{itemize}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item Si on définit la suite \suite{u}{n}{n\geqslant1} par :
\[
\forall n\geqslant1,\quad u_n = \dfrac{1}{n}\,,
\]
alors \suite{u}{n}{n\geqslant1} est définie par la fonction $n\mapsto\dfrac{1}{n}$; on dit qu'elle est définie de \textbf{manière explicite}. 

\item Dans la méthode de Newton, les nombres $a_n$ se calculent avec la relation :
\[
\begin{cases}
a_0\text{ donné}\\
a_{n+1}=a_n-\dfrac{f(a_n)}{f'(a_n)}.
\end{cases}
\]
Dans la mesure où on calcule un terme à l'aide du terme précédent, la suite est définie de \textbf{manière récurrente.}
\end{enumerate}
\end{exemple}

\subsection{Objectifs}

L'étude des suites numériques consiste à:

\begin{itemize}
\item trouver leurs variations;
\item exprimer de façon explicite leur terme général (quand elles sont définies par récurrence).
\end{itemize}

Pour étudier les variations d'une suite, la dérivation ne sera pas toujours possible (quand la suite est définie de manière récurrente).

\medskip

Le second point de nos objectifs est sans doute le plus problématique car, dans un cas général, il n'est pas chose aisée de passer de la forme récurrente à la forme explicite.

En classe de 1\iere, nous verrons tout de même quelques exemples fondamentaux.

\subsection{Variations d'une suite}

\begin{defin}
\begin{itemize}
\item On dira qu'une suite \suite{u}{n}{} est \textbf{strictement croissante} à partir de $n_0$ si :
\[
\forall n\geqslant n_0,\quad u_{n+1}>u_n.
\]
\item On dira qu'une suite \suite{u}{n}{} est \textbf{strictement décroissante} à partir de $n_0$ si :
\[
\forall n\geqslant n_0,\quad u_{n+1}<u_n.
\]
\item On dira qu'une suite \suite{u}{n}{} est \textbf{constante} à partir de $n_0$ si :
\[
\forall n\geqslant n_0,\quad u_{n+1}=u_n.
\]
\end{itemize}
\end{defin}

\newpage

Pour trouver le sens de variation d'une suite, nous avons trois méthodes, qui dépendent de la manière dont est définie la suite:

\begin{enumerate}
\item On calcule $u_{n+1}-u_n$ pour tout entier naturel $n$ et on regarde le signe du résultat: par exemple, si $u_{n+1}-u_n>0$ alors la suite est croissante.

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Cas d'une suite définie de façon explicite.}

Posons $u_n=\sqrt{n+1}$. Quel que soit l'entier $n$, 
\[
n+2 > n+1.
\]
La fonction $x\mapsto\sqrt{x}$ étant strictement croissante sur $\R_+$, on a :
\[
\sqrt{n+2} > \sqrt{n+1}
\]
(les images de deux nombres par une fonction croissante sont rangées dans le même ordre que les nombres)

Ainsi :
\[ u_{n+1} > u_n \]
ce qui signifie que la suite \suite{u}{n}{} est strictement croissante sur \N.

\item \textbf{Cas d'une suite définie par récurrence.}

Posons pour tout entier naturel $n$ :
\[
\begin{cases}v_0=9\\v_{n+1}=v_n^2-v_n+3\end{cases}.
\]
Alors,
\begin{align*}
v_{n+1}-v_n & =(v_n^2-v_n+3)-v_n\\
& = v_n^2+3.
\end{align*}
Quel que soit la valeur de l'entier $n$, $v_n^2\geqslant0$ donc $v_n^2+3\geqslant3$, et donc $v_{n+1}-v_n>0$.

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}>v_n$; la suite est donc croissante sur \N.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\bigskip

\begin{rem}
C'est la méthode la plus utilisée dans un cas général.

Cependant, quand on ne peut pas raisonner comme dans l'exemple ci-dessus, elle implique quelques fois des calculs qui peuvent paraître longs.

Il ne faut donc pas détester le calcul algébrique pour l'utiliser.

\bigskip

On utilise cette méthode lorsque l'on ne peut pas utiliser les deux suivantes.
\end{rem}

\newpage

\item Si nous sommes en mesure de justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$ alors on peut calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et comparer le résultat à 1; par exemple, s'il est plus grand que 1, alors la suite est strictement croissante.

\begin{exemple}
Soit \suite{u}{n}{} la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n=\dfrac{3^n}{5^{n+1}}$.

Quel que soit l'entier $n$, $3^n>0$ et $5^{n+1}>0$ donc $u_n>0$.

On peut donc calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. L'expression de $u_{n+1}$ s'obtient en remplaçant $n$ par $n+1$ dans l'expression de $u_n$:
\[
u_{n+1} = \dfrac{3^{\color{red}n+1}}{5^{{\color{red}n+1}+1}} = \dfrac{3^{n+1}}{5^{n+2}}.
\]
Ainsi,
\[
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\frac{3^{n+1}}{5^{n+2}}}{\dfrac{3^{n}}{5^{n+1}}} = \dfrac{3^{n+1}}{5^{n+2}} \times \dfrac{5^{n+1}}{3^n}=
\]
On réunit maintenant les puissances de 3 dans une même fraction, et les puissances de 5 dans une autre même fraction:
\[
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3^{n+1}}{3^n} \times \dfrac{5^{n+1}}{5^{n+2}}=\dfrac{\cancel{3^n} \times 3^1}{\cancel{3^n}} \times \dfrac{\cancel{5^{n+1}}}{\cancel{5^{n+1}}\times5^1}=\dfrac{3}{5}<1.
\]
Ainsi, \suite{u}{n}{} est strictement décroissante.
\end{exemple}

\begin{rem}
Dans le cas des suites définies par récurrence, il est difficile en classe de 1\iere{} de savoir si tous les termes sont strictement positifs. Donc on n'utilisera jamais cette méthode pour de telles suites.
\end{rem}

\begin{attention}
Cette méthode doit s'appliquer aux suites définies de manière explicite  dont l'expression comporte des puissances ou des produits.
\end{attention}

\item Si la suite est définie de manière explicite par une fonction $f$, et si on peut étudier facilement les variations de $f$ sur $\R^+$ (car dans $u_n=f(n)$, $n$ est un entier naturel, donc positif), alors on le fait.

\begin{exemple}
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 - 5n - 1$.

Ainsi, $u_n=f(n)$ avec $f(x)=x^2-5x-1$. C'est un polynôme de degré 2 dont le coefficient principal est positif ($a=1>0)$; ainsi, les branches de la parabole qui le représente sont dirigées vers le haut et son sommet a pour abscisse $x_S = -\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}=2,5$.

Ainsi, $f$ est strictement croissante sur \intervFO{2,5}{+\infty}.

La suite \suite{u}{n}{} est donc strictement croissante à partir de $n=3$ (on prend l'entier tout de suite supérieur à 2,5).
\end{exemple}
\end{enumerate}

\subsection{Majorants et minorants}

\begin{defin}
\begin{itemize}
\item On appelle \textbf{majorant} d'une suite \suite{u}{n}{} tout nombre $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant M$.

\item On appelle \textbf{minorant} d'une suite \suite{u}{n}{} tout nombre $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant m$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item Soit \suite{u}{n}{n\geqslant1} définie par $u_n=\dfrac{1}{n}$. \og 0 \fg{}  est un minorant de \suite{u}{n}{} car pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n>0$.

\item Soit \suite{v}{n}{} définie par $v_n=3-\dfrac{1}{n}$. Pour tout entier naturel $n>0$, $\frac{1}{n}>0$ donc $3-\frac{1}{n}<3$. 

\og 3 \fg{} est donc un majorant de \suite{v}{n}{}.
\end{enumerate}
\end{exemple}


\section{Suites arithmétiques}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
On dit qu'une suite \suite{u}{n}{} est \textbf{arithmétique} si, pour tout entier naturel $n$,
\[ u_{n+1}=u_n+r
\]
où $r$ est un nombre réel.

\medskip

$r$ est alors appelé la \textbf{raison} de la suite.
\end{defin}

\begin{exemple}[suite arithmétique]
Simon possède 30 \euro{} d'argent de poche.

Chaque semaine, il reçoit 5 \euro{} de la part de ses parents.

\medskip

S'il ne dépense pas son argent petit à petit, 

\begin{itemize}
\item après 1 semaine, il aura $30 + 5=35$ \euro;
\item après 2 semaines, il aura $35+5=40$ \euro;
\item après 3 semaines, il aura $40+5=45$ \euro;
\item etc.
\end{itemize}

Si on note $u_n$ la somme qu'il a après $n$ semaine(s) alors :
\[
u_0=30\quad ; \quad u_1=30+5=35\quad ; \quad u_2=35+5=40\quad ; \quad \ldots
\]
que l'on peut aussi écrire : $\begin{cases}
u_0=30\\
u_{n+1}=u_n+5
\end{cases}$

La suite \suite{u}{n}{} est alors arithmétique de premier terme $u_0=30$ et de raison $r=5$.
\end{exemple}

\begin{rem}
Si on regarde trois termes consécutifs d'une suite arithmétique :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw] (n0) at (0,0) {$u_{n-1}=u_n-r$};
\node[draw] (n1) at (2,0) {$u_{n}$};
\node[draw] (n2) at (4,0) {$u_{n-1}=u_n+r$};
\draw[->,>=latex] (n0.north) to[bend left=20] (n1.north);
\draw[->,>=latex] (n1.north) to[bend left=20] (n2.north);
\node at ($0.5*(n0.north)+0.5*(n1.north)+(0,0.5)$) {$+r$};
\node at ($0.5*(n1.north)+0.5*(n2.north)+(0,0.5)$) {$+r$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
on constate que :
\[
\dfrac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}=\dfrac{u_n-r+u_n+r}{2}=u_n.
\]
Ainsi, n'importe quel terme est la moyenne \textit{arithmétique} des deux qui l'entourent; c'est pourquoi ces suites sont qualifiées d'\textit{arithmétiques}.
\end{rem}

\subsection{Variations}

\begin{prop}
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de raison $r$.
\begin{itemize}
\item Si $r>0$ alors \suite{u}{n}{} est strictement croissante.
\item Si $r<0$ alors \suite{u}{n}{} est strictement décroissante.
\item Si $r=0$ alors \suite{u}{n}{} est constante.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{demo}
Pour tout entier naturel $n$, 
\[
u_{n+1}-u_n = (u_n+r)-u_n=r. \]
Donc,
\begin{itemize}
\item si $r>0$, $u_{n+1}-u_n>0$ et donc $u_{n+1}>u_n$; la suite \suite{u}{n}{} est donc strictement\linebreak croissante.
\item si $r<0$, $u_{n+1}-u_n<0$ et donc $u_{n+1}<u_n$; la suite \suite{u}{n}{} est donc strictement\linebreak décroissante.
\item si $r=0$, $u_{n+1}-u_n=0$ et donc $u_{n+1}=u_n$; la suite \suite{u}{n}{} est donc constante.
\end{itemize}
\end{demo}

%\newpage

\subsection{Formule explicite}

\begin{prop}[terme général]
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de premier terme $u_p$ et de raison $r$, $p\geqslant0$. Alors,
\[
\forall n\geqslant p,\quad u_n=u_p+(n-p)r.
\]
\end{prop}

\newpage

\begin{demo}
Le schéma suivant illustre la situation dans laquelle nous sommes:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw] (n0) at (0,0) {$u_p$};
\node[draw] (n1) at (2,0) {$u_{p+1}$};
\node[draw] (n2) at (4,0) {$u_{p+2}$};
\node (n3) at (6,0) {$\cdots$};
\node[draw] (n4) at (8,0) {$u_{n-1}$};
\node[draw] (n5) at (10,0) {$u_{n}$};
%
\draw[->,>=latex] (n0.north) to[bend left=20] (n1.north);
\draw[->,>=latex] (n1.north) to[bend left=20] (n2.north);
\draw[->,>=latex] (n2.north) to[bend left=20] (n3.north west);
\draw[->,>=latex] (n3.north east) to[bend left=20] (n4.north);
\draw[->,>=latex] (n4.north) to[bend left=20] (n5.north);
\draw[->,>=latex] (n4.north) to[bend left=20] (n5.north);
%
\node at ($0.5*(n0.north)+0.5*(n1.north)+(0,0.5)$) {$+r$};
\node at ($0.5*(n1.north)+0.5*(n2.north)+(0,0.5)$) {$+r$};
\node at ($0.5*(n2.north)+0.5*(n3.north west)+(0,0.5)$) {$+r$};
\node at ($0.5*(n3.north east)+0.5*(n4.north)+(0,0.5)$) {$+r$};
\node at ($0.5*(n4.north)+0.5*(n5.north)+(0,0.5)$) {$+r$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
On peut écrire :
\[
u_n=u_{p+(n-p)}
\]
donc pour passer de $u_p$ à $u_{p+(n-p)}$, on ajoute $(n-p)$ fois $r$, d'où :
\[
u_n = u_p+(n-p)r. \]
\end{demo}


\begin{prop}[cas particulier, en prenant $p=0$]
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$. Alors,
\[
\forall n\geqslant 0,\quad u_n=u_0+nr.
\]
\end{prop}

\begin{prop}[cas particulier, en prenant $p=1$]
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de premier terme $u_1$ et de raison $r$. Alors,
\[
\forall n\geqslant 1,\quad u_n=u_0+(n-1)r.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Reprenons l'exemple de Simon (exemple \ref{exemple:suite arithmétique}).

Nous avions établi l'égalité :
\[ \forall n\geqslant0,\quad u_{n+1}=u_n+5\qquad\text{avec }u_0=30.\]
D'après le corollaire 1, 
\[
\forall n\geqslant0,\quad u_n=30+5n. \]
Cette formule explicite nous permet de connaître la somme que possède Simon après $n$ semaines sans avoir à calculer tous les termes de la suite. 
\end{exemple}

\subsection{Représentation graphique}

Une suite peut être représentée par une série de points de coordonnées \coord{n}{u_n}.

Dans le cas d'une suite arithmétique de raison $r$, les points ont pour coordonnées \coord{n}{u_0+nr}.

Tous les points sont donc alignés sur la droite d'équation $y=rx+u_0$, où $u_0$ est l'ordonnée à l'origine et $r$, le coefficient directeur.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\node[fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\rep{-1}{0}{10}{10}
\draw[blue] plot[domain=0:10] (\x,{0.75*\x+3});
\foreach \x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{
\fill[red] (\x,{0.75*\x+3}) circle (3pt);
}
\node[fill=white] (n) at (-0.5,4) {$u_0$};
\draw[->,>=latex] (n.south) to[bend right=30] (-0.1,3);
\node[blue,left] at (8.5,9.5) {$y=rx+u_0$};
\draw[thick,green!50!black][->,>=latex] (3,5.25) --  (4,5.25) node[midway,below] {$+1$};
\draw[thick,green!50!black][->,>=latex] (4,5.25) -- (4,6) node[midway,right] {$+r$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Somme des premiers termes}

\subsubsection{Somme des premiers entiers}

Carl Friedrich Gauss (1777 -- 1855) était un grand mathématicien allemand. On le surnomme le \og prince des mathématiques \fg{} car l'histoire raconte que très jeune, il fit des prouesses en cette discipline.

On raconte par exemple que, très jeune, il avait un instituteur qui voulait la paix dans la classe et pour cela, il demanda à ses élèves de calculer la somme :
\[
1+2+3+4+5+\cdots+98+99+100.
\]
Mais il ne fallut que quelques secondes au petit Gauss pour donner la réponse : \og \numprint{5050} \fg.

Il remarqua en effet que :
\[
1+100=2+99=3+98=\cdots=50+51=101\;,
\]
et donc que la somme était égale à $50\times101=\numprint{5050}$.

\bigskip

En s'inspirant de cette méthode, que l'on peut généraliser, on peut trouver une expression qui donne la somme :

\[ E_n=1+2+3+\cdots+(n-2)+(n-1)+n.\]


En l'écrivant ainsi, puis à l'envers, et en ajoutant les deux égalités, on a :

\[
\begin{array}{*{15}{c}}
E_n & = & 1 & + & 2 & + & 3 & + & \cdots & + & (n-2) & + & (n-1) & + & n\\
E_n & = & n & + & (n-1) & + & (n-2) & + & \cdots & + & 3 & + & 2 & + & 1\\
\hline
2E_n & = & (n+1) & + & (n+1) & + & (n+1) & + & \cdots & + & (n+1) & + & (n+1) & + & (n+1)
\end{array}
\]

Ainsi, 
\[ 2E_n=n\times(n+1)\]
car il y a $n$ fois le terme \og $n+1$ \fg, et donc :
\[ E_n=\frac{n(n+1)}{2}\;.
\]

\begin{prop}[somme des premiers entiers]
\[
1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.
\]
\end{prop}

\subsubsection{Le symbole de sommation \og $\sum$ \fg}

Le symbole \og $\sum$ \fg{} (c'est la lettre grecque \textit{sigma majuscule}) est très souvent utilisé pour désigner une somme de termes.

Ainsi, quand on écrit $\displaystyle\sum_{k=0}^{100} u_k$, cela désigne la somme $u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+\cdots+u_{99}+u_{100}$. 

La propriété \ref{prop:somme des premiers entiers} s'écrit alors :
\[
\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}
\]

\subsubsection{Somme des premiers termes d'une suite arithmétique}

Dans ce paragraphe, nous souhaitons trouver une formule qui nous donne la somme :
\[
S_n= \sum_{k=0}^n u_k = u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n \]
où \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique de raison $r$.

\bigskip

D'après la propriété \ref{prop:terme général}, nous savons que pour tout entier naturel $k$, $u_k=u_0+kr$; donc : 
\begin{align*}
S_n & = u_0+\textcolor{blue}{u_1}+\textcolor{red}{u_2}+\textcolor{orange}{u_3}+\cdots+\textcolor{green!50!black}{u_{n-1}}+\textcolor{violet}{u_n}\\
& = u_0+\textcolor{blue}{(u_0+r)}+\textcolor{red}{(u_0+2r)}+\textcolor{orange}{(u_0+3r)}+\cdots+\textcolor{green!50!black}{\big[u_0+(n-1)r\big]} + \textcolor{violet}{(u_0+nr)}\\
& = \underbrace{(u_0+u_0+u_0+\cdots+u_0)}_{(n+1)\text{ termes}} +\big[r+2r+3r+\cdots+(n-1)r+nr\big]\\
& = (n+1)u_0+\underbrace{(1+2+3+\cdots+n)}_{\text{propriété }\ref{prop:somme des premiers entiers}}r\\
& = (n+1)u_0+\dfrac{n(n+1)}{2}r.\tag{E}
\end{align*}
D'où la propriété suivante :

\begin{prop}
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de raison $r$. Alors,
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (n) {$u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=(n+1)u_0+\dfrac{n(n+1)}{2}r$};
\draw[<-,>=latex] (n.320) -- ($(n.320)+(0,-0.5)$) node[below] {nombre de termes dans la somme};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{prop}

Cette dernière formule n'est pas du goût de tout le monde; en effet, elle peut paraître compliquée à retenir. C'est la raison pour laquelle nous allons la modifier légèrement.

\medskip

Reprenons l'égalité (E) précédente et allons plus loin :
\begin{align*}
S_n & = (n+1)u_0+\dfrac{n(n+1)}{2}r\\
& = (n+1)\left[u_0+\dfrac{nr}{2}\right]\\
& = (n+1)\left[\dfrac{2u_0+nr}{2}\right]\\
& = (n+1)\left[\dfrac{u_0+(u_0+nr)}{2}\right]\\
& = (n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}.
\end{align*}

Cette dernière expression est plus facile à retenir car \og n+1 \fg{}  représente le nombre de termes dans la somme, $u_0$ désigne le premier terme de la somme et $u_n$, le dernier.

La somme est donc égale au \og nombre de termes fois la moyenne arithmétique des termes extrêmes \fg.

\begin{prop}[somme des premiers termes d'une suite arithmétique]
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de raison $r$. Alors,
\[ 
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}
\]
ou encore :
\[
\sum_{k=0}^n u_k = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{1\ier{} terme}+\text{dernier terme}}{2}
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Considérons la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[
\begin{cases}
u_0=5\\
u_{n+1}=u_n+3
\end{cases}
\]
C'est donc une suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 3.

Alors, d'après la propriété \ref{prop:terme général}, $u_{200}=5+200\times3=605$ et donc, d'après la propriété \ref{prop:somme des premiers termes d'une suite arithmétique} :
 \[
 u_0+u_1+u_2+\cdots+u_{200} = 201 \times  \dfrac{5+605}{2}=201\times305=\numprint{61305}.
 \]
\end{exemple}

\newpage

\section{Suites géométriques}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
On dit qu'une suite \suite{u}{n}{} est \textbf{géométrique} si, pour tout entier naturel $n$,
\[ 
u_{n+1}=q\times u_n
\]
où $q$ est un nombre réel non nul.

\medskip

$q$ est alors appelé la \textbf{raison} de la suite.
\end{defin}


\begin{exemple}[suite géométrique]
Sophie a placé ses économies, à savoir \numprint{1000} \euro, sur un livret qui lui rapporte \pourcent{1,5} par an, c'est-à-dire que d'une année à l'autre, ses économies augmenteront de \pourcent{1,5} du solde précédent.

Si on note $u_0=\numprint{1000}$ et $u_n$ le montant de son livret après $n$ années, alors :
\[
u_{n+1}=u_n \times\left(1+\dfrac{1,5}{100}\right)=1,015u_n.
\]
\suite{u}{n}{} est alors une suite géométrique de premier terme $u_0=\numprint{1000}$ et de raison $q=1,015$.
\end{exemple}

\subsection{Formule explicite}

\begin{prop}[terme général d'une suite géométrique]
Soit \suite{u}{n}{} une suite géométrique de premier terme $u_p$ et de raison $q$, $q\geqslant0$. Alors, 
\[
\forall n\geqslant p,\quad u_n=u_p \times q^{n-p}.
\]
\end{prop}

\begin{demo}
Le schéma suivant illustre la situation dans laquelle nous sommes:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw] (n0) at (0,0) {$u_p$};
\node[draw] (n1) at (2,0) {$u_{p+1}$};
\node[draw] (n2) at (4,0) {$u_{p+2}$};
\node (n3) at (6,0) {$\cdots$};
\node[draw] (n4) at (8,0) {$u_{n-1}$};
\node[draw] (n5) at (10,0) {$u_{n}$};
%
\draw[->,>=latex] (n0.north) to[bend left=20] (n1.north);
\draw[->,>=latex] (n1.north) to[bend left=20] (n2.north);
\draw[->,>=latex] (n2.north) to[bend left=20] (n3.north west);
\draw[->,>=latex] (n3.north east) to[bend left=20] (n4.north);
\draw[->,>=latex] (n4.north) to[bend left=20] (n5.north);
\draw[->,>=latex] (n4.north) to[bend left=20] (n5.north);
%
\node at ($0.5*(n0.north)+0.5*(n1.north)+(0,0.5)$) {$\times q$};
\node at ($0.5*(n1.north)+0.5*(n2.north)+(0,0.5)$) {$\times q$};
\node at ($0.5*(n2.north)+0.5*(n3.north west)+(0,0.5)$) {$\times q$};
\node at ($0.5*(n3.north east)+0.5*(n4.north)+(0,0.5)$) {$\times q$};
\node at ($0.5*(n4.north)+0.5*(n5.north)+(0,0.5)$) {$\times q$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
On peut écrire :
\[
u_n=u_{p+(n-p)}
\]
donc pour passer de $u_p$ à $u_{p+(n-p)}$, on multiplie par $q$, et ceci $(n-p)$ fois, d'où :
\[
u_n = u_p \times \underbrace{q \times q \times \cdots \times q}_{(n-p)\text{ facteurs}}=u_p\times q^{n-p}. \]
\end{demo}

\begin{prop}[cas où $p=0$]%\label{cor-sg}
Soit \suite{u}{n}{} une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$. Alors,
\[
\forall n\geqslant 0,\quad u_n=u_0\times q^n.
\]
\end{prop}

\begin{prop}[cas où $p=1$]
Soit \suite{u}{n}{} une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q$. Alors,
\[
\forall n\geqslant 1,\quad u_n=u_0\times q^{n-1}.
\]
\end{prop}


\begin{exemple}
Reprenons l'exemple de Sophie (exemple \ref{exemple:suite géométrique}) et calculons le solde de son livret après 10 ans (si elle ne retire pas d'argent entre temps). D'après la propriété \ref{prop:cas où $p=0$} :
\[
u_{10} = u_0 \times q^{10} = \numprint{1000} \times 1,015^{10} \approx \numprint{1160,54}.
\]
Ainsi, après 10 ans, elle possèdera \numprint{1160,54} \euro{} sur son livret.
\end{exemple}

\subsection{Représentation graphique}
\enlargethispage*{5em}

Selon les valeurs de la raison $q$ de la suite géométrique, les points qui représentent les termes successifs \og monteront \fg{} ou \og descendront \fg.

\medskip

Pour simplifier, prenons $\pmb{u_0>0}$.

\begin{itemize}
\item Si $q=1$ alors $u_{n+1}=u_n$, donc la suite \suite{u}{n}{} est constante (ce qui se traduira par une succession de points alignés sur une droite horizontale d'équation $y=u_0$).

\item Si $q>1$ alors l'égalité $u_{n+1}=qu_n$ nous dit que la suite est strictement croissante et donc que les points \og monteront \fg{} (auront une ordonnée de plus en plus grande).

\item Si $0<q<1$ alors l'égalité $u_{n+1}=qu_n$ nous dit que la suite est strictement décroissante et donc que les points \og descendront \fg{} (auront une ordonnée de plus en plus petit en se rapprochant 0).
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\rep{-1}{0}{11}{10}
\foreach \x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{
\fill[red] (\x,{8*0.75^\x}) circle (3pt);
\fill[green!50!black] (\x,{1.2^\x}) circle (3pt);
}
\node[red,right,outer xsep=1em,fill=white] at (9,{8*0.75^9}) {$0<q<1$};
\node[green!50!black,right,outer xsep=1em,fill=white] at (9,{1.2^9}) {$q>1$};
\node[fill=white,rounded corners,draw] (B) at (5,9) {Cas où $u_0>0$};
\drawshadow{B}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\subsection{Somme des premiers termes}

\subsubsection*{Somme $\pmb{1+q+q^2+\cdots q^n}$}

\begin{prop}[somme des premières puissances]
Pour $q\neq1$, 
\[
1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]
\end{prop}

\begin{demo}
Posons $S_n = 1+q+q^2+\cdots+q^n$.

Alors,
\[
qS_n = q+q^2+q^3+\cdots+q^{n+1}.
\]
Ainsi, 
\[
qS_n=S_n-1+q^{n+1}
\]
et donc :
\[
qS_n-S_n=q^{n+1}-1
\]
soit :
\[ (q-1)S_n = q^{n+1}-1.
\]
On en déduit alors que :
\[
S_n = \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}\qquad\text{ou encore}\qquad S_n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]
\end{demo}

\subsubsection*{Somme des premiers termes d'une suite géométrique}

\begin{prop}[somme des premiers termes d'une suite géométrique]
Soit \suite{u}{n}{} une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q\neq1$. Alors, 
\[
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n = u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]
\end{prop}

\begin{demo}
D'après la propriété \ref{prop:terme général d'une suite géométrique} :
\[
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n = u_0+qu_0+q^2u_0 + \cdots + q^nu_0,
\]
donc :
\[
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=u_0(1+q+q^2+\cdots + q^n.
\]
Ainsi, d'après la propriété \ref{prop:somme des premières puissances} :
\[
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]
\end{demo}

\section{Algorithmes}

La notion de suites est propice aux algorithmes. En effet, une relation de récurrence définissant une suite implique nécessairement le même type de calculs à faire plusieurs fois. Il est donc important de savoir automatiser ces calculs.

\subsection{Suites arithmétiques}

Prenons l'exemple de la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0=7\\
u_{n+1}=u_n-5
\end{cases}
\]

%\newpage

\subsubsection*{Calcul des termes successifs}

On souhaite calculer et afficher tous les termes jusqu'à $u_{50}$.

\medskip

\fbox{%
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\ttfamily
u prend la valeur 7 (terme initial)\\
Pour n allant de 1 à 50:\\
\hspace*{2em}u prend la valeur u-5\\
\hspace*{2em}(on soustrait 5 à la valeur précédente)\\
\hspace*{2em}Afficher u\\
Fin du Pour
\end{minipage}}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{python}
u = 7
for n in range(50):
    u = u - 5
    print(u)
\end{python}
\end{minipage}

\medskip

Une simple boucle suffit : on y calcule le nouveau terme en s'appuyant sur la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n+r$.

On stocke la valeur de $u_0$ dans la variable \texttt{u} et pour calculer $u_1$, on calcule enlève 5 à la valeur stockée dans \texttt{u}.

À chaque passage dans la boucle, on calcule par rapport à la dernière valeur stockée dans la variable \texttt{u}.

\subsubsection*{Calcul de la somme des termes}

On souhaite ici calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{50}$.

\medskip

\fbox{%
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\ttfamily
u prend la valeur 7 (terme initial)\\
s prend la valeur 7 (somme initiale)\\
Pour n allant de 1 à 50:\\
\hspace*{2em}u prend la valeur u-5\\
\hspace*{2em}s prend la valeur s+u\\
Fin du Pour\\
Afficher s
\end{minipage}}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{python}
u,s = 7,7
for n in range(50):
    u = u-5
    s = s + u
print(s)
\end{python}
\end{minipage}

\medskip

La structure de l'algorithme est quasiment la même que celle de l'algorithme précédent, à ceci près que l'on ajoute une instruction dans la boucle pour calculer la somme.

Cette somme est calculée en prenant la valeur de la somme précédemment trouvée, et en lui ajoutant la valeur de \texttt{u} que l'on vient de calculer.

\medskip

Le programme Python retourne \og $-\numprint{6018}$ \fg{} et la formule de la propriété \ref{prop:somme des premiers termes d'une suite arithmétique} nous donne : \[
51 \times\dfrac{7+(7-5\times50)}{2}=-\numprint{6018}.\]

\subsubsection*{Calcul d'un seuil}

On souhaite à présent savoir à partir de quel rang les termes sont inférieurs à $-\numprint{10000}$.

\medskip

\fbox{%
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\ttfamily
u prend la valeur 7 (terme initial)\\
n prend la valeur 0 (indice initial)
tant que u>-10000:\\
\hspace*{2em}u prend la valeur u-5\\
\hspace*{2em}n prend la valeur n+1\\
Fin du Pour\\
Afficher n et u
\end{minipage}}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{python}
u,n = 7,0
while u>=-10000:
    u = u - 5
    n = n + 1
print(n,u)
\end{python}
\end{minipage}

\medskip

Ici, on recherche un indice, celui à partir duquel le terme est inférieur à $-\numprint{10000}$. On ne va donc pas baser notre boucle sur les indices (comme dans les algorithmes précédents) mais sur la condition à remplir pour continuer à calculer les termes : on continue à calculer les termes TANT QUE le terme est plus grand que $-\numprint{10000}$ (d'où l'utilisation de la boucle \og Tant que \fg, ou \textit{while} en Python).

\medskip

Le programme Python nous retourne l'indice $n=\numprint{2002} $ (et le terme est alors $u_{\numprint{2002}}=-\numprint{10003}$).

\begin{attention}
Quand on utilise une boucle \og Tant que \fg{} afin de déterminer un seuil, il ne faut pas oublier d'incrémenter l'indice à chaque passage dans la boucle (\og \texttt{n prend la valeur n+1} \fg), sinon la boucle est infinie.

Cet oubli est assez fréquent quand on débute la programmation.
\end{attention}

\subsection{Suites géométriques}

Prenons l'exemple de la suite \suite{v}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
v_0=10\\
v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n
\end{cases}
\]

\subsubsection*{Calcul des termes successifs et de la somme des termes}

On souhaite ici faire d'une pierre deux coups : calculer les termes successifs jusqu'à $v_{20}$ ainsi que la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^{20}v_k$.

\medskip

\fbox{%
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\ttfamily
v prend la valeur 10 (terme initial)\\
s prend la valeur 10 (somme initiale)\\
Pour n allant de 1 à 20:\\
\hspace*{2em}v prend la valeur 0.5*v\\
\hspace*{2em}Afficher v\\
\hspace*{2em}s prend la valeur s+v\\
Fin du Pour\\
Afficher s
\end{minipage}}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{python}
v , s = 10 , 10
for n in range(20):
    v = v * 0.5
    print(v)
    s = s + v
print("Somme = ",s)
\end{python}
\end{minipage}

\medskip

Le programme Python retourne les valeurs de $v_1$ à $v_{20}$ suivantes :

\begin{console}
5.0
2.5
1.25
0.625
0.3125
0.15625
0.078125
0.0390625
0.01953125
0.009765625
0.0048828125
0.00244140625
0.001220703125
0.0006103515625
0.00030517578125
0.000152587890625
7.62939453125e-05
3.814697265625e-05
1.9073486328125e-05
9.5367431640625e-06
\end{console}

\medskip

et affiche enfin la somme $v_0+v_1+\cdots+v_{20}$ :

\begin{console}
Somme =  19.999990463256836
\end{console}

Si on a la curiosité de pousser la somme jusqu'à $v_{100}$ (par exemple), le programme retourne :

\medskip

\begin{console}
Somme =  20.0
\end{console}

\medskip

Et si on va jusqu'à $v_{500}$ ou plus, la réponse est toujours:

\begin{console}
Somme =  20.0
\end{console}

\newpage

On peut alors conjecturer (supposer) que cette somme se rapproche de plus en plus de 20. Mais il ne faut pas dire que toutes les sommes au-delà de $v_{100}$ sont égales à 20... c'est impossible ! Car si $\displaystyle\sum_{k=0}^{100}v_k=20$ alors $\displaystyle\sum_{k=0}^{101}v_k=20+v_{101}\neq20$ car $v_{101}\neq0$.

Ce raisonnement est valable à n'importe quel rang : si on suppose que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}v_k=20$ alors\linebreak $\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}v_k=20+v_{n+1}>20$ car $v_{n+1}>0$.

Donc la somme n'est pas exactement égale à 20. La raison pour laquelle le programme affiche \og 20 \fg{}  est qu'il arrondit car il est arrivé au résultat \og 19.999999999999999999999\ldots \fg.


\subsubsection*{Calcul d'un seuil}

Nous souhaitons savoir à partir de quel indice les termes sont inférieurs à $10^{-9}$.

\fbox{%
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\ttfamily
v $\leftarrow$ 10 (terme initial)\\
n $\leftarrow$ 0\\
Tant que u >= 10$^{-9}$:\\
\hspace*{2em}v $\leftarrow$ 0.5*v\\
\hspace*{2em}n $\leftarrow$ n+1\\
Fin du Pour\\
Afficher n et v
\end{minipage}}
\hspace*{0.04\linewidth}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{python}
v , n = 10 , 0
while v >= 10**(-9):
    v = v * 0.5
    n = n + 1
print(n,v)
\end{python}
\end{minipage}

\medskip

Le programme Python renvoie \texttt{n=34} et \texttt{v=5.820766091346741e-10}.

Ainsi, tous les termes à partir de $v_{34}$ sont inférieurs à $10^{-9}$.

\section{Pour aller plus loin : autres types de suites}


Les suites arithmétiques et géométriques ne sont pas les seuls types de suites, loin de là ! Nous allons voir quelques exemples d'algorithmes affichant les premiers termes de diverses suites.

\subsection*{La suite factorielle}

On définit la suite \suite{u}{n}{} par l'égalité :
\[
\begin{cases}
u_0=1\\
u_n=\fact{n}=1\times2\times3\times\cdots\times n
\end{cases}
\]


\og $\fact{n}$ \fg{} se dit : \textit{factorielle $n$}.

L'algorithme et le programme suivant permettent de calculer \fact{n}. Ils ne sont pas optimaux, mais ce n'est pas très important nous concernant à ce niveau d'apprentissage.

\medskip

Le principe est le même que pour calculer la somme des premiers termes d'une suite, si ce n'est que l'on multiplie à la place d'ajouter.

\begin{attention}
La fonction \texttt{range} de Python est un peu spéciale. \texttt{range(n)} parcourt les nombres de 0 à $n-1$. Si on veut parcourir les nombres entiers de 1 à $n$, il faut procéder à un décalage comme dans le programme.
\end{attention}

\fbox{%
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\ttfamily
fonction fact(n):\\
\hspace*{1em}Si n=0:\\
\hspace*{2em}Retourner 1\\
\hspace*{1em}Sinon:\\
\hspace*{2em}p = 1\\
\hspace*{2em}Pour k allant de 2 à n:\\
\hspace*{3em}p prend la valeur p*k\\
\hspace*{2em}Fin du Pour\\
\hspace*{2em}Retourner p\\
\hspace*{1em}Fin du Si\\\\
Afficher fact(10)
\end{minipage}}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{python}
def fact(n):
    if n==0:
        return 1
    else:
        p = 1
        for k in range(1,n+1):
            p = p * k
        return p

print(fact(10))
\end{python}
\end{minipage}

%\newpage

\subsection*{Suites de Syracuse}

Pour un nombre $u_0$ initial donné, les suites de Syracuse sont définies ainsi :
\[
u_{n+1}=\begin{cases}
\dfrac{u_n}{2} & \text{si $u_n$ est pair}\\
3u_n+1 & \text{si $u_n$ est impair}
\end{cases}
\]
On souhaite calculer les 20 termes $u_1$, $u_2$, \ldots, $u_{20}$.

\medskip

\fbox{%
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\ttfamily
u prend une valeur quelconque\\
Pour n allant de 1 à 20:\\
\hspace*{1em}Si n est pair:\\
\hspace*{2em}u prend la valeur u/2\\
\hspace*{1em}Sinon:\\
\hspace*{2em}u prend la valeur 3*u+1\\
\hspace{1em}Fin du Si\\
Afficher u\\
Fin du Pour
\end{minipage}}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{python}
u = int(input("Entrez un nombre : "))
for n in range(30):
    if u%2 == 0:
        u = u/2
    else:
        u = 3*u+1
    print(u,"\n")
\end{python}
\end{minipage}

\medskip

Le programme retourne la série de nombres suivante:

\medskip

\begin{console}
113
340.0 
170.0 
85.0 
256.0 
128.0 
64.0 
32.0 
16.0 
8.0 
4.0 
2.0 
1.0 
4.0 
2.0 
1.0 
4.0 
2.0 
1.0 
4.0 
2.0 
1.0 
4.0 
2.0 
1.0 
4.0 
2.0 
1.0 
4.0 
\end{console}

La conjecture de Syracuse, autrement appelée \textit{conjecture de Collatz}\footnote{Lothar Collatz (1910 -- 1990) était un mathématicien allemand.} ou encore \textit{conjecture d'Ulam}\footnote{Stanislaw Ulam (1909 -- 1984) était un mathématicien américain d'origine polonaise.} est l'hypothèse mathématique selon laquelle le terme \og 1 \fg{} est toujours atteint, quel que soit le nombre de départ.

\bigskip

Malgré la simplicité de l'énoncé de cette conjecture, celle-ci défie depuis de nombreuses années les mathématiciens (on n'arrive pas à la démontrer).

\medskip

Paul Erd\H{o}s\footnote{Paul Erdős (1913 -- 1996) était un mathématicien hongrois} dit d'ailleurs à son propos :

\begin{quote}
\og Les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes. \fg
\end{quote}


\subsection*{La suite de Fibonacci}

Imaginez que l'on mette un couple de lapereaux sur une île déserte. 

Il faut attendre un mois avant qu'ils deviennent adultes.

Un mois plus tard, ce couple donne naissance à un couple de lapereaux.

Imaginez que d'un mois à l'autre, un couple adulte donne naissance à un couple de lapereaux, sachant qu'il faut toujours attendre un mois pour qu'un lapereau devienne adulte.

Combien de couples y a-t-il sur l'île après $n$ mois ?

\bigskip

C'est la question que s'est posée Leonardo Pisano, dit \textit{Fibonacci} (1175 -- 1250), mathématicien italien du Moyen-Âge.

\bigskip

On peut illustrer la situation à l'aide du schéma page suivante.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=white,draw,rounded corners] (n) at (0,0) {\includegraphics[scale=0.2]{03-FibonacciRabbit.png}};
\drawshadow{n}{black}
\draw[<-,>=latex] (2,4) -- (4,4) node[right] {Couple initial};
\draw[<-,>=latex] (2,2.5) -- (4,2.5) node[right,text width=3cm] {Couple devenu adulte};
%
\draw[<-,>=latex] (2.5,1) -- (4,1) node[right,text width=3cm] {Couple de lapereaux du couple adulte};
\draw[<-,>=latex] (-2.5,1) -- (-4,1) node[left,text width=3cm] {Couple adulte};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{flushright}
Source : \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite\_de\_Fibonacci}
\end{flushright}

Notons $F_0=F_1=1$, qui correspond au nombre de couple au mois initial et après 1 mois, et $F_n$ le nombre de couples après $n$ mois.

Ensuite, on a $F_2=1+1=2$ (le 1\ier{} couple et sa progéniture).

Ensuite, on a $F_3=2\text{ (couples adultes)}+1\text{ (couple de lapereaux)}=3$.

Ensuite, on a $F_4=3\text{ (couples adultes)}+2\text{ (couples de lapereaux)}=5$.

\medskip

On s'aperçoit alors que $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$. C'est ainsi que l'on définit la \textbf{suite de Fibonacci}.

\begin{defin}
La \textbf{suite de Fibonacci} est la suite \suite{F}{n} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
F_0=F_1=1\quad,\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n. \]
\end{defin}

Contrairement aux suites arithmétiques et géométriques,  pour calculer un terme quelconque, on fait appel à deux termes qui le précèdent. On dit que la suite est \textit{d'ordre 2}.

\'Ecrivons maintenant un algorithme qui calcule et affiche les termes successifs de cette suite :

\medskip

\fbox{%
\begin{minipage}{0.67\linewidth}
\ttfamily
u prend la valeur 1 (valeur de $F_0$)\\
v prend la valeur 1 (valeur de $F_1$)\\
Pour n allant de 1 à 20:\\
\hspace*{1em}w prend la valeur u+v (calcul du terme suivant)\\
\hspace*{1em}v prend la valeur u\\
\hspace*{1em}u prend la valeur w\\
\hspace*{1em}Afficher w\\
Fin du Pour
\end{minipage}}
\hfill
\begin{minipage}{0.27\linewidth}
\begin{python}
u,v = 1,1
print(u)
print(v)
for n in range(20):
    w = u+v
    v = u
    u = w
    print(w)
\end{python}
\end{minipage}

Le programme affiche :


\medskip

\begin{console}
1
1
2 
3 
5 
8 
13 
21 
34 
55 
89 
144 
233 
377 
610 
987 
1597 
2584 
4181 
6765 
10946 
17711
\end{console}





\exercices

\subsection*{Généralités}

\begin{exocor}{relation de récurrence et formules explicites}[1]
Dans chacun des cas suivants, dire si la suite \suite{u}{u}{} est définie par sa \textit{relation de récurrence} ou par sa \textit{formule explicite}. Donner ensuite les valeurs des 4 premiers termes.

\begin{enumerate}
\item $u_n = 2n^2-3n+1$ pour tout entier naturel $n$.

\item $\begin{cases}u_0=-2\\u_{n+1}=3u_n-2\quad\text{pour tout entier naturel }n\end{cases}$

\item $\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=u_n^2-1\quad\text{pour tout entier naturel }n\end{cases}$

\item $\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=2u_n-3n\quad\text{pour tout entier naturel }n\end{cases}$
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_n = 2n^2-3n+1$ pour tout entier naturel $n$.

\suite{u}{n}{} est ici définie à l'aide d'une formule explicite (en fonction de $n$, sans faire référence au terme précédent).

\medskip

Les trois premiers termes de cette suite sont:

\begin{itemize}
\item $u_0=2\times0^2-3\times0+1 = 1$.
\item $u_1=2\times1^2-3\times1+1 = 0$.
\item $u_2=2\times2^2-3\times2+1 = 3$.
\end{itemize}

\item $\begin{cases}u_0=-2\\u_{n+1}=3u_n-2\quad\text{pour tout entier naturel }n\end{cases}$

\suite{u}{n}{} est ici définie à l'aide d'une relation de récurrence (le terme $u_{n+1}$, de rang $n+1$, est défini en fonction de $u_n$, donc de son terme précédent).

\medskip

Les trois premiers termes de cette suite sont:

\begin{itemize}
\item $u_0=-2$ (donné).
\item $u_1=3u_0-2=3\times(-2)-2=-8$.
\item $u_2=3u_1-2=3\times(-8)-2=-26$.
\end{itemize}

\item $\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=u_n^2-1\quad\text{pour tout entier naturel }n\end{cases}$

\suite{u}{n}{} est ici définie à l'aide d'une relation de récurrence.

\medskip

Les trois premiers termes de cette suite sont:

\begin{itemize}
\item $u_0=1$ (donné).
\item $u_1=u_0^2-1=1^2-1=0$.
\item $u_2=u_1^2-1=0^2-1=-1$.
\end{itemize}

\item $\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=2u_n-3n\quad\text{pour tout entier naturel }n\end{cases}$

\suite{u}{n}{} est ici définie à l'aide d'une relation de récurrence (le terme $u_{n+1}$, de rang $n+1$, est défini en fonction de $u_n$, donc de son terme précédent, même s'il y a un terme en $n$ avec lui).

\medskip

Les trois premiers termes de cette suites sont:

\begin{itemize}
\item $u_0=1$ (donné).
\item $u_1=u_{\textcolor{red}{0}+1}=2u_{\textcolor{red}{0}}-3\times\textcolor{red}{0}=2\times1=2$.
\item $u_2=u_{\textcolor{red}{1}+1}=2u_{\textcolor{red}{1}}-3\times\textcolor{red}{1}=2\times4-3=5$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{sens de variation}[1]
\'Etudier le sens de variation des suites \suite{u}{n}{} définies ci-dessous :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $u_n=\dfrac{2^n}{5}$
\item $u_n=-n^2+5n-2$
\item $u_n=\sqrt{n^2+3}$
\item $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n-5$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{2^n}{5}$.
\vspace*{-1em}
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n 
& = \dfrac{2^{n+1}}{5}-\dfrac{2^n}{5} = \dfrac{2^{n+1}-2^n}{5}\\
& = \dfrac{2^n\times2^1-2^n\times1}{5} = \dfrac{2^n(2^1-1)}{5}\\
& = \dfrac{2^n}{5} \\
u_{n+1}-u_n & >0.
\end{align*}
\underline{Ainsi, \suite{u}{n}{} est croissante.}

\item $u_n=-n^2+5n-2$.
\vspace*{-1em}
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n 
& = -(n+1)^2+5(n+1)-2-(-n^2+5n-2) \\
& = -(n^2+2n+1)+5n+5-2+n^2-5n+2\\
& = -n^2-2n-1+5n+5-2+n^2-5n+2\\
& = -2n+4.
\end{align*}
$-2n+4>0 \iff -2n>-4 \iff n<2$ donc $u_{n+1}-u_n<0$ pour $n\geqslant2$.

\underline{La suite \suite{u}{n}{}est donc décroissante à partir du rang 2.}

\item $u_n=\sqrt{n^2+3}$.
\vspace*{-1em}
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n
& = \sqrt{(n+1)^2+3}-\sqrt{n^2+3}\\
& = \sqrt{n^2+2n+4}-\sqrt{n^2+3}.
\end{align*}
Or, $n^2+4>n^2+3$ donc $n^2+2n+4>n^2+3$ (car $n\geqslant0$), donc $u_{n+1}-u_n>0$.

\underline{Ainsi, la suite \suite{u}{n}{} est croissante.}

\item $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n-5$.

$u_{n+1}-u_n=u_n-5-u_n=-5<0$ donc \underline{\suite{u}{n}{} est décroissante.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{variations, majoration et minoration}[1]
On définit la suite \suite{u}{n}{} par la relation :
\[
\forall n\in\N,\qquad u_n=\dfrac{2n+1}{n+2}
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est croissante.
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est majorée par 2.
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est minorée.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = \dfrac{2(n+1)+1}{(n+1)+1}-\dfrac{2n+1}{n+2}\\
& = \dfrac{2n+3}{n+3}-\dfrac{2n+1}{n+2}\\
& = \dfrac{(2n+3)(n+2)}{(n+3)(n+2)}-\dfrac{(2n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}\\
& = \dfrac{3}{(n+2)(n+3)}.
\end{align*}
$n+2>0$ et $n+3>0$ car $n\in\N$ donc $u_{n+1}-u_n>0$.

\underline{La suite $\suite{u}{n}{}$ est donc croissante.}

\item Si la suite \suite{u}{n}{} est majorée par 2, alors $u_n<2$ donc $u_n-2<0$ pour tout $n\in\N$.
\begin{align*}
u_n-2 & = \dfrac{2n+1}{n+2}-2\\[8pt]
& = \dfrac{2n+1}{n+2}-\dfrac{2(n+2)}{n+2}\\[8pt]
& = \dfrac{2n+1-2n-4}{n+2}\\[8pt]
& = \dfrac{-3}{n+2}.
\end{align*}
$-3<0$ et $n+2>0$ donc $u_n-2<0$, soit $u_n<2$.

\medskip

\underline{Donc la suite est majorée par 2.}

\item La suite est croissante donc, nécessairement, $u_n\geqslant u_0$ pour tout entier naturel $n$, soit $u_n \geqslant\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\underline{La suite est donc minorée par $\dfrac{1}{2}$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\newpage

%%%

\begin{exocor}{variations}[1]
On définit la suite \suite{u}{n}{} par:
\[
\begin{cases}
u_0=7\\
u_{n+1}=u_n^2-u_n+1,\qquad\forall\;n\in\N
\end{cases}
\]
Trouver le sens de variation de \suite{u}{n}{}.

\tcblower

Pour tout entier naturel $n$:
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = u_n^2-u_n+1-u_n\\
& = u_n^2-2u_n+1 = (u_n-1)^2 \geqslant 0.
\end{align*}
Ainsi, $u_{n+1}\geqslant u_n$, donc \suite{u}{n}{} est croissante.
\end{exocor}


\begin{exocor}{variations}[2]
Montrer que la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+1},\qquad\forall\;n\in\N
\end{cases}
\]
est croissante.

\tcblower

On calcule $u_{n+1}-u_n$ pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & =\sqrt{u_n^2+1}-u_n = \dfrac{\big(\sqrt{u_n^2+1}-u_n\big)\big(\sqrt{u_n^2+1}+u_n\big)}{\sqrt{u_n^2+1}+u_n}\\[8pt]
& = \dfrac{u_n^2+1-u_n^2}{\sqrt{u_n^2+1}+u_n}\\[8pt]
& = \dfrac{1}{\sqrt{u_n^2+1}+u_n}.
\end{align*}

\medskip

$u_n>0$ car chaque terme est défini comme étant égal à une racine carrée.

\medskip

De plus, $\sqrt{u_n^2+1}>0$ donc $u_{n+1}-u_n>0$.

\medskip

\underline{La suite est donc croissante.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{variations, majoration, minoration}[2]
On définit la suite \suite{u}{n}{} par la relation :
\[
\forall\;n\in\N,\qquad u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\;.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$.
\item Montrer alors que $u_{n+1}<u_n$ et en déduire les variations de \suite{u}{n}{}.
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est majorée et minorée.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u_n & = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\big)\big(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\big)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\quad\text{(on multiplie par l'expression conjuguée)}\\
& = \dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\
\Aboxed{u_n & = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}\sqrt{n}}}
\end{aligned}$

\item $u_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$.

Or, $n+2>n$ donc $\sqrt{n+2}>\sqrt{n}$ et donc, en ajoutant $\sqrt{n+1}$ aux deux membres de cette dernière inégalité, on a 
$\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}>\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$.

En inversant, on obtient : $\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ (attention à ne pas oublier d'inverser le signe de l'inégalité).

Ceci nous dit alors que $u_{n+1}<u_n$, et donc que \underline{\suite{u}{n}{} est décroissante}.

\item $\sqrt{n+1}\sqrt{n}>0$ donc $u_n>0$. 

\underline{\suite{u}{n}{}est donc minorée par 0.}

\medskip

De plus, $\sqrt{n+1}\sqrt{n}\geqslant1$ (car $\sqrt{n+1}\geqslant1$ et $\sqrt{n}\geqslant0$) donc $\dfrac{1}{\sqrt{n+1}\sqrt{n}}\leqslant1$, soit $u_n\leqslant1$. 

\underline{\suite{u}{n}{} est donc majorée par 1.}
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{Suites arithmétiques}

%%%

\begin{exocor}{reconnaître une suite arithmétique}[1]
Dans chaque cas, dire si la suite \suite{u}{n}{} est arithmétique. Si tel est le cas, donner le premier terme $u_0$ et la raison de la suite, ainsi que la relation de récurrence.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $u_n=3+2n$
\item $u_n=-3n + 4$
\item $u_n=2n^2-1$
\item $u_n=3(n-2)-2(n+1)$
\item $u_n=\dfrac{5n+7}{2}$
\item $u_n=n\sqrt5$
\item $u_n=3-n\sqrt2$
\item $u_n=7-\dfrac{3}{n+2}$
\item $u_n=3$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_n=3+2n$.

La fonction $x\mapsto3+2x$ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=3$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=2$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est :\[ \begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=u_n+2\end{cases}\]

\item $u_n=-3n + 4$.

La fonction $x\mapsto-3x+4$ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=4$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=-3$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est : \[ \begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=u_n-3\end{cases}\]

\newpage
\item $u_n=2n^2-1$.

La fonction $x\mapsto2x^2-3$ n'est pas une fonction affine, donc $f(n)=u_n$ n'est pas une suite arithmétique.

\textbf{Autre méthode:} $u_0=-1$, $u_1=1$ et $u_2=7$.

Ainsi, $u_1-u_0=2$ et $u_2-u_1=6 \neq u_1-u_0$ donc la suite n'est pas arithmétique.

\item $u_n=3(n-2)-2(n+1)$.

On peut écrire : $u_n=3n-6-2n-2=n-8$. La fonction $x\mapsto x-8$ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=-8$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=1$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est : \[ \begin{cases}u_0=-8\\u_{n+1}=u_n+1\end{cases}\]

\item $u_n=\dfrac{5n+7}{2}$.

On peut écrire : $u_n=\dfrac{5n}{2}+\dfrac{7}{2}=\dfrac{5}{2}n+\frac{7}{2}$.

La fonction $x\mapsto\dfrac{5}{2}x+\dfrac{7}{2}$ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=\dfrac{7}{2}$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=\dfrac{5}{2}$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est : \[ \begin{cases}u_0=\frac{7}{2}\\u_{n+1}=u_n+\frac{5}{2}\end{cases}\]

\item $u_n=n\sqrt5$.

La fonction $x\mapsto x\sqrt5$ est une fonction affine (même linéaire) donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=0$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=\sqrt5$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est : \[ \begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=u_n+\sqrt5\end{cases}\]

\item $u_n=3-n\sqrt2$.

La fonction $x\mapsto3-x\sqrt2 $ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=3$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=-\sqrt2$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est : \[ \begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=u_n-\sqrt2\end{cases}\]

\item $u_n=7-\dfrac{3}{n+2}$.

$u_0=7-\dfrac{3}{0+2}=\dfrac{11}{2}$.

$u_1=7-\dfrac{3}{1+2} = 6$.

$u_2=7-\dfrac{3}{2+2}=\dfrac{25}{4}$.

\medskip

Ainsi, $u_1-u_0=\dfrac{1}{2}$  et $u_2-u_1=\dfrac{1}{4}\neq u_1-u_0$ donc \suite{u}{n}{} n'est pas une suite arithmétique.

\item $u_n=3$.

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=3-3=0$, qui est un nombre constant, donc \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique de raison $r=0$ et de premier terme $u_0=3$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est : \[ \begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=u_n\end{cases}\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\newpage

\begin{exocor}{reconnaître une suite arithmétique}[1]
Dans chacun des cas suivants, dire si la suite \suite{u}{n}{} est arithmétique. Si tel est le cas, donner le terme général en fonction de $n$.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\begin{cases}
u_0=-1\\
u_{n+1}=u_n-\sqrt2
\end{cases}$

\item  $\begin{cases}
u_0=-1\\
u_{n+1}=2u_n+1
\end{cases}$

\item  $\begin{cases}
u_0=-1\\
u_{n+1}=u_n^2+3
\end{cases}$

\item  $\begin{cases}
u_1=-1\\
u_{n+1}=u_n+2
\end{cases}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{cases}
u_0=-1\\
u_{n+1}=u_n-\sqrt2
\end{cases}$. D'après cette définition, pour tout entier naturel $n$, 
\[ u_{n+1}-u_n=(u_n-\sqrt2)-u_n=-\sqrt2.\]
La différence entre deux termes consécutifs quelconque est donc toujours la même; par conséquent, \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique, ici de raison $r=-\sqrt2$.

\medskip

D'après le cours, son terme général est :
\[
u_n= u_0+nr = -1-n\sqrt2.
\]

\item  $\begin{cases}
u_0=-1\\
u_{n+1}=2u_n+1
\end{cases}$. D'après cette définition, pour tout entier naturel $n$, 
\[ u_{n+1}-u_n=(2u_n+1)-u_n=u_n+1.\]
La différence entre deux termes consécutifs quelconque n'est donc pas toujours la même; par conséquent, \suite{u}{n}{} n'est pas une suite arithmétique.


\item  $\begin{cases}
u_0=-1\\
u_{n+1}=u_n^2+3
\end{cases}$. D'après cette définition, pour tout entier naturel $n$, 
\[ u_{n+1}-u_n=(u_n^2+3)-u_n=u_n^2-u_n+3.\]
La différence entre deux termes consécutifs quelconque n'est donc pas toujours la même; par conséquent, \suite{u}{n}{} n'est pas une suite arithmétique.


\item  $\begin{cases}
u_1=-1\\
u_{n+1}=u_n+2
\end{cases}$. D'après cette définition, pour tout entier naturel $n$, 
\[ u_{n+1}-u_n=(u_n+2)-u_n=2.\]
La différence entre deux termes consécutifs quelconque est donc toujours la même; par conséquent, \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique, ici de raison $r=-2$.

\medskip

D'après le cours, son terme général est :
\[
u_n= u_1+(n-1)r = -1+(n-1)\times(-2)=-1-2n+2=1-2n.
\]
\begin{attention}
Ici, la suite commence à $u_1$ et non $u_0$; il faut donc utiliser la formule explicite générale:
\[
u_n = u_p + (n-p)r.
\]
\end{attention}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{détermination d'une inconnue}[1]
On considère une suite \suite{u}{n}{} arithmétique de raison $r$. 

\begin{enumerate}
\item $u_0=3$ et $u_8=7$. Calculer $r$.
\item $u_2=5$ et $u_5=2$. Calculer $r$.
\item $u_0=5$ et $r=-\dfrac{1}{2}$. Calculer $u_9$.
\item $u_5=6$ et $r=2$. Calculer $u_{20}$.
\item $u_7=\sqrt{2}$ et $u_2=\sqrt{7}$. Calculer $r$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_0=3$ et $u_8=7$. Calculer $r$.

On sait que :
\[ u_n=u_0+nr\]
donc :
\begin{align*}
u_8 & =u_0+8r\\
7 & = 3+8r\\
7-3&=8r\\
r&=\dfrac{4}{8}\\
\Aboxed{r & = \dfrac{1}{2}}
\end{align*}

\item $u_2=5$ et $u_5=2$. Calculer $r$.

On sait que :
\[ u_n=u_k+(n-k)r\]
donc:
\begin{align*}
u_5 & =u_2+(5-2)r\\
2 & = 5+3r\\
2-5&=3r\\
3r&=-3\\
\Aboxed{r & = -1}
\end{align*}

\newpage
\item $u_0=5$ et $r=-\dfrac{1}{2}$. Calculer $u_9$.

On sait que :
\[ u_n=u_0+nr\]
donc:
\begin{align*}
u_9 & =u_0+9r\\
u_9 & = 5-\dfrac{9}{2}\\
u_9 & =\dfrac{10}{2}-\dfrac{9}{2}\\
\Aboxed{u_9 & = \dfrac{1}{2}}
\end{align*}

\item $u_5=6$ et $r=2$. Calculer $u_{20}$.

On sait que :
\[ u_n=u_k+(n-k)r\]
donc:
\begin{align*}
u_{20} & =u_5+(20-5)r\\
u_{20} & = 6 + 15\times2\\
u_{20} & = 6+30\\
\Aboxed{u_{20} & = 36}
\end{align*}

\item $u_7=\sqrt{2}$ et $u_2=\sqrt{7}$. Calculer $r$.

On sait que :
\[ u_n=u_k+(n-k)r\]
donc:
\begin{align*}
u_7 & =u_2+(7-2)r\\
\sqrt{2} & = \sqrt{7} + 5r\\
5r & =\sqrt{2}-\sqrt{7} \\
\Aboxed{r & = \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{5}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{somme des premiers termes}[1]
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de raison $r$.
\begin{enumerate}
\item Si $u_0=5$ et $r=3$, calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{100}$.
\item Si $u_0=3$ et $u_{50}=60$, calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{50}$.
\item Si $u_1=60$ et $r=5$, calculer $u_1+u_2+\cdots+u_{100}$.
\item Si $u_1=50$ et $u_{50}=1$, calculer $u_1+u_2+\cdots+u_{50}$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Si $u_0=5$ et $r=3$, calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{100}$.

\suite{u}{n}{} est une suite arithmétique donc :
\[
u_0+u_1+\cdots+u_n=\dfrac{u_0+u_n}{2}\times(n+1)
\]
donc ici :
\begin{align*}
u_0+u_1+\cdots+u_{100} & = \dfrac{5+(5+100\times3)}{2}\times101\\
& = 155\times101\\
\Aboxed{u_0+u_1+\cdots+u_{100} & = \numprint{15655}}
\end{align*}

\item Si $u_0=3$ et $u_{50}=60$, calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{50}$.
\begin{align*}
u_0+u_1+\cdots+u_{50} & = \dfrac{3+60}{2}\times51\\
& = 31,5\times51\\
\Aboxed{u_0+u_1+\cdots+u_{100} & = \numprint{1606,5}}
\end{align*}

\item Si $u_1=60$ et $r=5$, calculer $u_1+u_2+\cdots+u_{100}$.
\begin{align*}
u_1+u_2+\cdots+u_{100} & = \dfrac{u_1+u_{100}}{2}\times100\\
& = \dfrac{60+(60+5\times99)}{2}\times100\\
& = \dfrac{\numprint{61500}}{2}\\
\Aboxed{u_1+u_2+\cdots+u_{100} & = \numprint{30750}}
\end{align*}

\item Si $u_1=50$ et $u_{50}=1$, calculer $u_1+u_2+\cdots+u_{50}$.
\begin{align*}
u_1+u_2+\cdots+u_{50} & = \dfrac{u_1+u_{50}}{2}\times50\\
& = \dfrac{50+1}{2}\times50\\
\Aboxed{u_1+u_2+\cdots+u_{50} & = \numprint{1275}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{club d'athlétisme}[1]
Fanny est inscrite dans un club d'athlétisme. Elle pratique le penta bond (le penta bond est un enchaînement de cinq bonds après une course d'élan).

La première semaine d'entraînement, Fanny réalise un saut de 8 m.

Chaque semaine, la longueur de son saut augmente de 0,1 m.
Pour $n$ entier naturel non nul, on note $s_n$ la longueur, en mètres, de son saut la $n$-ième semaine d'entraînement.
Puisque lors de la première semaine d'entraînement, Fanny réalise un saut de 8 m, on a $s_1=8$.

\newpage

\begin{enumerate}
\item Pour $n\geqslant2$, on considère la fonction Python suivante.
\begin{python}
def saut(n):
    s = 8
    for k in range(2,n+1):
        s = s + 0.1
    return s
\end{python}
\begin{enumerate}
\item Quelle valeur $s$ est renvoyée par la commande saut(4) ?
\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item Exprimer avec justification $s_n$ en fonction de $n$ pour $n$ entier naturel non nul.
\item Pour être qualifiée à une compétition, Fanny doit faire un saut d'au moins 12 mètres.

À partir de quelle semaine, Fanny réalisera-t-elle un tel saut ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Lors de l'appel \texttt{saut(4)}, la variable \texttt{k} varie de 2 à 4 inclus. Donc, à \texttt{s=8}, on ajoute 0,1 trois fois. 

\underline{La valeur renvoyée est donc \texttt{s=8.3}.}

\item Le résultat obtenu à la question précédente signifie que Fanny fera un saut de 8,3~m.
\end{enumerate}

\item Par définition, $(s_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=0,1$ .

Ainsi, pour tout entier naturel $n \geqslant1$, $s_n=s_1+(n-1)r$, soit $s_n=8+0,1(n-1)$, ou encore:
\[
\boxed{s_n=7,9+0,1n}
\]

\item On souhaite résoudre l'inéquation :
\begin{align*}
s_n \geqslant 12 & \iff 7,9+0,1n \geqslant12\\
& \iff 0,1n \geqslant 12-7,9\\
& \iff 0,1n \geqslant 4,1\\
&\iff n \geqslant \dfrac{4,1}{0,1}\\
& \iff n \geqslant 41.
\end{align*}

Ainsi, Fanny arrivera à faire des bonds plus grands que 12 mètres à partir de la 41\ieme{} semaine.
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{}[2]
\suite{u}{n}{} est une suite arithmétique telle que $u_0=\numprint{7820}$ et $u_2=\numprint{6712}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la relation de récurrence de la suite \suite{u}{n}{}.

\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

\item \'Ecrire un programme Python correspondant, permettant de trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n < \numprint{1000}$.

Vérifier par le calcul la valeur ainsi trouvée.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item \suite{u}{n}{} étant arithmétique, $u_2-u_0=2r$.

Or, $u_2-u_0=\numprint{6712}-\numprint{7820}=-\numprint{1108}$. Donc $2r=-\numprint{1108}$, d'où $r=-554$.

Ainsi, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est:
\[
\boxed{\begin{cases}u_0=\numprint{7820}\\u_{n+1}=u_n-554\end{cases}}
\]

\item D'après la formule du cours, $u_n=u_0+nr$, donc ici, pour tout entier naturel $n$:
\[
\underline{u_n = \numprint{7820}-554n}.
\]

\item Il s'agit ici de trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<\numprint{1000}$. Pour cela, on va calculer tous les termes successifs jusqu'à celui qui est inférieur à \numprint{1000}.

Il y a deux façons de procéder :

\begin{itemize}
\item \textbf{à l'aide de la relation de récurrence de la suite:}

\begin{python}
u = 7820 # premier terme
n = 0    # rang du premier terme
while u >= 1000:
    n = n + 1
    u = u - 554 # on calcul le terme suivant
    
print( n )
\end{python}

\newpage

\item \textbf{à l'aide de la formule explicite :}

\begin{python}
u = 7820 # premier terme
n = 0    # rang du premier terme
while u >= 1000:
    n = n + 1
    u = 7820 - 554*n # on calcul le terme suivant
    
print( n )
\end{python}
\end{itemize}
Dans les deux cas, le résultat est le même:
\begin{console}
13
\end{console}
Ce qui signifie que $u_{13}$ est le premier terme à être inférieur à \numprint{1000}.


Pour le vérifier par le calcul, on résout l'inéquation :

\begin{align*}
u_n < \numprint{1000} & \iff \numprint{7820}-554n < \numprint{1000}\\[6pt]
& \iff -554n < \numprint{1000}-\numprint{7820}\\[6pt]
& \iff -554n < -\numprint{6820}\\[6pt]
& \iff n > \dfrac{-\numprint{6820}}{-554}\\[6pt]
& \iff n > 12,31\ldots
\end{align*}

Comme $n$ est un entier, cela signifie que le premier $n$ possible est $n=13$, ce qui correspond bien au résultat de nos programmes Python.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{les allumettes}[2]
Cédric souhaite construire sur une table, à plat, un \og château d'allumettes \fg{} à plusieurs étages, comme sur le schéma suivant:
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{03-allumettes.png}
\end{center} 
\begin{itemize}
\item 2 allumettes sont nécessaires pour le 1\ier{} étage; 
\item 4 allumettes sont nécessaires pour le 2\ieme{};
\item 6 allumettes sont nécessaires pour le 3\ieme{}
\item etc.
\end{itemize}
On note \suite{u}{n}{} le nombre d'allumettes nécessaires pour le $n$-ième étage, $n\in\N*$. Ainsi, $u_1=2$, $u_2=4$ et $u_3=6$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_4$.
\item Justifier que \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique. Préciser alors sa raison.
\item Déterminer le nombre d'allumettes nécessaires pour construire 20 étages.
\item Compléter le programme Python afin qu'il affiche ce nombre total d'allumettes.
\begin{python}
u = 2
S = 0

for n in range(20):
    S = ...
    u = ...
    
print(S)
\end{python}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Pour 4 étages, nous avons :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{03-allumettes-1.png}
\end{center}
On ajoute 2 allumettes par rapport au nombre d'allumettes nécessaires pour l'étage précédent.

\underline{Ainsi, $u_4=6+2=8$.}

\item Comme mentionné dans la réponse précédente, pour construire l'étage $n+1$, il est nécessaire d'avoir $u_n$ allumettes (nombre d'allumettes pour construire l'étage $n$) et d'en ajouter 2.

\uline{Ainsi, $u_{n+1}=u_n+2$, ce qui correspond à la relation de récurrence d'une suite arithmétique de raison 2.}

\item Le nombre total d'allumettes pour construire 20 étages correspond à:
\begin{align*}
u_1+u_2+\cdots+u_{20} & = 20 \times \dfrac{u_1+u_{20}}{2}\\
& = 20 \times \dfrac{2 + (2+(20-1)\times2)}{2}\\
& = 20 \times 21\\
& = 420.
\end{align*}
\underline{Il est donc nécessaire d'avoir 420 allumettes pour construire 20 étages.}

\item Le programme Python complété est le suivant:
\begin{python}
u = 2
S = 0

for n in range(20):
    S = S + u
    u = u + 2
    
print(S)
\end{python}

\textbf{Explications:}
\begin{itemize}
\item On commence par initialiser la variable \texttt{u} à 2; elle représente $u_1$.
\item On initialise ensuite la variable \texttt{S} à 0; elle représentera la somme des allumettes.
\item On crée ensuite une boucle \og Pour \fg{} car on connaît le nombre d'étages (20); il faudra donc ajouter 20 termes pour obtenir la somme totale.
\item Dans cette boucle, on commence par ajouter à la valeur déjà stockée en \texttt{S} la valeur qui est dans \texttt{u}...
\item ... puis on calcule le \texttt{u} suivant en écrivant que c'est l'ancienne valeur de \texttt{u} à laquelle on ajoute 2 (la raison de la suite) : \og \texttt{u = u+2} \fg{} est la traduction de la relation $u_{n+1}=u_n+2$.
\item Une fois la boucle terminée, on affiche la valeur stockée dans \texttt{S}. 
\end{itemize}
Si on exécute ce programme pas à pas, on a:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\ttfamily}Sc|*6{Sc|}}
\hline
Valeurs de n & - & 0 & 1 & 2 & $\cdots$ & 19\\
\hline
Valeurs de S & 0 & $0+2=2$ & $2+4=6$ & $6+6=12$ & $\cdots$ & $380+40=420$\\
\hline
Valeurs de u & 2 & $2+2=4$ & $4+2=6$ & $6+2=8$ & $\cdots$ & $40+2=42$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
La dernière valeur de \texttt{S} est la valeur trouvée à la question précédente, à savoir 420.
\begin{rem}
Le fait de faire varier \texttt{n} de 0 à 19 est équivalent au fait de la faire varier de 1 à 20. On aurait donc pu écrire dans le programme, à la ligne 4 : \og \texttt{for n in range(1,21)} \fg. Ce qui compte est ici d'exécuter 20 fois les instructions à l'intérieur de la boucle.
\end{rem}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\enlargethispage*{2em}
\begin{exocor}{collectivité locale}[2]
Une collectivité locale octroie une subvention de \numprint{116610}~\euro{} pour le forage d'une nappe
d'eau souterraine. Une entreprise estime que le forage du premier mètre coûte 130 \euro; le forage du deuxième mètre coûte 52~\euro{} de plus que celui du premier mètre; le forage du troisième mètre coûte 52~\euro{} de plus que celui du deuxième mètre, etc.

Plus généralement, le forage de chaque mètre supplémentaire coûte 52~\euro{} de plus que celui du mètre précédent.

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on note : $u_n$ le coût du forage du $n$-ième mètre en euros et $S_n$ le coût du forage de $n$ mètres en euros; ainsi $u_1=130$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ et $u_3$.
\item Préciser la nature de la suite \suite{u}{n}{}. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, pour tout
$n$ entier naturel non nul.
\item Calculer $S_2$ puis $S_3$.
\item Afin de déterminer le nombre maximal de mètres que l'entreprise peut forer avec la subvention qui est octroyée, on considère la fonction Python suivante :

\begin{python}
def nombre_metre(S):
    C = 130
    n = 1
    while C < S:
        C = C + ...
        n = n + 1
    return n
\end{python}

Compléter cette fonction de sorte que l'exécution de la fonction \texttt{nombre\_metre(S)} renvoie le nombre maximal de mètres que l'entreprise peut forer avec la subvention
octroyée. Justifier votre réponse.

\item On admet que, pour tout entier naturel non nul, $S_n=  26n^2+104n$. En déduire la valeur de $n$ que fournit la fonction Python donnée à la question 4. On expliquera la démarche utilisée.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_2=u_1+52=130+52=182$;

$u_3=u_2+52=182+52=234$.

\item Par définition, $u_{n+1}=u_n+52$ donc \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique de premier terme $u_1=130$ et de raison $r=52$.

On en déduit alors que pour tout entier $n\geqslant1$, 
\[ 
u_n=u_1+(n-1)r,
\] 
c'est-à-dire:
\[
u_n = 130 + (n-1)\times52
\]
ou encore:
\[
\boxed{u_n=52n+78}
\]

\item $S_2$ correspond au coût de forage pour 2 mètres donc:
\[
S_2 = u_1+u_2=130+182=312.
\]
De même,
\[
S_3=u_1+u_2+u_3=S_2+u_3=312+234=546.
\]

\item La fonction complétée est :

\begin{python}
def nombre_metre(S):
    C = 130
    n = 1
    while C < S:
        C = C + 52*(n+1)+78
        n = n + 1
    return n
\end{python}

Attention ici: l'instruction \og \texttt{n = n + 1} \fg{} étant après \og \texttt{C = C + ...} \fg, il faut penser à ajouter 1 à $n$ dans la formule... Ce qui est à mes yeux stupide! Le concepteur du sujet aurait dû plutôt écrire la fonction suivante:
\begin{python}
def nombre_metre(S):
    C = 130
    n = 1
    while C < S:
        n = n + 1
        C = C + 52*n+78
    return n
\end{python}
car c'est bien plus naturel ainsi... Il n'y a aucune raison de complexifier la fonction en inversant les deux instructions de la boucle.

Dans cette dernière fonction, à chaque passage dans la boucle, on ajoute à \texttt{C} la valeur de $u_n$ car c'est ainsi que cela se passe réellement.

\item On cherche ici le premier entier $n$ pour lequel $S_n \leqslant \numprint{116610}$:
\[
S_n \leqslant\numprint{116610}  \iff 26n^2+104n-\numprint{116610}\leqslant0.
\]
Le discriminant du polynôme $26n^2+104n-\numprint{116610}$ est:
\[
\Delta = 104^2-4\times26\times(-\numprint{116610}=\numprint{12138256}=\numprint{3484}^2,
\]
donc il admet deux racines:
\[
n_1=\dfrac{-104-\numprint{3484}}{2\times26}=-69
\]
et 
\[
n_2=\dfrac{-104+\numprint{3484}}{2\times26}=65.
\]
Seules les valeurs de $n$ strictement positives nous intéressent donc\linebreak$26n^2+104n-\numprint{116610}\leqslant0$ pour $n\geqslant65$.

\underline{Ainsi, \texttt{nombre\_metre(116610)} renvoie le nombre 65.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{les sacs de pièces}[3]
Des archéologues du XXX\ieme{} siècle découvrent dans une grotte une balance électronique à côté de laquelle se trouvent des sacs et une pancarte sur laquelle est écrite : 
\begin{quote}
\og Dans chacun des 73 sacs, il y a 100 pièces d'or pesant chacune 5 grammes, sauf dans un sac où elles ne pèsent que 4,5 grammes.

À l'aide de la balance électronique, qui ne permet qu'une seule pesée, déterminez le sac dans lequel se trouvent les pièces de 4,5 grammes. \fg{} 
\end{quote}

Après réflexion, un des archéologues prend 1 pièce du premier sac, 2 pièces du deuxième, etc. jusqu'à prendre 73 pièces du dernier sac, puis les met toutes sur la balance. La masse indiquée par la balance est alors \numprint{13489} grammes.

\medskip

Trouver le sac dans lequel se trouvent les pièces de 4,5 grammes.

\tcblower

En procédant ainsi, l'archéologue dispose en tout sur la balance:
\[
1+2+3+\cdots+73=\dfrac{73\times74}{2}=\numprint{2701}\text{ pièces}.
\]

Si les pièces pesaient toutes 5 g, cela représenterait une masse totale égale à :
\[
\numprint{2701}\times 5 = \numprint{13505}\text{ g.}
\]
Mais certaines pièces ne pèsent que 4,5 g.

\bigskip

Supposons qu'elles soient extraites du sac $k$, pour $1 \leqslant k \leqslant 73$. La masse totale est alors égale, en grammes, à :
\begin{align*}
& 1\times5 + 2\times5 + \cdots + {\color{red} k\times 4,5} + \cdots + 73 \times 5\\[6pt]
=\ & 1\times5 + 2\times5 + \cdots + {\color{red} 5k-0,5k} + \cdots + 73 \times 5\\[6pt]
=\ & 1\times5 + 2\times5 + \cdots + {\color{red} k\times 5} + \cdots + 73 \times 5 {\color{red} -0,5k}\\[6pt]
=\ & \numprint{13505} - 0,5k.
\end{align*}

Ainsi, comme la balance indique une masse de \numprint{13489} grammes, on a :
\begin{align*}
 \numprint{13505} - 0,5k = \numprint{13489} & \iff 0,5k =  \numprint{13505} -\numprint{13489}\\
 & \iff 0,5k = 16\\
 & \iff k = \dfrac{16}{0,5}=32.
 \end{align*}
 
\underline{Le 32\ieme{} sac contient donc les pièces de 4,5 grammes}.
\end{exocor}


\subsection*{Suites géométriques}

%%%

\begin{exocor}{détermination de la raison ou d'un terme}[1]
Soit \suite{u}{n}{} une suite géométrique de raison $q$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $u_0=5$ et $u_2=12$. Calculer $q$.
\item $u_0=3$ et $q=2$. Calculer $u_9$.
\item $u_2=8$ et $q=\dfrac{1}{2}$. Calculer $u_8$.
\item $u_0=2$ et $q=\dfrac{1}{3}$. Calculer $u_{10}$.
\item $u_5=2$ et $q=\sqrt 2$. Calculer $u_7$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_0=5$ et $u_2=12$. Calculer $q$.

On sait que :
\[ u_n=u_0\times q^n\]
donc:
\begin{align*}
u_2 & = u_0\times q^2\\
12 & = 5\times q^2\\
q^2 & = \dfrac{12}{5}\\
\Aboxed{q & = \sqrt{\dfrac{12}{5}} \qquad\text{ou}\qquad q=-\sqrt{\dfrac{12}{5}}}
\end{align*}

\item $u_0=3$ et $q=2$. Calculer $u_9$.

On sait que :
\[ 
u_n=u_0\times q^n
\]
donc:
\begin{align*}
u_9 & = u_0\times q^9\\
u_9 & = 3\times 2^9\\
\Aboxed{u_9 & = \numprint{1536}}
\end{align*}

\item $u_2=8$ et $q=\dfrac{1}{2}$. Calculer $u_8$.

On sait que :
\[ 
u_n=u_k\times q^{n-k}
\]
donc:
\begin{align*}
u_8 & = u_2\times q^{8-2}\\
u_8 & = 8\times 2^{-6}\\
\Aboxed{u_8 & = 2^{-3}}
\end{align*}

\item $u_0=2$ et $q=\dfrac{1}{3}$. Calculer $u_{10}$.

On sait que :
\[ 
u_n=u_0\times q^n
\]
donc:
\begin{align*}
u_{10} & = u_0\times q^{10}\\
u_{10} & = 2\times 3^{-10}\\
\Aboxed{u_{10} & = \dfrac{2}{3^{10}}}
\end{align*}

\item $u_5=2$ et $q=\sqrt 2$. Calculer $u_7$.

On sait que :
\[ 
u_n=u_k\times q^{n-k}
\]
donc:
\begin{align*}
u_7 & = u_5\times q^{7-5}\\
u_7 & = 2\times \sqrt{2}^2\\
\Aboxed{u_7 & =4}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{somme des premiers termes}[1]
Soit \suite{u}{n}{} une suite géométrique de raison $q$.
\begin{enumerate}
\item Si $u_0=1$ et $q=2$, calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{100}$.
\item Si $u_0=3$ et $q=\dfrac{1}{2}$, calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{50}$.
\item Si $u_1=60$ et $q=\dfrac{1}{3}$, calculer $u_1+u_2+\cdots+u_{100}$.
\item Si $u_1=50$ et $q=10$, calculer $u_1+u_2+\cdots+u_{50}$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Si $u_0=1$ et $q=2$, calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{100}$.

\suite{u}{n}{} est une suite géométrique donc :
\[
u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]

Donc ici,
\begin{align*}
u_0+u_1+\cdots+u_{100} & = \dfrac{1-2^{101}}{1-2}\\
\Aboxed{u_0+u_1+\cdots+u_{100} & = 2^{101}-1}
\end{align*}

\item Si $u_0=3$ et $q=\dfrac{1}{2}$, calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{50}$.

\begin{align*}
u_0+u_1+\cdots+u_{50} & = 3\times\dfrac{1-\frac{1}{2^{51}}}{1-\frac{1}{2}}\\
& = 3\left(1-\dfrac{1}{2^{51}}\right)\times2\\
\Aboxed{u_0+u_1+\cdots+u_{50} & = 6\left(1-\dfrac{1}{2^{51}}\right)}
\end{align*}

\item Si $u_1=60$ et $q=\dfrac{1}{3}$, calculer $u_1+u_2+\cdots+u_{100}$.

\begin{align*}
u_1+u_2+\cdots+u_{100} &= u_1\times\dfrac{1-q^{100}}{1-q}\\
& = 60\times\dfrac{1-\frac{1}{3^{100}}}{1-\frac{1}{3}}\\
& = 60\left(1-\dfrac{1}{3^{100}}\right)\times\dfrac{3}{2}\\
\Aboxed{u_1+u_2+\cdots+u_{100} & = 45\left(1-\dfrac{1}{3^{100}}\right)}
\end{align*}

\item Si $u_1=50$ et $q=10$, calculer $u_1+u_2+\cdots+u_{50}$.

\begin{align*}
u_1+u_2+\cdots+u_{50} & = 50\times\dfrac{1-10^{50}}{1-10}\\
\Aboxed{u_1+u_2+\cdots+u_{5} & = \dfrac{50}{9}\big(10^{50}-1\big)}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{construction}[2]
On considère la suite géométrique \suite{u}{n}{} de premier terme $u_0$ et de raison $q>0$.

On construit alors la figure suivante, où $A$ a pour abscisse $u_0$ et $B$ a pour abscisse $u_1$ sur la demi-droite d'origine $O$:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\tkzDefPoints{0/0/O,3/0/A,4.5/0/B,6.75/0/C,7/-6/D,3.5/-3/N}
\draw[>=latex,->] (0,0) -- (8,0);
\draw (0,0) -- (7,-6);
\tkzLabelPoints[above](O,A,B,C)
\tkzDefBarycentricPoint(O=2,D=1)\tkzGetPoint{M}
\tkzDrawPoints[size=3,color=red,fill=red!50](O,A,B,C,M,N)
\tkzLabelPoints[below left](M,N)
%\draw[gray] (0,0) grid[step=0.1] (10,-7);
%\draw (0,0) grid (10,-7);
\draw (3,0) -- (2.33,-2);
\draw (4.5,0) -- (3.5,-3);
\draw[dotted] (2.33,-2) -- (4.5,0);
\draw[dotted] (3.5,-3) -- (6.75,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}

On construit une autre demi-droite d'origine $O$, puis on place un point $M$ n'importe où dessus. Ensuite, on place un point $N$ sur cette demi-droite tel que $(AM)$ et $(BN)$ soient parallèles.

\medskip

On trace alors le segment $[BM]$, puis on place le point $C$ de sorte que:
\begin{itemize}
\item $A$, $B$, $C$ sont alignés;
\item $(CN)~//~(BM)$.
\end{itemize}

Expliquer pourquoi le point $C$ a pour abscisse $u_2$.

\tcblower

Dans le triangle $OBN$, nous avons une configuration classique de Thalès qui nous permet d'écrire:
\[
\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OM}{ON} = \dfrac{AM}{AB}
\]
soit:
\[
\dfrac{u_0}{u_1} = \dfrac{OM}{ON}=\dfrac{1}{q}.
\]

\medskip

Dans le triangle $ACN$, nous avons aussi, par construction, une configuration classique de Thalès qui nous permet d'écrire:
\[
\dfrac{OB}{OC} = \dfrac{OM}{ON} = \dfrac{1}{q}
\]
soit:
\[
\dfrac{u_1}{OC}=\dfrac{1}{q} \iff OC = q\times u_1 = u_2.
\]
Ainsi, l'abscisse de $C$ est bien $u_2$.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{mot de passe}[2]
Un mot de passe est composé de 1 à 25 caractères choisis parmi une liste de 70 symboles.

Donner un ordre de grandeur du nombre total de mots de passe possibles.

\tcblower

\begin{itemize}
\item Si le mot de passe comporte 1 seul caract\`ere, alors il y a 70 possibilit\'es (car un caract\`ere est choisi parmi 70 symboles);
\item si le mot de passe comporte 2 caract\`eres, il y a $70^2$ possibilit\'es ;
\item si le mot de passe comporte 3 caract\`eres, il y a $70^3$ possibilit\'es ;
etc.
\end{itemize}
Ainsi, le nombre total de possibilit\'es est :
\[
S=70+70^2+70^3+\cdots+70^{\textcolor{violet}{25}}
\]
car il y a au plus \textcolor{violet}{25} caract\`eres dans le mot de passe.

\begin{align*}
S & = 70\big(1+q+q^2+\cdots+q^{24}\big)\quad\text{avec }q=70\\
& = 70\times\dfrac{q^{25}-1}{q-1}\\
& = 70 \times\dfrac{70^{25}-1}{70-1}\\
& = \dfrac{70}{70-1}\times\big(70^{25}-1\big).
\end{align*}

On peut consid\'erer que $\dfrac{70}{70-1}$ est proche de 1 et que $70^{25}-1$ est proche de $70^{25}$.

\medskip

\uline{Ainsi, un ordre de grandeur du nombre total de mots de passe est $70^{25}$.}

\medskip

Mais par \og ordre de grandeur \fg, on peut comprendre \og une puissance de 10 \fg. Nous allons donc aller plus loin.
\begin{align*}
70^{25} & = (7 \times 10)^{25}\\
& = 7^{25} \times 10^{25}\\
& = 7\times7^{24}\times10^{25}\\
& = 7\times\left(\textcolor{red}{7^2}\right)^{12}\times10^{25}\\
& \approx 7\times \textcolor{red}{50}^{12} \times10^{25}\\
& \approx 7\times\textcolor{blue}{5^{12}}\times10^{12}\times10^{25}\\
& \approx 7\times\textcolor{blue}{2\times10^{8}}\times10^{37}\\
& \approx 14\times10^{45}\\
& \approx 10^{46}.
\end{align*}

Petite pr\'ecision : j'ai calcul\'e $5^{12}$ \`a l'aide de la calculatrice pour \'ecrire que c'\'etait \`a peu pr\`es \'egal \`a $2\times10^8$.
\end{exocor}

%%%

\enlargethispage*{2em}
\begin{exocor}{longueur d'une spirale}[2]
On a construit ci-dessous, en rouge, une spirale:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.05]
\draw(0,0) rectangle +(100,100);
\node[below] at (50,0) {$c_1=10$};
\draw[red] (0,0) arc(180:90:100);
\draw(100,100) rectangle +(50.0,-50.0);
\draw[red] (100,100) arc(90:0:50.0);
\draw(150.0,50.0) rectangle +(-25.0,-25.0);
\draw[red] (150.0,50.0) arc(0:-90:25.0);
\draw(125.0,25.0) rectangle +(-12.5,12.5);
\draw[red] (125.0,25.0) arc(-90:-180:12.5);
\draw(112.5,37.5) rectangle +(6.25,6.25);
\draw[red] (112.5,37.5) arc(-180:-270:6.25);
\draw(118.75,43.75) rectangle +(3.125,-3.125);
\draw[red] (118.75,43.75) arc(-270:-360:3.125);
\draw(121.875,40.625) rectangle +(-1.5625,-1.5625);
\draw[red] (121.875,40.625) arc(-360:-450:1.5625);
\draw(120.3125,39.0625) rectangle +(-0.78125,0.78125);
\draw[red] (120.3125,39.0625) arc(-450:-540:0.78125);
\draw(119.53125,39.84375) rectangle +(0.390625,0.390625);
\draw[red] (119.53125,39.84375) arc(-540:-630:0.390625);
\draw(119.921875,40.234375) rectangle +(0.1953125,-0.1953125);
\draw[red] (119.921875,40.234375) arc(-630:-720:0.1953125);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace*{-1em}
Pour cela,
\begin{itemize}
\item on a tracé un carré de côté $c_1=10$ cm, puis un quart de cercle à l'intérieur;
\item ensuite, on a tracé un carré de côté $c_2=5$ cm à l'intérieur duquel on a tracé un quart de cercle qui \og continue \fg{} le précédent;
\item etc.
\end{itemize}
Le côté d'un carré mesure toujours la moitié du côté du carré précédent.

On note $c_n$ la longueur du carré $n$, et $\ell_n$ celle du quart de cercle à l'intérieur, $n\geqslant1$, exprimées en cm.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{\ell}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée au millimètre près, de la longueur totale de la spirale si l'on a construit 10 carrés.
\end{enumerate}
\vspace*{-1.5em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Par définition, $c_{n+1}=\dfrac{1}{2}c_n$ pour $n\geqslant1$, avec $c_1=10$.

De plus, $\ell_{n+1}=\dfrac{2\pi c_{n+1}}{4}=\dfrac{\pi}{2}c_{n+1}$ (longueur d'un quart de cercle de rayon $c_{n+1}$).

Ainsi, 
\vspace*{-1.2em}
\begin{align*}
\ell_{n+1}& =\dfrac{\pi}{2}\times \dfrac{1}{2}c_n\\
& =\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{\pi}{2}c_n\right)\\
& = \dfrac{1}{2}\ell_n.
\end{align*}

Ainsi, \suite{\ell}{n}{} est géométrique. Son premier terme est $
\ell_1 = \dfrac{\pi}{2}\times c_1 = \dfrac{\pi}{2}\times10 = 5\pi$
et sa raison est $q=\dfrac{1}{2}$.

\item La longueur totale de la spirale formée avec 10 carrés est:
\begin{align*}
\ell_1 + \ell_2 + \cdots + \ell_{10}& = \ell_1 \times \dfrac{1-q^{10}}{1-q}\\
& = 5\pi \times \dfrac{1-\tfrac{1}{2^{10}}}{1-\tfrac{1}{2}}\\
& = 5\pi \times \left(1-\frac{1}{2^{10}} \right) \times 2\\
& = 10\pi\left(1-\frac{1}{2^{10}}\right)\\
& = 10\pi\left(1 - \frac{1}{\numprint{1024}}\right)\\
& = \frac{\numprint{5115}\pi}{512}\qquad\text{(valeur exacte)}\\
& \approx 31,4\text{ cm}\qquad\text{(valeur approchée au mm près)}.
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{le jeu d'échecs}[2]
Une ancienne légende raconte que le jeu d'échecs a été inventé par un vieux sage. Son roi voulut le remercier en lui accordant n'importe quel cadeau en récompense. Le vieux sage
demanda qu'on lui fournisse un peu de riz pour ses vieux jours, et plus précisément qu'on place :

\medskip

\begin{itemize}
\item un grain de riz sur la première case du jeu qu'il venait d'inventer,

\item puis deux grains de riz sur la case suivante,

\item puis quatre grains de riz sur la troisième case,
\end{itemize}

et ainsi de suite, en doublant le nombre de grain de riz entre une case et la suivante, et ce jusqu'à la 64\ieme{} case (puisqu'un plateau de jeu d'échecs comporte 64 cases).

\bigskip

On note $u_1$ le nombre de grains de riz présents sur la première case, $u_2$ le nombre de grains sur la deuxième case, et ainsi de suite jusqu'à la 64\ieme{} case.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item En déduire la nature de la suite \suite{u}{n}{} et en préciser les éléments caractéristiques.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer le nombre de grains de riz qui doivent être disposés sur le plateau pour satisfaire à la demande du vieux sage.
\item On veut écrire une fonction en langage Python qui
détermine à partir de quelle case le vieux sage disposera
d'au moins $R$ grains de riz. Compléter la fonction ci-dessous afin qu'elle renvoie le résultat désiré.
\begin{python}
def nb_case(R):
    case = 1
    u = 1
    somme = u
    while somme ...:
        u = ...
        somme = ...
        case = case + 1
    return case
\end{python}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Par définition, $u_1=1$ (nombre de grain de blé sur la première case);
\item $u_2$ est le double de $u_1$, donc $u_2=2u_1=2\times1=2$;
\item $u_3=2u_2=4$;
\item $u_4=2u_3=8$;
\item $u_5=2u_4=16$.
\end{itemize}

\item Par définition, $u_{n+1}$ est le double de $u_n$ car on double le nombre de grains d'une case à l'autre. \underline{Ainsi, $u_{n+1}=2u_n$.}

\item De la relation de récurrence précédente, on en déduit que \suite{u}{n}{} est une suite géométrique de premier terme $u_1=1$ et de raison $q=2$.

\medskip

D'après le cours, on a alors pour tout entier naturel $n\geqslant1$:\[ \boxed{u_n = u_1 \times q^{n-1} = 2^{n-1}} \]

\item Le nombre de grains de riz qui doivent être disposés sur le plateau pour satisfaire à la demande du vieux sage est:
\[
\boxed{u_{64}=2^{63}=\numprint{9223372036854775808}}
\]

\newpage

\item Le programme complété est le suivant:

\begin{python}
def nb_case(R):
    case = 1
    u = 1
    somme = u
    while somme < R:
        u = 2 * u
        somme = somme + u
        case = case + 1
    return case
\end{python}

En effet, on doit calculer les termes successifs de la suite (l. 7) et la somme est obtenue (l. 8) en ajoutant le nouveau terme à la somme précédente \textit{tant que} cette somme n'a pas atteint $R$, donc tant que la somme est inférieure strictement à $R$ (l. 8).
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{marathon}[2]
Bob s'est fixé un objectif: participer à un marathon qui aura lieu très bientôt dans sa ville.

Pour cela, il désire programmer sa préparation au marathon de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item lors du premier entraînement, il décide de courir 20 km;
\item il augmente ensuite, à chaque entraînement, la distance à courir de \pourcent{5}.
\end{itemize}
On peut modéliser la distance parcourue lors de ses entraînements par une suite \suite{d}{n}{} où, pour tout entier naturel $n$ non nul, le nombre $d_n$ désigne la distance à courir en kilomètre, lors de son $n$-ième entraînement.

On a ainsi $d_1 = 20$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $d_2$, puis vérifier que $d_3 = 22,05$.
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $d_n=20 \times 1,05^{n-1}$.
\item Quelle distance, arrondie à 1 m près, va courir Bob lors de son 10\ieme{} entraînement ?
\item La distance à courir lors d'un marathon est de 42,195 km. Bob estime qu'il sera prêt pour la course, s'il parvient à courir au moins 43 km lors d'un de ses entraînements.

Recopier et compléter le script suivant, écrit en langage Python, dont la valeur de $n$, après exécution de ce script, est le nombre minimal d'entraînements permettant à Bob d'être prêt pour le marathon.

\begin{python}
n = 1
d = 20
while ...:
    n = ...
    d = 1.05 * d
\end{python}

\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Par définition, $d_2=d_1+ \dfrac{5}{100}d_1 = 1,05d_1=1,05 \times 20 = 21$.

De même, $d_3 = 1,05 d_2 = 1,05 \times 21 = 22,05$.

\item En s'inspirant des calculs précédents, on peut dire que pour tout entier $n\geqslant 1$, 
\[
\boxed{d_{n+1}=1,05 d_n}
\]
\item D'après la relation de récurrence trouvée, \suite{d}{n}{} est une suite géométrique de premier terme $d_1=20$ et de raison $q=1,05$. Ainsi, d'après le cours, pour tout $n\geqslant1$, on a:
\[
d_n = d_1 \times q^{n-1}
\]
soit:
\[
\boxed{d_n=20 \times 1,05^{n-1}}
\]

\item Dans cette question, on cherche $d_{10}$:
\[
d_{10}=20\times1,05^{10}\approx32,57789
\]
\underline{Donc Bob va courir environ 33 km lors de son 10\ieme{} entraînement.}

\item Le script complété est le suivant:
\begin{python}
n = 1
d = 20
while d < 43:
    n = n + 1
    d = 1.05 * d
\end{python}
Si on demande d'afficher la valeur de $n$ trouvée, on a : $n=17$.
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{Arithmétiques ou géométriques ?}

%%%

\enlargethispage*{3em}
\begin{exocor}{}[1]
Pour chacune des questions suivantes, la suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} est définie de façon explicite. 

Dire si elle est arithmétique, géométrique ou ni l'une ni l'autre en justifiant. Si elle est arithmétique ou géométrique, préciser son premier terme et sa raison.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $u_n=3+4n$
\item $u_n=8\times2^n$
\item $u_n=2\times3^{n-1}$
\item $u_n=\sqrt{2^n}$
\item $u_n=\dfrac{5}{3^n}$
\item $u_n=n(n+1)-n(n-1)$
\item $u_n=n^2+2n+1$
\item $u_n=\dfrac{1}{3^n}+1$
\item $u_n=2^n+1$
\item $u_n=\dfrac{\sqrt{2^n}}{3^n}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-2em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_n=3+4n$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = 3+4(n+1)-(3+4n)\\
& = 3+4n+4-3-4n\\
& = 4.
\end{align*}
$u_{n+1}-u_n=4$ est une constante (un nombre qui ne dépend pas de $n$) donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite arithmétique de raison $r=4$ et de premier terme $u_0=3+4\times0=3$.
\begin{rem}
J'ai remarqué que $u_n$ était de la forme $u_0+nr$ donc j'ai commencé par calculer $u_{n+1}-u_n$ car je savais alors que c'était une suite arithmétique.
\end{rem}

\item $u_n=8\times2^n$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\cancel{8}\times2^{n+1}}{\cancel{8}\times2^n}\\
& = \dfrac{2^n\times2^1}{2^n}\\
& = 2.
\end{align*}

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=2$ est une constante donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $u_0=8\times2^0=8$.

\medskip

\begin{rem}
Ici, j'ai remarqué que $u_n$ était de la forme $u_0\times q^n$, d'où le calcul de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.
\end{rem}


\item $u_n=2\times3^{n-1}$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :

\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\cancel{2}\times3^n}{\cancel{2}\times3^{n-1}}\\
& = \dfrac{3^{n-1}\times3}{3^{n-1}}\\
& = 3.
\end{align*}

Par conséquent, \suite{u}{n}{n\geqslant0} est géométrique de raison $q=3$ et de premier terme \linebreak$u_0=2\times3^{0-1}=\dfrac{2}{3}$.

\item $u_n=\sqrt{2^n}$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\sqrt{2^{n+1}}}{\sqrt{2^n}} = \sqrt{\dfrac{2^{n+1}}{2^n}}\\
& = \sqrt{\dfrac{2^n\times2}{2^n}} = \sqrt{2}.
\end{align*}

\suite{u}{n}{n\geqslant0} est donc géométrique de raison $q=\sqrt{2}$ et de premier terme $u_0=\sqrt{2^0}=1$.

\item $u_n=\dfrac{5}{3^n}$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\cancel{5}}{3^{n+1}}\times\dfrac{3^n}{\cancel{5}}\\
& = \dfrac{3^n}{3^n\times3} = \dfrac{1}{3}.
\end{align*}

\suite{u}{n}{n\geqslant0} est donc géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $u_0=\dfrac{5}{3^0}=5$.

\item $u_n=n(n+1)-n(n-1)=n^2+n-n^2+n=2n$. $u_n$ est donc de la forme $u_0+nr$ avec $u_0=0$ et $r=2$. 

\suite{u}{n}{n\geqslant0} est donc arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $u_0=0$.

\item $u_n=n^2+2n+1=(n+1)^2$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = (n+2)^2-(n+1)^2\\
& = (n+2-n-1)(n+2+n+1)\\
& = 2n+3.
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{(n+2)^2}{(n+1)^2}\\
& = \left(\dfrac{n+2}{n+1}\right)^2\\
& = \left(\dfrac{n+1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}\right)^2\\
& = \left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^2.
\end{align*}

Ainsi, $u_{n+1}-u_n$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ne sont pas des constantes. La suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est donc ni arithmétique, ni géométrique.

\item $u_n=\dfrac{1}{3^n}+1$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :

\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = \dfrac{1}{3^{n+1}}+1-\dfrac{1}{3^n}-1\\
& = \dfrac{1}{3^{n}\times3}-\dfrac{1}{3^n}\\
& = \dfrac{1}{3^n}\left(\dfrac{1}{3}-1\right)\\
& = -\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3^n}.
\end{align*}

\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\frac{1}{3^{n+1}}+1}{\frac{1}{3^n}+1}\\
& = \dfrac{\frac{1+3^{n+1}}{3^{n+1}}}{\frac{1+3^n}{3^n}}\\& = \dfrac{1+3^{n+1}}{3^{n+1}}\times\dfrac{3^n}{1+3^n}\\
& = \dfrac{1+3^{n+1}}{3(1+3^n)}.
\end{align*}

Ainsi, $u_{n+1}-u_n$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ne sont pas des constantes. La suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est donc ni arithmétique, ni géométrique.

\item $u_n=2^n+1$. On calcule :
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = 2^{n+1}+1-2^n-1\\
& = 2^n\times2-2^n\\
& = 2^n(2-1)\\
& = 2^n.
\end{align*}

\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{2^{n+1}+1}{2^n+1}.
\end{align*}

Ainsi, $u_{n+1}-u_n$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ne sont pas des constantes. La suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est donc ni arithmétique, ni géométrique.

\item $u_n=\dfrac{\sqrt{2^n}}{3^n}$. On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\sqrt{2^{n+1}}}{3^{n+1}}\times\dfrac{3^n}{\sqrt{2^n}}\\
& = \dfrac{\sqrt{2^{n+1}}}{\sqrt{2^n}}\times\dfrac{3^n}{3^{n+1}}\\
& = \sqrt{2}\times\dfrac{1}{3}\\
& = \dfrac{\sqrt{2}}{3}.
\end{align*}

Ainsi, \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ et de premier terme $u_0=1$.
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[1]
Pour chacune des questions suivantes, la suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} est définie à l'aide d'une relation de récurrence. 

Dire si elle est arithmétique, géométrique ou ni l'une ni l'autre en justifiant. Si elle est arithmétique ou géométrique, préciser son premier terme et sa raison.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $u_{n+1}=3u_n$, $u_0=1$
\item $u_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}$, $u_0=1$
\item $u_n=2u_{n-1}$, $u_0=1$
\item $u_{n+1}=u_n-\pi$, $u_0=2\pi$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[start=5]
\begin{multicols}{2}
\item $u_{n+1}=3(u_n-1)-2(u_n+1)$, $u_0=1$
\item $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}$, $u_0=2$
\item $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$, $u_0=2$
\item $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$, $u_0=1$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_{n+1}=3u_n$, $u_0=1$. On reconna\^it ici une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=qu_n$ donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $q=3$.

\item $u_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}$, $u_0=1$. Pour tout $n\geqslant0$, on a :
\[
u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{u_n}-u_n=\dfrac{1-u_n^2}{u_n}\neq \text{c}^\text{te}\text{ (constante)}.
\]
Donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est pas arithmétique.

\medskip

\[ 
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{u_n^2}\neq\text{c}^\text{te}.
\]

Donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est pas géométrique.

\item $u_n=2u_{n-1}$, $u_0=1$. On reconna\^it ici une relation de récurrence de la forme $u_{n}=qu_{n-1}$ donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $q=2$.

\item $u_{n+1}=u_n-\pi$, $u_0=2\pi$. On reconna\^it ici une relation de récurrence de la forme\linebreak $u_{n+1}=u_n+r$ donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite arithmétique de raison $r=\pi$.

\item $u_{n+1}=3(u_n-1)-2(u_n+1)=u_n-5$. On reconna\^it ici une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=u_n+r$ donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $r=-5$.

\item $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}=\dfrac{1}{2}u_{n-1}$. On reconna\^it ici une relation de récurrence de la forme\linebreak $u_{n}=qu_{n-1}$ donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.

\item $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$, $u_0=2$. Pour tout entier naturel $n$, on a :
\[ u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n}-\big(\sqrt{u_n}\big)^2=\sqrt{u_n}\big(1-\sqrt{u_n}\big)\neq\text{c}^\text{te}.
\]

Donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est pas arithmétique.

\medskip

\[ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\sqrt{u_n}}{u_n}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}\neq\text{c}^\text{te}.
\]

Donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est pas géométrique.

\item $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$, $u_0=1$. La relation de récurrence de cette suite est la m\^eme que dans la question précédente. Cependant, le premier terme change. 

On a ici : $u_0=1$, $u_1=\sqrt{1}=1$, etc.

Ainsi, \suite{u}{n}{} est constante. On peut alors dire qu'elle est arithmétique (de raison $r=0$) et géométrique (de raison $q=1$).
\end{enumerate}
\vspace*{3cm}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
Dans chacun des cas suivants, donner la relation de récurrence entre $u_{n+1}$ et $u_n$. Indiquez alors si \suite{u}{n}{} est arithmétique, géométrique ou ni l'une ni l'autre.

\begin{enumerate}
\item Chaque jour, ma vue baisse de \pourcent{0,001}. $u_n$ désigne ma note aux yeux au jour $n$.

\item Ma mère me donne 10 \euro, puis me dit : \og chaque mois, je te donnerai 10 \euro \fg. $u_n$ représente la somme que j'ai reçu en $n$ mois, pour $n\geqslant1$.

\item Je remplis d'eau une bouteille d'un litre à moitié. Chaque minute, ce qui restait la minute précédente est rempli à moitié. $u_n$ représente la proportion de la bouteille qui est remplie la $n$\ieme{} minute, $n\geqslant1$.

\item Je place \numprint{1000} \euro{} sur un compte qui me rapporte \pourcent{0,75} chaque année. $u_n$ représente le solde de ce compte (si je ne prélève rien) à l'année $n$, $n\geqslant0$, avec $u_0=\numprint{1000}$.

\newpage

\item Paul et Pierre sont à 20 mètres l'un de l'autre, Pierre étant derrière Paul. Quand Pierre fait un pas en avant, Paul en fait deux. $u_n$ représente la distance (en mètre) entre Paul et Pierre à la $n$\ieme{} étape, $n\geqslant0$, avec $u_0=20$ (on suppose que les pas de Pierre et de Paul sont de même longueur et mesurent 1 mètre).

\item Louis et Hugo sont à 20 mètres l'un de l'autre, Louis étant derrière Hugo. Quand Pierre fait un pas en avant, Louis en fait deux. $u_n$ représente la distance (en mètre) entre Louis et Hugo à la $n$\ieme{} étape, $n\geqslant0$, avec $u_0=20$ (on suppose que les pas de Hugo et de Louis sont de même longueur et mesurent 1 mètre).
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Chaque jour, ma vue baisse de \pourcent{0,001}. $u_n$ désigne ma note aux yeux au jour $n$.

Alors, 
\[ u_{n+1}=99,999u_n.\]

\underline{\suite{u}{n}{} est donc une suite géométrique de raison $q=99,999$.}

\item Ma mère me donne 10 \euro, puis me dit : \og chaque mois, je te donnerai 10 \euro \fg. $u_n$ représente la somme que j'ai reçu en $n$ mois, pour $n\geqslant1$.

Alors,
\[ u_{n+1}=u_n+10.\]

\underline{\suite{u}{n}{} est donc une suite arithmétique de raison $r=10$.}

\item Je remplis d'eau une bouteille d'un litre à moitié. Chaque minute, ce qui restait la minute précédente est rempli à moitié. $u_n$ représente la proportion de la bouteille qui est remplie la $n$\ieme{} minute, $n\geqslant1$.

Alors, 
\[ u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{2}\big(1-u_n\big)=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}.\]

\underline{\suite{u}{n}{} n'est donc ni arithmétique ni géométrique.}

\item Je place \numprint{1000} \euro{} sur un compte qui me rapporte \pourcent{0,75} chaque année. $u_n$ représente le solde de ce compte (si je ne prélève rien) à l'année $n$, $n\geqslant0$, avec $u_0=\numprint{1000}$.

Alors, 
\[ u_{n+1}=1,075u_n.\]

\underline{\suite{u}{n}{} est donc une suite géométrique de raison $q=1,075$.}

\item Paul et Pierre sont à 20 mètres l'un de l'autre, Pierre étant derrière Paul. Quand Pierre fait un pas en avant, Paul en fait deux. $u_n$ représente la distance (en mètre) entre Paul et Pierre à la $n$\ieme{} étape, $n\geqslant0$, avec $u_0=20$.

D'une étape à l'autre, si Paul avance de deux mètres, la distance qui le sépare de Pierre s'agrandit de deux mètres, mais si Pierre avance d'un mètre, elle se réduit d'un mètre. Au final, elle s'agrandit d'un mètre. Mais attention ! $u_n$ est une distance donc :
\[ u_{n+1}=\big\vert u_n+1\big\vert.\]
Ici, $u_n+1>0$ pour tout $n$ (c'est assez intuitif) donc on peut enlever les valeurs absolues. Finalement, on a :
\[ u_{n+1}=u_n+1.\]

\underline{\suite{u}{n}{} est donc arithmétique de raison $r=1$.}

\item Paul et Pierre sont à 20 mètres l'un de l'autre, Paul étant derrière Pierre. Quand Pierre fait un pas en avant, Paul en fait deux. $u_n$ représente la distance (en mètre) entre Paul et Pierre à la $n$\ieme{} étape, $n\geqslant0$, avec $u_0=20$.

D'une étape à l'autre, si Paul avance de deux mètres, la distance qui le sépare de Pierre se réduit de deux mètres, mais si Pierre avance d'un mètre, elle s'agrandit d'un mètre. Au final, elle se réduit d'un mètre. Mais attention ! $u_n$ est une distance donc :
\[ u_{n+1}=\big\vert u_n-1\big\vert.\]
On ne peut pas ici enlever les valeurs absolues car $u_n-1$ sera négatif au-delà d'un certain rang.

\underline{Par conséquent, \suite{u}{n}{} n'est ni arithmétique ni géométrique.}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%
\newpage
\begin{exocor}{un premier bilan}[2]
\begin{enumerate}
\item On considère une suite arithmétique \suite{u}{n}{n\geqslant0} telle que:
\[ u_2=8\qquad ; \qquad u_{10}=-3.\]
Donner l'expression du terme général de cette suite sous la forme $u_n=a+bn$.

\item On considère une suite arithmétique \suite{u}{n}{n\geqslant0} telle que:
\[ u_0=-6\qquad ; \qquad u_8=10.\]
Donner l'expression du terme général de cette suite sous la forme $u_n=a+bn$.

\item Trouver toutes les suites géométriques \suite{u}{n}{n\geqslant0} telles que:
\[ u_0=90\qquad ; \qquad u_2=10.\]


\item On construit une pyramide en allumettes comme sur le schéma suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,1) -- (5,1);
\draw[thick] (1,2) -- (4,2);
\draw[thick] (2,3) -- (3,3);
\draw[thick] (0,1) -- (0,0);
\draw[thick] (1,2) -- (1,0);
\draw[thick] (2,3) -- (2,0);
\draw[thick] (3,3) -- (3,0);
\draw[thick] (4,2) -- (4,0);
\draw[thick] (5,1) -- (5,0);
\node[right] at (6,2.5) {$u_1=3$};
\node[right] at (6,1.5) {$u_2=7$};
\node[right] at (6,0.5) {$u_3=11$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On note $u_n$ le nombre d'allumettes nécessaires pour le $n$-ième étage de cette pyramide, $n\geqslant1$.

Combien faut-il d'allumettes pour faire 20 étages ?

\item Dans chacun des cas suivants, dire si les termes sont ceux d'une suite géométrique, d'une suite arithmétique ou d'une autre suite. S'ils définissent une suite arithmétique ou géométrique, donner les paramètres de la suite (raison et 1\ier{} terme).

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n-\dfrac{1}{3}u_n$.
\item $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{10}$.
\item $u_n=3+4(n-1)$.
\item $u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n+1$.
\item $u_{n+1}=3u_n-5$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item On construit une figure étape par étape comme suit :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline]
\draw (0,0) circle (1cm);
\node at (0,-1.5) {\'Etape 1};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[baseline]
\draw (0,0) circle (1cm);
\draw (45:1.5cm) circle (0.5cm);
\node at (0,-1.5) {\'Etape 2};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[baseline]
\draw (0,0) circle (1cm);
\draw (45:1.5cm) circle (0.5cm);
\draw (45:2.25cm) circle (0.25cm);
\node at (0,-1.5) {\'Etape 3};
\end{tikzpicture}
\begin{minipage}{6cm}
\`A chaque étape, on ajoute un disque dont le rayon est la moitié de celui qui a été ajouté à l'étape précédente.
\end{minipage}
\end{center}

Sachant que le premier disque a un rayon égal à 5 cm, quelle sera la valeur approchée à l'unité de l'aire totale des disques à l'étape 10 ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite arithmétique donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_k+(n-k)r$.

Ainsi, $u_{10}=u_2+(10-2)r$, soit $-3=8+(10-2)r$. On obtient alors $r=\dfrac{-3-8}{10-2}=-\dfrac{11}{8}$.

On peut alors écrire :
\begin{align*}
u_n & =u_2+(n-2)r\\
u_n & =8-\dfrac{11}{8}(n-2)\\
& =8-\dfrac{11}{8}n+\dfrac{11}{4}\\
\Aboxed{u_n& = \dfrac{43}{4}-\dfrac{11}{8}n}
\end{align*}

\item \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite arithmétique donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_k+(n-k)r$.

Ainsi, $u_8=u_0+8r$, soit $10=-6+8r$. On obtient alors $r=\dfrac{10+6}{8}=2$.

On peut alors écrire :
\begin{align*}
u_n & =u_0+nr\\
\Aboxed{u_n & =-9+2n}
\end{align*}

\item \suite{u}{n}{n\geqslant0} est géométrique donc $u_n=u_0\times q^n$, soit $u_2=u_0\times q^8$. Ainsi, $10=90\times q^2$, soit $q^2=\dfrac{1}{9}$. 

Par conséquent, $q=\dfrac{1}{3}$ ou $q=-\dfrac{1}{3}$.

Il existe donc deux suites géométriques, chacune de premier terme $u_0=90$, l'une de raison $\dfrac{1}{3}$ et l'autre de raison $-\dfrac{1}{3}$.

\item On constate que $u_n=u_{n-1}+4$, donc \suite{u}{n}{n\geqslant1} est une suite arithmétique de raison $r=4$.

Ainsi, la somme des 20 premiers termes est :
\begin{align*}
u_1+u_2+\cdots+u_{20} & = (\text{nombre de termes dans la somme}) \times \dfrac{\text{1\ier{} terme}+\text{dernier terme}}{2}\\
& = 20\times\dfrac{1+(u_1+(20-1)\times4)}{2}\\
& = 20\times\dfrac{1+(1+19\times4)}{2}\\
& = 20\times\dfrac{78}{2}\\
& = 780.
\end{align*}

Le nombre total d'allumettes qu'il faut pour faire 20 étages correspond à la somme des 20 premiers termes de la suite \suite{u}{n}{n\geqslant1}, donc il faut 780 allumettes.

\item

\begin{enumerate}
\item $u_{n+1}=3u_n-\dfrac{1}{3}u_n=\left(3-\dfrac{1}{3}\right)u_n=\dfrac{8}{3}u_n$ donc $u_{n+1}$ est de la forme $qu_n$ donc c'est le terme général de la suite géométrique de raison $q=\dfrac{8}{3}$ et de premier terme $u_0=1$.

\item $u_{n+1}=\dfrac{1}{10}u_n$ donc $u_{n+1}$ est de la forme $qu_n$ avec $q=\dfrac{1}{10}$. Il définit donc une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{10}$ et de premier terme $u_0=1$.

\item $u_n=3+4(n-1)=3+4n-4=-1+4n$ donc $u_n$ est de la forme $u_0+nr$ avec $u_0=-1$ et $r=4$. C'est donc le terme général d'une suite arithmétique de raison $r=4$ et de premier terme $u_0=-1$.

\item $u_{n+1}=u_n+1$ donc c'est de la forme $u_{n+1}=u_n+r$. $u_n$ est donc le terme général d'une suite arithmétique de raison $r=1$ et de premier terme $u_0=2$.

\item $u_{n+1}=3u_n-5$ n'est pas de la forme $u_n+r$ ou $qu_n$ donc $u_n$ n'est pas un terme général d'une suite arithmétique ou géométrique.
\end{enumerate}

\item Appelons $r_n$ le rayon du disque ajouté à l'étape $n$ et $a_n$ l'aire du disque de rayon $r_n$.  

Alors, $r_{n+1}=\dfrac{1}{2}r_n$. Donc \suite{r}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.	

L'aire du disque ajouté à l'étape $n$ est $a_n=\pi \times r_n=\dfrac{5\pi}{2^{n-1}}$.

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\pi\times r_{n+1}}{\pi \times r_n}=\dfrac{r_{n+1}}{r_n}=q$ donc \suite{a}{n}{} est aussi une suite géométrique de raison $q$.

L'aire totale des disques (en cm$^2$) à l'étape 10 est donc :
\begin{align*}
a_1+a_2+\cdots+a_{10} & = (\text{1\ier{} terme})\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\\
& = 25\pi\times\dfrac{1-\frac{1}{2^{10}}}{1-\frac{1}{2}}\\& = 50\pi\times\left(1-\dfrac{1}{2^{10}}\right)\\
& = 50\pi\left(1-\dfrac{1}{1024}\right)\\
& = 50\pi\times\dfrac{1023}{1024}\\
& = \dfrac{25575\pi}{512}\\
& \approx 157.
\end{align*}
L'aire totale est donc environ égale à 157 cm$^2$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{flocon de Von Koch}[3]
Le \textit{flocon de Von Koch} est une figure construire à partir d'un triangle équilatéral de côté\linebreak $\ell_0 = 1$.

\medskip

À chaque étape, on découpe en trois parties égales les segments de la figure précédente comme l'illustre le schéma ci-dessous:

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
    \begin{tikzpicture}
    \draw [l-system={rule set={F -> F-F++F-F}, step=81pt, angle=60,axiom=F++F++F, order=0}]
     lindenmayer system -- cycle;
    \end{tikzpicture}
     &
    \begin{tikzpicture}[baseline]
    \draw [l-system={rule set={F -> F-F++F-F}, step=27pt, angle=60,axiom=F++F++F, order=1}]
     lindenmayer system -- cycle;
    \end{tikzpicture}
     &
     \begin{tikzpicture}[baseline]
    \draw [l-system={rule set={F -> F-F++F-F}, step=9pt, angle=60,axiom=F++F++F, order=2}]
     lindenmayer system -- cycle;
    \end{tikzpicture}
     &
     \begin{tikzpicture}[baseline]
    \draw [l-system={rule set={F -> F-F++F-F}, step=3pt, angle=60,axiom=F++F++F, order=3}]
     lindenmayer system -- cycle;
    \end{tikzpicture}
      \\
      Étape 0 & Étape 1 & Étape 2 & Étape 3
    \end{tabular}
\end{center}
    
\medskip
    
On note:
\begin{itemize}
\item $\ell_n$ la longueur d'un segment de la figure à l'étape $n$;
\item $c_n$ le nombre de segments de la figure à l'étape $n$;
\item $p_n$ le périmètre de la figure à l'étape $n$.
\end{itemize}

\bigskip

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item Que valent $\ell_1$, $c_0$, $c_1$, $p_0$, $p_1$ ?
\item Quelle est la nature des suites $\suite{\ell}{n}{}$ et $\suite{c}{n}{}$ ?
\item 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $p_n$ en fonction de $\ell_n$ et $c_n$, puis en fonction de $n$.

\item Quelle est la nature de $\suite{p}{n}{}$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B}

On considère dans cette partie la suite $\suite{a}{n}{}$, où $a_n$ est l'aire d'un triangle équilatéral que l'on ajoute à la figure à l'étape $n$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du premier triangle (à l'étape 0) est $a_0=\dfrac{\sqrt3}{4}$.
\item Justifier que $a_{n+1} = \dfrac{1}{9}a_n$.
\item Exprimer alors en fonction de $n$ l'aire de la figure à l'étape $n$.
\end{enumerate}

\tcblower

\medskip

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item $c_0=3$, $c_1=12$, $\ell_1 = \dfrac{1}{3}$, $p_0=3$ et $p_1=12\times\dfrac{1}{3}=4$.
\item \begin{itemize}
\item $\suite{\ell}{n}{}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$. En effet,; à chaque étape, un segment est divisé en 3 donc sa longueur est divisée en 3 : $\ell_{n+1}=\dfrac{1}{3}\ell_n$.
\item $\suite{c}{n}{}$ est une suite géométrique de raison 4. En effet, si on prend un segment quelconque, on le partage en 3 puis on construit un triangle équilatéral \og au milieu \fg, ce qui génère 2 segments (au milieu) et deux autres aux extrémités, donc 4 en tout. Le nombre de côtés à l'étape $n+1$ sera donc égal à 4 fois celui à l'étape $n$ : $c_{n+1}=4c_n$.
\end{itemize}

\item 
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
p_n & = c_n \times \ell_n\\
    & = \left( c_0 \times 4^n \right) \times \left[ \ell_0 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n \right]\\
    & = 3 \times 4^n \times 1 \times \dfrac{1}{3^n}\\
    & = 3 \times \left(\dfrac{4}{3}\right)^n.
\end{aligned}$

\item On déduit de ce dernier résultat que $\suite{p}{n}{}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{4}{3}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item $a_0$ représente l'aire du triangle équilatéral de côté 1. Sa hauteur $h$ est égale, d'après le théorème de Pythagore, à:
\[
h = \sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt3}{2}.
\]
Ainsi, son aire est:
\[
a_0 = \dfrac{1}{2}\times b \times h = \dfrac{1}{2}\times1\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{4}.
\]

\item À l'étape $n+1$, on ajoute $c_n$ triangles équilatéraux dont les côtés sont égaux à $\dfrac{1}{3}\ell_n$.

Ces triangles équilatéraux sont donc des réductions de facteur $\dfrac{1}{3}$ des triangles ajoutés à l'étape $n$. Leur aire est donc égale à $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \times a_n$. D'où:
\[
a_{n+1} = \dfrac{1}{9}a_n.
\]


\item La suite $\suite{a}{n}{}$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{9}$.

\medskip

L'aire totale de la figure à l'étape $n$ est, pour $n > 0$:
\begin{align*}
& a_0 + c_0\times a_1 + c_1 \times a_2 + \cdots + c_{n-1} \times a_n\\
=\ & a_0 + \sum_{k=1}^n a_k \times c_{k-1}\\
\end{align*}

\begin{align*}
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4} + \sum_{k=1}^{n} \left(a_0\times\dfrac{1}{9^k}\right)\times \left(c_0\times 4^{k-1}\right)\\
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{\sqrt3}{4}\times3\sum_{k=1}^n\dfrac{4^{k-1}}{9^k}\\
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{\sqrt3}{4}\times3\sum_{k=1}^n\dfrac{4^{k-1}}{9^{k-1}}\times\dfrac{1}{9}\\
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{\sqrt3}{4}\times\dfrac{1}{3}\sum_{k=1}^n\dfrac{4^{k-1}}{9^{k-1}}\\
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{\sqrt3}{4}\times\dfrac{1}{3}\sum_{p=0}^{n-1}\dfrac{4^{p}}{9^{p}}\qquad\text{en posant }p=k-1\\
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{\sqrt3}{12}\times\dfrac{1-\left(\frac{4}{9}\right)^n}{1-\frac{4}{9}}\\
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4}+\dfrac{9}{5}\times\dfrac{\sqrt3}{12}\times\left[1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n \right]\\
=\ & \dfrac{2\sqrt3}{5}\left[1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n \right].
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{Suites arithmético-géométriques}


%%%

\begin{exocor}{le débit de l'eau, le débit de lait}[2]
Léonard achète deux bidons de 100 litres : un dans lequel il met de l'eau, l'autre dans lequel il met du lait.

Chaque jour, il consomme \pourcent{30} de la quantité de lait et \pourcent{50} de la quantité d'eau qu'il y avait le jour précédent. Tous les soir avant de se coucher, il ajoute 10 litres de lait dans le bidon de lait et 20 litres d'eau dans le bidon d'eau après .

On note $e_n$ la quantité d'eau et $\ell_n$ la quantité de lait (en litres) au $n$-ième jour après les ajouts d'eau et de lait. On a ainsi $e_0=100$ et $\ell_0=100$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $e_1$ et $\ell_1$.
\item Déterminer les relations de récurrence des suites \suite{e}{n}{} et \suite{\ell}{n}{}.
\item On pose $u_n=e_n-40$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire le terme général de \suite{u}{n}{} en fonction de $n$, puis celui de \suite{e}{n}{}.
\end{enumerate}

\item On pose $v_n=\ell_n-\dfrac{100}{3}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire le terme général de \suite{v}{n}{} en fonction de $n$, puis celui de \suite{\ell}{n}{}.
\end{enumerate}
\item Calculer alors $e_{365}$ et $\ell_{365}$ d'une part, $e_{730}$ et $\ell_{730}$. Que peut-on remarquer et alors conjecturer ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Au jour 1, Léonard consomme la moitié d'eau ; donc il lui reste 50 litres. Il ajoute ensuite 20 litres d'eau donc \uline{$e_1=70$}.

\medskip

Au jour 1, il consomme \pourcent{30} de lait donc il lui reste 70 litres de lait ; il ajoute ensuite 10 litres de lait donc $\uline{\ell_1=80}$.

\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Pour \pmb{\suite{e}{n}{}} :} pour passer de $e_{n}$ à $e_{n+1}$, on doit multiplier par $\dfrac{1}{2}$ (ou diviser par 2). On a alors à ce stade : $e_{n+1}=\dfrac{1}{2}e_n$. Ensuite, on ajoute 20 litres donc finalement, $\boxed{e_{n+1}=\dfrac{1}{2}e_n+20}$

\item \textbf{Pour \pmb{\suite{\ell}{n}{}} :} pour passer de $\ell_{n}$ à $\ell_{n+1}$, on doit multiplier par $0,7$ (car enlever \pourcent{30} de la quantité signifie qu'il en reste \pourcent{70}). On a alors à ce stade : $\ell_{n+1}=0,7\ell_n$. Ensuite, on ajoute 10 litres donc finalement, $\boxed{\ell_{n+1}=0,7e_n+10}$ 
\end{itemize}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & =e_{n+1}-40\\
& = \dfrac{1}{2}e_n+20-40\\
& = \dfrac{1}{2}e_n-20\\
& = \dfrac{1}{2}\left(e_n-\dfrac{20}{\frac{1}{2}}\right)\\
& = \dfrac{1}{2}(e_n-40) = \dfrac{1}{2}u_n\;.
\end{aligned}$

Ainsi, pour obtenir $u_{n+1}$, on doit multiplier $u_n$ par $\dfrac{1}{2}$ ; la suite \suite{u}{n}{} est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

Son premier terme est : $u_n=e_0-40$, soit $u_0=100-40=60$.

\item La suite \suite{u}{n}{} étant géométrique, $u_n=u_0\times q^n$ d'après le cours. Ainsi, ici, \uline{$u_n=60\times0,5^n$}.

\medskip

Or, $u_n=e_n-40$ donc $e_n=u_n+40$, soit $\boxed{e_n=60\times0,5^n+40}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & =\ell_{n+1}-\dfrac{100}{3}\\
& = 0,7\ell_n+10-\dfrac{100}{3}\\
& = 0,7\ell_n-\dfrac{70}{3}\\
& = 0,7\left(\ell_n-\dfrac{\frac{70}{3}}{0,7}\right)\\
& = 0,7\left(\ell_n-\dfrac{100}{3}\right)\\
& = 0,7v_n\;.
\end{aligned}$

Ainsi, pour obtenir $v_{n+1}$, on doit multiplier $v_n$ par $0,7$ ; la suite \suite{v}{n}{} est donc géométrique de raison $0,7$.

Son premier terme est : $v_n=\ell_0-\dfrac{100}{3}$, soit $v_0=100-\dfrac{100}{3}=\dfrac{200}{3}$.


\item La suite \suite{v}{n}{} étant géométrique, $v_n=v_0\times q^n$ d'après le cours. Ainsi, ici, $\boxed{v_n=\dfrac{200}{3}\times0,7^n}$.

\medskip

Or, $v_n=\ell_n-\dfrac{100}{3}$ donc $\ell_n=v_n+\dfrac{100}{3}$, soit $\boxed{\ell_n=\dfrac{200}{3}\times0,7^n+\dfrac{100}{3}}$.
\end{enumerate}

\newpage

\item
\begin{itemize}
\item $e_{365}=60\times0,5^{365}+40\approx40$ et $\ell_{365}=\dfrac{200}{3}\times0,7^{365}+\dfrac{100}{3}\approx33,3$.
\item $e_{730}=60\times0,5^{730}+40\approx40$ et $\ell_{730}=\dfrac{200}{3}\times0,7^{730}+\dfrac{100}{3}\approx33,3$.
\end{itemize}
On peut alors remarquer que les quantités au bout d'un an sont égales à celles obtenues au bout de 2 ans.

Tout porte donc à croire qu'au bout d'un nombre important de jours, la quantité d'eau stagne autour de 40 litres et que celle de lait stagne autour de 33,33 litres.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
On considère la suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+3
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item \suite{u}{n}{n\geqslant0} est-elle une suite arithmétique ? Une suite géométrique ?
\end{enumerate}

\medskip

On considère la suite \suite{v}{n}{n\geqslant0} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[ v_n=u_n-\dfrac{9}{2} .\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que \suite{v}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\newpage

\item On donne la fonction Python suivante:

\begin{python}
def suite(n):
    u = 1
    i = 0
    while i < n:
        i = i + 1
        u = u/3 + 3
    
    return u
\end{python}

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un tableau (par exemple), exécuter cette fonction pour $n=3$.
\item Que permet de faire cette fonction?
\item \`A l'aide de votre calculatrice, donner la valeur qu'affiche cette fonction pour $n=10$, $n=20$ et $n=30$.

Que peut-on conjecturer ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_1=\dfrac{1}{3}u_0+3=\dfrac{1}{3}\times1+3=\dfrac{10}{3}$.

$u_2=\dfrac{1}{3}u_1+3=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{10}{3}+3=\dfrac{10}{9}+\dfrac{27}{9}=\dfrac{37}{9}$.

\item \raisebox{-1em}{$\left.\begin{array}{l}
u_1-u_0=\dfrac{10}{3}-1=\dfrac{7}{3}\\[10pt]
u_2-u_1=\dfrac{37}{9}-\dfrac{10}{3}=\dfrac{7}{9}\neq u_1-u_0
\end{array}\right\rbrace\Longrightarrow\suite{u}{n}{n\geqslant0}\text{ n'est pas arithmétique.}$}

\medskip

$\left.\begin{array}{l}
\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{\frac{10}{3}}{\frac{7}{3}}=\dfrac{10}{3}\times\dfrac{3}{7}=\dfrac{10}{7}\\[15pt]
\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{37}{9}\times\dfrac{3}{10}=\dfrac{37}{30}\neq\dfrac{u_1}{u_0}
\end{array}\right\rbrace\Longrightarrow\suite{u}{n}{n\geqslant0}\text{ n'est pas géométrique.}$

\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = \textcolor{red}{u_{n+1}}-\dfrac{9}{2}\\[8pt]
& = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}u_n+3}-\dfrac{9}{2}\\[8pt]
& = \dfrac{1}{3}u_n-\dfrac{3}{2}\\[8pt]
& = \dfrac{1}{3}\left(\textcolor{blue}{u_n-\dfrac{9}{2}}\right)\\[8pt]
\Aboxed{v_{n+1}& = \dfrac{1}{3}\textcolor{blue}{v_n}}
\end{aligned}$

Ainsi, \suite{v}{n}{n\geqslant0} vérifie une relation de récurrence de la forme $v_{n+1}=qv_n$ qui est significatif d'une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$. Son premier terme est :
\[ v_0=u_0-\dfrac{9}{2}=1-\dfrac{9}{2}=-\dfrac{7}{2}.\]

\item De la question précédente, on peut déduire que pour tout entier naturel $n$ :
\[ v_n=v_0\times q^n=-\dfrac{7}{2}\times\dfrac{1}{3^n}\]
et comme $v_n=u_n-\dfrac{9}{2}$, on a :
\[ u_n=v_n+\dfrac{9}{2}\]
soit :
\[ \boxed{u_n=-\dfrac{7}{2}\times\dfrac{1}{3^n}+\dfrac{9}{2}}\]

\item
\begin{enumerate}
\item On a le tableau suivant :

\begin{tabular}{|Sl|*5{Sc|}}
\hline
Condition $i<n$ & \cellcolor{numpagecorrige} & vraie : 0<3 & vraie : 1<3 & vraie : 2<3 & fausse\\
\hline
Valeurs de i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline
Valeurs de $u$ & 1 & $\frac 1 3 + 3 = \frac {10} 3$ & $\frac{10}9+3=\frac{37}{9}$ & $\frac{37}{27}+3=\frac{118}{81}$ & \cellcolor{numpagecorrige} \\
\hline
\end{tabular}
\item On voit qu'à chaque boucle, la fonction permet d'obtenir la valeur de $u_i$. On n'entre plus dans la boucle lorsque $i=n$ et la dernière valeur de $u$ calculée est alors $u_n$.

Ainsi, cette fonction permet de calculer $u_n$ pour un entier naturel $n$ donné en argument de la fonction.

\item On obtient $u_{10}\approx4,4999407272$, $u_{20}\approx4,499999999$ et $u_{30}\approx4,5$.

On peut alors conjecturer que $u_n$ se rapproche de plus en plus de 4,5 au fur et à mesure que $n$ prend des valeurs de plus en plus grandes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{}[3]
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
u_0=2\\
u_{n+1}=\dfrac{2}{7}u_n+6
\end{array}
\right.
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on  pose $v_n=u_n-\dfrac{42}{5}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{10}v_k=v_0+v_1+\cdots+v_{10}$.
\item En déduire $S'=\displaystyle\sum_{k=0}^{10}u_k=u_0+u_1+\cdots+u_{10}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_1=\dfrac{2}{7}u_0+6=\dfrac{2}{7}\times2+6=\dfrac{4}{7}+\dfrac{42}{7}=\dfrac{46}{7}$.

$u_2=\dfrac{2}{7}u_1+6=\dfrac{2}{7}\times\dfrac{46}{7}+6=\dfrac{92}{49}+\dfrac{294}{49}=\dfrac{386}{49}$.

\item $v_n=u_n-\dfrac{42}{5}$.
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = u_{n+1}-\dfrac{42}{5}\\
& = \dfrac{2}{7}u_n+6-\dfrac{42}{5}\\
& = \dfrac{2}{7}u_n+\dfrac{30}{5}-\dfrac{42}{5}\\
&=  \dfrac{2}{7}u_n-\dfrac{12}{5}\\
& = \dfrac{2}{7}\left(u_n-\dfrac{12}{5}\times\dfrac{7}{2}\right)\\
&=  \dfrac{2}{7}{\color{red}\left(u_n-\dfrac{42}{5}\right)} = \dfrac{2}{7}{\color{red}v_n}.
\end{aligned}$

Ainsi, \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{2}{7}$ et de premier terme :\linebreak $v_0=u_0-\dfrac{42}{5}=2-\dfrac{42}{5}=-\dfrac{32}{5}$.

\item On déduit que $v_n=v_0\times q^n$, soit $\boxed{v_n=-\dfrac{32}{5}\times\left(\dfrac{2}{7}\right)^n}$.

Or, $v_n=u_n-\dfrac{42}{5}$ donc $u_n=v_n+\dfrac{42}{5}$; ainsi, $\boxed{u_n=\dfrac{42}{5}-\dfrac{32}{5}\times\left(\dfrac{2}{7}\right)^n}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $S$ est la somme des premiers termes d'une suite géométrique donc :
\begin{align*}
S & =v_0\times\dfrac{1-q^{11}}{1-q}\\
& = -\dfrac{32}{5}\times\dfrac{1-\left(\frac{2}{7}\right)^{11}}{1-\frac{2}{7}}\\
S & = -\dfrac{32}{5}\times\dfrac{1-\left(\frac{2}{7}\right)^{11}}{\frac{5}{7}}\\
& = -\dfrac{32}{5}\times\dfrac{7}{5}\times\left[1-\left(\frac{2}{7}\right)^{11}\right]\\
\Aboxed{S & = -\dfrac{134}{25}\left[1-\left(\frac{2}{7}\right)^{11}\right]}
\end{align*}

\item On a :
\begin{align*}
S' & = \displaystyle\sum_{k=0}^{10}\left(v_k-\dfrac{42}{5}\right)\qquad\text{car }u_k=v_k-\dfrac{42}{5}\\
   & = \displaystyle\sum_{k=0}^{10} v_k - \displaystyle\sum_{k=0}^{10}\dfrac{42}{5}\qquad\text{(on a découpé la somme en deux)}\\
   & = S'-\dfrac{42}{5}\times11\qquad\text{ car la dernière somme signifie que l'on ajoute}\\
   & \hspace*{7.5cm}\text{ 11 fois la fraction }\dfrac{42}{5}\\
   & =  -\dfrac{134}{25}\left[1-\left(\frac{2}{7}\right)^{11}\right]-\dfrac{462}{5}\\
   & = -\dfrac{134}{25} + \dfrac{134}{25}\times\left(\frac{2}{7}\right)^{11}-\dfrac{462}{5}\\
   & = \dfrac{134}{25}\times\left(\frac{2}{7}\right)^{11}-\dfrac{134}{25}-\dfrac{462\times5}{5\times5}\\
\Aboxed{ S'   & = \dfrac{134}{25}\times\left(\frac{2}{7}\right)^{11}-\dfrac{2444}{25}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%
\newpage
\begin{exocor}{les habitants du village}[3]
Dans un village se trouvaient au 1\ier{} janvier 2018 \numprint{10 520} habitants.

Au 1\ier{} janvier 2019, il y en avaient \numprint{10694}. 

Au 1\ier{} janvier 2020, il y en avaient \numprint{10859}. 

Pour estimer le nombre d'habitants de ce village au 1\ier{} janvier $2018+n$, le maire souhaite utiliser une suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0=\numprint{10520}\\
u_{n+1}=au_n+b
\end{cases}
\]
où $a$ et $b$ sont deux nombre réels.

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données de l'énoncé, déterminer les valeurs de $a$ et $b$. On arrondira la valeur de $a$ à $10^{-2}$ près et celle de $b$ à l'entier près.
\end{enumerate}

Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n=u_n-\numprint{14000}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis que pour tout entier naturel $n$,
\[
u_n=\numprint{14000}-\numprint{3480}\times 0,95^n.
\]
\end{enumerate}

On peut raisonnablement supposer qu'à longs termes, le nombre d'habitants de ce village se rapprochera de \numprint{14000}.

Pour savoir à partir de quelle année le nombre d'habitants dépassera \numprint{13500}, le maire a écrit un programme Python:

\begin{python}
u = ...
n = ...
while u ...:
	n = n + 1
	u = ...
print(n)
\end{python}


\begin{enumerate}[resume]
\item Compléter ce programme afin qu'il affiche la première année à partir de laquelle le nombre d'habitants est supérieure ou égale à \numprint{13500}.

\item À l'aide de votre calculatrice, déterminer cette valeur.
\end{enumerate}
\vspace*{-1.5em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On sait que:
\[
\begin{cases}
u_0=\numprint{10520}\\
u_1=\numprint{10694}=a \times\numprint{10520}+b\\
u_2=\numprint{10859}=a\times(a \times\numprint{10520}+b)+b=\numprint{10520}a^2+ab+b
\end{cases}
\]
On peut donc écrire:
\[
b=\numprint{10694}-\numprint{10520}a
\]
et remplacer $b$ par cette dernière expression dans la dernière égalité:
\begin{align*}
& \numprint{10520}a^2+a(\numprint{10694}-\numprint{10520}a)+(\numprint{10694}-\numprint{10520}a)=\numprint{10859}\\
\iff\ & 174a = 165\\
\iff\ & a = \dfrac{165}{174} \approx 0,95.
\end{align*}

Ainsi,
\[
b\approx\numprint{10694}-\numprint{10520}\times0,95\approx700.
\]

Finalement,
\[
\boxed{u_{n+1}=0,95u_n+700}
\]

\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
v_{n+1} & = u_{n+1} - \numprint{14000}\\
& = 0,95u_n+700-\numprint{14000}\\
& = 0,95u_n-\numprint{13300}\\
& = 0,95\left(u_n-\dfrac{\numprint{13300}}{0,95}\right)\\
& = 0,95(u_n-\numprint{14000})\\
& = 0,95v_n.
\end{align*}

Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,95$ et de premier terme:
\[
v_0=u_0-\numprint{14000}=-\numprint{3480}.
\]

\item D'après le cours,
\[
v_n=v_0 \times q^n = - \numprint{3480} \times 0,95^n.
\]

Or, $v_n=u_n-\numprint{14000}$ donc:
\[
u_n=\numprint{14000}+v_n=\numprint{14000}-\numprint{3480}\times0,95^n.
\]

\item Le programme complété est le suivant:


\begin{python}
u = 10520
n = 2018
while u < 13500:
	n = n + 1
	u = 0.95 * u + 700

print(n)
\end{python}

\item On trouve à l'aide de la calculatrice que la population de ce village dépassera \numprint{13500} habitants en 2056.
\end{enumerate}
\end{exocor}

\newpage
\subsection*{Suites homographiques}

\begin{exocor}{}[2]
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par son premier terme $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par :
\[
u_{n+1}=1-\dfrac{1}{4u_n}.
\]
On pose alors pour tout entier naturel $n$:
\[ 
v_n=\dfrac{1}{u_n-0,5}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite arithmétique dont on donnera la raison et le premier terme.
\item En déduire le terme général de \suite{v}{n}{} puis celui de \suite{u}{n}{} en fonction de $n$.
\item À l'aide d'un tableur, de votre calculatrice ou tout simplement de votre cerveau, trouver le nombre vers lequel $u_n$ se rapproche lorsque $n$ augmente de plus en plus.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = \dfrac{1}{u_{n+1}-0,5}\\
& = \dfrac{1}{1-\frac{1}{4u_n}-\frac{1}{2}}\\
& = \dfrac{1}{\frac{4u_n}{4u_n}-\frac{1}{4u_n}-\frac{2u_n}{4u_n}} = \dfrac{1}{\frac{2u_n-1}{4u_n}}\\
& = \dfrac{4u_n}{2u_n-1} = \dfrac{4u_n}{2(u_n-0,5)} = \dfrac{2u_n}{u_n-0,5}.
\end{aligned}$

\medskip

$\begin{aligned}[t]
v_{n+1}-v_n & =\dfrac{2u_n}{u_n-0,5}-\dfrac{1}{u_n-0,5}\\
& = \dfrac{2u_n-1}{u_n-0,5}\\
& = \dfrac{2(u_n-0,5)}{u_n-0,5}\\
& = 2.
\end{aligned}$

\medskip

$v_{n+1}-v_n$ étant égal à une constante, \suite{v}{n}{} est arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0-0,5}=\dfrac{1}{3-0,5}=\dfrac{2}{5}=0,4$.

\item \suite{v}{n}{} étant arithmétique, $v_n=v_0+nr$, soit $v_n=0,4+2n$.

Or, $v_n=\dfrac{1}{u_n-0,5}$ donc $\dfrac{1}{v_n}=u_n-0,5$, soit $u_n=\dfrac{1}{v_n}+0,5$.

Ainsi, $\boxed{u_n=\dfrac{1}{0,4+2n}+0,5}$

\item Lorsque $n$ augmente de plus en plus, $2n+0,4$ augmente aussi de plus en plus, donc son inverse se rapproche de plus en plus de 0. \uline{Finalement, $u_n$ se rapproche alors de 0,5.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[3]
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\dfrac{2}{3u_n+1}
\end{cases}
\]
\vspace*{2.2cm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
On considère alors la fonction suivante :

\begin{python}
def suite(n):
    u = 2
    i = 0
    while i < n:
        i = i + 1
        u = 2 / (3*u + 1)
    
    return u
\end{python}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un tableau, exécuter cette fonction pour $n=4$.

Que renvoie alors cette fonction ?
\end{enumerate}

On considère la suite \suite{v}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[ 
v_n=\dfrac{u_n-\frac{2}{3}}{u_n+1}.
\]
\begin{enumerate}[start=2]
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On a le tableau suivant :

\begin{tabular}{|Sl|*6{Sc|}}
\hline
Condition $i<n$ & \cellcolor{numpagecorrige} & vraie : 0<4 & vraie : 1<4 &  vraie : 2<4 & vraie : 3<4 & fausse\\
\hline
Valeurs de i &  0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
Valeurs de $u$ & 
2 & 
$\frac{2}{3\times2+1}=\frac{2}{7}$ & 
$\frac{2}{3\times\frac{2}{7}+1}=\frac{14}{13}$ & 
$\frac{2}{3\times\frac{14}{13}+1}=\frac{26}{41}$ & 
$\frac{2}{3\times\frac{26}{41}+1}=\frac{82}{119}$ & \cellcolor{numpagecorrige}
 \\\hline
\end{tabular}

Cette fonction renvoie alors la dernière valeur de $u$ calculée, à savoir $\dfrac{82}{119}$, qui est $u_4$.

\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & =\dfrac{u_{n+1}-\frac{2}{3}}{u_{n+1}+1}\\
& = \dfrac{\frac{2}{3u_n+1}-\frac{2}{3}}{\frac{2}{3u_n+1}+1}\\
& = \dfrac{\frac{6-2(3u_n+1)}{3(3u_n+1)}}{\frac{2+3u_n+1}{3u_n+1}}\\
& = \dfrac{-6u_n+4}{3(3u_n+1)}\times\dfrac{3u_n+1}{3u_n+3}\\
& = \dfrac{-6u_n+4}{9u_n+9}\\
& = \dfrac{-6\left(u_n-\frac{2}{3}\right)}{9(u_n+1)} = -\dfrac{6}{9}v_n = -\dfrac{2}{3}v_n.
\end{aligned}$

Ainsi, \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=-\dfrac{2}{3}$ et de premier terme :
\begin{align*}
v_0 & =\dfrac{u_0-\frac{2}{3}}{u_0+1}\\
& = \dfrac{2-\frac{2}{3}}{2+1}\\
& = \dfrac{\frac{4}{3}}{3}\\
\Aboxed{v_0 & = \dfrac{4}{9}}
\end{align*}

\item De la question précédente, on déduit :
\[
v_n=\dfrac{4}{9}\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n.
\] 
De plus, 
\begin{align*}
& v_n=\dfrac{u_n-\frac{2}{3}}{u_n+1}\\
\Longleftrightarrow\ & v_n(u_n+1)=u_n-\frac{2}{3}\\
\Longleftrightarrow\ & v_nu_n-u_n=-v_n-\frac{2}{3}\\
\Longleftrightarrow\ & u_n(v_n-1)=-v_n-\frac{2}{3}\\
\Longleftrightarrow\ & u_n=\dfrac{-v_n-\frac{2}{3}}{v_n-1}\\
\Longleftrightarrow\ & \boxed{u_n = \dfrac{-\frac{4}{9}\times\left(-\frac{2}{3}\right)^n-\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}\times\left(-\frac{2}{3}\right)^n-1}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{Suites imbriquées}

\begin{exocor}{}[2]
On considère les suites \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} définies pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=0,2u_n+0,6v_n
\end{array}
\right.
\qquad\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
v_0=0\\
v_{n+1}=0,8u_n+0,4v_n
\end{array}
\right.
\]

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $t_n=u_n+v_n$.

Montrer que \suite{t}{n}{} est une suite constante. Exprimer alors $t_n$ pour tout entier naturel $n$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $w_n=3v_n-4u_n$.

Montrer que \suite{w}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 

Exprimer alors $w_n$ en fonction de $n$.

\item Exprimer alors $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
t_{n+1} & = u_{n+1}+v_{n+1}\\
& = (0,2u_n+0,6v_n)+(0,8u_n+0,4v_n)\\
& = (0,2+0,8)u_n+(0,6+0,4)v_n\\
& = u_n+v_n\\
\Aboxed{t_{n+1} & = t_n}
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, \suite{t}{n}{} est une suite constante et $t_n=t_0=u_0+v_0$}. Par conséquent, $\boxed{t_n=1}$.

\item $\begin{aligned}[t]
w_{n+1} & = 3v_{n+1}-4u_{n+1}\\
&= 3(0,8u_n+0,4v_n)-4(0,2u_n+0,6v_n)\\
& = 2,4u_n+1,2v_n-0,8u_n-2,4v_n\\
& = (2,4-0,8)u_n+(1,2-2,4)v_n\\
& = 1,6u_n-1,2v_n\\
& = -0,4(-4u_n+3v_n) \qquad \leftarrow (*)\\
& = -0,4w_n.
\end{aligned}$

\textit{(*) Pour trouver $-0,4$, j'ai regardé les coefficients que je voulais faire apparaître devant $u_n$ et $v_n$. Par exemple, dans l'expression $w_n=3v_n-4u_n$, il me faut \og 3 \fg{} devant $v_n$. Or, j'avais $-1,2$ dans l'expression $w_{n+1}=1,6u_n-1,2v_n$. J'ai donc fait $-1,2\div3=-0,4$. Je sais donc ici qu'il faut que je factorise mon expression $w_{n+1}=1,6u_n-1,2v_n$ par $-0,4$.}

\medskip

\uline{Ainsi, \suite{w}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=-0,4$ et de premier terme\\ $w_0=3v_0-4u_0=-4$.}

\medskip

On en déduit alors que $w_n=w_0\times q^n$ donc $\boxed{w_n=-4\times(-0,4)^n}$.

\item D'après ce qui précède, on peut écrire :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
t_n=u_n+v_n\\
w_n=-4u_n+3v_n
\end{array}
\right. \qquad \Leftrightarrow \qquad
\left\{
\begin{array}{r@{\;=\;}l}
1 & u_n+v_n\\
-4\times(-0,4)^n & -4u_n+3v_n
\end{array}
\right.
\]
En multipliant la première ligne par 4, on a :
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\;=\;}l}
4 & 4u_n+4v_n\\
-4\times(-0,4)^n & -4u_n+3v_n
\end{array}
\right.
\]
En ajoutant alors les deux lignes, on obtient :
\[
4-4\times(-0,4)^n=4u_n+4v_n-4u_n+3v_n
\]
soit :
\[
4-4\times(-0,4)^n=7v_n.
\]
En divisant par 7, on arrive alors à :
\[
\boxed{v_n=\dfrac{4-4\times(-0,4)^n}{7}}
\]
et donc, comme $u_n+v_n=1$,
\begin{align*}
u_n & = 1-v_n=1-\dfrac{4-4\times(-0,4)^n}{7}\\
& =\dfrac{7}{7}-\dfrac{4-4\times(-0,4)^n}{7}\\
& = \dfrac{7-[4-4\times (-0,4)^n]}{7}\\
& = \dfrac{7-4+4\times(-0,4)^n}{7}\\
\Aboxed{u_n & = \dfrac{3+4\times(-0,4)^n}{7}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[3]
On considère les suites \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} définies par :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=0,55u_n+0,35v_n
\end{array}
\right.
\qquad\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
v_0=0\\
v_{n+1}=0,45u_n+0,65v_n
\end{array}
\right.
\]

\begin{enumerate}
\item Soient deux nombres réels non nuls $a$ et $b$ tels que la suite \suite{w}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par $w_{n}=au_n+bv_n$ soit géométrique de raison notée $q$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on a :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
0,55a+0,45b=qa\\
0,35a+0,65b=bq
\end{array}
\right.
\]
\item En déduire que $a=\dfrac{q-0,65}{0,35}b$ et $b=\dfrac{q-0,55}{0,45}a$.
\item Montrer alors que $q$ est solution de l'équation $q^2-1,2q+0,2=0$.
\item Trouver alors les deux valeurs de $q$ possibles, notées $q_1$ et $q_2$, avec $q_1<q_2$, puis les valeurs possibles de $a$ et $b$ pour chacune de ces deux valeurs de $q$.
\end{enumerate}


\item On pose alors $c_n=u_n+v_n$ et $g_n=9u_n-7v_n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que ces deux suites vérifient les conditions de la suite \suite{w}{n}{}.
\item En déduire une expression de $c_n$ et $g_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire une expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item \label{q1-03-suites-20}
\begin{enumerate}
\item \label{q1a-03-suites-20}Calculons :
\begin{align*}
w_{n+1} & = au_{n+1}+bv_{n+1} = a(0,55u_n+0,35v_n) + b(0,45u_n+0,65v_n)\\
& = (0,55a+0,45b)u_n + (0,35a+0,65b)v_n.
\end{align*}

\suite{w}{n}{} est une suite géométrique de raison $q$ donc $w_{n+1}=qw_n$ ; par conséquent, 
\[
(0,55a+0,45b)u_n + (0,35a+0,65b)v_n=qau_n+qbv_n\;,
\]
et donc :
\[
\boxed{
\left\{
\begin{array}{l}
0,55a+0,45b=aq\\
0,35a+0,65b=bq
\end{array}
\right.
}
\]

\item Du système précédent, on déduit :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
0,45b=qa-0,55a\\
0,35a=qb-0,65b
\end{array}
\right.
\qquad
\text{soit}
\qquad
\boxed{
\left\{
\begin{array}{l}
b=\dfrac{q-0,55}{0,45}a\\[6pt]
a=\dfrac{q-0,65}{0,35}b
\end{array}
\right.
}
\]

\item En remplaçant $a$ par $\dfrac{q-0,65}{0,35}b$ dans la première équation, on a :
\begin{align*}
b=\dfrac{q-0,55}{0,45}\times\dfrac{q-0,65}{0,35}b 
& \Leftrightarrow 1=\dfrac{q-0,55}{0,45}\times\dfrac{q-0,65}{0,35}\quad (b\neq0)\\
& \Leftrightarrow 0,45\times0,35=(q-0,55)(q-0,65)\\
& \Leftrightarrow 0,1575 = q^2-0,65q-0,55q+0,3575\\
& \Leftrightarrow \boxed{q^2-1,2q+0,2=0}
\end{align*}

\item Le discriminant du polynôme $q^2-1,2q+0,2$ est :
\[
\Delta=(-1,2)^2-4\times1\times0,2=0,64
\]
donc il admet deux racines :
\[
q_1=\dfrac{1,2-\sqrt{0,64}}{2}=0,2\qquad\text{et}\qquad q_2=\dfrac{1,2+\sqrt{0,64}}{2}=1.
\]

\begin{itemize}
\item Pour $q=1$, le système de la question \ref{q1-03-suites-20}\ref{q1a-03-suites-20} devient :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
0,55a+0,45b=a\\
0,35a+0,65b=b
\end{array}
\right.
\qquad\text{soit}\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
-0,45a+0,45b=0\\
0,35a-0,35b=0
\end{array}
\right.
\]
On en déduit alors que $\boxed{a=b}$.

\item Pour $q=0,2$, le système de la question \ref{q1-03-suites-20}\ref{q1a-03-suites-20} devient :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
0,55a+0,45b=0,2a\\
0,35a+0,65b=0,2b
\end{array}
\right.
\qquad\text{soit}\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
0,355a+0,45b=0\\
0,35a+0,45b=0
\end{array}
\right.
\]
On en déduit alors que $\boxed{a=\dfrac{-0,45}{0,35}b=-\dfrac{9}{7}b}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour $c_n$, $a=b=1$ donc nous sommes dans le cas où $q=1$ : \suite{c}{n}{} est donc une suite constante.

Pour $g_n$, $a=9$ et $b=-7$, soit $a=-\dfrac{9}{7}b$ donc nous sommes dans le cas où $q=0,2$.

\item On en déduit que $\boxed{c_n=c_0=u_0+v_0=1}$ (car c'est une suite constante) et\linebreak$g_n=g_0\times q^n=(9u_0-7v_0)\times0,2^n$, soit $\boxed{g_n=9\times(0,2)^n}$.

\item On a :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
c_n=u_n+v_n\\
g_n=9u_n-7v_n
\end{array}
\right.
\qquad
\text{soit}
\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
1=u_n+v_n\\
9(0,2)^n=9u_n-7v_n
\end{array}
\right.
\]
En multipliant par 7 la première équation, on a :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
7=7u_n+7v_n\\
9(0,2)^n=9u_n-7v_n
\end{array}
\right.
\]
En ajoutant les deux équations membre à membre, on a :
\[
7+9(0,2)^n=16u_n \qquad \text{soit}\qquad \boxed{u_n=\dfrac{7+9(0,2)^n}{16}}
\]
De l'équation initiale $u_n+v_n=1$, on déduit alors :
\[
v_n=1-u_n=1-\dfrac{7+9(0,2)^n}{16}\qquad\text{soit}\qquad \boxed{v_n=\dfrac{9-9(0,2)^n}{16}}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

\newpage


\subsection*{Algorithmique et programmation}

\begin{rem}
Il est à noter que le programme de mathématiques n'exige pas que les élèves sachent écrire un programme Python en entier. Cependant, les exercices suivants pourront servir à celles et ceux qui ont envie d'aller au-delà du programme.
\end{rem}

%%%

\begin{exocor}{vers l'exponentielle}%\label{exo-suite-exp}
On définit la suite \suite{u}{n}{} pour tout entier naturel non nul $n$ par la relation :
\[
u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n.
\]
\'Ecrire un programme en Python qui permet de calculer et d'afficher une valeur approchée de $u_{10^p}$ ($u$ indice $10^p$), pour $p\in\llbracket 1;10\rrbracket$. Que constate-t-on ?

Modifier le programme pour que $p$ aille jusqu'à 15, puis jusqu'à 20. Que se passe-t-il ? 

Donner une explication.

\tcblower

Voici un programme Python possible :

\begin{python}
for p in range(1,11):
    n = 10**p # 10 exposant p
    u = (1+1/n)**n
    print(u)
\end{python}

%Nous avons la chance d'avoir la formule explicite de $u_n$, donc il suffit de remplacer $n$ par successivement $10$, $10^2$, $10^3$, $10^4$ et $10^5$. On construit donc une boucle sur l'exposant de 10.

Ce programme retourne :

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{console}
2.5937424601000023 
2.7048138294215285 
2.7169239322355936 
2.7181459268249255 
2.7182682371922975 
\end{console}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{console}
2.7182804690957534 
2.7182816941320818 
2.7182817983473577 
2.7182820520115603 
2.7182820532347876 
\end{console}
\end{minipage}

\medskip

On constate alors que les termes semblent se rapprocher d'un nombre, dont la valeur approchée au millième est $2,718$.

\bigskip

En revanche, pour $p=15$, le programme retourne la valeur \texttt{3.035035206549262}.

Si $p=20$, le programme affiche \og \texttt{1} \fg.

\bigskip

La raison est que pour $n=10^{20}$, le programme arrondit le résultat de $\dfrac{1}{n}$ à 0 (car il y a trop de \og 0 \fg{} après la virgule dans le résultat mathématique), ce qui implique que le programme arrondit le résultat de \og $1+\dfrac{1}{n}$ \fg{} à 1, et donc le résultat de \og $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ \fg{}  à $1^{n}=1$.

\medskip

Quant au résultat retourné pour $p=15$, on constate que si l'on demande d'afficher la valeur de \og $1+\dfrac{1}{n}$ \fg, il s'affiche \og \texttt{1.000000000000001} \fg{} et la façon dont Python calcule ce nombre à l'exposant 15 semble erronée (méthode trop compliquée à expliquer ici).
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}
On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=5$ et par la relation de récurrence :
\[
\forall n\in\N,\quad u_{n+1}=0,8u_n+7.
\]
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un algorithme qui stocke les 20 premiers termes de cette suite dans un tableau (une liste) et qui les affiche.
\item \'Ecrire le programme Python correspondant.
\item On admet que la suite $(u_n)$ est croissante et que sa limite vaut 35.

\'Ecrire un algorithme, puis le programme Python correspondant, permettant d'afficher le premier indice $n$ à partir duquel $u_n>34,99$.
\end{enumerate}
\vspace*{-1.2em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Un algorithme possible est le suivant :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\linewidth}
\ttfamily
%L est une liste \\
L $\leftarrow$ [5] (liste débutant par le 1er terme de la suite)\\
Pour n allant de 1 à 20:\\
\hspace*{1em}u $\leftarrow$ 0.8*u+7\\
\hspace*{1em}On ajoute à L la valeur u\\
Fin du Pour\\
Afficher L
\end{minipage}}
\end{center}

\item Le programme Python correspondant est:
\begin{python}
L = [5]
u = 5 # 1er terme

for n in range(1,21):
    u = 0.8*u+7
    L.append(u)

print(L)
\end{python}


\begin{attention}
N'oubliez pas que \texttt{range(a,b)} parcourt les entiers de $a$ à $b-1$...
\end{attention}


\item Pour afficher le premier indice $n$ pour lequel $u_n>34,99$, on utilise une boucle \og Tant que \fg.

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\ttfamily
u $\leftarrow$ 5\\
n $\leftarrow$ 0\\
Tant que u $\leqslant$ 34.99:\\
\hspace*{1em}u $\leftarrow$ 0.8*u+7\\
\hspace*{1em}n $\leftarrow$ n+1\\
Fin du Tant que
\end{minipage}}
\end{center}

\begin{attention}
La condition qui vient après \og Tant que \fg{} est toujours le contraire de la condition à remplir. Ici, on veut que $u_n>34,99$ et le contraire de cette condition est \og $u_n\leqslant34,99$ \fg. On doit donc mettre cette condition dans l'algorithme.
\end{attention}

\bigskip

Le programme Python correspondant est:

\begin{python}
u , n = 5 , 0 # u = 5 et n = 0
while u <= 34.99:
    u = 0.8*u + 7
    n = n + 1
print(n)
\end{python}

\bigskip

Il affiche ici la valeur 36, ce qui signifie que $u_{35}\leqslant34,99$ et que $u_{36}>34,99$.
\end{enumerate}

\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{suite de Fibonacci}
La suite de Fibonacci est la suite $(F_n)$ définie par ses deux premiers termes $F_0=F_1=1$ et par la relation de récurrence:
\[
\forall n\in\N,\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.
\]
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un algorithme permettant de stocker dans un tableau (une liste) les 100 premiers termes de cette suite et d'afficher tous les quotients $\dfrac{F_{n+1}}{F_n}$ pour $n<100$.
\item \'Ecrire le programme Python correspondant.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Un algorithme possible est le suivant :

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
\ttfamily
Initialisation:\\
\hspace*{1em}F est une liste\\
\hspace*{1em}F $\leftarrow$ [1,1] (les deux premiers termes de la suite)\\
Traitement:\\
\hspace*{1em}Pour n allant de 2 à 100:\\
\hspace*{2em}Ajouter à F la valeur F[n-2] + F[n-1]\\
\hspace*{2em}Afficher F[n-1]/F[n-2]\\
\hspace*{1em}Fin du Pour
\end{minipage}}


\item Le programme Python correspondant est:
\begin{python}
F = [1,1]
for n in range(2,100):
    F.append(F[n-2]+F[n-1])
    print(F[n-1]/F[n-2])
\end{python}
\end{enumerate}

\begin{rem}
Si on compile le programme ci-dessus, on voit que les quotients affichés sont, à partir d'un certain rang, tous égaux à \texttt{1.618033988749895}.

Bien entendu, cette valeur n'est qu'une valeur approchée de la limite des quotients $\dfrac{F_{n+1}}{F_n}$. Cette limite est appelée le \textit{nombre d'or}. 

C'est une valeur que l'on retrouve ailleurs (par exemple, le nombre d'or est une des solutions de l'équation $x^2-x-1=0$).
\end{rem}
\end{exocor}



\corriges
