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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[text width=0.5\linewidth, fill=bleuciel, ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
{\ECFJD\fontsize{12}{12}\selectfont\color{orangesanguine}}
{\thesubsection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\lhead{}
\cfoot{\ECFJD\Large\color{white}\fcolorbox{bleu}{bleu}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}


\title{Multiples, diviseurs et nombres premiers}

\section*{Critères de divisibilités}

\begin{itemize}
\item[\textbullet] Un nombre est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. 

\vspace*{-1em}
\paragraph*{Exemple :} 252, 1000, 878 sont divisibles par 2.

\item[\textbullet] Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3. 

\vspace*{-1em}
\paragraph*{Exemple:} 543 $\to$ $5+4+3=12$ et 12 est dans la table de 3, donc 543 est divisible par 3.

\item[\textbullet] Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.

\vspace*{-1em}
\paragraph*{Exemple:} \numprint{458216} est divisible par 4 car \og 16 \fg{} l'est aussi.

\item[\textbullet] Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.

\vspace*{-1em}
\paragraph*{Exemple:} 545 et 850 sont divisibles par 5.

\item[\textbullet] Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 9.

\vspace*{-1em}
\paragraph*{Exemple:} 981 est divisible par 9 car $9+8+1=18$, et 18 est divisible par 9.
\end{itemize}

\subsection*{Propriété}

Si $q$ et $q$ sont premiers entre eux, et si $n$ est divisible par $p$ et par $q$, alors $n$ est divisible par $p \times q$.

\paragraph*{Exemple:} 12 est divisible par 2 et par 3, donc il est aussi divisible par 6 (car 2 et 3 sont premiers entre eux : ils n'ont pas de diviseurs communs autre que 1).

\begin{multicols}{2}
\section*{PPCM}
Le PPCM de deux nombres entiers $a$ et $b$ est le plus petit multiple commun à $a$ et $b$.
\paragraph*{Exemple:} $\ppcm{12}{15}=60$ car:
\begin{itemize}
\item[\textbullet] les multiples de 12 sont : 12, 24, 36, 48, \textbf{60}, 72, ...
\item[\textbullet] les multiples de 15 sont : 15, 30, 45, \textbf{60}, 75, ...
\end{itemize}

\columnbreak

\section*{PGCD}
Le PGCD de deux nombres $a$ et $b$ est le plus grand diviseur commun à $a$ et à $b$.
\paragraph*{Exemple:} $\pgcd{12}{15}=3$ car:
\begin{itemize}
\item[\textbullet] les diviseurs de 12 sont: 1, 2, \textbf{3}, 6, 12.
\item[\textbullet] les diviseurs de 15 sont: 1, \textbf{3}, 5, 15
\end{itemize}
\end{multicols}

\subsection*{Algorithme d'Euclide}
Permet de calculer le PGCD de deux nombres.
\paragraph*{Exemple:} calcul de $\pgcd{125}{35}$.
\[
\begin{array}{c@{\ =\ }c@{\ \times\ }c@{\ +\ }c}
125 & 3 & \color{red}35 & \color{bleu}20\\
\color{red}35 & 1 & \color{bleu}20 & \color{orangesanguine}15\\
\color{bleu}20 & 1 & \color{orangesanguine}15 & \color{vert}5\\
\color{orangesanguine}15 & 3 & \color{vert}5 & 0
\end{array}
\]
$\pgcd{125}{35}=5$ (dernier reste non nul).

\section*{Nombres premiers}

\subsection*{Définition}
Un nombre premier est un entier divisible uniquement par 1 et lui-même.

\subsection*{Liste des nombres premiers inférieurs à 100}

\[
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
\]

\subsection*{Décomposition en produit de facteurs premiers}

Décomposons le nombre 360 en produit de facteurs premiers:

\begin{center}
\begin{tabular}{SrSc|ScSl}
& 360 & 2 & $\leftarrow$ on divise par 2 car 360 est pair\\
résultat de $360\div2 \rightarrow$ & 180 & 2 & $\leftarrow$ on divise par 2 car 180 est pair\\
résultat de $180\div2 \rightarrow$ & 90 & 2 & $\leftarrow$ on divise par 2 car 90 est pair\\
résultat de $90\div2 \rightarrow$ & 45 & 3 & $\leftarrow$ on divise par 3 car 45 n'est plus divisible par 2,\\
& & & \phantom{$\leftarrow$ }donc on passe au nombre premier suivant\\
résultat de $45\div3$ & 15 & 3 & $\leftarrow$ on continue à diviser par 3\\
résultat de $15\div3$ & 5 & 5 & $\leftarrow$ on passe à 5, qui vient après 3\\
résultat de $5\div5$ & 1 & 1 & $\leftarrow$ on s'arrête quand on obtient 1.
\end{tabular}
\end{center}
Donc $360=2^3 \times 3^2 \times 5$.
\end{document}