\documentclass[french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{babel}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{emerald}
\usepackage{eso-pic}
\usepackage[urlcolor=blue,colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage[margin=1cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{tikz}
	\usetikzlibrary {decorations.pathmorphing , shapes.geometric , calc}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{multicol}
\usepackage{cellspace}
\setlength{\cellspacebottomlimit}{4pt}
\setlength{\cellspacetoplimit}{4pt}
\usepackage{eurosym,numprint,esvect}

% Couleurs

\definecolor{bleuciel}{HTML}{45b5f4}
\definecolor{bleu}{HTML}{0e3e59}
\definecolor{orangesanguine}{HTML}{b43f0b}
\definecolor{vert}{HTML}{287f13}

% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://cours-particuliers-bordeaux.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
{\ECFJD\fontsize{12}{12}\selectfont\color{orangesanguine}}
{\thesubsection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\lhead{}
\cfoot{\ECFJD\Large\color{white}\fcolorbox{bleu}{bleu}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}


\title{Vecteurs}

\section*{Généralités}

\subsection*{Définition}

\begin{minipage}{6cm}
Un vecteur est défini par:
\begin{itemize}
\item[\textbullet] son sens
\item[\textbullet] sa direction
\item[\textbullet] sa norme
\end{itemize}

Il est représenté par une flèche.
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex,bleu] (0,0) node[below left] {A} -- (30:3) node[right] {B} node[midway,above left] {$\vv{AB}$};
\draw[dashed,gray] (0,0) -- (3,0);
\draw[->,>=latex,orangesanguine] (1,0) arc(0:30:1) node[below right,outer xsep=1mm] {30$^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-10cm}
\begin{itemize}
\item[\textbullet] Sens de $\vv{AB}$ : de la gauche vers la droite
\item[\textbullet] Direction de $\vv{AB}$ : inclinaison de $30^\circ$ avec l'horizontale
\item[\textbullet] Norme de $\vv{AB}$ : $\|\vv{AB}\|=3$ cm (distance entre A et B)
\end{itemize}

\medskip

A est \textcolor{vert}{l'origine} du vecteur $\vv{AB}$, B est son \textcolor{vert}{extrémité}.
\end{minipage}

\subsection*{Propriétés du parallélogramme}

\begin{multicols}{2}
\paragraph*{Règle du parallélogramme:} si ABCD est un\\
parallélogramme alors :
\[ 
\boxed{\vv{AB}=\vv{DC}}\qquad\text{et}\qquad\boxed{\vv{BC}=\vv{AD}}
\]

\paragraph*{Relation de Chasles:}
\[
\boxed{\vv{A\textcolor{red}{B}} + \vv{\textcolor{red}{B}C} = \vv{AC}}
\]

\columnbreak

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex,bleu] (0,0) node[below left] {A} -- (3,0) node[below right] {B}; 
\draw[->,>=latex,bleu] (2,1.5) -- (5,1.5);
\draw[->,>=latex,orangesanguine] (3,0) -- (5,1.5) node[above right] {C};
\draw[->,>=latex,orangesanguine] (0,0) -- (2,1.5) node[above left] {D};
\draw[->,>=latex,vert,dashed] (0,0) -- (5,1.5) node[midway,above left,scale=0.65,outer ysep=-1mm] {$\vv{AB}+\vv{BC}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}

\subsection*{Somme de deux vecteurs}

\begin{multicols}{2}
Pour ajouter plusieurs vecteurs, on met leurs représentants (les flèches) les uns à la suite des autres.

Le vecteur somme est représenté par la flèche dont l'origine est celle du premier vecteur et dont l'extrémité est celle du dernier vecteur.

\columnbreak

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex,bleu] (0,0) -- (3,1) node[midway,left,outer xsep=2mm] {$\vv{u}$};
\draw[->,>=latex,orangesanguine] (3,1) -- (5,-1) node[midway,right] {$\vv{v}$};
\draw[->,>=latex,vert] (5,-1) -- (6,0.5) node[midway,right] {$\vv{w}$};
\draw[->,>=latex,red] (0,0) -- (6,0.5) node[midway,below left,outer ysep=2mm] {$\vv{u}+\vv{v}+\vv{w}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}

\subsection*{Vecteurs colinéaires}

\begin{multicols}{2}
$\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vv{u} = k\vv{v}$.

Dans le schéma ci-contre, $\vv{u}=2\vv{v}$: même sens, même direction et la norme de $\vv{u}$ est le double de celle de $\vv{v}$.

\columnbreak

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex,bleu] (0,0) -- (30:2) node[midway,left,outer xsep=1mm] {$\vv{u}$};
\draw[->,>=latex,orangesanguine] (3,0) -- ($(30:1)+(3,0)$) node[midway,above,outer ysep=1mm] {$\vv{v}$};;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}

\paragraph*{Propriété:} si $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ sont colinéaires alors A, B et C sont alignés.

\newpage

\section*{Dans un repère orthonormé}

\subsection*{Coordonnées d'un vecteur}

\begin{multicols}{2}
Les coordonnées d'un vecteur représente le déplacement en abscisse et en ordonnée pour aller de l'origine à l'extrémité.

Si $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ alors il y a un déplacement de $x$ unités horizontalement et $y$ unités verticalement.

\columnbreak

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex] (-0.2,0) -- (5,0);
\draw[->,>=latex] (0,-0.2) -- (0,3);
\draw[->,>=latex,bleu] (1,1) -- (4,2) node[midway,above left] {$\vv{u}$};
\draw[->,>=latex,dashed,orangesanguine] (1,1) -- (4,1) node[midway,below] {$x$};
\draw[->,>=latex,dashed,vert] (4,1) -- (4,2) node[midway,right] {$y$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}

\paragraph*{Calcul des coordonnées:} si A\coord{x_A}{y_A} et B\coord{x_B}{y_B} alors:
\[
\boxed{\vv{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}}
\]

\paragraph*{Propriété:} si $k$ est un nombre réel et $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ alors les coordonnées de $k\vv{u}$ sont $\dbinom{kx}{ky}$.

\paragraph*{Propriété:} si $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{y'}$ alors les coordonnées de $\vv{u}+\vv{v}$ sont $\dbinom{x+x'}{y+y'}$.

\subsection*{Norme d'un vecteur}

si A\coord{x_A}{y_A} et B\coord{x_B}{y_B} alors:
\[
\boxed{\big\|\vv{AB}\big\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}}
\]

\subsection*{Vecteurs colinéaires}

\[
\boxed{\vv{u}\dbinom{x}{y}\text{ et }\vv{v}\dbinom{x'}{y'}\text{ colinéaires} \iff xy' = x'y}
\]
\end{document}