
\begin{enumerate}
\item Si $n$ n'est pas premier et si $n$ n'admet aucun diviseur inférieur ou égal à $\sqrt{n}$, cela signifie que:
\[n = k \times q \]
avec $k \geqslant \sqrt{n}$.

En multipliant cette inégalité par $q$, on a :
\[
\underbrace{k \times q}_{=\ n} \geqslant \sqrt{n} \times q
\]
et donc:
\[
n \geqslant \sqrt{n} \times q\;,
\]
qui donne, en divisant les deux membres par $\sqrt{n}$:
\[
\dfrac{n}{\sqrt{n}} \geqslant q.
\]
Or, $\dfrac{n}{\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n} \times \sqrt{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}$ et donc:
\[
\sqrt{n} \geqslant q.
\]
$q$ doit donc nécessairement être inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.

\item Or, par hypothèse de départ, on a supposé qu'il n'existait pas de diviseurs de $n$ qui soient inférieurs ou égaux à $\sqrt{n}$. Cela signifie donc l'affirmation de départ est fausse : s'il n'existe pas de diviseurs de $n$ inférieurs ou égaux à $\sqrt{n}$, $n$ est nécessairement un nombre premier (car si tel n'est pas le cas, on vient de démontrer que cela mène à une absurdité, à savoir que $q$ est un diviseur de $n$ inférieur ou égal à $\sqrt{n}$).

\begin{rem}
Ce raisonnement tire son nom justement du fait que l'on arrive à une absurdité en supposant le contraire de ce que l'on veut démontrer. Si vous ne comprenez pas cette logique; ce n'est pas étonnant car c'est assez difficile à concevoir à notre niveau, en classe de Seconde).
\end{rem}

\item En appliquant cette propriété, pour voir si \numprint{1973} est premier, on peut d'abord calculer sa racine carrée:
\[
\sqrt{\numprint{1973}} \approx 44,4.
\]
On va donc tester tous les nombres premiers inférieurs à 44 : s'il y en a un qui divise \numprint{1973}, cela signifie que \numprint{1973} n'est pas un nombre premier.

Mais la liste des nombres premiers inférieurs à 44 se réduit à : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.

En testant un à un, on voit qu'aucun divise \numprint{1973}. Donc \numprint{1973} est bien un nombre premier.
\end{enumerate}
