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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
{\ECFJD\fontsize{12}{12}\selectfont\color{orangesanguine}}
{\thesubsection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}


\title{Fonctions affines}

\section*{Généralités}

Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x)=mx+p$, notée aussi $f\;:\;x\mapsto mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux nombres réels.

\medskip

Elle est représentée par une droite.

\begin{itemize}
\item[\textbullet] $m$ est son coefficient directeur ($m>0$ si la fonction est croissante et $m<0$ si elle est décroissante);
\item[\textbullet] $p$  est son ordonnée à l'origine (point d'intersection avec l'axe des ordonnées).
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray] (-5,-3) grid (5,3);
\draw[very thick,->,>=latex] (-5,0) -- (5,0); 
\draw[very thick,->,>=latex] (0,-3) -- (0,3);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\draw[very thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node [below] {$\x$};
}
\foreach\y in {-2,-1,1,2}
{
\draw[very thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node [left] {$\y$};
}
\node[below left] {0};
\draw[very thick, bleu] (-5,-2) -- (5,3);
\draw[thick,->,>=latex,orangesanguine] (-5,-2) -- (-4,-2) node[below,midway] {$+1$};
\draw[thick,->,>=latex,orangesanguine] (-4,-2) -- (-4,-1.5) node[right,midway] {$m$};
\fill[orangesanguine] (0,0.5) circle (2pt) node[below right] {$p$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\section*{Calculs de m et p}

Soit $f(x)=mx+p$.

Pour calculer $m$ et $p$, on doit connaître les coordonnées de deux points A\coord{x_A}{y_A} et B\coord{x_B}{y_B} appartenant à la droite représentant la fonction affine $f$.

\[
\boxed{m = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}}\qquad \boxed{p=y_A-mx_A=y_B-mx_B}
\]

\paragraph*{Exemple 1:} A\coord{-2}{3} et B\coord{5}{7}.

\begin{itemize}
\item[\textbullet] $m =  \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{7-3}{5-(-2)} = \dfrac{4}{7}$.
\item[\textbullet] $p = y_A-mx_A=3-\dfrac{4}{7}\times(-2)=3+\dfrac{8}{7}=\dfrac{3\times7}{7}+\dfrac{8}{7}=\dfrac{21}{7}+\dfrac{8}{7}=\dfrac{29}{7}$.
\end{itemize}
Donc $f(x)=\dfrac{4}{7}x+\dfrac{29}{7}$.

\paragraph*{Exemple 2 (autre rédaction):} A\coord{3}{-1} et B\coord{5}{-2}. $f(x)=mx+p$. Trouver $m$ et $p$.
\begin{itemize}
\item[\textbullet] $m=\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}=\dfrac{-2-(-1)}{5-3}=\dfrac{-2+1}{2}=-\dfrac{1}{2}$. Donc $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+p$.

\medskip

\item[\textbullet] $y_A=-1=f(x_A)=-\dfrac{1}{2}x_A+p = -\dfrac{1}{2}\times3+p=-\dfrac{3}{2}+p$ donc $-\dfrac{3}{2}+p=-1$, soit $p=-1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
Donc $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$.
\end{document}